Exercices : 01 - ´Electricit´e - ´Electronique

Exercices : 01 - ´ Electricit´ e - ´ Electronique

A. R´ egime lin´ eaire

1. Electrocin´´ etique et sym´etries

Les circuits de la figure 1 sont r´ealis´es `a l’aide de g´en´erateur id´eaux de femE (de taille infiniment petite) et d’un fil r´esistif identique en tout endroit. Toutes les intersections repr´esent´ees par un point sont des nœuds. La r´esistance de la portionOB est r.

b b b

A O B

E

b b b

bb

A O B

C

D

E

E

b b b

bb

A O B

C

D

E

E E

E

(a) (b) (c)

Figure1 – Sym´etries...

1. Dans le cas de la figure 1(a), calculer l’intensit´eIAB qui circule dans le conducteur diam´etralAB. a)IAB = π

2π+ 3 E

r b)IAB = 1 π+ 4

E

r c)IAB =8π 3

E

r d)IAB = 4 2 +π

E r 2. Dans le cas de la figure 1(b), calculer les intensit´es IAD etIDB.

a)IAD = 2 π+ 4

E

r b)IAD= 2 π+ 2

E

r c)IDB= 0 d)IDB =π 2

E r 3. Dans le cas de la figure 1(c), calculer les intensit´esIAD et IDO.

a)IAD = 2 π+ 4

E

r b)IAD= 2 π+ 2

E

r c)IDO= 2 π+ 2

E

r d)IDO = 4 π+ 4

E r Correcteurs : GC01

2. Mod`ele ´equivalent Th´evenin

On consid`ere le circuit de la figure 2. L’objectif est de donner de la portion comprise entre les points A et B un mod`eleTh´evenin´equivalent afin de d´eterminer la tension aux bornes de la r´esistance d’utilisationRuainsi que le courant qui la traverse.

1. Le circuit propos´e pr´esente un g´en´erateur de courant d´ecrit par le mod`ele de Norton. Transformer ce g´en´erateur de courant en g´en´erateur de tension selon le mod`ele deTh´evenin.

2. Jouer avec les associations de g´en´erateurs et leurs transformations possibles pour donner un mod`ele Th´evenin´equivalent aux bornes deRu. On noteraET h etRT h ses deux caract´eristiques.

3. D´eterminer l’intensit´eiAB qui circule dans la r´esistanceRu.

4. Pour quelle valeur de la r´esistance d’utilisationRu, la puissance absorb´ee par cette r´esistance sera-t-elle maximale ?

5. Proposer une autre m´ethode permettant de caract´eriser le g´en´erateurTh´evenin´equivalent au circuit lin´eaireAB, Ru reste la charge qui est branch´ee au g´en´erateur ´equivalent.

Correcteurs : GC02 et GC03

bbb bb bbb

b bb

bbb

A Ru B

R

R

R

R E0

I0

Figure2 – Montage lin´eaire en continu

3. Alimentation d’un tramway

On ´etudie le montage de la figure 3. La ligneEF, de longueurL, a pour r´esistance totaleR: c’est le✭✭ feeder ✮✮. La ligneAB, ´egalement de longueurL, a une r´esistance totaleR: c’est la cat´enaire (fil de contact). Les sections AE et F B sont des ✭✭ shunts ✮✮, contacts de r´esistance n´egligeable, ainsi queSS^′, situ´e au milieu de la ligne (AS=SB et AS^′=S^′F).

Les longueursGD etAC sont ´egales, et repr´esentent la distance entre le tramway et la station d’alimentation

´electrique. On poseAB =GH =LetAC =xL(0< x <1). Les rails (pour leur partieGH de longueurL) ont une r´esistanceR3. L’intensit´eI circulant entreCet D est constante.

bb

Ua

bb

Ua

D G

F E

A _{b b}

b b

b bb

C S B

S^′

H Figure3 – Alimentation ´electrique d’un tramway

1. D´eterminerU(x) =VC−VD; quelle est la valeur minimaleUmindeU(x) ? 2. A.N. :Ua= 1 kV,I= 20 A,L= 2 km,R3= 20 Ω,R= 2 Ω. CalculerUmin.

3. D´eterminer, en fonction dex, le rendementη (rapport de la puissance consomm´ee dans le tramway `a la puissance consomm´ee globalement).

4. Calculer les valeurs extrˆemes du rendement, en fonction de la position du tramway sur la ligne.

Correcteurs : GC02 et GC03

4. Mesures en courant continu

La d´eformation d’une lame est mesur´ee par une jauge de contrainte, form´ee d’un fil conducteur. La r´esistance R(z, ϑ) de cette jauge du d´eplacement vertical z de la jauge et de la temp´erature ϑ, selon la loi g´en´erale R = R0[1 +αz+β(ϑ−ϑ0)], ϑ0 ´etant une temp´erature de r´ef´erence, et β(ϑ−ϑ0) ´etant du mˆeme ordre de grandeur queαz.

