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Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository
Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Chome, F. (2001). Modèles régionaux de prévision du temps : dynamique, statistique et prévisibilité (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.
Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/211591/1/0ef19640-a5bf-4149-b8e4-7aad47d6e67a.txt
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D 03015
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Université Libre de Bruxelles Faculté des Sciences
Modèles régionaux de prévision du temps: dynamique, statistique et
prévisibilité
Frédéric CHOME
Promoteur : Prof. C. ROUVAS-NICOLIS
Thèse présentée en vue de l’obtention du grade légal de Docteur en Sciences
Octobre 2001
^5 3
Université Libre de Bruxelles Faculté des Sciences
Modèles régionaux de prévision du temps: dynamique, statistique et
prévisibilité
Frédéric CHÔMÉ
Promoteur : Prof. C. ROUVAS-NICOLIS
Thèse présentée en vue de l’obtention du grade légal de Docteur en Sciences
Octobre 2001
K. Lewin
1
Remerciements
Ces années de thèse ont été pour moi l’occasion de rencontrer des personnes merveilleuses avec lesquelles j’ai appris, partagé du savoir, des expériences, des rires. La diversité de mes activités de recherche et extra-professionnelles m’ont permis de tisser une toile de liens solides sur lesquels je peux compter. Aussi je pense que le moment est venu de remercier celles et ceux sans qui la publication de ces résultats n’aurait sans doute jamais vu le jour.
Je tiens à exprimer tout d’abord une profonde reconnaissance au Docteur Henri Malcorps de m’avoir accueilli dans le cadre idyllique qu’est l’Institut Royal Météorologique de Belgique, où ce travail fut réalisé.
Le Professeur Catherine Nicolis accepta de prolonger la collaboration initiée durant mon Mémoire en m’acceptant dans sa section. Je la remercie chaleureuse
ment de m’avoir fait découvrir le monde de la recherche scientifique en accep
tant de partager ses connaissances approfondies en théorie des systèmes dy
namiques. Son esprit d’ouverture et son dynamisme m’ont permis de développer des recherches originales au sein d’une équipe motivante.
En parlant d’équipe, je ne peux pas oublier de mentionner le Docteur Stéphane Vannitsem, dont la collaboration amicale s’avéra plus d’une fois précieuse et indispensable. Nos nombreuses discussions m’ont réellement ouvert les yeux sur plusieurs aspects cruciaux du métier de chercheur, et je t’en serai éternellement reconnaissant.
Le premier étage du bâtiment B de l’IRM est peuplé d’une foule hétéroclite
dont les sourires et encouragements perpétuels furent une réelle source de bonne
humeur. Que tous ces acteurs quotidiens et leur metteur en scène, le Docteur
Gaston Demarée, se voient remerciés pour leur gaieté communicative. Dans la même veine, les activités sportivo-culturelles au sein du groupe IRM-Gerb res
teront de très bons souvenirs.
Mes remerciements assortis de félicitations s’adressent également au Pro
fesseur Grégoire Nicolis, fondateur et président de l’Ecole doctorale “Phénomènes non-linéaires et mécanique statistique”, pour la qualité des enseignements délivrés par l’école ainsi que la brio avec laquelle celle-ci est dirigée.
Ce travail à été effectué sous les auspices du Fonds pour la formation à la Recherche dans l’Industrie et l’Agriculture (F.R.I.A.) d’une part, et de l’Univer
sité Libre de Bruxelles, d’autre part.
J’adresse ma plus vive reconaissance au Professeur Jean-Claude Dehaes pour m’avoir incorporé à son service et accordé une flexibilité totale afin de terminer mes travaux de recherches dans des conditions optimales.
Cette thèse m’a permis également de rencontrer des personnalités exception
nelles dont les discussions enrichirent considérablement mes travaux et orientèrent parfois leur destinée. Que Simone Gutt, Michel Cahen, Joël Horowitz, David De- henauw, Zoltan Toth et Mattew Pyle se voient ici chaleureusement remerciés.
Enfin, je suis extrêmement reconnaissant de l’enthousiasme dont ont fait
preuve Alexandra, Christophe et Jean-Philippe à l’idée de relire attentivement le
texte final de cette thèse, malgré le peu de temps qu’ils pouvaient y consacrer. La
contribution de Fabrizio et du Docteur Govaerts étant tellement importante dans
l’initiation, la poursuite et la finalisation de cette thèse, que la pudeur m’empêche
d’exprimer par écrit les sentiments qui m’animent à leur égard. Que le lecteur
veuille bien m’en excuser.
Table des matières
1 La prévision du temps sous l’angle de la dynamique non-linéaire 9
1.1 Préliminaires ... 9
1.2 Modèles numériques de prévision ... 15
1.2.1 Equations de base... 17
1.2.2 Des modèles globaux aux modèles régionaux... 20
1.3 Stratégie... 26
2 Dynamique linéarisée des modes instables 33 2.1 Introduction... 33
2.2 Expériences sur les modèles globaux... 37
2.2.1 Perturbations localisées... 39
2.2.2 Perturbations délocalisées... 41
2.2.3 Perturbation aléatoire de moyenne nulle... 43
3
2.2.4 Perturbations particulières... 45
2.3 Expériences sur les modèles imbriqués... 48
2.3.1 Instabilités uniformes : = A
qVi ... 50
2.3.2 Généralisation pour un système de dimension NxN .... 52
2.3.3 Instabilités modulées : A = A(a:)... 55
2.3.4 Perturbation en un point pour A = A 2 ... 62
2.4 Conclusion... 64
3 La problématique de la prévision régionale sous l’angle du physi cien. I: Propriétés des champs à petite et à grande échelle dans un système d’applications non-linéaires couplées à résolution vari able 67 3.1 Introduction... 68
3.2 Description et analyse du modèle... 71
3.2.1 Agrindissement et construction du modèle régional .... 73
3.2.2 Validité de l’hypothèse de séparation des échelles spatiales, y « 0... 77
3.3 Propriétés statistiques et dynamiques du modèle régional... 83
3.3.1 Propriétés statistiques... 83
3.3.2 Evolution de l’erreur moyenne... 89
TABLE DES MATIÈRES 5
3.4 Spectre, vecteurs de Lyapunov et structure locale des instabilités . 93
3.5 Conclusions... 99
4 La problématique de la prévision régionale sous l’angle du physi cien. II: modèles continus dans l’espace et le temps 103 4.1 Introduction... 103
4.2 Le modèle de Ginzburg-Landau... 106
4.2.1 Analyse de bifurcation des systèmes spatialement étendus . 106 4.2.2 L’équation complexe de Ginzburg-Landau (ECGL) .... 112
4.2.3 Aspects numériques... 119
4.3 Description globale des champs... 125
4.4 Description locale des champs: modèles régionaux... 130
4.4.1 Le modèle imbriqué à aire limitée (MIAL)... 132
4.4.2 Le modèle à mailles variables (MMV)... 134
4.4.3 Interpolation et conditions initiales...138
4.5 Propriétés statistiques des champs prévus... 143
4.6 Croissance de l’erreur et prévisibilité...151
4.6.1 Croissance de l’erreur intrinsèque... 152
4.6.2 Croissance de l’erreur de modélisation ...154
4.6.3 Erreurs à grande et petite échelle dans le MIAL... 160
4.6.4 Quantification des erreurs d’imbrication ... 169
4.7 Discussion... 174
5 Dynamique et statistique d’un modèle régional opérationnel 179 5.1 Introduction... 179
5.2 Méthodologie... 183
5.2.1 Le modèle... 183
5.2.2 But et méthodes ... 184
5.3 Dynamique et statistique du modèle Eta... 190
5.4 Prévisibilité à grande échelle...200
5.4.1 Formulation de l’erreur moyenne ...202
5.4.2 Biais et erreurs moyennes du modèle...204
5.4.3 Sources d’erreurs dans le modèle régional...217
5.5 Variabilité aux différentes échelles... 218
5.6 Comparaison aux observations : Radio-sondages... 226
5.7 Conclusion... 234
6 Conclusions et perspectives 237
TABLE DES MATIÈRES 7
A Exposants et vecteurs de Lyapunov 243
A.l Traitement des erreurs par une approche probabiliste...249
A. 2 Le calcul des exposants de Lyapunov... 251
B Description du modèle ETA 255 B. l Introduction... 255
B.2 Dynamique du modèle de prévision... 256
B.2.1 Le modèle... 256
B.2.2 Aspects numériques... 262
B.3 Schéma de paramétrisations physiques...267
B.3.1 Introduction...267
B.3.2 Convection: Schéma de Betts-Miller-Janjic... 268
B.3.3 Paramétrisation explicite des nuages ...269
B.3.4 Radiation... 272
B.3.5 Processus de surface...272
B.3 .6 Energie Cinétique Turbulente... 274
Références 277
-,-1
A
tf.
