Analyse de bifurcation des systèmes spatialement étendus . 106

étendus

La description macroscopique des systèmes composés de nombreuses particules

donne typiquement naissance à des variables d’état qui sont des “champs”, dans

le sens où ils dépendent de façon continue des coordonnées spatiales. Les lois

4.2. DESCRIPTION DU MODÈLE ₁₀₇

d’évolution de ces variables prennent la forme d’équations aux dérivés partielles

de la forme

= Fi({X,(r,()},{V*X,(r,l)}.A) (4.1)

Ces lois contiennent des dérivées spatiales telles que par exemple le Laplacien

de la température V^T, ou le gradient de la vitesse Vv, et peuvent résulter

sous certains cas particuliers en les équations de la dynamique des fluides et les

équations de réaction-diffusion.

Un système dynamique de la forme de l’équation (4.1), appelé dès à présent

système spatialement étendu, possède, en principe, une infinité de variables -

les valeurs des champs {X,(r, t)} en chaque point de l’espace. La façon la plus

commode de résoudre cet ensemble d’équations suit les trois étapes suivantes:

(i) Identifier un état de référence Xg qui est une solution exacte des équations

(4.1). Le choix de Xg est motivé par des arguments physiques. Typique­

ment, Xg est un état décrivant le comportement “le plus simple” observé

dans le système, à savoir l’état au repos dans le problème de la convection

thermique, par exemple.

(ii) L’étape suivante consiste à tester la stabilité de Xg face à des perturbations.

A cette fin, on réduit le problème non-linéaire initial en un problème linéaire,

et on effectue une analyse de stabilité linéaire du système spatialement

étendu.

(iii) Enfin, le comportement non-linéaire autour de Xg au-delà du point d’insta­

bilité sera exploré par une méthode perturbative dont le but est d’obtenir

des équations pour l’amplitude des solutions à l’ordre dominant.

Dans ce qui suit nous nous intéresserons à l’équation complexe de Ginzburg-

Landau, qui décrit l’évolution de l’amplitude des solutions au voisinage d’une

bifurcation de Hôpf dans un système spatialement étendu. Nous consacrerons

l’essentiel de cette présentation à l’analyse de la troisième étape, en supposant

que les résultats des deux premières sont acquis.

Nous nous intéressons donc à la construction des solutions bifurcantes de

l’ensemble complet des équations non-linéaires (4.1) au-delà du palier d’instabi­

lité. Nous allons exprimer ces équations en termes d’une variable excédentaire X{

autour de l’état de référence Xis, avec Xi = Xis -f X{,

= C{\, V). x(r, i) + h(A, V, x(r, ()) (4.2)

où l’opérateur linéarisé C et les contributions non-linéaires h contiennent des

dérivées spatiales agissant sur x(r, t).

On suppose que l’analyse de stabilité linéaire a révélé l’existence d’une valeur

critique \c du paramètre de contrôle A pour laquelle s’opère un changement de

stabilité. L’opérateur linéarisé £(Ac, V) admet alors une valeur propre u dont

la partie réelle est nulle = 3Çu;(Ac) = 0. En d’autres termes, pour A = Ac,

l’équation linéarisée admet des solutions de la forme :

X =

= ue*“‘^Vm(r) (4.3)

où <^m(r) est une fonction propre de la partie dépendant de l’espace de l’opérateur

C satisfaisant les conditions de bords suivantes

VVm(r) = -klMr) (4.4)

et k est un nombre d’onde et m un indice de l’ensemble (infini) des fonctions

propres.

Les solutions bifurcantes seront stationnaires si Oc = ^(^c) = 0 et périodiques

dans le temps si Oc ^ 0. Dans ce dernier cas, on parlera alors de bifurcations de

Hôpf. Celles-ci nous intéresserons plus particulièrement par la suite.

4.2. DESCRIPTION DU MODELE ₁₀₉

Pour obtenir la forme explicite des solutions qui émergent par la bifurcation,

les équations (4.2) doivent être résolues, ce qui se révèle être très complexe,

voire impossible. Par conséquent, l’étude des solutions bifurcantes est limitée

au voisinage immédiat de A^. De plus, on suppose que les nouvelles solutions

apparaissent de manière continue, ce qui exclut une émergence verticale ou un

saut. Ces hypothèses permettent de développer la solution x en une série de

puissance d’un petit paramètre e, dépendant de A — A^..

exi + e^X2 + ... (4.5)

Ê7i + e^72 + • • • (4.6)

où les coefficients 71, 72,... seront déterminés à partir de l’analyse de perturba­

tion.