On dispose en fait deux jauges sous la lame, de sorte que pour celles-ci R+ et R^′₊ correspondent `a α=A >0 (la d´eformation de la lame provoque un allongement de la jauge), et deux autres jauges sur la lame, de sorte que pour celles-ciR− etR<sup>′</sup>− correspond `aα=−A <0 (la d´eformation de la lame provoque un raccourcissement de la jauge).β a la mˆeme valeur pour les quatre jauges.

1. Ces jauges sont branch´ees comme sur le sch´ema de la figure 4. Elles sont dipos´ees dans ce montage pour avoir une tension v maximale lorsque la lame est courb´ee. D´eterminer alors v quand une r´esistanceρ1

est branch´ee entreAetB. Quels sont alors les effets de la temp´erature sur la mesure dez?

2. La d´eformationz est en fait mesur´ee par un montage utilisant trois amplificateurs op´erationnels id´eaux (figure 5). Exprimervpuisv^′ et v^′′; commenter.

b b

b bb b

b b

R+ R⁻

R^′− R^′₊

b b

e v A

B

Figure 4 – Mesure passive de d´eformation

b b

b bb b

b b

bbb

jauges

bb b

+ -

b b

bbbb b

- +

b b

ρ1

ρ2

ρ2

b b

b b

ρ3

ρ3

bb b

+ -

bb

ρ4

bb b

ρ4

v v^′

v^′′

Figure5 – Mesure active de d´eformation Correcteurs : GC04

5. Prise de Terre

Afin de prot´eger une installation, on ajoute un fil de Terre (jaune et vert) reli´e `a une tige tr`es conductrice de forme cylindrique plant´ee sur une longueurLdans le sol ; le rayon de la tige estrT et la tige se termine par une h´emisph`ere. Voir le sch´ema de la figure 6.

Terre

rT

r dr

L

Figure6 – Sch´ema de la prise de Terre enfonc´ee dans le sol

1. Rappeler l’expression de la r´esistanceRb d’un barreau de sectionS, de longueurℓet de r´esistivit´eρ.

2. Justifier que la r´esistance du sol (de la Terre) peut s’exprimer par la relation : Rs=

Z ^∞

r_T

ρ S(r)dr

o`uρest la r´esistivit´e du sol,S(r) est l’aire lat´erale d’un cylindre de longueurLet de rayonrplus l’aire de l’h´emisph`ere de rayonr. Pr´eciser l’expression deS(r).

3. D´eterminer l’expression litt´erale de la r´esistance Rs. Effectuer l’application num´erique avec L = 3 m, ρ= 100 Ω·m etrT = 1 cm.

4. Le code de l’´electricit´e demande que la r´esistance de mise `a la Terre soit inf´erieure `a 25 Ω. La solution consiste `a placer plusieurs tiges en parall`ele toutes reli´ees par un cˆable ´electrique de r´esistance Rc. On obtient finalement le sch´ema de la figure 7.

b bbbb bbbb bbb

b

Rs

Rc

Rs

Rc

Rs

Rc

B A

Figure7 – Sch´ema ´equivalent aux diverses prises de Terre

Le cˆable poss`ede un diam`etreD= 8 mm, une conductivit´eσ= 6×10⁷S·m⁻¹ et une longueurd= 5 m.

D´eterminer la valeur deRc et comparer `aRs.

5. SiRn est la r´esistance de nblocs (Rc, Rs), ´etablir une relation de r´ecurrence entreRn+1 etRn. Lorsque n→ ∞, la r´esistanceAB tend vers une limite finie. D´eterminer l’expression de cette limite en fonction deRc et Rs. Commenter.

6. Circuit R−L et r´egime transitoire

On ´etudie le circuit repr´esent´e `a la figure 8. L’interrupteur est ferm´e `a la date t = 0. On donne R = 30 Ω, L= 300 mH etE= 15 V. Quelle est l’allure de la tension aux bornes de la bobine ?

bb

E

b bbb

b b

L R

Figure8 – CircuitR−L´etudi´e Proposition de r´eponses `a la figure 9.

0 t

15 V

b b

b

5 s (a)

0 t

0,5 V

b b

b

10 ms (b)

0 t

15 V

b b

b

5 s (c)

0 t

15 V

b b

b

10 ms (d)

Figure9 – R´egime transitoire de la tension aux bornes de la bobine Correcteurs : GC05

7. R´egime critique

On consid`ere le circuit repr´esent´e sur la figure 10.

