Exercices ANALYSE 4
TD LM2 Pascal Lefèvre
1 Révisions : Uniforme continuité - Intégration
Exercice 1.1
1) Soit I “ pu, vq un intervalle (non trivial) de R. On considère une fonction unifor- mément continue deI dans Rd (muni d’une norme}.}).
On veut montrer qu’il existe a, bą0 tel que, pour toutxP I, on a }fpxq} ďa|x| `b.
On fixe α PI.
a) Justifier qu’il existe η Ps0, v´ur tel que pour tous t, t1 P I avec |t´t1| ď η : }fptq ´fpt1q} ď1.
b) Montrer que pour tout entierk PNtel queα`kη PI, on a}fpα`kηq´fpαq} ďk.
c) Montrer que pour tout entier k PZ tel que α`kη PI, on a }fpα`kηq} ď |k| ` }fpαq}.
d) Soit xPI, justifier qu’il existe kP Ztel que α`kη P I et|x´ pα`kηq| ď η.
e) Conclure.
2) Soit P une fonction polynomiale (non nulle). Montrer que P est uniformément continue sur un sous-intervalle non borné de R si et seulement si son degré est au plus 1.
Exercice 1.2
Soit panqnPNune suite croissante vers`8de réels positifs telle que `
an`1´an˘
nPN soit bornée. On considère une fonction uniformément continue de R` dans Rd (muni d’une norme }.}). On suppose que
@xP R`, lim
nÑ`8fpan`xq “0 On veut montrer que lim
tÑ`8fptq “ 0.
On fixe εą0 et on note M “sup
nPN
`an`1´an˘ ą0.
a) Justifier qu’il existe un entierpě1tel que pour toust, t1 PR`avec|t´t1| ďM{p: }fptq ´fpt1q} ďε.
b) Soit těa0.
(i) Justifier l’existence dent“maxtk PN|ak ďtu, puis que ant ďtăant`M.
(ii) Montrer que nt tend vers l’infini lorsque t vers l’infini.
(iii) Justifier l’existence dei“max j PN|0ďj ďp etant`jMp ďt(
et vérifier que iăp.
(iv) En déduire que ant `iMp ďtăant ` pi`1qMp . c) Montrer que lim
nÑ`8 sup
0ďjďp
›
›fpan`jM{pq›
›“0.
d) Conclure.
Exercice 1.3
On considère une fonction uniformément continue de R` dans Rd. On suppose que
@xP R`, lim
nÑ`8fpnxq existe Montrer que lim
tÑ`8fptq existe.
Exercice 1.4
Soit f une fonction continue sur R`, à valeurs réelles, telle que ż`8
0
fptqdt converge.
1) Donner un exemple de telle fonction qui n’est pas bornée. Cette fonction admet-elle une limite nulle en l’infini ?
2) Montrer que si on suppose que lim
tÑ`8fptq existe alors cette limite est nulle.
3) On suppose que f est uniformément continue. Montrer que lim
tÑ`8fptq “0.
Exercice 1.5
Déterminer les limites des suites suivantes (justifier au passage leur existence), définies pourn ě1:
1) Sn“
n
ÿ
k“1
n`k n2`k2¨ 2) Sn“
n
ÿ
k“1
k2 n2?3
n3`k3¨ 3) Sn“
n
ÿ
k“1
k n2 sin
´ kπ n`1
¯
¨ 4) Pn “ 1
n
n
ź
k“1
´ n`k
¯1{n
.
5) Pn “
« n ź
k“1
´ 1` k
n
¯k
ff1{n2
.
Exercice 1.6
Soit f :ra, bs Ñ Rd une fonction continue par morceaux (avec a ăb). On pose, pour ně1 :
In“ żb
a
fptqˇ
ˇsinpntqˇ ˇdt On veut montrer que
p˚˚q lim
nÑ`8In “ 2 π
żb a
fptqdt
1) Soient deux réelsA etB tels queAăB. On considère deux entiersp, q dans Ztels que pπďAă pp`1qπ etpq´1qπăB ďqπ.
a) Justifier que l’on peut effectivement définir deux entierspetq comme ceci et que pďq.
b) Montrer que żqπ
pπ
ˇ
ˇsinpxqˇ
ˇdx“2pq´pq.
c) En déduire que ˇ ˇ ˇ
żB A
ˇ
ˇsinpxqˇ
ˇdx´ 2
πpB ´Aq ˇ ˇ ˇď8.
2) Établir p˚˚q lorsque f est la fonction indicatrice d’un sous-intervalle de ra, bs, puis lorsque f est une fonction en escalier.
3) Conclure.
Exercice 1.7
En vous inspirant des idées de l’exercice précédent, montrer le lemme de Riemann- Lebesgue :
Si f :ra, bs ÑRd est une fonction continue par morceaux (avec aăb) alors
nÑ`8lim żb
a
fptqsinpntqdt“ lim
nÑ`8
żb a
fptqcospntqdt “0
2 Intégrales à paramètre
Exercice 2.1
Etudier (domaine, continuité, dérivabilité) les fonctions suivantes : 1) Fpxq “
ż2π 0
1
a1`xcosptqdt 2) Fpxq “
ż1 0
txtdt
Exercice 2.2
On considère la fonction fpxq “ żπ{2
0
cos`
xcosptq˘ dt.
1) Montrer que f est définie sur R.
2) Montrer que f est dérivable sur Ret calculer sa dérivée.
3) Montrer que pour tout xPR : fpxq “ ż1
0
cospxuq
?1´u2 du.
4) Soit aPs0,1r.
a) Justifier que lim
xÑ`8
ża 0
cospxuq
?1´u2du“0. (Indication : faire une I.P.P.) b) Montrer que
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ż1 a
cospxuq
?1´u2 du ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ďarccospaq. c) Conclure que lim
xÑ`8fpxq “0.
Exercice 2.3
Soit f une fonction C8 sur Rtelle quefp0q “0. Pour xPR, on pose Qpxq “ fpxq x si x non nul etQp0q “f1p0q.
