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127 : EXPONENTIELLE DE MATRICES – App I. Définition et calcul

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Academic year: 2022

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127 : EXPONENTIELLE DE MATRICES – App I. Définition et calcul [MT][Se]

1. Définition et premières propriétés

def – pol en A – exp( somme, inverse, semblable, diag...)

2. Calcul pratique

a/ Grace à la décomposition de Dunford b/ Grace à la décomposition de Jordan

exp(J

λ

) = e

λ

(1,1,

1

/

2

,...,

1

/

(n-1)!

)

II. Régularité et inversion [MT][FG2]

1. Continuité, surjectivité, injectivité

C

∞

- surj ds C (pas ds R), exp(A)=In ssi A diag et Sp<2πZ (non inj) homeo Hn~Hn++

2. Inversion

a/ au voisinage de 0

diffeo avc vois de In – app : pas de ss gpe arbitrmt ptt de GLn

b/ fonction logarithme

III. Applications [MT][FaA]

1. Résultats topologiques

Dec polaire – Connexité : GLn(C)/Un, On/GLn(R) (2comp), O/Upq

2. Equations différentielles

res d'une EDL1

3. Groupes de Lie linéaires

def : gpe de Lie lin, ssgpe à 1 param, alg de Lie – ss-var, ex

Biblio :

Mneimné Testard Faraut

Serre

Francinou Gianella 2

Développements :

8 – Exp homeo de Hn dans Hn++

9 – Propriétés de l'exp de matrices

Références

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