L’interrupteur ´etant ouvert, les intensit´esi1 eti2sont nulles et le condensateur est d´echarg´e. On le ferme dans de telles conditions.

1. D´eterminer, presque sans calculs et en les justifiant, les valeurs dei1, i2,iet ujuste apr`es la fermeture de l’interrupteur.

2. Mˆeme question lorsqu’au bout d’un temps suffisamment long, le r´egime permanent est ´etabli.

3. ´Ecrire, sans le r´esoudre, le syst`eme d’´equations permettant d’obtenir l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la tensionu.

b bb b

bbb b b bb b

E

L R

C

i R

i1

i2

u

Figure10 – Recherche du r´egime critique

4. Voici quatre propositions pour l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la tensionudont une seule est correcte.

Toujours sans r´esoudre le syst`eme pr´ec´edent, expliquer pourquoi trois ´equations sont fausses et d´eterminer la bonne ´equation.

a) d²u dt² −

1 RC +R

L du

dt + 2u LC = E

LC b) d²u dt² +

1 RC +R

L du

dt + 2u LC = E

LC c) d²u

dt² + 1

RC +R L

du dt + u

LC = E

LC d) d²u dt² +

1 C +R²

L du

dt + 2u LC = E

LC

5. Quelle relation doit-il exister entreR,CetLpour que la solution de l’´equation diff´erentielle corresponde

`

a un r´egime critique ?

Pour la suite, on prendraC= 1,0µF etL= 20 mH.

6. D´eterminer la (les) valeur(s) deR correspondant au r´egime critique.

7. D´eterminer, en fonction du temps, l’expression compl`ete de la tensionu.

8. Donner une estimation du temps n´ecessaire pour que le r´egime permanent soit ´etabli dans le circuit (c’est

`a dire pour que la valeur deudiff`ere de moins de 1% de sa valeur finale).

Correcteurs : GC06

8. Principe du t´el´egraphe

Le premier t´el´egraphe a ´et´e mis au point par Charles Wheatstone en , puis am´elior´e par Samuel Morse. Le principe est d’envoyer une s´erie d’impulsions ´electriques longues (appel´ees traits) ou courtes (appel´ees points) dans une ligne ´electrique selon un code appel´e alphabet Morse. Le signal cod´e pour SOS est r´ealis´e de la fa¸con suivante :

— Le S est constitu´e de trois points et le O de trois traits.

— La dur´ee d’un trait est trois fois plus grande que celle d’un point.

— L’intervalle entre chaque point ou chaque trait codant pour la mˆeme lettre a la mˆeme dur´ee qu’un point.

— L’intervalle entre deux lettres a la mˆeme dur´ee que trois points, c’est-`a-dire qu’un trait.

Le signal SOS en alphabet Morse est repr´esent´e `a la figure 11.

t s(A, t)

0 δt

Figure11 – Message SOS en code Morse produit par la sourceAsitu´ee au d´ebut de la ligne

On note Lla longueur de la ligne t´el´egraphique entreA etB et δtla dur´ee d’un point. La c´el´erit´ec de l’onde dans la ligne est telle queL= 4cδt. Le t´el´egraphiste situ´e enAenvoie le SOS `a partir de la datet= 0, voir la figure 11. On suppose que l’onde dans la ligne t´el´egraphique est une onde progressive.

1. Exprimerτ le temps de propagation de l’onde deAenB en fonction deδt. Repr´esenter le signals(B, t) en fonction du temps.

2. Repr´esenter la forme de l’onde dans la ligne aux diff´erents instants suivants :t= 4δtett= 8δt

Correcteurs : GC07

9. TSF

La t´el´egraphie sans fil (TSF) est apparue au d´ebut du XX<sup>`eme</sup> si`ecle. Elle repose toujours sur le codage de l’alphabet Morse mais la transmission s’effectue par l’interm´ediaire d’ondes ´electromagn´etiques. Le principe consiste `a ´emettre une s´erie d’impulsions ´electromagn´etiques de dur´ees variables pour repr´esenter les traits et les points. Un ´emetteur courant de la TSF est l’´emetteur `a ondes amorties par excitation indirecte, voir la figure 12.

bb b bb bbb bb bb

E K

R i

u1 C1 C2 u2

ue

´eclateur

L antenne

Figure 12 – ´Emetteur `a ondes amorties par excitation indirecte

Lorsque le t´el´egraphiste veut ´emettre un signal, il appuie sur l’interrupteurK. Tant que la tensionueaux bornes de l’´eclateur reste inf´erieure `a une tension de claquageUE, l’´eclateur peut ˆetre assimil´e `a un interrupteur ouvert.