1) Justifier que pour tout xPR :Qpxq “ ż1
0
f1pxuqdu.
2) Montrer que QestC8 et préciser la dérivée nieme deQpour toutn PN. Comparer Qpnqp0q etfpn`1qp0q.
3) Appliquer ceci au cas de f “sin.
3 Suites de fonctions
Exercice 3.1
On définit pour xPR etn PN : fnpxq “ px`1q2n`1` px´1q2n`1 px`1q2n`1´ px´1q2n`1¨
1) Justifier que ces fonctions sont bien définies et qu’elles sont impaires. Pour n PN, que vaut lim
tÑ`8fnptq?
2) Pour tout xą0, comparer fnpxqet fn
´1 x
¯ .
3) Montrer que cette suite de fonctions converge simplement sur R vers une fonction f que l’on précisera.
4) Justifier qu’il ne peut pas y avoir convergence uniforme sur un intervalle (non réduit à un point) contenant 0.
5) Justifier qu’il ne peut pas y avoir convergence uniforme sur un intervalle de la forme rA,`8r (où Aą0).
6) On fixe A ą a ą0. Montrer qu’il y a convergence uniforme sur ra, As. On pourra d’abord traiter les cas ra,1s (avec0ăaă1) et r1, As (avec 1ăA).
Exercice 3.2
On définit pourxPs ´π,`πretn ě1: fnpxq “ sin2pnxq
nsinpxq lorsquex‰0etfnp0q “ 0.
1) Justifier que ces fonctions sont bien définies et qu’elles sont impaires.
2) Montrer que cette suite de fonctions converge simplement sur s ´π, πr vers la fonction nulle.
On fixe 0ăa ăAăπ.
3) Montrer qu’il y a convergence uniforme sur ra, As.
4) Justifier qu’il ne peut pas y avoir convergence uniforme sur s0, As. Y a-t-il conver- gence uniforme sur r0, As?
5) Y a-t-il convergence uniforme sur ra, πr? Exercice 3.3
On définit pour xPR etn ě1 : fnpxq “
´ 1` x
n
¯n
.
1) Montrer que cette suite de fonctions converge simplement sur R vers une fonction (bien connue !) que l’on précisera.
2) Justifier qu’il ne peut pas y avoir convergence uniforme sur R`. Est-ce possible sur R? Sur R´?
3) Montrer qu’il y a convergence uniforme sur tout segment.
Exercice 3.4
Soit f une fonction continue sur r0,1s à valeurs dans r0,1s. On définit la suite de fonctions suivantes
f0 “Idr0,1s et pourn ě1, fn“f ˝ ¨ ¨ ¨ ˝f n fois
On suppose que cette suite converge simplement vers fonction nulle sur r0,1s.
On veut montrer qu’il y a en fait convergence uniforme.
1) Justifier que f admet au moins un point fixe. Démontrer qu’en fait 0 est le seul point fixe de f.
2) En déduire que l’on a soit “@xPs0,1s, fpxq ăx” soit “@xPs0,1s, fpxq ąx”.
3) Justifier que l’on est nécessairement dans le premier cas.
On fixe εą0.
4) Justifier l’existence M “ max
xPrε,1s
fpxq
x ¨ Comparer M et1.
5) En déduire que pour tout nP Net tout xP r0,1s, on afnpxq ď max`
ε, Mn˘ . 6) Conclure.
Exercice 3.5
Théorème de Dini. Soit pfnqnPN une suite croissante de fonctions continues définies sur un compactK ĂR. On suppose qu’il y a convergence simple vers une fonctionf, continue surK.
On va montrer qu’en fait il y a convergence uniforme.
Soit ε ą0. On définit les parties Fn “∆´1n prε,`8rq où∆n“f´fn :K ÑR. 1) Justifier que Fn est une partie fermée de K et que č
nPN
Fn “ H.
2) En déduire qu’il existe n0 PN tel que pour tout něn0 : Fn “ H.
3) Conclure.
4) Application : retrouver une preuve pour la question 3. dans l’exercice 3.3.
Exercice 3.6
Une application classique de Dini. On définit pour x P r0,1s et n P N, la suite de fonctions polynômes suivantes : P0 “0et pour n PN
Pn`1pxq “Pnpxq ` 1 2
“x´Pn2pxq‰ .
1) Montrer que cette suite de fonctions converge simplement sur r0,1s vers la racine carrée. Pour cela on pourra
a) Montrer que pour tout xP r0,1s etn PN, on a0ďPnpxq ď ? x.
b) Montrer quepPnqnPN est croissante.
c) Conclure.
2) Montrer qu’il y a convergence uniforme sur r0,1s.
Exercice 3.7
Soit pPnqnPN une suite de fonctions polynômes, uniformément convergente sur R. On veut montrer que nécessairement la limite est un polynôme.
1) Écrire le critère de Cauchy uniforme.
2) En déduire qu’à partir d’un certain rangN, les polynômesPnetPN diffèrent d’une constante.
3) Conclure.
Exercice 3.8
Théorème de Weierstrass. Polynômes de Bernstein.
On fixe une fonction f, continue sur r0,1s. Pour n P N avec n ě 1, on définit le polynôme
BnpXq “
n
ÿ
k“0
ˆn k
˙ f
´k n
¯
Xkp1´Xqn´k.
1) Calculer Bn lorsque f vaut 1, lorsque f est l’identité puis lorsque fpxq “ x2. 2) En déduire que
n
ÿ
k“0
ˆn k
˙
pk´nXq2Xkp1´Xqn´k “nXp1´Xq.
Pourδ ą0,n ě1etxP r0,1s, on note Anpx, δql’ensemble
!
kP t0, . . . , nu ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ k n´x
ˇ ˇ ˇěδ
) . 3) Montrer que
ÿ
kPAnpx,δq
ˆn k
˙
xkp1´xqn´kď 1 4nδ2¨ 4) Montrer que
|fpxq ´Bnpxq| ď sup
kRAnpx,δq
ˇ ˇ ˇf
´k n
¯
´fpxq ˇ ˇ
ˇ`}f}8
2nδ2¨
5) Conclure que la suite de polynômespBnqnPNconverge uniformément versf surr0,1s.