Les équations (4.2) ne mettent pas seulement x en scène, mais aussi son

taux de variation par rapport à la variable indépendante t. A la criticalité,

pour le cas Qc = 0, l’éq. (4.3) indique qu’au niveau de la description linéarisée,

X

ne varie pas avec le temps après une période transitoire durant laquelle les

modes stables (valeurs propres de £(Ac) possédant une partie imaginaire négative)

relaxent exponentiellement vers zéro. Par continuité, on s’attend à ce que la

solution

X

du système d’équations complet (4.2) au voisinage de Ac soit une

fonction variant lentement dans le temps. Ce ralentissement critique, réminiscent

des théories de l’équilibre des phénomènes critiques, suggère l’introduction de

nouvelles échelles temporelles lentes, plus adaptées, T

i

, T2, ... via

d d 2 ^

(4.7)

Les bifurcations de Hôpf se caractérisent par le fait qu’à la valeur critique

du paramètre de contrôle A = A^, la partie imaginaire Qc de la valeur propre

critique u>c de l’opérateur linéarisé (dont la partie réelle s’annule par la définition

X

varie périodiquement sur une échelle temporelle rapide, donnée par Dès

lors, il faut adapter la relation (4.7) afin de tenir compte de la variation rapide.

Celle-ci devient :

d ^ d d 2 ^

ut uT

u

T2

lorsque 3Çu;c = 0, SsUc 7^ 0 à la criticalité.

(4.8)

Il ne nous reste plus qu’à voir comment traiter les dérivées spatiales dans

(4.2).

Pour les systèmes de petite extension spatiale, le spectre des modes est

discret. Pour A suffisamment proche de Ac, seul un mode (ou un petit nombre de

modes) sera déstabilisé. Les correspondants dans (4.3) détermineront alors

complètement la dépendance spatiale de la partie dominante de la solution dans

l’espace non-linéaire. Ce cas est donc élémentaire, puisque l’action des dérivées

spatiales est immédiat et qu’aucun développement additionnel n’est nécessaire.

Par contre, dans le cas des systèmes spatialement étendus, la situation se

complexifie notablement. Dès que le système entre dans le domaine d’instabilité,

ce n’est plus un petit nombre de modes, mais bien un continuum de modes qui

seront excités. En raison de la présence du terme non-linéaire dans (4.2), ces

modes interagiront, le système comportant alors plus d’une échelle spatiale.

Afin de déduire les échelles dominantes parmi le continuum d’échelles pré­

sentes, on exprime km comme la somme de sa valeur de référence km^ et d’une

déviation AA:,

km = kmc + AA: (4.9)

et observons qu’à une certaine distance du palier d’instabilité A — Ac, la valeur de

AA: peut être estimée par

4.2. DESCRIPTION DU MODÈLE 111

puisque la valeur propre vaut ïîa; = a{\ — Ac) —

Par conséquent, une dérivée spatiale agissant sur x(r, donnera naissance à

une variation “rapide” associée au mode km^ et une variation “lente” associée à

AA;, cette dernière étant pondérée par un facteur (A — ou, en termes de e,

par ou e selon que 71 0 ou que 71 = 0 dans (4.6).

dr

dr

A+ ,1/2A

dR dpi

d d

+...

dR^^dpi

(71 ^ 0)

(71 = 0) (4.11)

En substituant (4.6)-(4.8) et (4.11) dans les équations (4.2) on obtient, aux

différents ordres en e, un ensemble d’équations linéaires pour les approximations

successives de Xk. Les équations à l’ordre 0{e) sont homogènes et ont la même

structure que les équations de stabilité linéaire, leurs solutions sont donc de la

forme

Xi(r,

<) = c{p, T)ue’“'=^<^m(R) + c.c. (4.12)

où l’amplitude c est indéterminée à cet ordre, et dépend des échelles lentes de

temps et d’espace qui n’apparaissent pas explicitement dans les équations à l’ordre

0{e). Elle joue le rôle d’une enveloppe, modulant les variations exprimées par

^îi'm(R).

Les équations aux ordres supérieurs pour Xk, k > 2 sont inhomogènes.

Pour les résoudre, il est nécessaire de poser des conditions de solvabilité puisque

l’opérateur £(Ac, V) agissant sur x possède un espace nul non trivial. Ces condi­

tions fournissent des équations pour l’amplitude indéterminée c(p, r), qui sont des

équations différentielles partielles en raison de la dépendance de c en la variable

d’espace lente p.