Lorsque la tensionued´epasser la tensionUEune ´etincelle apparaˆıt entre les deux bornes de l’´eclateur et celui-ci devient conducteur : on consid´erera qu’il se comporte alors comme un fil. La tension impos´ee par le g´en´erateur de tension continue est ´egale `a E > UE. La bobine d’inductance Lest suppos´ee id´eale. `A un instantt = 0, le t´el´egraphiste ferme l’interrupteur K. Les condensateurs de capacit´e C1 et C2 sont d´echarg´es pour t <0. On donneC1= 1,0µF,UE= 5,0 kV etE= 5,5 kV.

1. Que vaut la tensionueaux bornes de l’´eclateur juste apr`es la fermeture de l’interrupteur ? Montrer que l’´eclateur se comporte au d´epart comme un interrupteur ouvert.

2. D´eterminer l’expression de la tension u1(t) pour t > 0, tant que l’´eclateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

3. D´eterminer l’expression du tempst1`a partir duquel l’´eclateur se comporte comme un fil.

4. Toujours en admettant queK reste ferm´e, tracer l’allure eu1(t) pour 0≤t≤t1. 5. Sachant quet1= 2,50 ms, calculer la valeur de la r´esistanceR.

Lorsque l’´etincelle apparaˆıt au niveau de l’´eclateur, ce dernier se comporte comme un fil. Un transfert de charges quasi-instantan´e s’op`ere alors du condensateur de capacit´eC1 vers le condensateur de capacit´e C2, conduisant `a l’apparition d’une tensionu2=U0aux bornes du condensateur de capacit´eC2. Du fait de la bri`evet´e de cette phase, la bobine d’inductanceLpourra ˆetre assimil´ee `a un interrupteur ouvert.

6. La charge totale se conservant, d´eterminer l’expression deU0 en fonction deUE,C1et C2.

7. Sachant que C2 ≫ C1, montrer qu’on peut consid´erer que le condensateur de capacit´e C1 est quasi- int´egralement d´echarg´e `a l’issue de cette phase.

A l’issue de ce transfert de charges, l’´etincelle disparaˆıt et l’´eclateur se comporte `a nouveau comme un` interrupteur ouvert. On prend une nouvelle date origine des tempst^′ = 0, de telle sorte queu2(t^′= 0) = U0 eti(t^′= 0) = 0.

8. D´eterminer l’expression de la tensionu2(t) pourt^′>0 (et avant tout nouveau court-circuit de l’´eclateur, soitt^′ < t1), en n´egligeant la pr´esence de l’antenne. Pr´eciser l’expression de la p´eriodeT0des oscillations

´electriques.

Les oscillations ´electriques sont converties en une onde ´electromagn´etiques par l’antenne. Du fait de la conversion d’´energie ´electrique en ´energie ´electromagn´etique, l’amplitude des oscillations ´electriques diminue, jusqu’`a ˆetre nulle. On admettra que cette d´ecroissance se fait sur une dur´ee inf´erieure `a t1, et on approximera la pseudo-p´eriode des oscillations `a T0.

9. En supposant que les pertes par effetJoulesont n´egligeables, d´eterminer l’´energie transmise `a l’antenne Ean en fonction deC2et U0.

La r´ep´etition de ce cycle conduit alors `a l’´emission par l’antenne d’une s´erie d’ondes amorties, comme repr´esent´e sur la figure 13.

t s(t)

Figure13 – ´Emission par l’antenne de train d’ondes 10. Indiquer sur la figure 13 les dur´eest1 etT0. On justifiera.

11. Repr´esenter l’allure de la tension u1 au cours du temps sur plusieurs cycles en compl´etant la premier graphique r´ealis´e avant. On tiendra compte de la relation d’ordre entre les tensionsU0et UE.

12. `A chaque ´emetteur TSF, on alloue une fr´equence d’´emission, qui est ´egale `a la fr´equence des oscillations

´electriques du circuitLC2. Quels param`etres du circuit peut-on r´egler pour ´emettre `a la fr´equence allou´ee ? 13. `A la r´eception, le signal ´electromagn´etique est capt´e par une antenne qui convertit le signal ´electroma- gn´etique en un signal ´electrique proportionnel. `A la suite de traitements plus ou moins complexes selon le type de r´ecepteur, on obtient un nouveau signal que l’on convertit en signal acoustique de mˆeme fr´e- quence. Lorsqu’un signal est re¸cu, le t´el´egraphiste entend un son dont la dur´ee lui permet de distinguer les traits et les points de l’alphabet Morse, afin de reconstituer le message. Sachant que t1 = 2,50 ms, montrer que le t´el´egraphiste entend bien un son lors de la r´eception du signal.