4
I
Chapitre 1
La prévision du temps sous l’angle de la dynamique
non-linéaire
1.1 Préliminaires
Un des sujets les plus abordés dans les conversations courantes entre êtres hu
mains est le temps qu’il a fait, qu’il fait et qu’il fera. Les émissions radiophoniques et télévisuelles bénéficiant du plus fort taux d’audience sont les bulletins du temps. Ce véritable engouement du public et des professionnels pour les produits dérivés de la météorologie a abouti à la création de chaînes de télévision unique
ment consacrées à celle-ci. Sur internet, les sites portails météorologiques fleuris
sent de partout et le site de l’Institut Royal Météorologique de Belgique reçoit plus de cent mille connexions par jour. Les bulletins envoyés sur les téléphones portables bénéficiant de la technologie WAP ( Wireless Application Protocol) sont le deuxième produit le plus demandé par les utilisateurs. On constate au travers
9
de ces différentes anecdotes que la météorologie influence considérablement la vie de chacun, depuis de simples considérations vestimentaires jusqu’à la planiflca- tion des récoltes ou l’amélioration d’un chiffre d’affaires pour une entreprise. La diversiflcation des moyens de communication et de transmission de l’information a réellement multiplié la demande et créé de nouveaux besoins relatifs à la con
naissance de l’évolution du temps.
A l’heure des nouvelles technologies qui entrent dans le quotidien, les dictons populaires et la transmission des connaissances de météorologie descriptive locale de génération en génération sont en passe de disparaître au profit de prévisions personnalisées accessibles en temps réel.
Il ne faut toutefois pas perdre de vue que le système en question, l’atmosphère, est un milieu extrêmement complexe et que le fait même de parvenir à prévoir son évolution avec quelques jours d’avance est une véritable gageure, résultant d’une évolution lente de notre compréhension de la dynamique sous-jacente et de l’incorporation de celle-ci dans des modèles numériques de prévision. Nous retraçons ci-dessous la problématique de la prévision numérique du temps ainsi que ses limitations conceptuelles.
Tout observateur pris au milieu d’un ouragan, d’une inondation ou d’une sécheresse prolongée estimera que l’atmosphère apparaît comme un milieu irra
tionnel, voire malveillant. Pourtant les mêmes lois impassibles qui régissent des systèmes physiques ou chimiques à l’échelle de laboratoire, s’appliquent aussi bien au système terre-atmosphère-océan-biosphère. Une question se pose ainsi tout na
turellement: dans quelle mesure le comportement de notre environnement global peut-il être compris à partir de ces lois élémentaires sur un plan tant qualitatif que quantitatif?
Les variables atmosphériques et climatiques ne sont manifestement pas dis-
1.1. PRÉLIMINAIRES 11
Figure 1 . 1 : Evolution temporelle de la température journalière moyenne à Uccle entre le 01/01/1998 et le 31/12/2000.
tribuées au hasard. Notre environnement est structuré dans l’espace et dans le temps: la stratification des couches atmosphériques, les périodicités dues au cy
cle journalier ou annuel en témoignent. Cependant, en dépit de cet ordre global, on constate une variabilité très prononcée traduite par des écarts marqués par rapport à ces régularités.
Une telle variabilité est par exemple représentée à la Fig. 1.1 par l’évolution
journalière de la température de l’air où, à côté d’une régularité à grande échelle
associée au cycle annuel de l’éclairement solaire, on remarque des fiuctuations
irrégulières qui ne se reproduisent jamais de façon identique. Cette absence
de périodicité globale se manifeste également dans les analyses spectrales de
toutes les séries météorologiques où l’on découvre un spectre continu à large
bande indiquant le caractère irrégulier de ces séries et l’existence de fluctuations à toute échelle de temps, en opposition avec un spectre de raie caractéristique des phénomènes périodiques ou quasi-périodiques.
Une conséquence — de toute première importance — de l’apériodicité de la dynamique atmosphérique et climatique est la grande difficulté de faire des prévisions performantes, et ce contrairement aux phénomènes périodiques et quasi-périodiques pour lesquels une prévision à très long terme peut être en
visagée (voir les succès importants de l’astronomie).
Malgré cette difficulté intrinsèque, la performance des modèles de prévision est en amélioration constante depuis leur apparition au début de la seconde moitié du vingtième siècle. Leur capacité de prévision s’étend aujourd’hui au-delà de la semaine avec une résolution spatiale de l’ordre de la cinquantaine de kilomètres et des prévisions rendues toutes les 6 à 12 heures. Ce succès peut être attribué aux progrès remarquables de l’informatique fournissant des ordinateurs toujours plus puissants ainsi qu’aux perfectionnements de nos connaissances des phénomènes physiques affectant la dynamique de l’atmosphère.
Toutefois, de nombreuses expériences montrent que le succès décroît avec l’échéance des prévisions, et qu’au-delà de la dizaine de jours les prévisions quo
tidiennes deviennent aléatoires, en raison de la croissance des incertitudes.
Face à ces constatations, une question essentielle se pose tout naturellement:
est-ce que le manque de fiabilité de la prévision à long terme est le résultat de l’imperfection de nos modèles actuels ? Ou bien y a-t-il une raison plus fondamentale qui limite la possibilité même de prévision au-delà d’un certain laps de temps ?