4.2.2 L’équation complexe de Ginzburg-Landau (ECGL)

On se tourne vers les systèmes dont l’extension dans au moins une direction de

l’espace est bien plus grande que la taille caractéristique du mode critique prévu

par l’analyse de stabilité linéaire. L’analyse des bifurcations dans ce type de

systèmes doit être réalisée en effectuant des changements d’échelles appropriés

des coordonnées spatiales, cf. éqs. (4.11). Le type de changement d’échelle

dépend de l’instabilité rencontrée. Dans cette section, nous considérerons des

systèmes du type réaction-diffusion au voisinage d’une instabilité correspondant

à une paire de valeurs propres complexes traversant l’axe imaginaire à la criti-

calité. Nous supposerons en outre que la première instabilité du système pris en

considération apparaît à = 0, une situation correspondant à une brisure de

symétrie temporelle. La relation de dispersion pour la partie réelle de la valeur

propre s’écrit alors ,

^ujc^a{X-X,)-bkl + 0{kt,) (4.13)

tandis que sa partie imaginaire résulte en une équation du type,

Qu; ~ De + c(A - Ae) + gki + 0{kt^) (4.14)

Par conséquent, on peut anticiper un changement d’échelle similaire à celui de

l’éq. (4.8). Le développement en séries de e de la variable d’espace sera similaire

à l’éq. (4.11) excepté la variation “rapide” puisque les modes dominants

les plus instables contiennent des dépendances spatiales modulées par de petits

nombre d’ondes au voisinage de l’instabilité (5Ru; = 0). Sachant que l’analyse de

la bifurcation de Hôpf pour les systèmes spatialement uniformes implique 71 = 0

et Di = 0 en raison de la périodicité de la variable temporelle (imposé par la

condition de solvabilité du développement à l’ordre on aboutit finalement

à l’analyse perturbative des équations (4.2),

4.2. DESCRIPTION DU MODÈLE 113

avec

X = exi -1- e^X2 + ... (4.16)

A-Ae = e^72 + ... (4.17)

d _{r. d 2 ^}

dt ^(4.18)

d d

dr dp ^(4.19)

A présent, dans les systèmes de type réaction-diffusion avec des coefficients

de diffusion constants, nous disposons d’une forme restreinte de l’éq. (4.2), où h

devient indépendant de V et £ peut être décomposé en une partie indépendante

de V additionnée d’une contribution proportionnelle à l’opérateur Laplacien:

— = £o(A) • X + £i(A)V2x + h(A,x) (4.20)

En substituant les équations (4.16)-(4.19) dans (4.20) et en développant les

solutions du système en ordres croissants du paramètre c, on obtient le système

d’équations:

(9(e):

O

[fîe^l->Co(Ae)]-Xi =0 (4.21)

Ce système homogène d’équations est équivalent à l’analyse de stabilité liné­

aire. Il admet des solutions de la forme

Xi =

c

{

t

, p)ue'^ + c.c. (4.22)

0{t^) : On obtient le système inhomogène d’équations

1

- £o(Ac)] • X

2

= -hxx • xiXi (4.23)

puisque 71 = 0 et fli = 0 en raison de la bifurcation oscillante de type Hopf.

contributions en et e ainsi que des termes indépendants de T. On peut

donc rechercher des solutions X2 de la forme

X2 = c^p2C^‘^ + c*^p2e“^''^ + |c|^po (4.24)

les coefficients p2 et po ne pouvant être déterminés que lorsque la structure

détaillée du système sera connue.

0{e^) : C’est à cet ordre que les dépendances lentes de temps et d’espace

apparaissent pour la première fois. On obtient,

d 1

[fîc^l - >Co(Ac)] • X3 = 72£

o

(A

c

) • Xi + hxx(Ac) • X1X2 + -hxxx • XiXiXi

(9x

—+ -^i(Ac)VpXi = q3(4.25)

La condition de solvabilité de cette équation implique que le membre de droite

soit orthogonal à l’espace propre nul de l’adjoint de l’opérateur agissant sur X3,

qui est de la forme On a donc,

r2w

/ dTe-^u+* • q3(c, T,p) = Q (4.26)

Jo

où le point indique le produit scalaire ordinaire dans un espace vectoriel linéaire.