Correcteurs : GC07

10. Ligne `a retard

Une✭✭ cellule `a retard ✮✮est repr´esent´ee sur la figure 14.

b bb bbbb

L/2 L/2

ue C us

ie is

Figure14 – Cellule `a retard

1. On branche `a l’entr´ee de la cellule un g´en´erateur de tension parfait sinuso¨ıdal et on laisse la sortie ouverte :

´etudier qualitativement le comportement de la tension de sortieus `a basse et haute fr´equence.

On branche `a l’entr´ee de la cellule un g´en´erateur de courant parfait sinuso¨ıdal et la sortie est court- circuit´ee : ´etudier qualitativement le comportement du courant de sortieis`a basse et haute fr´equence.

2. On se place dans le cas g´en´eral, pour des signaux harmoniques de pulsationω. Exprimer les relations donnant les grandeurs de sortieusetisen fonction des grandeurs d’entr´eeueetie. On mettra le r´esultat sous la forme

us

is

=

α β γ δ

ue

ie

. V´erifier alors les r´esultats de la premi`ere question.

3. Exprimer, sans calculs,ueetieen fonction deuset is.

4. On se place dans ce qui suit `a basse fr´equence : on se limitera aux termes d’ordre deux au maximum enω. Montrer qu’il existe une valeur particuli`ere deR telle que, si on branche la r´esistanceR en sortie du montage, alors le montage complet pr´esente une imp´edance apparenteR `a l’entr´ee. Exprimer R en fonction deLet C.On supposera dans ce qui suit queR est branch´ee `a la sortie du montage.

5. Montrer que le montage se comporte comme un d´ephaseur pour les grandeurs de sortieus et is, relati- vement aux grandeurs correspondantes `a l’entr´ee. Calculer le d´ephasageϕ(ω) correspondant.

6. On impose enfin `a l’entr´ee un signal de forme quelconque, mais dont les variations sont suffisamment lentes pour que la condition de basse fr´equence reste satisfaite. Montrer que le signal de sortie est identique au signal d’entr´ee, `a un retardτ pr`es, que l’on d´eterminera.

11. Comparaison de l’efficacit´e de deux filtres

On consid`ere le montage de la figure 15 dans lequel l’amplificateur op´erationnel est id´eal et fonctionne en r´egime lin´eaire. La tension d’entr´eee(t) est sinuso¨ıdale de pulsationω variable.

b bb bbb b

+

b bbb -

b b b

e(t) s(t)

R R

C1

C2

Figure15 – Filtre 1. D´eterminer sans calcul la nature du filtre.

2. D´eterminer le nombre minimal d’´equations n´ecessaires pour exprimerset fonction deedes imp´edances ou admittances des ´el´ements du circuit et pouvoir calculerT =s/e. ´Ecrire ces ´equations.

3. Pourquoi peut-on ´eliminer les expressions suivantes deT : T = jRC1ω

1−R²C1C2ω²+j2RC1ω T = 1

1−R²C1C2ω²+j2C1ω

T = 1

RC1ω(RC2ω+j2) T = 1

1−R²C1C2ω²+j2RC2ω 4. On aC2= 2C1. Montrer que|T|²= 1/(1 +x⁴) avecx=ω/ω0etω0= 1/(√

2RC1). Tracer le diagramme de Bode pour|T|². Superposer le diagramme de|T₁|²= 1/(1+x²). Quel est l’avantage de|T|par rapport

`a|T₁|? Correcteurs : GC08

12. D´emodulation de fr´equence

b bb b

b bbbbb b

+ -

b

ue

usD

Pour r´ealiser un d´emodulateur de fr´equence, on utilise le circuit de la figure ci-contre. La tensionueest sinuso¨ıdale.

Les trois r´esistances ont mˆeme valeurRD, la capacit´e a pour valeurCDet la pulsationω du signalue est voisine deω0, avecω0RDCD= 1.

On poseraω=ω0+ ∆ω; on noteraϕ(ω) la phase deusD relativement `aue. 1. D´eterminer la fonction de transfert du r´eseau.

2. Donner une expression approch´ee de la phaseϕ(∆ω).

3. Proposer un montage permettant d’obtenir la tensionu(t) =ue(t)−usD(t).

4. Montrer que l’application d’un montage✭✭ d´etecteur de crˆete ✮✮(c’est-`a-dire fournissant la valeur instan- tan´ee de l’amplitude d’un signal rapidement variable) `a la tensionu(t) r´ealise une mesure de ∆ω.

Correcteurs : GC09

13. Oscillateur

Le r´eseau de la figure 16 ne d´ebite pas de courant.

1. D´eterminer la fonction de transfert ¯H = u¯2

¯ u1

; donner l’allure du diagramme de Bode asymptotique correspondant (en gain et en phase).

