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i) La chaîne de Markov comporte combien de classes et quelles sont- elles?;

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Academic year: 2022

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(1)

Les chaînes de Markov Exercices solutionnés

Geneviève Gauthier

dernière mise à jour : 16 octobre 2000

Problème 1 (30 points). À partir des trois graphes de transition suiv- ants, reconstituez les chaînes de Markov qui leur sont associées (espace d’états et matrice de transition). Pour chacune de ces chaînes de Markov, faites-en l’analyse en répondant aux questions suivantes:

i) La chaîne de Markov comporte combien de classes et quelles sont- elles?;

ii) Quelles sont les caractéristiques de chacune de ces classes (stable ou instable, absorbante, récurrente ou transitoire, la période)?;

iii) Existe-t-il une loi stationnaire? Si oui, qu’elle est-elle? Sinon, pourquoi?

iv) Déterminez, s’il y a lieu, les probabilités d’absorbtion dans les classes stables.

v) Déterminez, s’il y a lieu, les temps moyens d’absorbtion dans les classes stables.

x 1 x 2

x 3

x 4

(2)

x 1 x 2

x 3 x 4

0,5 0,5

x 3

x 1 x 2

x 4

0,75

0,25

0,75

0,25

(3)

1 Premier graphe de transition

1.1 Classi…cation des états

E X = f x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 g et P X = 0 B B

@

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0

1 C C A :

Il n’y a qu’une seule classe forcément stable et récurrente. Par conséquent, tous les états de la chaîne ont même période, soit

d(1) = P GCD f n 2 f 1; 2; ::: g : ( P X n ) 11 > 0 g = P GCD f 4; 8; 12; 16; ::: g = 4:

1.2 Loi stationnaire

Résolvant le système P

0

I ! = ! 0 en y ajoutant la contrainte 1 + 2 +

3 + 4 = 1, nous obtenons 0

B B B B

@

1 0 0 1

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

1 1 1 1

1 C C C C A

0 B B

@

1 2 3 4

1 C C A =

0 B B B B

@ 0 0 0 0 1

1 C C C C A )

0 B B

@

1 2 3 4

1 C C A =

0 B B B @

1 4 1 4 1 4 1 4

1 C C C A :

Comme la chaîne n’est pas apériodique, nous savons que la loi de X n ne converge pas vers la distribution stationnaire lorsque n croît vers l’in…ni où X n représente l’état dans lequel se trouve la chaîne à la n ième étape.

1.3 Probabilités d’absorption

Comme il existe une seule classe et que cette dernière est stable alors le calcul

des probabilités d’absorbtion ne présente aucun intérêt puisque la probabilité

d’être absorbé dans cette unique classe, partant de n’importe quel état, est

de 1.

(4)

2 Deuxieme graphe de transition

2.1 Classi…cation des états

E X = f x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 g et P X = 0 B B

@

1 2

1

2 0 0

0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0

1 C C A :

Il n’y a qu’une seule classe forcément stable et récurrente. Par conséquent, tous les états de la chaîne ont même période, soit

d(1) = P GCD f n 2 f 1; 2; ::: g : ( P X n ) 11 > 0 g = P GCD f 1; 2; 3; 4; ::: g = 1:

2.2 Loi stationnaire

Résolvant le système P

0

I ! = ! 0 en y ajoutant la contrainte 1 + 2 +

3 + 4 = 1, nous obtenons 0

B B B B

@

1

2 0 0 1

1

2 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

1 1 1 1

1 C C C C A

0 B B

@

1 2 3 4

1 C C A =

0 B B B B

@ 0 0 0 0 1

1 C C C C A )

0 B B

@

1 2 3 4

1 C C A =

0 B B B @

2 5 1 5 1 5 1 5

1 C C C A :

Comme la chaîne st irréductible et apériodique, nous savons que la loi de X n converge vers la distribution stationnaire lorsque n croît vers l’in…ni où X n représente l’état dans lequel se trouve la chaîne à la n ième étape.

2.3 Probabilités d’absoption

Comme il existe une seule classe et que cette dernière est stable alors le calcul

des probabilités d’absorbtion ne présente aucun intérêt puisque la probabilité

d’être absorbé dans cette unique classe, partant de n’importe quel état, est

de 1.

(5)

3 Troisieme graphe de transition

3.1 Classi…cation des états

E X = f x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 g et P X = 0 B B B B

@

0 1 4 0 3 4 0 1 0 0 0 1 4 0 3 4 0 0 0 1

1 C C C C A :

Il y a quatre classes

f x 1 g instable transitoire d (1) = 0 f x 2 g stable absorbante donc récurrente d (2) = 1 f x 3 g instable transitoire d (3) = 0 f x 4 g stable absorbante donc récurrente d (4) = 1

3.2 Loi stationnaire

Résolvant le système P

0

I ! = ! 0 en y ajoutant la contrainte 1 + 2 +

3 + 4 = 1, nous obtenons 0

B B B B

@

1 0 0 0

1

4 0 1 4 0

0 0 1 0

3

4 0 3 4 0

1 1 1 1 1 C C C C A

0 B B

@

1 2 3 4

1 C C A =

0 B B B B

@ 0 0 0 0 1

1 C C C C A )

0 B B

@

1 2 3 4

1 C C A =

0 B B

@ 0 1 a

0 a

1 C C A

où la contrainte 8 i 2 f 1; 2; 3; 4 g ; i 0 entraîne que 0 a 1. Il existe

donc une in…nité de distributions stationnaires. Comme la chaîne n’est pas

irréductible, nous savons que la loi de X n ne converge pas vers la distribution

stationnaire lorsque n croît vers l’in…ni où X n représente l’état dans lequel

se trouve la chaîne à la n ième étape.

(6)

3.3 Probabilités d’absorptions

Les probabilités d’absorbtion semblent beaucoup plus intéressantes dans ce cas-ci. Posons

i = P [la chaîne est éventuellement absorbée en x 2 j X 0 = x i ] :

Évidemment, 2 = 1 et 4 = 0. Il est aussi clair que 1 = 1 4 et 3 = 1 4 : E¤ectuons tout de même le calcul: résolvant le système (P I) ! = ! 0 auquel nous ajoutons les deux contraintes 2 = 1 et 4 = 0, nous obtenons

0 B B B B B B B B

@

1 1 4 0 3 4 0 0 0 0 0 1 4 1 3 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

1 C C C C C C C C A

0 B B

@

1 2 3 3

1 C C A =

0 B B B B B B

@ 0 0 0 0 1 0

1 C C C C C C A

) 0 B B

@

1 2 3 3

1 C C A =

0 B B B @

1 4

1

1 4

0 1 C C C A :

Posons

i = P [la chaîne est éventuellement absorbée en x 4 j X 0 = x i ] :

Évidemment, 2 = 0 et 4 = 1. Il est aussi clair que 1 = 3 4 et 3 = 3 4 : E¤ectuons tout de même le calcul: résolvant le système (P I) ! = ! 0 auquel nous ajoutons les deux contraintes 2 = 0 et 4 = 1, nous obtenons

0 B B B B B B B B

@

1 1 4 0 3 4 0 0 0 0 0 1 4 1 3 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

1 C C C C C C C C A

0 B B

@

1 2 3 3

1 C C A =

0 B B B B B B

@ 0 0 0 0 0 1

1 C C C C C C A

) 0 B B

@

1 2 3 3

1 C C A =

0 B B B @

3 4

0

3 4

1 1 C C C A :

3.4 Temps moyens d’absorption

Déterminons maintenant les temps moyen d’absorption. Puisque x 2 et x 4

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