En substituant la forme détaillée de Xi, éq. (4.22), et de X2, éq. (4.24), dans

(4.26), on obtient,

^ dT• {72

c

[£

o

(A

c

) • u]e®^ - + V^c[£i(Ac) • u]e®^

+ ^(hxxx • uuu*)|cpce*^ + [hxx(Ac) • (p2U* + pou)]e‘^|cpc

A{termes en e^®*, e“®^, e”^®^, e~^®^)} (4-27)

En raison de l’intégration sur T, il apparaît clairement que seuls les termes en

e®^ survivront dans l’éq. (4.27). Cela conduit à une équation pour l’amplitude c

de la forme

4.2. DESCRIPTION DU MODÈLE ₁₁₅

dans laquelle les coefficients Pi, P2 et Qi sont déterminés à partir de la relation

(4.27) et de la structure du système sous-jacent. Notons qu’en général Pj et

Qi sont à valeur complexe. En divisant par u+ ■ u, en introduisant l’amplitude

normalisée A = cc ei en ré-établissant les paramètres initiaux A — Ac, r et t via

les éqs. [(4.17)-(4.19)], on obtient finalement,

8 A

-^ = (A - X,)A + (1 +

zq

)VM - (1 - i(i)\A\^A (4.29)

dans laquelle des changements d’échelle judicieux (indépendant de e), nous ont

permis d’éliminer P\ ainsi que les parties réelles de P3 et de Qi, supposés tous

deux positifs,

q

et /3 sont des paramètres réels, a est le coefficient mesurant la

force de la dispersion linéaire, soit la dépendance de la fréquence des ondes au

nombre d’onde, tandis que j3 mesure la dispersion non-linéaire.

Le terme cubique de l’éq. (4.29) tient compte de la saturation des instabilités

générant les ondes en mouvement via les non-linéarités, tandis que le terme inclu­

ant la dérivée spatiale décrit les effets de dissipation et de dispersion au travers

des phénomènes de transferts de masse, de chaleur et de quantité de mouve­

ment. Notons enfin, qu’à la limite a, /3 —0, on retombe sur l’équation réelle de

Ginzburg-Landau.

Pour obtenir les deux équations d’amplitude (réelle - RGL -, ou complexe

- CGL), la seule hypothèse formulée consiste en l’existence d’une bifurcation

supercritique possédant un nombre d’onde non nul. Si ce critère est satisfait, le

caractère réel ou complexe des équations d’amplitude dépend des caractéristiques

de la bifurcation: RGL pour des bifurcations stationnaires et CGL pour des

bifurcations oscillantes.

L’équation (4.29), qui nous intéresse plus particulièrement, est donc une

équation universelle décrivant la dynamique d’un système spatialement étendu au

voisinage d’une bifurcation de Hôpf à partir d’un état stationnaire, conduisant.

suivant la valeur de £, vers un état oscillant ou vers un comportement chao­

tique. Ce type de dynamique est connu pour apparai tre dans de nombreux

domaines de la physique, tel que par exemple les systèmes générant des struc­

tures (patterns), des ondes de propagation ou encore de la convection thermique,

l’un des processus à la base de la variabilité atmosphérique à petite échelle (Agee,

1984). Dans le cadre de notre étude, nous l’avons utilisée afin de disposer d’un

modèle canonique présentant du chaos spatio-temporel, émulant certaines car­

actéristiques essentielles de la dynamique atmosphérique, tout en se prêtant à

une analyse approfondie de ses propriétés.

On peut considérer l’éq. (4.29) comme la forme normale d’un système dy­

namique spatialement étendu au voisinage d’une instabilité oscillante de type

(SR

l

J

c

= 0, ’AuJc ^ 0,kjnc = 0). Cette équation apporte une correction à la forme

normale de la bifurcation de Hôpf en introduisant une enveloppe variant lente­

ment qui module l’amplitude des oscillateurs individuels en différents points de

l’espace. Cette méthode pour décrire le couplage entre des oscillateurs spatiale­

ment distribués induits par diffusion a l’immense mérite d’être universelle, à tout

le moins au voisinage du point de bifurcation. Elle a été étudiée complètement

d’abord par Newell (1974) et Kuramoto (1984), et ensuite par Coullet et Gil

(1988), qui se sont plus particulièrement intéressés au rôle des symétries constru­

ites dans le système.