2. La r´esolution num´erique de l’´equation 1 + 5x+ 6x²+x³ = 0 fournit les trois solutions x1 = −5,049, x2 =−0,643 et x3 =−0,308. On impose `a l’entr´ee du dispositif un ´echelon de tension (u1(t) est nul pourt60, et constant ´egal `a E0>0 pourt >0). D´eterminer la forme deu2(t).

3. Comment r´ealiser un montage ´electronique qui :

— pr´esente pour tension d’entr´ee ¯ue= ¯u2;

b b

C

bb

R

b b

C

bb

R

b b

C

bb

R i= 0

¯

u1 u¯2

Figure16 – Circuit `a trois cellulesR, C

— pr´esente pour tension de sortie ¯us= ¯u1;

— assure l’absence de courant en sortie du montage de la figure 16 ;

— pr´esente un gain en tensionk <0, ind´ependant deω.

4. Montrer que le syst`eme ainsi boucl´e peut r´ealiser un oscillateur sinuso¨ıdal spontan´e pourk=k0=−29.

Quelle est la fr´equence d’oscillation ? Correcteurs : GC10

14. Caract´erisation d’une imp´edance

On cherche `a d´eterminer une imp´edance inconnueZ =A(ω) +jB(ω). Le circuit de la figure 17 est aliment´e par le signale(t) =E0cosωt. L’amplificateur op´erationnel utilis´e est suppos´e id´eal et fonctionne de mani`ere lin´eaire.

Dans ces conditions, les courants des entr´ees inverseuse−et non inverseuse + sont nuls, et les potentiels de ces entr´ees sont ´egaux. Le courant de sortie inconnu est non nul.

b bb b

bb b

+ -

b b b bbbb

R Z

R1

C1

e(t)

v(t) u(t) s(t)

Figure17 – Montage permettant la caract´erisation de la partie r´eelle de Z

1. D´eterminer l’expression r´eelle de la tensionv(t).

2. Le multiplieur re¸coit deux tensione1(t) et e2(t) et renvoie une tensionm(t) =ke1(t)e2(t). D´eterminer l’expression de la tensionu(t), les calculs seront conduits en r´eels.

3. D´eterminer une condition surR1etC1pour d´eterminerA(ω) grˆace au signal de sorties(t). On donnera l’expression des(t) dans ces conditions.

4. Que peut-on envisager de faire pour d´eterminerB(ω) ? Correcteurs : GC11

B. Puissance

15. Conducteur ohmique

On consid`ere un bloc parall´el´epip´edique d’argent, de section a×b, de conductivit´eγ. Il est parcouru par un courant d’intensit´e continu I = 5,0 mA. On a a = 2,0 mm et b = 1,0 cm. On fournit les valeurs num´eriques suivantes :

Masse molaire de l’argent MAg= 108 g·mol⁻¹ Masse volumique de l’argent µAg= 9,3×10³kg·m⁻³ Conductivit´e ´electrique de l’argent γ= 6,3×10⁷S·m⁻¹ Charge ´el´ementaire e= 1,6×10⁻¹⁹C Masse de l’´electron me= 9,1×10⁻³¹kg Constante d’Avogadro NA= 6,01×10²³mol⁻¹

1. D´eterminer la densit´e volumique de courant~j.

2. D´eterminer la densit´e volumique de charges libres ρl en sachant qu’il y a un ´electron libre par atome d’argent.

3. D´eterminer la vitesse moyennevl des charges libres.

4. D´eterminer le champ ´electriqueE~ responsable du passage du courant.

5. D´eterminer la densit´e volumique de puissanceJouledissip´ee dans le conducteur.

Correcteurs : GC12

16. Adaptation d’imp´edance

Un g´en´erateur d’imp´edance interne Z_g = Rg+jXg, d´elivrant une fem sinuso¨ıdale e(t) = E0

√2 cosωt est connect´e aux bornes d’une charge d’imp´edanceZ_u=Ru+jXu. L’admittanceY_u correspondant `a l’imp´edance Z_u est not´eeY_u=Gu+jHu.

1. Calculer l’intensit´e efficaceIqui circule dans le circuit.

2. Calculer la puissance moyennePu absorb´ee sur une p´eriode par l’imp´edance de chargeZu. 3. Exprimer la puissance moyennePuen fonction de Ru etI.

4. D´eterminer les relations qui existent entreRu,Xu, Rg et Xg pour quePu soit maximale. On dit alors qu’il y aadaptation d’imp´edance.

Correcteurs : GC12

17. Alimentation d’un moteur

On consid`ere un g´en´erateur de tension sinuso¨ıdale de valeur efficaceE0= 12 V et de r´esistance interneRg= 50 Ω.