Exercice 3.9
On s’intéresse à la valeur de l’intégrale du sinus cardinal sur R` :
ż`8 0
sinptq t dt.
1) Justifier que la fonction sinus cardinal définie sur R par Sptq “ sinptq
t pour t ‰ 0 etSp0q “1 est continue sur R, et bornée.
2) Montrer que pour tout xPR`˚ : Fpxq “ ż`8
0
Sptqe´xtdt est bien défini.
3) Justifier que ż`8
0
Sptqdt est bien défini (on pourra utiliser un théorème d’Abel vu en S.I.). On posera donc Fp0q “I.
On considère la suite de fonctions définie pour n PN etxPR` par fnpxq “
żn 0
Sptqe´xtdt
4) Cette suite de fonctions converge-t-elle simplement sur R`? Si oui vers quelle fonc- tion ?
5) On fixe des entiers m ěn ě1.
a) Pour xPR`, comparer fmpxq ´fnpxqet żm
n
1
tep´x`iqtdt.
b) A l’aide d’une intégration par partie, montrer que pour tout xPR` : ˇ
ˇ ˇ ˇ ˇ
żm n
1
tep´x`iqtdt ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ď 3 n¨
c) En déduire que la suite de fonctions pfnqnPN converge uniformément sur R`. d) En déduire que F est continue sur R`.
e) Montrer que lim
xÑ`8Fpxq “0.
6) Montrer que, pour n PN,fn est de classe C1 surR` et que pour tout xě0 : fn1pxq “ ´1`e´nx`
xsinpnq `cospnq˘
x2`1 ¨
7) En déduire que la suite de fonctions pfn1qnPN converge uniformément sur tout in- tervalle ra,`8r (avec a ą 0). En déduire que F est dérivable sur R`˚ et donner une expression de F1 surR`˚.
8) En déduire la valeur de F surR`˚ puis deI.
4 Séries de fonctions
Exercice 4.1
On définit pour xPR etn PN : fnpxq “e´n2x.
1) Montrer que la série de fonctions de terme généralfnconverge simplement surR`˚. On notera S la somme ainsi définie sur R`˚.
2) Montrer que cette série de fonctions converge normalement sur tout intervalle ra,`8r oùa ą0.
3) Montrer qu’il n’y a pas convergence uniforme sur s0, αq oùα ą0.
4) En déduire que S est continue sur R`˚.
5) Montrer que la limite de S en`8 existe et vaut 1.
6) Quelle est la limite de S en 0`?
7) Montrer que S est de classeC1 surR`˚ et donner une expression de la dérivée sous forme d’une série.
Exercice 4.2
Fonction zêta de Riemann.
Pour ně1 etz PC, on définit fnpzq “n´z “e´zlnpnq.
1) Montrer que la série de fonctions de terme fn converge normalement sur tout do- maine tz P C|Repzq ěauoù aą1.
Pour xą1, on définit donc ζpxq “
`8
ÿ
n“1
1 nx¨ 2) Montrer que ζ est continue sur s1,`8r.
3) Montrer que ζ estC1 surs1,`8r et donner une expression de la dérivée.
Exercice 4.3
On définit pour xPRzN et nPN : fnpxq “ 1 px´nq2¨
1) Montrer que la série de fonctions de terme généralfnconverge simplement surRzN. On notera S la somme ainsi définie sur RzN.
2) SoitKun segment inclus dansRzN. Montrer que la série de fonctions ÿ
ně0
fnconverge normalement sur K. Même question en remplaçant K par s ´ 8,´1s.
3) En déduire que S est continue sur RzN. 4) Montrer que la limite de S en´8 est nulle.
5) Montrer que pour tout x dans R`zN, on a Spxq ě4.
6) Donner un équivalent de S au voisinage de 0.
7) Montrer queS est de classeC1 surRzNet donner une expression de la dérivée sous forme d’une série.
Exercice 4.4
On définit pour xPR` et nPN : fnpxq “ p´1qnxne´x n! ¨
1) Montrer que la série de fonctions de terme généralfnconverge simplement vers une fonction que l’on précisera.
Pour la suite de cet exercice, on rappelle la formule de Stirling : n!„?
2πne´nnn. 2) À nP Nfixé, déterminer sup
xě0
xne´x.
3) Montrer que la convergence n’est pas normale.
4) Montrer que la convergence est uniforme sur R`. Exercice 4.5
Soit panqnPN une suite de réels décroissante vers 0. Montrer l’équivalence entre (i) La série de fonctions ř
ansinpnxq converge uniformément sur R et
(ii) La suite pnanqnPN converge vers 0.
Indications : pour piq ñ piiq, on pourra considérer une somme pour n P tN, . . . ,2Nu et l’évaluation en π{2N. On se souviendra aussi que sinpxq ě 2
πxlorsque xP r0, π{2s.
Exercice 4.6
Une fonction continue sur R mais nulle part dérivable.
1) Soit ` εk,n˘
pk,nqPN2 des choix de signes, i.e. @k, nPN, εk,n P t´1,`1u. À n fixé, on note pn le nombre de `1parmi les εk,n où 0ďk ďn.
On considère sn“
n
ÿ
k“0
εk,n.
a) Montrer que sn“2pn´ pn`1q puis que ˇ
ˇsn`1´snˇ
ˇ est un entier impair.
b) En déduire que la suite ` sn˘
nPN diverge.
2) Dans cette question uniquement, on considère une fonction f :I ÑR dérivable en
`P I. On suppose que l’on a deux suitespanqnPN etpbnqnPN, convergentes vers`, telles que an ď` ďbn pour tout ně1.
Montrer que la suite
˜
fpbnq ´fpanq bn´an
¸
ně1
est convergente vers f1p`q.
3) On va montrer qu’il existe des fonctions continues sur Rmais nulle part dérivable.
