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246 : SERIES DE FOURIER – Ex & App I. Définition et premières propriétés

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Academic year: 2022

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246 : SERIES DE FOURIER – Ex & App I. Définition et premières propriétés [Be][ZQ]

cadre : le Tore, C < L

∞

< L

p

< L

1

1. Définitions

e

n

- c

n

(f) – a

n

(f) – b

n

(f) – S

N

(f)

2. Propriétés des coefficients

c

n

( f, f+a, f ' ,...)

3. Propriétés de la ''transformation''

algèbre (L

1

,*), lemme Rieman Lebesgue, morphisme d'algèbres

II. Etude de la convergence [Be][ZQ]

1. Convergence au sens de Césaro

Th Fejer – csqces : densité des pol trigo, cvgce normale de S

N

2. Convergence en moyenne quadratique

structure hilbertienne de L

2

(T) – cvgce L

2

– ss-suite cvgte – isométrie L

2

~l

2

3. Convergence ponctuelle

c-ex : existe f tq lim S

N

(f)(0)≠f(0) – th de Dirichlet

III. Applications [G2][ZQ][BG]

1. Equation de la chaleur 2. Inégalité isopérimétrique

ineg de Wirtinger, app : ineg isopérimétrique

3. Formule sommatoire de Poisson

formule, app : eq fonctinnelle pour θ

Biblio :

Beck

Zuilly Queffelec Berger Gostiaux

Développements :

9 – Banach-Steinhaus + app 12 – Inégalité isopérimétrique

14 – Formule sommatoire de Poisson

Références

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I°) Définition et propriétés

• Soit f une isométrie distincte de l’identité. Si M est invariant par f alors M est un point de la médiatrice de [AA’]. • Une isométrie qui fixe 3 points non alignés

I-Définition et propriétés :

Si f une isométrie fixe deux points distincts A et B (1) Alors elle fixe tous les points de la droite (AB). (2) Si de plus elle est différente de l’identité alors f est la