Ce g´en´erateur fonctionne `a la fr´equence f = 50 Hz. Il alimente un petit moteur ´electrique dont le mod`ele est constitu´e d’une r´esistance interner= 10 Ω en s´erie avec une bobine id´eale de coefficient d’autoinductanceLtel queLω=L2πf = 30 Ω.

1. Repr´esenter le circuit ´electrique correspondant au montage d´ecrit.

2. D´eterminer litt´eralement et num´eriquement l’imp´edanceZ_m du moteur. En d´eduire le d´ephasage entre le courant traversant le moteur et la tension `a ses bornes.

3. D´eterminer la puissance moyenne consomm´ee par le moteur.

4. D´eterminer la puissance moyenne d´elivr´ee par la source id´eale de tension. En d´eduire le rendement du transfert de puissance entre le g´en´erateur id´eal de tension et le moteur.

Correcteurs : GC12

18. Etude d’un s´´ echoir ´electrique

Un s´echoir ´electrique est mod´elis´e par la mise en parall`ele d’une r´esistance chauffanteR, r´eglable et d’un moteur de soufflerie, mod´elis´e par une bobine d’inductance propreLet de r´esistancerinvariables.

L’appareil pr´esente quatre ´etats possibles de fonctionnement, soufflerie `a froid (F) si R n’est pas branch´ee ou bien, selon la valeur de la r´esistance branch´ee, chauffage mod´er´e (I), moyen (II) ou fort (III).

L’ensemble est aliment´e en courant industriel alternatif (220 V, 50 Hz). On branche `a l’entr´ee de l’appareil un dispositif permettant de mesurer le d´ephasageϕ entre la tension d’alimentation et le courant qui traverse l’ensemble.

La puissance totale consomm´ee par l’appareil est indiqu´ee par le constructeur ; elle figure dans le tableau ci- dessous, en mˆeme temps que le d´ephasage mesur´e.η mesure le rapport des puissances utilis´ees au chauffage et

`a la propulsion de l’air.

Mode F I II III

Puissance 476 W 1 000 W 2 000 W 3 000 W

|ϕ| 0,81 rad 0,61 rad

η 0

1. D´eterminer l’admittance complexeY du moteur de la soufflerie. En d´eduirer etL.

2. Compl´eter le tableau ci-dessus.

3. Commenter les valeurs num´eriques de cosϕ. Pourquoi faudrait-il augmenter cette valeur ? Comment r´ealiser cette augmentation sans consommer plus de puissance ?

b b bb

iD

uD

b

e(t) C s(t)

t e(t)

Figure18 – D´etecteur de crˆete Correcteurs : GC13

C. R´ egime non lin´ eaire

19. D´etecteur de crˆete

On consid`ere le montage de la figure 18 compos´e d’une diode suppos´ee id´eale et d’un condensateur parfait de capacit´eC= 1µF.

1. `A la date t = 0, le condensateur est d´echarg´e, il re¸coit alors le signale(t) repr´esent´e sur la figure 18.

Repr´esenter le signals(t) que l’on obtient en sortie du montage.

On apporte une petite modification au circuit de la figure 18. On obtient alors celui de la figure 19.

b b bb

bb

iD

uD

b

b

C

e(t) R s(t)

Figure 19 – D´etecteur de crˆete pratique

2. Comment est modifi´e le comportement du circuit ? Discuter en fonction de la valeur deR.

3. Le signal e(t) est maintenant une tension sinuso¨ıdale de fr´equence 500 Hz dont on souhaite mesurer la tension efficace. Repr´esenter ce que l’on peut obtenir pours(t). Quelle valeur de Rfaut-il prendre afin que le circuit de la figure 19 se comporte comme un d´etecteur de crˆete ? Quel montage ´electrique simple proposeriez-vous afin de mesurer `a la sortie de celui-ci directement la tension efficace ?

20. Diode Zener

On consid`ere le circuit repr´esent´e qui comporte une diode Zener, de caract´eristique fournie `a la figure 20. Celle-ci pr´esente trois parties tr`es distinctes, l’une d’elles ´etant lecoude Zener `a la tension−uz. On pose E=α uz o`u αest un param`etre positif.

bbb bbb bb

E

r

R

i^′

u^′ i

i^′

u^′ 0

−uz

Figure 20 – Montage utilisant une diode Zener - Caract´eristique de la diode

1. D´etermineru^′ et ien fonction der, R,uzet α.

2. Tracer les graphes correspondantsu^′ eti fonction deα.

3. Commenter le rˆole de la diode dans le montage.

Correcteurs : GC14

21. Enregistrement d’une figure d’interf´erences

Dans un dispositif d’interf´erences, on obtient une intensit´e lumineuse variant p´eriodiquement selon un axeOx d’un ´ecran. La loi donnant l’´evolution de l’intensit´e lumineuse est : φ = φ0

1 + cos 2πx i

o`u i est appel´e interfrange. Pour enregistrer cet ´eclairement grˆace `a un ordinateur, on utilise le d´eplacement `a vitesse constante vph et ´etalonn´ee d’une photodiode selon l’axeOxde l’´ecran grˆace `a un rail rectiligne, voir le sch´ema de la figure 21.