Une première réponse qui vient à l’esprit est d’attribuer ces difficultés à
1.1. PRÉLIMINAIRES 13
l’extrême complication du milieu atmosphérique et du système climatique qui comportent un grand nombre de variables et de paramètres et englobent des phénomènes d’échelles temporelle et spatiale très diverses. Dans le temps, ils varient d’une durée inférieure à la seconde pour certaines réactions chimiques, à la minute pour la microphysique, jusqu’à l’heure, le jour, la semaine, voire le mois, pour la prévision météorologique, et l’année, la décennie, le siècle et le millénaire pour les simulations climatologiques. Dans l’espace, l’échelle va de la fraction de mètre pour les réactions chimiques et la diffusion moléculaire jusqu’à des di
mensions planétaires de dizaines de milliers de kilomètres. Dans cette optique les difficultés liées à la prévision ne seraient donc qu’un inconvénient passager, voué à disparaître au fur et à mesure que les paramètres seront accessibles par des techniques perfectionnées d’observation, et que les ordinateurs dont nous dis
posons deviendront plus performants, permettant de disposer d’une résolution spatiale de plus en plus fine dans les modèles.
Mais il existe une autre possibilité pouvant expliquer le caractère apériodique et la prévisibilité limitée d’un système complexe comme l’atmosphère et le cli
mat, qui est à rechercher dans la “complexité” de la dynamique non-linéaire sous-jacente. Ainsi que Thompson (1957) et Lorenz (1963) l’ont remarqué, dans l’atmosphère une petite imprécision (“erreur”) sur les conditions initiales — inhérente à tout processus de mesure expérimentale — va s’amplifier au cours de l’évolution engendrée par un modèle numérique de prévision. Cette croissance de l’erreur finira par limiter dans le temps toute possibilité de prévision satisfaisante, même avec un modèle sophistiqué parfaitement bien défini, déterministe et sans paramètres ajustables.
On est ainsi amenés à se demander si la précision limitée de données expé
rimentales ou le fait de paramétriser dans les modèles numériques de prévision
les phénomènes se déroulant sur des échelles non résolues ne sont que de sim-
pies révélateurs d’une instabilité et d’une complexité universelles, inhérentes aux lois d’évolution du système sous-jacent et indépendantes de toute limitation liée à des difficultés pratiques passagères. Les sciences physiques nous fournissent actuellement des théories capables de décrire ce type de complexité: les théories des bifurcations et du chaos déterministe, qui allient subtilement un ordre global à une variabilité locale associée à la propriété de sensibilité aux conditions ini
tiales. Le développement spectaculaire de cette physique a donné naissance à des concepts et à des méthodes permettant de décrire, de classifier et de modéliser les comportements chaotiques (observés dans des domaines très divers tels que chimie, astronomie, biologie, dynamique des fluides, économie, etc.) de façon unifiée.
Ce sont ces méthodes que nous nous proposons d’appliquer dans cette thèse aux modèles régionaux de prévision du temps. Ces derniers, à l’opposé des modèles globaux qui calculent l’évolution des observables sur l’entièreté du globe, ne se focalisent que sur une région limitée de l’espace, en augmentant con
sidérablement la résolution spatiale du calcul, pour tenir compte d’un plus grand nombre de phénomènes de petites échelles caractéristiques. Toutefois, la con
struction de tels modèles implique une série d’hypothèses et de restrictions dont les conséquences sur la qualité des prévisions n’ont pas toujours été bien évaluées par le passé.
Nous nous proposons donc d’analyser celles-ci à la lumière de la théorie du chaos et des systèmes complexes, tout d’abord sur des modèles simplifiés de complexité croissante, comprenant certaines des caractéristiques principales des modèles régionaux opérationnels, parmi lesquelles une évolution spatio-temporelle erratique de caractère semblable à celui présenté à la Fig. 1.1, puis, dans un sec
ond temps, nous validerons nos résultats sur un modèle régional réel et complet,
utilisé à des fins de prévisions à l’Institut Royal Météorologique.
1.2. MODÈLES NUMÉRIQUES DE PRÉVISION 15
Nous consacrons le reste de ce chapitre à une description générale des modèles atmosphériques globaux et régionaux, tandis que nous détaillerons notre stratégie à la Section 1.3.
1.2 Modèles numériques de prévision
La modélisation de l’atmosphère répond à trois grands besoins: prévoir les condi
tions météorologiques; analyser les questions d’ordre climatique et examiner des questions relatives à la qualité de l’air.
En raison de la complexité intrinsèque de la dynamique atmosphérique faisant intervenir divers processus répartis sur un continuum d’échelles spatiales et tem
porelles, il est impossible à l’heure actuelle de construire un modèle atmosphérique couvrant tous ces aspects.
Les équations mathématiques complètes à la base des modèles doivent donc être spécifiées au travers d’approximations qui, juge-t-on, auront un effet négli
geable sur le problème considéré. Ces équations, habituellement trop complexes pour être résolues analytiquement, sont intégrées numériquement sur de puissants ordinateurs.
La prévision météorologique numérique a pour objectif de prévoir l’état de
l’atmosphère dans le futur. L’atmosphère est une couche de fluide relativement
mince (épaisseur de deux ordres de grandeur inférieure au rayon de la terre)
entourant une sphère en rotation qui peut être modélisée en utilisant les équations
classiques de la dynamique des fluides (conservation de la masse, de la quantité
de mouvement, de l’énergie, ... ) dites équations primitives. Il s’y ajoute des
équations de transport de divers traceurs atmosphériques, comme l’eau liquide
des nuages et des espèces chimiques telles que l’ozone, les hydrocarbures et les gazs aérosols.
Pour fermer la description mathématique des problèmes physique et chim
ique, divers termes de forçage représentant des sources et des puits sont intro
duits dans les équations gouvernantes au travers de paramétrisations. Ces ter
mes sont pour la plupart associés à des phénomènes qui, soit ne sont pas décrits par les équations de la dynamique des fluides, soit, s’ils le sont, ne sont pas explicitement résolus parce qu’ils interviennent à une échelle inférieure à la di
mension, nécessairement finie, de la maille utilisée. Les phénomènes repris sous l’appellation des paramétrisations physiques seront abordés plus en détail dans l’Annexe B qui traite du modèle opérationnel de prévisions météorologiques Eta.
L’intégration des équations de la dynamique des fluides nécessite l’intro
duction de conditions initiales et de conditions de bords (latéraux, supérieur et inférieur). Nous devons donc déterminer l’état initial à partir duquel l’atmosphère évoluera, ainsi que les conditions aux limites, particulièrement à la surface de la Terre, qui nous permettront de définir le problème dans l’espace. Nous avons également besoin de techniques numériques nous permettant de résoudre la dé
pendance spatiale et temporelle dans les équations de façon à pouvoir prévoir, à partir de l’état initial, l’évolution de l’atmosphère. Les techniques numériques qui nous permettent de résoudre la dépendance temporelle dans les équations prim
itives sont appelées méthodes de discrétisation temporelle, tandis que celles qui s’appliquent à la dépendance spatiale sont les méthodes de discrétisations spa
tiales. Nous verrons essentiellement au Chapitre 4 que l’utilisation de techniques spéciales de discrétisation spatiale pour une zone restreinte permet de produire des modèles dits régionaux, dont les propriétés diffèrent notablement des modèles structurés sur l’ensemble du globe que l’on appelle modèle globaux.
