Différentielle de l'exponentielle de matrices

4 Développements mixtes

4.1 Différentielle de l’exponentielle de matrice

Référence :F. Rouvière, Petit guide de calcul différentiel, Cassini, 2014. Leçons concernées : 156, 215, 220, 221.

Théorème 1. On note ad X : MnpRq Ñ MnpRq, H fiÑ rX, Hs “ XH ´ HX. La

différen-tielle de l’application exp : MnpRq Ñ GLnpRq est :

d exppXq ¨ pHq “ exppXq

`8_ÿ k“0

p´ ad Xqk

pk ` 1q! H.

Démonstration. Étape 1 : on note E “ MnpRq. Soit H P E et A P LpEq. On résout les

équations d’inconnues f, g : R Ñ E

f1ptq “ Afptq, fp0q “ H g1ptq “ expptAqH, gp0q “ 0.

On raisonne par analyse-synthèse. D’après la théorie des séries entières on sait que t Ñ expptAq est dérivable sur R de dérivée A expptAq “ expptAqA. Ainsi, si hptq “ expp´tAqfptq, h1_{ptq “ ´A expptAqfptq ` A expptAqfptq “ 0, et donc avec hp0q “ expp0 ¨ Aqfp0q “ H, on} obtient fptq “ expptAqH, et on vérifie que f est bien solution. Pour g, toujours d’après la théorie des séries entières on peut intégrer terme à terme pour obtenir, avec gp0q “ 0,

g_{ptq “}´ `8<sub>ÿ</sub> k“0 tk`1Ak pk ` 1q! ¯ H et on vérifie que g est bien solution.

Étape 2 : pour tout X, H P E, exppXqH expp´Xq “ exppad XqH. On pose fptq “ expptXqH expp´tXq, et en dérivant on obtient

f1ptq “ X expptXqH expp´tXq ´ expptXqH expp´tXqX “ ad Xpfptqq

ainsi, d’après l’étape 1, puisque fp0q “ H, on a fptq “ exppt ad XqH, et donc, en évaluant en t “ 1 on obtient

exp_{pXqH expp´Xq “ exppad XqH.} Étape 3 : on pose

gptq “ B Bu

´

expp´tXq expptpX ` uHq¯pt, 0q.

Alors g1_{ptq “ expp´t ad XqH. En effet, l’application exponentielle étant de classe C}2_,

l’ap-plication pt, uq fiÑ expp´tXq expptpX `uHq est de classe C2_{et d’après le lemme de Schwarz,}

g1ptq “ B

2

BtBu ´

expp´tXq expptpX ` uHq¯pt, 0q “ B

2

BuBt ´

expp´tXq expptpX ` uHq¯pt, 0q “ <sub>Bu</sub>B ´´ expp´tXqX expptpX ` uHq ` expp´tXqpX ` uHq expptpX ` uHq¯pt, 0q “ <sub>Bu</sub>B ´u expp´tXqH expptpX ` uHq¯pt, 0q “ expp´tXqH expptXq.

Ainsi, d’après l’étape précédente, g1_{ptq “ expp´t ad XqH, et donc, puisque gp0q “ 0, d’après}

la première étape, en évaluant en t “ 1, on obtient g_{p1q “}´ `8<sub>ÿ</sub> k“0 p´ ad Xqk pk ` 1q! ¯ H.

Or, gp1q “ h1_{p0q où hpuq “ expp´Xq exppX`uHq, et on sait que h</sub>1<sub>puq “ expp´Xq d exppX`}

uHqpHq et donc enfin, exp_{p´Xq d exppXqpHq “}´ `8<sub>ÿ</sub> k“0 p´ ad Xqk pk ` 1q! ¯ H d’où le résultat.

Application 2. Soit X : R Ñ E dérivable. Alors si X commute avec sa dérivée en tout point,

pexppXqq1ptq “ exppXptqqX1ptq mais ce n’est pas vrai en général.

Démonstration. Par dérivation des fonctions composées et le théorème précédent on a pexppXqq1ptq “ d exppXqpX1q “ exppXq´X1´1

2rX, X

1_{s `}1

6rX, rX, X

1_{ss ` ¨ ¨ ¨}¯

d’où l’égalité si rX, X1_{s “ 0. Mais si on pose}

Xptq “ ˆ

1 t 0 0

˙ alors on remarque que Xptqn_{“ Xptq pour n • 0, et donc}

exp_{pXptqq “} ˆ e _{pe ´ 1qt} 0 1 ˙ . Ainsi pexppXqq1ptq “ ˆ 0 e´ 1 0 0 ˙ ‰ exppXqX1 “ ˆ 0 e 0 0 ˙ . 115