LASER

Dispositif d’interf´erences

D

rail v_ph

photodiode

Figure21 – Montage d’enregistrement de l’intensit´e lumineuse

La conversion de l’intensit´e lumineuse en une tension ´electrique pouvant ˆetre acquise par l’ordinateur s’effectue au moyen du montage ´electronique de la figure 22. L’amplificateur op´erationnel utilis´e est suppos´e id´eal et en r´egime lin´eaire.

bbb bb b

+ -

bb b b bbbb

us

hν id

ud

R1

R2

C us1

Figure22 – Montage ´electronique de la photodiode

La photodiode est une jonction entre deux zones de silicium dop´ee de fa¸con diff´erente cr´eant ce que l’on ap- pelle une jonctionP N. Lorsqu’elle est ´eclair´ee cette jonction va permettre `a des ´electrons li´es de quitter leur niveau d’´energie pour devenir en quelque sorte des ´electrons libres et participer `a la conduction du courant. La caract´eristique de la photodiode est donn´ee par la loi :

id=I0exp eud

kBT −(I0+Iph)

o`uIph est l’intensit´e du courant dˆu aux ´electrons lib´er´es par le flux lumineux. On parle de courant photo´elec- trique. Ce dernier est proportionnel `a l’intensit´e lumineuseφre¸cue :Iph=βφ.

1. D´eterminer l’expression deus1en fonction de l’intensit´e lumineuseφ.

2. D´eterminer l’expression deus1en fonction du temps t.

3. Quelle est la nature du filtre constitu´e par la celluleR2C plac´ee au niveau de la sortie de l’amplificateur op´erationnel ? D´eterminer sa fr´equence de coupure.

4. ´Etablir en fonction du temps l’expression deus.

5. Conclure sur le rˆole de la celluleR2C sachant que l’objectif est de pouvoir mesurer l’interfrangei.

22. Multiplieur ´electronique

bb b

+ -

b

b b

R

b b

R^′

i1

i2

b b

b

ue

uc

us

iD

uD

On consid`ere le montage de la figure ci-contre. L’amplificateur op´eration- nel est consid´er´e comme id´eal fonctionnant en r´egime lin´eaire.

La diode est une diode r´eelle. L’intensit´e qui la traverse en fonction de la tension `a ses bornes est de la formeiD=I0 exp (αuD)−1

. 1. ´Etablir l’expression deus en fonction deueet uc.

Quelle valeur donner `auc pour queus=−1 αln

ue

RI0

?

2. On permute les positions de R et de la diode. Quelle est la nouvelle expression de us? Quelle est la nouvelle valeuru^′_c qui assureus=−RI0exp (αue) ?

3. On consid`ere le montage de la figure 23 ; les diodes sont identiques etuc etu^′_cont les valeurs d´etermin´ees pr´ec´edemment. D´eterminerus en fonction deue1,ue2,R etI0.

b b bb b

+ -

b b b

R

ue1

bb

R^′

bb

R^′

uc

b b bb b

+ -

b b b

R

ue2

bb

R0

bb

R0 ^{b b}

bb b

+ -

b

R0

b b b b

bb b

+ -

b

R

us

bb

R^′ u^′_c

Figure 23 – Montage non lin´eaire

23. G´en´erateur de cr´eneaux

Dans le montage de la figure 24 (`a gauche), l’amplificateur op´erationnel est id´eal et fonctionne en r´egime de saturation ; le condensateur est initialement d´echarg´e.

1. D´eterminer les ´evolutions, au cours du temps, des tensionsv+etv− des bornes d’entr´ee de l’amplificateur op´erationnel. Calculer la p´eriode de ces tensions.

bbb bbbb b

b b

bb b

+ -

r r R

C

b b

b b

b b

R1

R2

b bb

b

Figure 24 – G´en´erateur de cr´eneaux (`a gauche). Montage non sym´etrique (`a droite)

2. La r´esistanceRest remplac´ee par le montage non sym´etrique de la figure 24 (`a droite), dans lequel les deux diodes sont id´eales. D´eterminer la p´eriodeT du signalv+(t), ainsi que la portionαde cette p´eriode au cours de laquellev+(t)>0. Ce signal porte le nom de signal cr´eneau sym´etrique de rapport cyclique α.