On commence par définir la fonction ∆ : RÝÑR pourxPR par
∆pxq “ distancepx,Zq “ mint|x´n|; nPZu a) Dessiner le graphe de ∆ et déterminer l’image de ∆.
b) Montrer que∆ est1-lipschitzienne.
c) Soient A, sPN avec sě1.
Montrer que ∆ est affine sur tous les intervalles rA2´s,pA`1q2´ss. On précisera la pente (en valeur absolue).
4) Soit xPR. Montrer que la série
8
ÿ
k“0
∆` 2kx˘
2k converge.
Dans toute la suite de cette partie, la fonction T est définie par Tpxq “
8
ÿ
k“0
∆` 2kx˘ 2k où xPR.
5) Démontrer que T est continue sur R.
6) Montrer que T est périodique et donner une période.
7) On fixe αPR.
a) Montrer que pour tout entier n ě1, il existe deux rationnels an etbn, respecti- vement de la forme q
2n et q`1
2n (avec qP Z), vérifiant anďαăbn.
b) Les suites panqně1 etpbnqně1 sont-elles convergentes ? Si oui, vers quelle limite ? c) Que vaut ∆`
2kbn˘
´∆` 2kan˘
pour kěn? d) On fixe0ďk ăn des entiers. Montrer que ∆`
2kbn˘
´∆` 2kan˘
P t˘2k´nu.
e) En déduire que la suite
˜Tpbnq ´Tpanq bn´an
¸
ně1
est divergente puis queT n’est pas dérivable en α.
8) Conclure.
Exercice 4.7
1) Justifier que Fpxq “ ż1
0
txtdt est bien défini pourxP R. 2) Pour n, mPN, montrer que
ż1 0
tm`
lnptq˘n
dt“ p´1qn n!
pm`1qn`1¨ 3) Montrer que Fpxq “
`8
ÿ
n“0
p´1qn xn pn`1qn`1¨ Exercice 4.8
Pour xPs ´1,`1r, on considère Fpxq “
`8
ÿ
n“1
xnsinpnxq
n ¨
1) Montrer que Fpxq “
`8
ÿ
n“1
xnsinpnxq
n est bien défini et de classe C1 sur s ´1,`1r. 2) Montrer que pour xPs ´1,`1r, on a F1pxq “ sinpxq `xcospxq ´x2
1´2xcospxq `x2 ¨ 3) En déduire que Fpxq “arctan
˜
xsinpxq 1´xcospxq
¸
pourxPs ´1,`1r.
4) En déduire les valeurs de
`8
ÿ
n“1
sinpnq n et de
`8
ÿ
n“1
p´1qnsinpnq
n ¨ Indication : on pourra utiliser le th. d’Abel uniforme.
Exercice 4.9
On fixe un paramètreaPRet on considère la suite de fonctions suivantes, pourxP R` etn PN :
fnpxq “e´pn`1qxsinpaxq. 1) Montrer que
ż`8
0
sinpaxq
ex´1 dx est bien définie.
2) Montrer que, à α ą 0 fixé, la série de fonctions de terme général fn converge normalement sur l’intervalle rα,`8r vers une fonction que l’on précisera.
3) Soient β ąα ą0. Justifier que żβ
α
sinpaxq ex´1 dx“
`8
ÿ
n“0
żβ α
e´pn`1qxsinpaxqdx.
4) On fixe α et on note, pour n PN,unpβq “ żβ
α
e´pn`1qxsinpaxqdx.
a) Montrer que la série de fonctions punq converge normalement sur rα,`8r. b) En déduire que
ż`8 α
sinpaxq ex´1 dx“
`8
ÿ
n“0
ż`8 α
e´pn`1qxsinpaxqdx.
5) On note, pour n PN, vnpαq “ ż`8
α
e´pn`1qxsinpaxqdx.
a) Pour n PN, montrer que vnpαq “ pn`1qsinpαaq `acospαaq
pn`1q2`a2 e´pn`1qα. b) Conclure que
ż`8 0
sinpaxq ex´1 dx“
`8
ÿ
n“0
a
pn`1q2`a2¨
5 Séries entières
Exercice 5.1
Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes a)
`8
ÿ
n“0
3n2`17n`5 n`5 zn b)
`8
ÿ
n“0
np´2qn`1zn
c)
`8
ÿ
n“0
`2`cospnq˘ zn
d)
`8
ÿ
n“1
nn n!zn e)
`8
ÿ
n“1
´
cosp1{nq
¯nα
zn, où αPR. f)
`8
ÿ
n“0
enzn2
g)
`8
ÿ
n“0
n!zn2
h)
`8
ÿ
n“1
`1` p´1qn n
˘n2
zn.
i)
`8
ÿ
n“1
`sinpπ? 2nq˘n
zn.
Exercice 5.2
Déterminer le rayon de convergence et la somme des séries entières suivantes a)
`8
ÿ
n“1
n2xn
b)
`8
ÿ
n“a`1
1
n´axn où aPN. c)
`8
ÿ
n“2
n n2´1xn d)
`8
ÿ
n“0
1 2n`1xn. e)
`8
ÿ
n“1
cos`
2nπ{3˘
n xn
f) La série entière associée à la suite wn“ żπ{2
0
´ cosptq
¯n
dt.
Exercice 5.3
Développer en série entière les fonctions suivantes (on précisera le domaine de définition et le rayon de convergence) :
a) fpzq “ 1
z´a avecaP C˚. b) fpzq “ 1
1`z`z2¨ c) fpzq “ zsina
z2´2pcosaqz`1 avec aPR. d) fpzq “ 1
p1´zqp1´z3q¨ e) fpxq “ ln
´?
1`x`? 1´x
¯
. (Indication : on pourra commencer par dériver cette fonction)
f) fpxq “ arcsinpxq
?1´x2 ¨ (Indication : on pourra commencer par dériver cette fonction et montrer que cette fonction est solution d’une équation différentielle simple)
Exercice 5.4
Prouver que, pour tout xPR, on a chpxq ď ex2{2. Exercice 5.5
Soit ÿ
ně0
unzn une série entière de rayon de convergence infini. On suppose que :
DkP N, Da, bą0, @z PC, |fpzq| ďa|z|k`b.