La représentation de l’état initial de l’atmosphère sur une grille s’effectue au
1.2. MODÈLES NUMÉRIQUES DE PRÉVISION 17
travers d’une procédure que l’on nomme assimilation de données. Elle consiste en la construction d’une analyse à partir des variables atmosphériques courantes (température, pression, vitesse du vent, etc) par des stations météorologiques ainsi que d’autres appareils (satellites, avions, bouées dérivantes, etc...).
Nous venons de donner un aperçu des différents ingrédients d’une prévision numérique du temps au moyen d’un modèle atmosphérique. Nous nous proposons de détailler ci-dessous les équations de base utilisées dans les modèles et ensuite de décrire les grandes lignes du développement et des caractéristiques générales des modèles globaux et régionaux de prévision du temps.
1.2.1 Equations de base
Les modèles atmosphériques utilisés pour la prévision du temps, ou pour simuler la circulation atmosphérique générale dans les études de climat, reposent sur les équations de la mécanique des fluides exprimant les principes de conserva
tion de grandeurs physiques fondamentales, telles que la quantité de mouvement, l’énergie ou la masse des constituants de l’atmosphère (air sec, vapeur d’eau). Ces équations sont non-linéaires, du fait que dans un fluide les grandeurs d’état sont transportées par la vitesse d’écoulement qui fait elle-même partie de l’ensemble de ces grandeurs. Ces équations fondamentales sont dites pronostiques car elles décrivent l’évolution de variables atmosphériques que l’on peut mesurer effective
ment. On leur oppose généralement les variables diagnostiques qui sont déduites des variables pronostiques du système d’équations du modèle. Les équations pronostiques principales sont les suivantes:
Bilan de masse (équation de continuité)
— — —p diw dp
dt ^ (1.1)
où P est la densité de masse du fluide, v le champ de vitesse relatif à la terre et didt symbolise la dérivée hydrodynamique
d
dt dt + V • V ( 1 . 2 )
Bilan d’humidité (équation de continuité de l’air humide)
dpuj
dt -Pu, diVV + Syj (1.3)
où p^ est la densité de vapeur d’eau et S^u représente les sources et les pertes.
Bilan de moment (équation du mouvement)
p—=-Vp
-2fi
X V+ pg + F (1.4)
dt
où P est la pression hydrostatique, fi la vitesse angulaire de rotation de la terre, g la gravité terrestre et F tient compte des effets dissipatifs (viscosité, friction sur les couches limites telles que la surface terrestre, etc.)
Bilan d’énergie (équation thermodynamique)
dT d 1
Q (1.5)
où T est la température, c la chaleur spécifique et Q représente les apports et les pertes calorifiques issues du rayonnement, de la conduction, des changements de phase ou encore des forces de friction.
Ces équations sont complétées par un certain nombre de relations spécifiant
comment p, Syj^ F et Q sont reliées aux variables d’état p, p„,, v et T. Un
exemple de ces relations diagnostiques est l’équation d’état p = p(p, T) qui se
1.2. MODÈLES NUMÉRIQUES DE PRÉVISION 19
réduit dans l’atmosphère à la loi des gaz parfait: p = pRT. D’autre part, des conditions aux frontières doivent être spécifiées au sommet de l’atmosphère et à l’interface de celle-ci avec la surface terrestre. On peut ajouter à cela d’autres variables pour des applications particulières, telles que la concentration d’ozone ou d’autres constituants atmosphériques minoritaires.
Enfin, l’hypothèse hydrostatique {dp/dz = —pg avec 2 qui est l’élévation par rapport au sol), qui consiste à négliger l’accélération verticale dans l’équation de la quantité de mouvement vertical, est une excellente approximation, bien respectée dans l’atmosphère jusqu’aux échelles d’environ 10 km. Cependant, en- deçà de cette limite, les effets non hydrostatiques commencent à devenir non négligeables et sont en général incorporés dans la plupart des modèles régionaux de prévision dont la résolution est inférieure à 10 km, tels que les modèles Aladin et Eta de l’Institut Royal Météorologique de Belgique.
Le système d’équations aux dérivées partielles dont on dispose est générale
ment représenté dans une géométrie sphérique et légèrement simplifié en sup
posant que l’échelle verticale du mouvement est petite en comparaison avec l’échelle horizontale {approximation hydrostatique). Ce système est alors trans
formé en un système d’équations différentielles ordinaires couplées soit par décom
position en une base de fonctions orthogonales appropriées à la géométrie du problème (on parlera de modèles spectraux), soit en approximant les opérateurs de dérivée spatiale par des différences finies calculées sur les points d’une grille {modèles en point de grille).
En résumé, partant du système dynamique complet (les 4 équations pronos
tiques) décrit par un nombre infini de degrés de liberté, on se ramène à un système
dynamique à nombre fini de variables (mais pouvant dépasser plusieurs millions
dans les modèles de prévision actuels) — les valeurs des champs météorologiques
aux points de grille ou bien les coefficients dans leur représentation dans la base
de fonctions appropriée — où les conditions aux limites apparaissent comme des paramètres de contrôle. La prévision consiste, en partant d’un point choisi dans l’espace des phases pour représenter au mieux la condition initiale en fonc
tion des observations disponibles (initialisation), à calculer numériquement au moyen d’une discrétisation temporelle la trajectoire de ce système dynamique (intégration du modèle). Dans les utilisations opérationnelles courantes, en pré
vision ou en simulation du climat, on cherche à conserver le maximum de degrés de liberté compatibles avec les moyens de calcul disponibles, de manière à arriver à une résolution spatiale aussi fine que possible. Ceci permet de simuler le plus exactement possible le comportement de l’atmosphère, mais a l’inconvénient que le coût informatique d’une intégration limite fortement le nombre de trajectoires que l’on peut calculer simultanément, ce qui ne permet ni la génération d’un ensemble important de trajectoires, ni une exploration systématique de l’espace des paramètres.
1.2.2 Des modèles globaux aux modèles régionaux
L’objectif premier de la modélisation numérique du temps est de produire une prévision à haute résolution permettant de capturer les phénomènes se déroulant à petite échelle, couvrant un territoire aussi vaste que possible et ayant une période de validité aussi longue que possible. Compte tenu de la puissance de calcul disponible, ces deux exigences, haute résolution et vaste domaine spatio- temporel de validité, sont conflictuelles. Dès lors, pour satisfaire à celles-ci, deux approches parrallèles et complémentaires vont être développées: une modélisation de l’atmosphère à basse résolution et à l’échelle globale ainsi qu’une modélisation locale à haute résolution.