L’équation (4.29) est couramment appelée Equation Complexe de Ginzburg-

Landau (ECGL), puisqu’elle généralise l’équation réelle de Landau-Ginzburg fa­

milière des phénomènes d’équilibre critique. Cette dernière corrige la théorie de

Landau du champ moyen des phénomènes critiques en autorisant des fluctua­

tions spatiales inhomogènes. A la limite de coefficients purement imaginaires

et pour A = Ac, l’éq. (4.29) se réduit à l’équation non-linéaire de Schrodinger

utilisée abondamment dans l’étude des ondes dans les systèmes non-dissipatifs

4.2. DESCRIPTION DU MODÈLE ₁₁₇

(Newell et Maloney, 1992). Le fait que dans notre contexte les coefficients des

termes cubiques et de la dérivée spatiale soient complexes est une conséquence

du caractère dissipatif de la dynamique et de contraintes de non-équilibre. Cela

implique qu’à l’opposé de sa contrepartie à l’équilibre, cette équation ne dérive

pas d’un potentiel. Ceci ouvre la voie à de nouveaux phénomènes de non-équilibre

spécifiques naissant de la perte de stabilité du cycle limite homogène et allant de

la propagation de fronts d’ondes jusqu’au chaos spatio-temporel et la génération

de défauts.

Afin de percevoir la naissance de cette complexité, il est utile de présenter les

grandes lignes de l’analyse de stabilité linéaire du cycle limite homogène solution

de (4.29) dans un système unidimensionnel. On peut facilement voir que la forme

générale des solutions de (4.29) s’écrit,

As = {X- (4.30)

En posant

A = A, -b 5A{r, t)e-^

0

U-^c)t (4 3^^

on obtient la version linéarisée de l’éq. (4.29) :

Ç Â

-— = -{1-^ il3{X _ \^){SA + SA*) + (1 + ia)V^SA (4.32)

ou encore, avec SA = 5Ae**”' et SA = upiv et après séparation des parties réelles

et imaginaires ,

^ = -[2(A - Ac) -b k‘^]u -b otk'^v

ai

dv

— =-[2/3{X - Xc) + ak'^]u - k\ (4.33)

L’équation caractéristique de ce système est.

Dans la région supercritique A — Ac > 0 la somme des racines reste manifestement

négative. La seule instabilité pouvant apparaître est par conséquent via le terme

constant qui s’annulerait et deviendrait négatif. Ceci implique que les paramètres

a et /d soient tels que

1 +

q

/3 < 0 (4.35)

Cette inégalité constitue une condition pour la complexité spatio-temporelle puis­

que à cette échelle une oscillation homogène comprenant le système comme un

tout ne peut plus être maintenue. Cette instabilité est induite par la présence

de coefficients complexes dans l’éq. (4.29), ou, par équivalence, par la présence

d’une variable de phase non-triviale reliée à la partie imaginaire du paramètre

d’ordre A. Dans ce sens, on peut parler d’instabilité de phase.

Au-delà de ce palier naît une instabilité vis à vis des modes de grandes ondes,

usuellement appelée instabilité de Benjamin-Feir . Dans ces conditions, du chaos

spatio-temporel peut se développer, caractérisé par une évolution erratique de la

phase locale du champ A{x,t). En effet, pour ajS > 1, toutes les solutions à en­

roulement de phase sont linéairement instables. Ce résultat remarquable conduit

à des attentes d’apparition de comportements chaotiques, qui nous intéressent

spécialement.

Shraiman et al. (1992), ainsi que Chaté (1994), ont étudié en détail les

différents régimes naissant au-delà de l’instabilité de Benjamin-Feir, en se basant

essentiellement sur l’analyse des types de motifs pouvant apparaître suite aux

modifications des valeurs des paramètres a et /3. Ils ont plus particulièrement

mis en évidence différents types de régimes chaotiques, qui sont le chaos de phase

et le chaos d’amplitude, représentés à la Figure 4.1.

Comme les techniques analytiques ne peuvent être employées dans le régime

chaotique (une analyse de stabilité linéaire n’a, par exemple, aucun sens), nous

4.2. DESCRIPTION DU MODÈLE 119

Figure 4.1: Reproduction de l’analyse de stabilité des solutions de l’éq. (4.29)

obtenue par Shraiman et al. (1992). Les lettres DC, PC, BC représentent respec­

tivement les régions de Defect Chaos, Phase chaos, Bi-chaos. La ligne continue

symbolise l’instabilité de Benjamin-Feir.

rechercherons une solution numérique de l’équation (4.29).

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