MT 28 - Printemps 2014
Examen du 26 juin 2014: 8h00-10h00
1. On consid`ere une ligne ´electrique constitu´ee d’une r´ep´etition de cellules (xi, xi+1) de longueur h comprenant chacune une inductance L h et une capacit´e C hcomme sur le sch´ema o`u L et C sont deux constantes positives. Les inductances sont reli´ees entre elles en s´erie et chaque capacit´e est plac´ee entre un noeudxi du circuit et la masse. Dans une section (xi, xi+1) la tension d’entr´ee est Vh(xi, t) et la tension de sortie est Vh(xi+1, t) o`u t repr´esente la variable de temps. Les courants entrants et sortants au noeudxisontIh(xi, t) etIh(xi+1, t). La chute de tension ∆V(xi, t) =Vh(xi, t)−Vh(xi+1, t) dans l’inductance est proportionnelle `a la d´eriv´ee temporelle du courant, ∆V(xi, t) =Lh∂Ih(xi, t)
∂t et
le courantIC circulant `a travers la capacit´e reli´e enxi est proportionnel `a la d´eriv´ee temporelle de la tension IC(xi, t) =Ch∂Vh(xi, t)
∂t .Enfin, la loi de Kirchhoff des courants au noeud xi (la somme des courants est nulle) s’´ecritIh(xi, t)−IC(xi, t)−Ih(xi+1, t) = 0.
1.a. Etablir les deux ´equations aux d´eriv´ees partielles v´erifi´ees par les limites V(x, t) et I(x, t) de Vh(x, t) et Ih(x, t) obtenues lorsque la taille h des cellules tend vers z´ero,
∂V(x, t)
∂x =−L∂I(x, t)
∂t et ∂I(x, t)
∂x =−C∂V(x, t)
∂t .
1.b. En d´eduire l’´equation, dite des t´el´egraphistes (´equation de la propagation dans des cables intro- duite lors de la cr´eation du t´el´egraphe), v´erifi´ee par la tension V(x, t),
LC∂2V(x, t)
∂t2 − ∂2V(x, t)
∂x2 = 0. (1)
Dans la suite, on pose LC = 1, on consid`ere que l’´equation des t´el´egraphistes est pos´ee dans les intervallesx∈(0,1) ett∈(0,1) avec conditions aux limites sur la tension
V(0, t) =V(1, t) = 0. (2)
On adjoint ´egalement les conditions initiales
V(x,0) =V0(x) et ∂V(x,0)
∂t =V1(x) (3)
o`uV0 et V1 sont deux fonctions donn´ees d´efinies sur (0,1).
2. Quel est le type de l’´equation des t´el´egraphistes (bien justifier votre r´eponse)?
3. On utilise la m´ethode des variables s´epar´ees en posantV(x, t) =u(x)w(t) pour d´eterminer la solu- tion g´en´erale de l’´equation des t´el´egraphistes munie des conditions aux limites (on ne tient pas compte des conditions initiales).
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3.a. Montrer queu etw sont solutions des ´equations d2w
dt2 (t) =−k2w(t) pourt∈(0,1) et d2u
dx2(x) =−k2u(x) pour x∈(0,1) pour n’importe quel nombrek.
3.b. Calculer toutes les solutions possibles u en tenant compte des conditions aux limites.
3.c. En d´eduire la solution g´en´eralew et finalement toutes les solutionsV de (1-2).
On consid`ere la formulation variationnelle V(t, .)∈ V,
∫ 1
0
∂2V(x, t)
∂t2 w(x) + ∂V(x, t)
∂x
∂w(x)
∂x dx= 0 pour chaquet∈(0,1) pour toutw∈ V ={v∈H1(0,1)|v(0) =v(1) = 0}.
4. Montrer que le probl`eme aux limites (1-2) implique la formulation variationnelle.
Dans la suite, on proc`ede `a une discr´etisation par la m´ethode des diff´erences finies. Pour cela, on choisit de l’effectuer sur le syst`eme des ´equations satisfaites par le couple (I, V),
∂I(x, t)
∂t +∂V(x, t)
∂x = 0 et ∂V(x, t)
∂t +∂I(x, t)
∂x = 0 pourx∈(0,1) ett∈(0,1).
5. Montrer que ce syst`eme s’´ecrit sous la forme d’un syst`eme
∂U(x, t)
∂t +A∂U(x, t)
∂x = 0 o`u U = ( I
V )
etA=
( 0 1 1 0
) .
6. On propose d’appliquer le sch´ema de Lax-Friedrichs avec les pas de temps et pas d’espace ∆t et
∆x et avec la notation Ujn pour l’approximation deU(n∆x, j∆t) : Ujn+1−12(Uj+1n +Ujn−1)
∆t +AUj+1n −Ujn−1
2∆x = 0.
6.a. Montrer que U(xj, tn+1)−12(U(xj+1, tn) +U(xj−1, tn))
∆t est une approximation consistante de
∂U(xj, tn)
∂t et calculer l’ordre de consistance.
6.b. En d´eduire que le sch´ema est consistant `a condition que le rappport ∆x2
∆t tende vers 0 lorsque
∆t et ∆x tendent vers 0.
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