Les modèles atmosphériques globaux représentent les champs météorologiques
1.2. MODÈLES NUMÉRIQUES DE PRÉVISION 21
sur l’entièreté de la sphère. A l’heure actuelle, les modèles globaux les plus per
formants comportent plusieurs dizaines de millions de variables météorologiques réparties sur plus de 30 niveaux verticaux. Leur résolution horizontale est de l’ordre de 50 km et ils réalisent quotidiennement 2 à 4 prévisions jusqu’à une échéance de 10 à 12 jours.
Ces modèles de prévision sont optimisés afin de traiter explicitement des phénomènes d’échelle dite synoptique (de l’ordre de 1000 km) et plus récemment ils permettent également de traiter les méso-échelles a (jusqu’à 200 km) selon la classification d’Orlanski (1975). A ce niveau de représentation, la prise en compte des caractéristiques géographiques et physiographiques d’un petit pays comme la Belgique est donc très rudimentaire.
Par contre, les modèles régionaux représentent les champs météorologiques sur des régions limitées à beaucoup plus haute résolution. L’intérêt théorique de ce type de modèles réside dans la possibilité de mieux représenter les circulations atmosphériques à échelles fines, qu’elles soient forcées par l’orographie (vents régionaux ou locaux, ondes de relief) ou non (fronts, dépressions secondaires, bandes de pluie, brouillard, orages). Ils devraient permettre aussi une meilleure prévision des paramètres météorologiques de surface (précipitations, nébulosité, vent à 10 m, température et humidité à 2 m). Enfin, on s’attend à ce que les modèles régionaux soient très utiles dans les prévisions météorologiques à très court terme (nowcasting) ainsi que dans l’étude des situations exceptionnelles.
Tous ces aspects revêtent une importance considérable dans nombre de domaines de la vie courante tels que l’agriculture (optimisation des cultures...), l’écologie, l’environnement et la santé (dispersion des polluants, des pollens...), ou encore la sécurité routière, maritime et aérienne (verglas, brouillard, nuages...).
Deux techniques radicalement différentes permettent d’augmenter la résolu
tion sur un domaine spatial d’extension finie. Il s’agit des approches dites à
Figure 1.2: Schématisation des grilles d’un modèle à imbrication à aire limitée.
Le modèle régional à mailles fines, en rouge, est régulièrement couplé au modèle externe noir, de résolution plus grossière.
imbrication (a) et à mailles variables (b).
(a) La première consiste à intégrer un modèle semblable au modèle global sur une région à aire limitée avec une résolution considérablement augmentée en fixant des conditions aux frontières du domaine régional, fournies à partir du modèle global ou d’une version du modèle régional de plus basse résolution. Cette approche est schématisée à la Fig. 1.2.
La plupart des schémas de couplage des Modèles Imbriqués à Aire Limitée
(MIAL) au modèle externe sont unilatéraux, c’est-à.dire qu’ils ne permettent pas
la propagation des effets définis par la maille fine vers l’extérieur du domaine
limité. Par la suite, seules les variations entrantes dans le domaine sont spécifiées
1.2. MODÈLES NUMÉRIQUES DE PRÉVISION 23
à la frontière du domaine et non pas celles exprimant une influence du domaine limité vers l’extérieur (variations sortant du domaine). Un des problèmes majeurs qui apparaît en choisissant cette solution est la formulation correcte des conditions à la limite pour que le problème ainsi défini sur le domaine limité soit un problème bien posé (Oliger et Sunstrôm 1978). C’est pourquoi les modèles de ce type, qui regroupent la majorité des modèles régionaux opérationnels, se sont dotés de filtres à la jonction entre les deux domaines et de techniques de relaxation des champs sur les premiers points de grille ou sur une zone prévue à cet effet, afin de limiter les problèmes numériques (réflexion des ondes sur les bords, etc) surgissant suite à ce couplage.
Les deux modèles régionaux développés à l’IRM, Aladin et Eta, rentrent dans cette catégorie. Le modèle Aladin est un modèle spectral à aire limitée, qui a été construit de manière à exploiter au maximum le potentiel du code de son modèle coupleur. Arpège. A la différence d’Aladin, Eta n’est pas une version à mailles fines d’un modèle global existant, mais résulte d’une évolution du Nested Grid Model - un modèle construit de toutes pièces afin de modéliser optimalement la dynamique atmosphérique de méso-échelle - et représente les champs en point de grille. Il est couplé au modèle spectral global Avn (troncature T170) du NCEP (National Centre for Environmental Prédiction, USA). Ces deux modèles font l’objet d’un développement constant au sein d’équipes très dynamiques. Horanyi et al. (1993), Bubnovâ et al (1995) et Geleyn et al. (1994) constituent une bonne documentation des différents aspects du modèle Aladin, tandis qu’un bref descriptif du modèle Eta est fourni dans l’Annexe B.
A côté des deux modèles précités, on en trouve de nombreux autres du même
type, citons par exemple le MM5 du NCAR (National Centre for Atmospheric
Research, USA) dont un aperçu général peut être obtenu dans Anthes (1990) ou
encore le modèle communautaire de l’Europe du Nord, Hirlam (Gustafsson and
McDonald, 1996). Enfin la technique d’imbrication a livré plus récemment un nouveau type de modèle régional spectral basé sur la méthode des perturbations (Juang et al. 1998, 2001) qui semble être extrêmement approprié à la réalisation de prévisions climatiques à l’échelle régionale.
On peut enfin avoir des modèles de type MIAL qui présentent une interaction entre les structures météorologiques à grande échelle et les structures à petite échelle. Ainsi, avec la technique des modèles emboîtés - modèles gigognes - on couple dans les deux sens des modèles de résolutions différentes {couplage bilatéral). Ceci était appliqué dans le “Nested Grid model”, précurseur du modèle Eta au NCEP (National Centre for environmental Prédiction, USA), composé de trois modèles de résolutions différentes et deux imbrications. Toutefois, ce type de modèles est plutôt tombé en désuétude à l’heure actuelle.
(b) Pour les modèles à mailles variables! (voir Fig. 1.3), la résolution varie pro
gressivement sur le domaine spatial: fine sur les zones d’intérêt elle diminue pour devenir plus grossière sur les régions avoisinantes. Les variations de résolution peuvent être continues (facteur d’étirement des mailles constant) ou par paliers successifs avec des zones de transitions sur lesquelles varient la résolution. L’idée, déjà suggérée par Richardson (1922), a été utilisée pour la première fois par Philips et Shukla (1973). L’avantage en est que les fluides à l’intérieur et à l’extérieur de la zone d’intérêt interagissent au sein d’un système dynamique unique, et que l’on règle la question de bien poser le problème mathématique aux bords du domaine régional au prix d’une intégration sur un plus vaste domaine.
La baisse graduelle de la résolution hors de la zone d’intérêt contribue à réduire ce coût, et permet d’éviter les effets néfastes d’un saut brutal de résolution sur la précision du résultat (Gravel et Stanisforth, 1992).
Sans rentrer dans les détails, l’approche à mailles variables peut être ap
prochée de différentes façons sur le globe. Chez Courtier et Geleyn (1988) et
1.2. MODÈLES NUMÉRIQUES DE PRÉVISION 25
O
Domaine régional
Modèle à Mailles Variables
zè V
S
Figure 1.3: Schématisation de la grille d’un modèle à mailles variables avec un facteur d’étirement constant dans chacune des directions Nord-Sud. Dans cette configuration, la zone consistant en le domaine régional, cerclée de rouge, peut- être agrandie à souhait.