On veut montrer que f est un polynôme.
a) Soient rą0et nP N. Que vaut ż2π
0
e´intfpreitqdt? b) Montrer queun est nul pourn ąk et conclure.
Exercice 5.6
Développer en série entière sur R : fpxq “ e´x
2 2
żx 0
et
2 2 dt.
Indication : on peut montrer que f vérifie une équation différentielle simple.
Exercice 5.7
Soit un “ p´1qn´1
n pourn ě1.
1) Montrer que la série ř
un converge.
2) On veut calculer la somme de cette série.
a) Pour xP r0,1r, que vaut
`8
ÿ
n“1
unxn? b) En déduire
`8
ÿ
n“1
un, en utilisant un théorème d’Abel du cours.
Exercice 5.8
On considère la série entière fpxq “
`8
ÿ
n“1
p´1qn`1
np2n`1qx2n`1. 1) Quel est son rayon de convergence, que l’on notera R?
2) Sur quel intervalle la fonction f est-elle continue ? Démontrer qu’elle est en réalité continue sur r´R, Rs.
3) Exprimer, au moyen des fonctions usuelles, la somme de la série dérivée surs´R, Rr.
En déduire une expression de f surs ´R, Rr.
4) Calculer
`8
ÿ
n“1
p´1qn`1 np2n`1q. Exercice 5.9
On considère la série entière fpxq “
`8
ÿ
n“2
p´1qn npn´1qxn.
1) Déterminer l’intervalle de convergence def : on déterminera le rayon de convergence R et on précisera s’il y a convergence en R et ´R.
2) Démontrer que f est continue sur son intervalle de convergence.
3) Exprimer f1, puis f, à l’aide de fonctions usuelles sur l’intervalle s ´R, Rr.
4) Déduire des questions précédentes la valeur de ÿ
ně2
p´1qn npn´1q¨ Exercice 5.10
On s’intéresse à une série entière
`8
ÿ
n“0
anxn de rayon de convergence 1, de somme fpxq, telle que lim
xÑ1´fpxq existe (on note ` cette limite).
La question est de savoir si la série ÿ
ně0
an converge (et vers quoi)...
1) En considérant an “ p´1qn (pour tout n PN), montrer que, en général, la réponse est non.
2) On suppose dans cette question seulement que an ě0 pour toutn PN. a) Soit N PN, montrer que `ě
N
ÿ
n“0
an. b) En déduire que la série ÿ
ně0
an converge.
c) Conclure
3) Théorème de Tauber.On suppose désormais que lim
nÑ`8nan“0.
a) Pour N PN, on pose xN “1´ 1
N `1¨ Établir ˇ
ˇ ˇ ˇ ˇ
f` xN˘
´
N
ÿ
n“0
an ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ď ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
N
ÿ
n“0
an`
xnN´1˘ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
` ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
`8
ÿ
n“N`1
anxnN ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ď 1
N `1
N
ÿ
n“0
nˇ ˇanˇ
ˇ` sup
něN`1
ˇ ˇnanˇ
ˇ
`8
ÿ
n“N`1
xnN n ¨ b) Conclure.
Exercice 5.11
Soient deux suites panqně0 et pbnqně0 avec bn ą 0 et lim
nÑ`8
an
bn “ λ ‰ 0. On suppose que ÿ
ně0
bnxn est de rayon de convergence1 et divergente en 1.
1) Montrer que
`8
ÿ
n“0
anxn est de rayon de convergence1.
2) Montrer que lim
xÑ1´
`8
ÿ
n“0
bnxn“ `8.
3) Montrer que lim
xÑ1´
`8
ÿ
n“0
anxn
`8
ÿ
n“0
bnxn
“λ. Indication : faire un raisonnement “à la Cesàro”.
Exercice 5.12
Théorème de Bernstein pour les séries entières.
On fixe Aą0. Soit f :s ´A, ArÝÑR une fonction de classe C8. On suppose que
@k PN, @xPs ´A, Ar fp2kqpxq ě0.
On veut montrer que f est développable en série entière.
On considère la fonction Fpxq “fpxq `fp´xq oùxPs ´A, Ar.
1) Justifier que F est de classe C8 et que : @k P N, @xPs ´A, Ar, Fp2k`1qp0q “ 0 etFp2kqp0q ě0.
2) Soit n P N. Montrer qu’il existe un polynôme Pn de degré 2n (que l’on précisera) tel que
@xPs ´A, Ar, Fpxq “Pnpxq `Rnpxq avec Rnpxq “
żx 0
px´tq2n`1
p2n`1q! Fp2n`2qptqdt 3) On fixe aPs0, Ar.
a) Montrer que pour tout xP r0, ar, on a 0ďRnpxq ď
´x a
¯p2n`1q
Rnpaq ď
´x a
¯p2n`1q
Fpaq.
b) En déduire que F est développable en série entière sur s ´A, Ar.
4) Soit xPs ´A, Ar.
a) Justifier la validité de l’écriture fpxq “Q2n`1pxq `rnpxq avec rnpxq “
żx 0
px´tq2n`1
p2n`1q! fp2n`2qptqdt et Qnpxq “
n
ÿ
j“0
fpjqp0q j! xj. b) Montrer que|rnpxq| ďRnp|x|q puis que lim
xÑ`8rnpxq “0.
c) Conclure.
5) Appliquer ce théorème à la fonction xÑtanpxq. Exercice 5.13
Soit fpzq “ ÿ
ně0
anzn développable en série entière (avec un rayon de convergence strictement positif). On suppose de plus quea0 ‰0. On veut prouver que la fonction1{f est développable en série entière.
1) On suppose que 1
f “ ÿ
ně0
bnzn, avec rayon de convergence ρ strictement positif.
Quelle relation de récurrence vérifie la suitepbnq?