Hardiker (1997), on utilise une transformation continue de coordonnée mise au point par Schmidt (1977) de manière à n’affecter que très peu l’efficacité de la méthode spectrale; c’est l’approche utilisée par Météo-France pour le modèle opérationnel Arpège (Courtier et al., 1991). Cependant, la nature de la trans
formation conforme de coordonnée limite la résolution à une finesse convenant à des applications à l’échelle méso-bêta, soit 20 km de résolution maximale (Caian et Geleyn, 1997). Une autre transformation continue de coordonnée est utilisée dans Sharma et al. (1987) dans un contexte de discrétisation en différences finies.
Chez Peagle (1989), Peagle et al. (1997) et Côté et al. (1993), la résolution vari
able est obtenue en utilisant des éléments finis. Pour la formulation de Peagle et
al. (1997), la résolution est variable uniquement dans la direction nord-sud.
La formulation de Côté et al. (1993) est plus générale, et permet de faire varier la résolution dans les deux directions simultanément, et avec une bonne souplesse. Il s’agit d’une maille latitude-longitude régulière mais à résolution variable soumise à une rotation arbitraire dans une géométrie sphérique. Le modèle dispose alors de différentes configurations de maille en fonction des appli
cations retenues, allant de la modélisation globale de résolution uniforme, à une modélisation à l’échelle d’une ville avec une résolution de 300 mètres. Dans tous les cas, plus de 50 % du nombre total de points de grille sont situés dans la zone d’intérêt à haute résolution uniforme.
1.3 Stratégie
Il est à présent bien établi que l’atmosphère est le siège de phénomènes dy
namiques complexes caractérisés par la sensibilité aux conditions initiales. Il en résulte que deux états initialement indiscernables suivront au-delà d’un certain laps de temps des parcours entièrement différents. Pour l’observateur, ceci mar
quera la limite de la possibilité de prévoir leur devenir d’une façon détaillée. Rap
pelons que sur le plan opérationnel un état ne peut jamais être déterminé avec une précision infinie. Il correspond dès lors à une région plutôt qu’à un point dans l’espace des phases — l’espace sous-tendu par l’ensemble des variables en présence. A cette imprécision de la mesure on peut également ajouter les erreurs d’arrondis dans la simulation numérique d’un modèle ou encore l’inaccessibilité de certaines données expérimentales entraînant une connaissance incomplète de l’état initial.
La performance des modèles numériques de prévision du temps s’évalue en
1.3. STRATÉGIE 27
quantifiant leur limite de prévisibilité, soit l’horizon au-delà duquel la prévision devient obsolète. Celle-ci se base sur le calcul de la croissance des erreurs entre un modèle atmosphérique et la réalité au cours du temps. Tant que les erreurs restent relativement faibles, on dira que la prévision du modèle est de bonne qualité. Pour calculer ces erreurs, on a recours à une approche statistique qui consiste à effectuer plusieurs réalisations du processus partant d’états initiaux voisins et de déduire ensuite des valeurs des différentes observables d’intérêt en prenant des moyennes sur cet ensemble (Nicolis, 1992).
La prévisibilité de modèles globaux à grande échelle, tel le modèle du Cen
tre Européen qui fournit les prévisions sur la Belgique, a fait l’objet de nom
breuses études qui suggèrent un temps de doublement de l’erreur de quelques jours (Lorenz, 1982 ; Simmons et al., 1995). La situation reste à un stade plutôt préliminaire en ce qui concerne les modèles régionaux. La vision communément admise est que la qualité des prévisions d’un modèle à aire limitée va dépendre essentiellement des schémas de paramétrisations physiques ajoutés aux équations du modèle et de la façon dont seront traitées les conditions de bords. Dans cette optique, Anthes et al. (1985) montrent notamment l’importance jouée par le choix des conditions de bords sur la dégradation de la prévision au cours du temps. Par la suite, des expériences du même type sur un plus grand nombre de réalisations (~ 10 ) et avec des modèles plus sophistiqués ont abouti aux mêmes conclusions (Vukicevic et Errico, 1993 ; Errico et Baumhefner, 1987, Warner et al., 1997 et références incluses).
Le désavantage de la plupart de ces analyses est qu’elles ont été effectuées en considérant que le modèle représentait parfaitement la réalité. Depuis quelques années, diverses études se sont efforcées de comparer au cas par cas les prévisions obtenues par ces modèles régionaux aux mesures réellement effectuées dans l’at
mosphère, afin d’évaluer l’apport de ces modèles à mailles fines par rapport aux
modèles à grande échelle (Ducrocq, 1995 ; Sénési et al., 1996 ; Errico et Vukice- vic, 1992). Cette dernière approche, bien qu’elle apporte une information sur la qualité de la prévision, souffre cruellement d’un manque de réalisations. Enfin, en raison de grand nombre de variables et de processus impliqués, il apparaît délicat de mettre en évidence l’origine des erreurs dominantes responsables de la perte de prévisibilité dans ces modèles.
Il semble donc que la complexité intrinsèque des modèles ne permet, à l’heure actuelle, ni de générer suffisamment de réalisations pour avoir une vision statis
tique complète de la dynamique de l’erreur dans ces modèles, ni de déterminer avec précision les phénomènes à l’origine de leur perte de performance.
Nous adopterons par conséquent une approche alternative au travers des différents chapitres de cette thèse, en essayant de réduire systématiquement le nombre de degrés de liberté du système dynamique complet, tout en gardant les principaux ingrédients à la base de la dynamique complexe de l’amosphère. Le mérite de modèles simplifiés est de permettre une exploration systématique des comportements en fonction des paramètres et de faire des analyses statistiques en générant un grand nombre de trajectoires des phases.
Nous nous attacherons donc à déterminer les propriétés dynamiques, statis
tiques et de prévisibilité de deux types de modèles régionaux opérationnels (maille variables et imbrication avec couplage unilatéral) en ne conservant que leur com
posantes essentielles, à savoir la dynamique chaotique et leurs méthodes de con
ception.
Le premier modèle régional étudié au Chapitre 2 est une équation discrète dans le temps et l’espace qui représente schématiquement l’évolution des modes insta
bles de la dynamique d’un système non-linéaire. Il sera question de déterminer
analytiquement l’effet de la résolution spatiale sur les instabilités introduites par
1.3. STRATÉGIE 29
un modèle global à mailles variables. Des vérifications numériques confirmeront les résultats analytiques, obtenus sans aucune hypothèse.
Les systèmes d’applications couplées sont depuis de nombreuses années un cadre idéal afin de développer des modèles heuristiques possédant une dynamique chaotique. Nous utiliserons au Chapitre 3 un réseau d’applications logistiques couplées afin de simuler un système spatialement étendu. Ce modèle fut l’occasion d’appliquer un schéma d’aggrégation spatiale des applications développé par Nico- lis et al. (1995) et basé sur la séparation des petites et grandes échelles dans la dynamique des processus étudiés. Cette méthode nous permettra de con
stituer un modèle à mailles variables, et d’étudier ses propriétés statistiques et de prévisibilité par rapport à un modèle de référence composé uniquement de mailles fines. Nous nous attarderons plus particulièrement sur la localisation des zones d’instabilité maximales sur le domaine régional et étudierons leurs propriétés en fonction des valeurs attribuées aux paramètres du modèle.
Le désavantage des deux types de modèles précédents réside dans la présence d’un espace discret qui ne permet pas de générer des observables variant contin
uellement sur l’espace comme c’est le cas pour les modèles atmosphériques réels.
D’autre part, la littérature fait particulièrement peu état de comparaisons de per
formances entre modèles régionaux et modèles globaux, ainsi qu’entre modèles à imbrication et à mailles variables. L’une des seules publications sur ce dernier point revient à Caian et Geleyn (1997) qui comparent l’approche à mailles vari
ables du modèle Arpège et l’approche à imbrication du modèle Aladin France
(couplé à Arpège) pour différents facteurs d’étirements de la maille Arpège, en
fonction duquel ils définissent un modèle optimal. Leur résultat principal à cet
égard est que Arpège domine jusqu’à un facteur d’étirement c = 9 (soit pour les
très hautes résolutions spatiales), au-delà duquel le modèle Aladin semble plus
adapté.
Ces restrictions seront levées dans le Chapitre 4 où nous analyserons les propriétés de modèles globaux et régionaux basés sur l’équation complexe de Ginzburg-Landau à une dimension spatiale. Cette équation génère du chaos spatio-temporel pour des valeurs de paramètres déterminées et permet de re
produire qualitativement l’évolution temporelle des principales observables at
mosphériques (température, humidité, etc). D’autre part, sa relative simplicité permet de développer des modèles régionaux de deux types (à imbrication et à mailles variables), aussi bien que des modèles globaux et un système de référence.
Les coûts de calcul d’un cycle d’intégration restant relativement modestes, nous serons en mesure d’effectuer un grand nombre de réalisations à partir de différ
entes conditions initiales qui fourniront un ensemble de résultats statistiques duquel nous pourront extraire des conclusions sur la qualité de représentation des champs en certains points de l’espace par différents modèles. Nous nous consacrerons plus spécialement à l’étude des effets introduits par le couplage du modèle régional au modèle global sur les propriétés de prévisibilité des modèles régionaux. Nous analyserons également l’influence de la taille et de la résolution du domaine régional sur sa dynamique. Nous pourrons ainsi montrer qu’une taille optimale non-triviale existe pour le domaine régional, permettant de représenter au mieux la dynamique du système sous-jacent.
Le Chapitre 5 sera consacré à l’analyse d’un modèle régional à aire limitée opérationnel à la lumière des résultats obtenus aux chapitres précédents. Le modèle choisi pour cette étude est le modèle Eta du Centre National de Prévisions Environnementales des Etats-Unis. La complexité de ce modèle rend les analy
ses quantitatives nettement plus ardues, mais nous avons toutefois pu tirer des conclusions importantes quant à la dynamique interne du modèle ainsi qu’à ses caractéristiques de prévisibilité, calculées à partir d’un ensemble de réalisations s’étalant entre août et octobre 2000. D’une part, nous montrerons que la dy
namique intrinsèque du modèle n’est pas chaotique, confirmant par ce fait des
1.3. STRATÉGIE 31
études précédentes ayant démontré l’absence de sensibilité aux conditions ini
tiales de ce type de modèles. D’autre part, les caractéristiques de prévisibilité des différentes versions expérimentales du modèle révéleront une taille optimale pour le domaine régional qui, contrairement aux résultats parus dans la littérature, est la plus petite parmi les 4 tailles investiguées. Ce résultat inhabituel peut être expliqué à partir de la dynamique interne du modèle.
Enfin, le Chapitre 6 est dévolu à une discussion des implications des principaux
résultats obtenus et suggérera quelques pistes pour prolonger ces travaux.
-un-jiM.
Chapitre 2
Dynamique linéarisée des modes instables
2.1 Introduction
De nombreux modèles atmosphériques ont fait l’objet d’une linéarisation de leurs équations dans le but de calculer des directions de propagation des instabilités dominantes (Buizza and Palmer, 1995; Hoskins et al., 2000) ou d’affiner la connaissance de l’état initial de l’atmosphère en incorporant des observations durant une plage temporelle continue de plusieurs heures, par des stratégies d’assimilation de données faisant intervenir l’adjoint du modèle original (Tala- grand, 1997). Ces techniques de linéarisation ont permis d’améliorer considéra
blement la connaissance des modèles, de corriger certaines de leurs erreurs, et de déterminer les zones sur la planète où il serait judicieux d’ajouter des sites de mesure des observables atmosphériques afin de réduire l’erreur sur les conditions initiales calculées par les modèles.
33
Dans un cadre plus général, la linéarisation des équations du mouvement autour d’un état stationnaire instable permet de décrire l’évolution des modes instables de la dynamique sous l’effet d’un forçage quelconque.
Par exemple, le forçage orographique constitue l’un des facteurs prépondérants dans la perte de prévisions des modèles numériques de prévision du temps, dont la résolution grossière ne permet pas de capturer la finesse des variations topographi
ques, même si l’on dispose à l’heure actuelle de banque de données du relief à très haute résolution, réalisées, en partie, grâce à l’apport des mesures satellitaires.
Un grand nombre de phénomènes locaux importants tels que les cyclones sous le vent du relief, les vents descendant des sommets, les brises de terre et de mer et les fronts côtiers sont reliés à des contrastes topographiques importants ainsi qu’aux contrastes de température entre zones terrestres et maritimes (Smith 1979, Durran 1986, Peagle et al 1984, Pierrehumbert 1986). Ces inhomogénéités de surface engendrent des forçages stationnaires sur le flot atmosphérique et peu
vent augmenter la prévisibilité des modèles lorsqu’il est signifiant (Lilly 1984, Anthes 1984). Mesinger et al. (1988) ont notamment montré que la qualité de prévision d’nn modèle peut être augmentée par une meilleure représentation to
pographique dans le modèle, mais une autre contribution à l’amélioration de la qualité peut également provenir d’nn forçage plus marqué, plus fort. Par exem
ple, les cyclogenèses n’apparaissent pas aléatoirement par rapport à la position d’une montagne, qui joue donc un rôle majeur de paramètre de forçage sur les prévisions.
De même, le forçage orographique est à l’origine de la production de préci
pitations suite à des transports d’air humide et chaud vers le haut le long des
pentes de la montagne, qui se refroidit et condense, ou via des courants con-
vectifs initiés par des gradients thermiques entre le sommet de la montagne et
la vallée. L’influence des effets orographiques sur le développement et la distri
2.1. INTRODUCTION 35
bution spatiale des précipitations a fait l’objet de nombreuses études telles que Smith (1979), Barros et Lettenmaier (1994) et Barros et Kuligowski (1998). Elles ont montré qu’au voisinage de barrières élevées ou d’un pic montagneux isolé les précipitations sont essentiellement créées par la montée forcée d’air chaud et hu
mide. Par contre, les reliefs moins élevés ou dont la pente est moins abrupte présentent une plus grande variétés de phénomènes à l’origine des précipitations.