2) Soit pbnq la suite définie par la relation de récurrence précédente. Montrer qu’il existe C ą0tel que, pour tout nP N:
|bn| ď Cn
|a0|.
3) En déduire que 1{f est développable en série entière.
Exercice 5.14 Soit fpzq “ ÿ
ně0
anzn développable en série entière. On suppose que la suite est pério- dique. Montrer que f est en fait une fraction rationnelle.
Exercice 5.15
On se propose dans cet exercice de calculer ÿ
ně0
1 p3nq!¨ Pour cela, on introduit
Spxq “ ÿ
ně0
x3n p3nq!¨ Comme d’habitude, on note j “e2iπ{3.
a) Calculer 1`jk`j2k pour tout entier kP N.
b) En déduire le développement en série entière de ex`ejx`ej2x. c) En déduire Spxq, puis la valeur de la somme ÿ
ně0
1 p3nq!¨
Exercice 5.16
Soit punqla suite réelle définie par u0 “1 et, pour tout nPN, un`1 “
n
ÿ
k“0
ukun´k.
1) Montrer qu’il existe C ą0 tel que pour tout nPN, 0ďun ď Cn pn`1q2¨ 2) Montrer que la série entière fpxq “ ÿ
ně0
unxna un rayon de convergence strictement positif rą0.
3) Démontrer que, pour tout xPs ´r,´rr, on a xf2pxq ´fpxq `1“0.
4) En déduire qu’il existe ρą0 tel que pour toutx non nul dans s ´ρ, ρr, on a fpxq “ 1´?
1´4x
2x ¨
5) En déduire un en fonction de n.
Exercice 5.17
On veut montrer que ż1
0
lnpxqlnp1´xqdx“
`8
ÿ
n“1
1 npn`1q2¨
1) Justifier que la fonctionxPs0,1rÞÑlnpxqlnp1´xqse prolonge par continuité à r0,1s (en une fonction que l’on notera f) et en déduire l’existence de
ż1 0
lnpxqlnp1´xqdx.
Pour tout entier ně1, on définit unpxq “ 1
nxnlnpxq pourxPs0,1s etunp0q “ 0.
2) Montrer que la série de fonctions de termes un converge simplement vers ´f sur r0,1s.
3) Montrer que la série de fonctions de termes un converge normalement sur r0,1s.
4) Pour tout entier ně1, calculer ż1
0
xnlnpxqdx.
5) Conclure. On pourra enfin calculer la somme en utilisant
`8
ÿ
n“1
1 n2 “ π2
6 ¨ Exercice 5.18
Pour tous les entiers k et n tels que n ě 1 et 0 ďk ď n, on note Dn,k le nombre de bijections (ou permutations) s de l’ensemble t1, . . . , nu ayant k points fixes, c’est à dire telles que
k“card iP t1, . . . , nu; spiq “i( .
On pose D0,0 “ 1 et dn “ Dn,0 désigne le nombre de dérangements, c’est à dire de permutations sans point fixe.
1) Dresser la liste de toutes les permutations de t1,2,3u et en déduire la valeur de D3,0,D3,1, D3,2 etD3,3.
2) Montrer que n!“
n
ÿ
k“0
Dn,k. 3) Montrer que Dn,k “
ˆn k
˙
Dn´k,0. 4) Montrer que la série entière ÿ
ně0
dn
n!zn a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1.
5) On pose fpxq “
`8
ÿ
n“0
dn
n!xn. Montrer que exfpxq “ 1
1´x pour|x| ă1.
6) En déduire que dn“n!
n
ÿ
k“0
p´1qk k! ¨
7) Soitpnla probabilité pour qu’une permutation prise au hasard soit un dérangement.
Quelle est la limite de pn quand n tend vers `8? Exercice 5.19
On rappelle qu’une involution de t1, . . . , nu est une application s de t1, . . . , nu dans t1, . . . , nutelle ques˝spkq “kpour toutkP t1, . . . , nu. On noteInle nombre d’involutions det1, . . . , nuet on convient que I0 “1.
1) Démontrer que, si ně1, alors
In`1 “In`nIn´1. 2) Démontrer que la série entière Spxq “ ÿ
ně0
In
n!xn converge pour tout xdans s ´1,1r.
On note S sa somme.
3) Justifier que, pour tout xPs ´1,1r, on a S1pxq “ p1`xqSpxq.
4) En déduire une expression de Spxqen fonction de x.
5) En déduire une expression de In. Exercice 5.20
Chercher des solutions développables en série entière de l’équation p1`x2qy2´2y“0
On exhibera notamment deux telles solutions indépendantes.
En fait (on l’admettra) que toute solution de l’équation différentielle est alors combi- naison linéaire de ces deux solutions.
Exercice 5.21
Théorème Taubérien de Hardy-Littlewood. On s’intéresse à une série entière
`8
ÿ
n“0
anxn de rayon de convergence1, de sommefpxq, telle que lim
xÑ1´
fpxqexiste (et on notera`cette limite).
La question est de savoir si la série ÿ
ně0
an converge.
On suppose ici que la suite` nan˘
nest bornée (en fait, on ne va utiliser que la condition naně ´C pour tout nPN, où C ą0).
1) Montrer que pour tout polynôme P, on a lim
xÑ1´
`8
ÿ
n“0
anPpxnqexiste et vaut Pp1q`.
Soit q la fonction indicatrice de l’intervalle
”1 e,1
ı . 2) On veut montrer que lim sup
xÑ1´
`8
ÿ
n“0
anqpxnqest majoré par `.
Soit ε ą0. On considère la fonctionhptq “ qptq ´t
tp1´tq pour tPs0,1r.
a) Montrer que l’on peut prolonger h par continuité en 0 et en 1. Quel est le seul point de discontinuité de h (sur r0,1s) ?
b) Justifier l’existence d’un polynôme H vérifiant H ěh surs0,1r et ż1
0
´
Hptq ´hptq
¯
dtďε.
Soit P le polynômePpXq “X`Xp1´XqHpXq. Noter que P ěq surr0,1s.
c) On pose Φptq “ Pptq ´qptq
p1´tq pourt Ps0,1r.
(i) Montrer que, pour toutxPs0,1r, on a
`8
ÿ
n“0
anqpxnq ´
`8
ÿ
n“0
anPpxnq ď Cp1´xq
`8
ÿ
n“1
Φpxnq.
(ii) Montrer que lim
xÑ1´p1´xq
`8
ÿ
n“1
Φpxnq existe et vaut ż1
0
1
tΦptqdtďε.
d) Conclure.
3) Montrer que de même on a lim inf
xÑ1´
`8
ÿ
n“0
anqpxnq ě` et conclure.
6 Séries de Fourier
Exercice 6.1
Dans tout cet exercice les fonctions sont 2π-périodiques.
Développer en série de Fourier les fonctions f suivantes définies par : 1) fpxq “ cosp2xqpour xPR.
2) fpxq “ xpour xPs ´π, πs.
3) fpxq “ ´1 pourxPs ´π,0s et fpxq “ `1 pourxPs0, πs.
4) fpxq “ |x| pour xP r´π, πs.
5) fpxq “ x2 pourxP r´π, πs.
6) fpxq “ x2 pourxPs0,2πs.
En déduire les valeurs de ÿ
ně0
1 p2n`1q2
ÿ
ně1
1 n2
ÿ
ně0
1 p2n`1q4
ÿ
ně1
1 n4¨ Exercice 6.2
Soient a PRzZet fptq “exppiatq pourt P r´π, πr, prolongée par 2π-périodicité.
Calculer les coefficients de Fourier de f puis montrer que πcotanpπaq “ 1
a `
8
ÿ
n“1
2a a2´n2¨ En faisant un D.L. en a“0 à l’ordre 3 de cotanpπaq ´ 1
πa, en déduire les sommes ÿ
ně1
1 n2
ÿ
ně1
1 n4¨ Exercice 6.3
Développer en série de Fourier la fonction 2π-périodique tÞÑ |sinptq|. Exercice 6.4
Soient f la fonction 2π-périodique qui coincide avec la fonction indicatrice de r´1,1s surr´π, πr.
1) Développer f en série de Fourier.
2) En déduire la convergence et les valeurs de ÿ
ně1
sinpnq n
ÿ
ně1
˜ sinpnq
n
¸2
Exercice 6.5
Justifier que pour tout n P Z et toute fonction h continue par morceaux et 2π- périodique, on a
ˇ ˇphpnqˇ
ˇď ż2π
0
|hpxq|dx 2π ď
´ż2π 0
|hpxq|2 dx 2π
¯1{2
.
Exercice 6.6
Soient f etg continues par morceaux et 2π-périodiques.
On veut montrer que fz˚gpnq “fppnq.pgpnq pour toutn PZ. 1) Le montrer lorsque g est un polynôme trigonométrique.
2) Conclure.
Exercice 6.7
Soient f etg continues sur R et2π-périodiques. On veut montrer que
nÑ`8lim ż2π
0
fpxqgpnxqdx 2π “
˜ż2π
0
fpxqdx 2π
¸ .
˜ż2π
0
gpxqdx 2π
¸
1) Établir le résultat pour g polynôme trigonométrique.
2) Conclure.
Exercice 6.8
Inégalité de Bernstein. Soit P un polynôme trigonométrique de degré N ě1. On veut montrer que
sup
xPR
ˇˇP1pxqˇ
ˇďNsup
xPR
ˇˇPpxqˇ ˇ.
On écrit P “
N
ÿ
k“´N
ckek. 1) Soit Fptq “ P`πt
2N
˘ où t P R. Quelle inégalité cherche-t-on à montrer en terme de F etF1?
2) On considère la fonction triangle ∆définie par ∆pxq “x pourxP ‰
´π{2,`π{2‰ , par ∆pxq “π´x pour xP‰
`π{2,`3π{2‰
et qui est 2π-périodique.
a) Développer ∆en série de Fourier.
b) Justifier que pour tout k PZ avec |k| ďN, on a kπ
2N “ lim
mÑ`8 m
ÿ
n“´m
∆ppnqen
´πk 2N
¯
3) En déduire que sup
tPR
ˇˇF1ptqˇ
ˇďMsup
tPR
ˇˇFptqˇ
ˇavec M “ lim
mÑ`8 m
ÿ
n“´m
ˇ ˇ p∆pnqˇ
ˇ.
4) Conclure
Exercice 6.9
Théorème de Bernstein. Soit f une fonction Höldérienne d’ordre α avec α ą 1{2 i.e.
sup
!|fpxq ´fpyq|
|x´y|α ; x‰y )
ă 8.
1) En notant fxptq “ fpx`tqoùx, t PR, calculerfpxpnqen fonction defˆpnqpour tout nP Z.
2) On veut montrer qu’il existe C ą0 tel que pour toutj PN, on a C2´2jα ě
ÿ
2j`1ď|n|ď2j`1
|fˆpnq|2.
a) Soit xPR. (i) Exprimer
żπ
´π
ˇ
ˇfxptq ´fptqˇ ˇ
2dt à l’aide des coefficients de Fourier de f. (ii) En utilisant la propriété Höldérienne def, montrer qu’il existecą0tel que pour toutj PN
c.x2α ě ÿ
2j`1ď|n|ď2j`1
|fpnq|ˆ 2sin2` nx{2˘
.
b) Conclure en choisissant judicieusement une valeur de x dans la question a.
3) Montrer que les séries de terme général ˇ ˇfˆpnqˇ
ˇ et ˇ
ˇfˆp´nqˇ
ˇ convergent.
Exercice 6.10
Inégalité isopérimétrique. Soit Γ un arc de Jordan dans C de classe C1 par mor- ceaux (continue fermée sans point double) et de longueur L enfermant une surface d’aire S.
Alors on veut montrer que
L2 ě4πS
et que l’on a égalité uniquement dans le cas d’un cercle.