La dynamique d’un système linéarisé autour d’un état de référence instable s’écrit typiquement sous la forme
dtf = \f + DVH ( 2 . 1 )
où f = f (ar, t) est une fonction discrète de l’espace et du temps, A est un coefficient inversément proportionnel au temps caractéristique de la croissance des erreurs en l’absence de diffusion {D = 0) : A ~ et /) est le coefficient de diffusion qui retarde l’explosion des variables. Nous montrerons à la Section 2.3 que les solu
tions de cette équation présentent un comportement qualitativement identique à celles d’un flux atmosphérique forcé par un obstacle topographique. Dans cette configuration, f serait le flux d’air, A un paramètre dont le signe régit l’instabilité de l’état de référence du système, tandis que le second terme du membre de droite de l’éq. ( 2 . 1 ) représente un terme de transport et de dissipation des structures dans l’espace. Par la suite nous considérerons A comme un facteur d’instabilité topographique (représentant ici le rapport y du relief, où h est la hauteur et / l’épaisseur de l’obstacle).
En choisissant une grille de résolution spatiale constante, on peut utiliser les techniques traditionnelles de discrétisation de la dérivée spatiale du second ordre, qui fournissent des solutions dont la précision est d’ordre 2 , et conduisent à modifier l’éq. ( 2 . 1 ) comme suit :
dtfi = A/i H- “ 2/i -I- /i+i) (2.2)
Dans le cas où les tailles des mailles varient sur le domaine d’intégration, on dit alors que le modèle est à mailles variables, et il est nécessaire d’adopter un schéma de discrétisation plus complexe (Hirsch 1994), suivant lequel l’éq. (2.1) devient :
dtfi — A/i +
2D
Axi + Ax,+i \Axi Axi+i + 1
Axj^i (2.3)
OÙ Axi est le pas d’espace de la maille séparant les points Xi_i et x,. On remarque que, à la limite où Ax, tend vers Ax^+i, on retombe sur (2.2).
En se limitant au cas du modèle global à mailles équidistantes [éq. (2.2)], on pose D{x) = ^2 6 t pour plus de commodité on définit D{x) par D, que nous appellerons dorénavant pseudo-coefficient de diffusion, puisque ce dernier est une fonction de la résolution adoptée sur le domaine pris en considération.
Le but est d’effectuer une étude analytique de cette équation pour différen
tes valeurs de Ax sur une grille de dimensions fixées afin de déterminer l’effet d’un changement de résolution sur le comportement des instabilités dans de tels domaines. Cet aspect du problème sera plus particulièrement abordé à la Section 2 . 2 , avant d’augmenter la complexité en analysant ce changement de résolution dans le cas d’un modèle régional à mailles variables. La Section 2.3 s’attachera essentiellement à analyser la dépendance des valeurs propres du système régional en les pseudo-coefficients de diffusion, la valeurs de ces derniers étant différentes sur l’ensemble de la grille. Il sera notamment montré que les valeurs propres dépendent du type d’instabilités (représentées par les A) introduites dans l’éq.
(2.1). En fonction de celles-ci, nous pourrons établir des conclusions précises sur le type de perturbations à introduire dans le système afin de générer un apport de stabilité sur le domaine régional du modèle à mailles variables.
Il est bon de noter que le comportement de modèles basés sur l’éq. (2.1)
entraîne les variables à une évolution inéluctable vers l’infini, conduite par le
2.2. EXPÉRIENCES SUR LES MODÈLES GLOBAUX 37
paramètre A, l’explosion étant néanmoins retardée par le terme de diffusion. Cette évolution peut-être assimilée grossièrement à celle d’une prévision météorologique déterministe, qui, bien qu’étant capable de maintenir les incertitudes initiales pe
tites durant quelques heures, conduit inévitablement, en raison d’une dynamique chaotique, la prévision à s’éloigner de la réalité, pour finir par présenter des er
reurs de l’ordre de la mesure elle-même, rendant toute prévision obsolète. Par conséquent, nous concentrerons notre étude pour les temps courts de l’évolution des variables fi, notre but étant d’établir analytiquement les conditions régissant le comportement des instabilités présentes dans chacun des systèmes dynamiques (2.2) et (2.3).
2.2 Expériences sur les modèles globaux
Les modèles globaux sont exploités afin de disposer d’une représentatoin numé
rique fiable de phénomènes physiques divers. En météorologie, ils permettent de décrire la dynamique de l’atmosphère à l’échelle du globe, avec des résolutions suffisantes afin de capturer les principales caractéristiques de la dynamique à grande échelle.
Traditionnellement, lorsque les améliorations apportées à la puissance des ordinateurs le permettent, la résolution spatiale de tels modèles est augmentée afin de pouvoir englober un plus grand nombre de phénomènes atmosphériques non-détectés par le modèle. Le but de cette section est d’analyser les effets de l’augmentation de la résolution sur la qualité de la prévision générée par le modèle (2.2).
Au vu de la dépendance D ^ augmentant le nombre de points de
grille N du domaine de longueur L, on affine la résolution en réduisant la taille
des mailles, ce qui a pour effet d’augmenter la valeur du pseudo-coefficient de diffusion D.
Plus précisément, pour un système global de taille L, composé de Na mailles de résolution il apparaît que
D D
Da =
(—Y\ J
DNl (2.4)
(AXo,)^ VATc,.
On voit donc que lorsque la résolution est modifiée, le pseudo-coefficient de résolution varie comme le carré du nombre de points de grille.
Dès lors, on s’attend à ce que lorsque le nombre de points de grille (la résolution) augmente sur un domaine d’extension finie, Its instabilités soient moins marquées, suite à l’influence du pseudo-coefficient de diffusion (2.4) dans l’éq. (2.2). Cette conclusion semble logique si on suppose que les modèles à mailles fines donnent une représentation plus proche de la réalité que les modèles globaux, ce qui peut être admis comme postulat de base à l’existence de tels modèles.
A titre d’exemple, l’équation (2.2) peut se réécrire comme suit dans deux systèmes globaux de longueur L, avec la fonction f qui est respectivement repré
sentée par les variables x sur les mailles fines et X sur les mailles larges : dfXi = \xi + Di(x,_i - 2xi -f j :,+ i ) Vf = 1,..., iVi
dfXi = \Xi -f- D2{Xi-i — 2X{ Xi^Q Vz = 1,..., N
2< N\
avec la condition Di > D
2.
Comme nous l’avons déjà mentionné, ces équations peuvent être vues comme
celles régissant les instabilités autour d’un état stationnaire instable. Nous allons
utiliser une méthode spectrale pour déterminer les solutions de l’éq. (2.2). Soit
la transformée de Fourier discrète.
2.2. MODÈLES GLOBAUX 39
et son inverse
-, N1 \_ T t2TTjk