On peut supposer L “ 2π (pourquoi ?) et on paramètre Γ par l’abscisse curviligne s (donc Γ“ tpxpsq, ypsqq|s P r0,2πsu). On peut aussi supposer xp0q “ˆ 0 (pourquoi ?).
a) Exprimer S et L(“ 2π) en fonction de d’intégrales simples de la variable s (on pourra utiliser la formule de Green-Riemann pour exprimer S).
b) Etablir l’inégalité d’Hürwitz : soit f une fonction de classe C1 surr0,2πs à valeurs complexes. Alors
1 2π
ż2π 0
|fpxq|2dx´ ˇ ˇ ˇ
1 2π
ż2π 0
fpxqdx ˇ ˇ ˇ
2
ď 1 2π
ż2π 0
|f1pxq|2dx.
On étudiera le cas d’égalité.
c) Conclure (Indication : on minorera L2´4πS par 0 en étudiant le cas d’égalité).
Exercice 6.11
Equation de la chaleur (cas d’une barre finie). On considère une fonction h C1 surr0, πs. On cherche à trouver u, définie sur r0, πs ˆR` etC8 surr0, πsˆs0,`8r, telle que
up0, tq “upπ, tq “0 pourt ě0 upx,0q “ hpxq pour xPs0, πr Bu
Bt ´ B2u
Bx2 “0 dans s0, πrˆs0,`8r.
1) On va d’abord montrer que les solutions à variables séparées : upx, tq “fpxqgptqde l’équation de la chaleur Bu
Bt ´B2u
Bx2 “0dans s0, πrˆs0,`8ravecup0, tq “upπ, tq “ 0pour tą0 sont de la forme
unpx, tq “ cnsinpnxq.e´n2t oùn ě1 et cn PR.
On suppose que un’est pas identiquement nulle (la fonction nulle est clairement solu- tion ici).
a) Justifier que les fonctions f et g sont chacune solutions d’une équation différen- tielle : f2 “λf etg1 “λg où λ est un réel.
b) Résoudre ces équations différentielles et exploiter up0, tq “ upπ, tq “ 0 pour justifier la forme de λ.
2) Résoudre le problème de la chaleur. Indication : on “prolongera” d’une part h en une fonction impaire 2π-périodique sur R. D’autre part, on utilisera la méthode de su- perposition, i.e. on sommera la famille de solutions obtenues au a. Ainsi on cherche une solution sous la forme
`8
ÿ
n“1
cnsinpnxq.e´n2t
3) Pour xPs0, πr, montrer que lim
tÑ0`upx, tq “hpxq et que lim
tÑ`8upx, tq “ 0.
7 Intégrales doubles
Exercice 7.1
Dessiner le domaine D puis calculer les intégrales doubles suivantes : 1)
ij
D
xy dxdy avec D “ px, yq PR2|x, y ě0etx`yď1( . 2)
ij
D
x2 dxdy avec D “
!
px, yq PR2| x2 a2 ` y2
b2 ď1 )
; avec a, bą0.
3) ij
D
|x´y|dxdy avec D “ px, yq PR2| |x| ď1et|y| ď1( . 4)
ij
D
x
a1`x2`y2 dxdy avec D “ px, yq PR2|y2 ď2xet0ďxď2( .
Exercice 7.2
On veut calculer l’aire de la fenêtre de Viviani, c’est à dire la surface obtenue comme intersection de la sphère unité (de R3) et du cylindre d’équation x2`y2´xď0.
On rappelle (i.e. on admet) que l’aire de la surface donnée par l’ensemble des points M tels que ÝÝÑ
OM “f~pθ, ϕq, où pθ, ϕq PD est ij
D
›
›
›
› Bf~ Bθ ^ Bf~
Bϕ
›
›
›
› dθdϕ.
a) Montrer qu’une paramétrisation de la demi-fenêtre située au dessus du plan z “0, est donnée par
fpθ, ϕq “~
¨
˝
cospθqcospϕq sinpθqcospϕq
sinpϕq
˛
‚
avec les conditions 0ď |θ| ďϕď π 2¨ b) Conclure.
Exercice 7.3
Calculer les intégrales doubles suivantes (on pourra éventuellement effectuer un chan- gement de variable).
1) ij
D
xypx2´y2q
?1´x2 dxdy où D est le quart nord-est du disque unité.
2) ij
D
px2 `y2q dxdy où D “
!
px, yq P R2| x ě 0 y2 `2x ď 1 )
. (on pourra raisonner directement avec Fubini, ou faire un changement de variable)
3) ij
D
xy
“1` px2`y2q‰2 dxdy où D est l’intérieur de la cardioide d’équation polaire r“a`
1`cos` θq˘
(aveca ą0).
4) ij
D
px2`y2qdxdy oùD “
!
px, yq PR2| x2 a2 `y2
b2 ď1 )
; avec a, bą0.
5) ij
D
px`yqdxdy oùD “
!
px, yq PR2|xą0, x2 ďyď2x2; 1ďxyď2 )
. (on pourra faire un changement de variablepx, yq PD ÞÑ py{x2, xyq dont on précisera l’image)
6) ij
D
exp
´x3`y3 xy
¯
dxdy où D “
!
px, yq P R2| y2 ď 2px , x2 ď 2py )
(avec pą0).
(on pourra faire un changement de variable px, yq P D ÞÑ px2{y;y2{xq dont on précisera l’image)
Exercice 7.4
En utilisant la formule de Green-Riemann, calculer l’aire de la surface délimitée par les courbes (fermées) suivantes :
1) L’astroïde : tP r0,2πs ÞÝÑ
´
acos3ptq, asin3ptq
¯
, avec aą0.
2) La cardioide d’équation polaire r“a`
1`cospθq˘
, avec aą0.
3) La boucle du folium de Descartes d’équation polaire r“ 3asinpθqcospθq sin3pθq `cos3pθq¨ Indication : on pourra poser t “tanpθq dans l’intégrale intervenant dans le calcul
