MP23 Calcul différentiel

Licence Sciences et T echniques L1 PC

MP23

Calcul différentiel

Recueil d’exercices corrigés et aide-mémoire.

Gloria Faccanoni

i http://faccanoni.univ-tln.fr/enseignements.html Année 2013 – 2014

Table des matières

1 Approximations : polynômes de Taylor & développements limités 3

2 Fonctions de plusieurs variables 39

2.1 Introduction . . . 39

2.2 Représentations de fonctions de deux variables . . . 40

3 Limites et continuité 51 3.1 Normes . . . 51

3.2 Limites . . . 52

3.3 Continuité . . . 54

4 Dérivabilité et différentiabilité, fonctions implicites 61 4.1 Dérivées partielles du premier ordre et gradient . . . 61

4.2 Différentiabilité . . . 66

4.3 Dérivées partielles de deuxième ordre et matrice hessienne . . . 72

4.4 Fonctions implicites . . . 76

5 Extrema 117 5.1 Extrema libres . . . 118

5.2 Extrema liés . . . 127

6 Intégrales multiples 193 6.1 Intégrale double d’une fonction continue . . . 193

6.2 Intégrale triple . . . 196

6.3 Applications . . . 197

6.4 Quelques intégrales remarquables . . . 200

7 Fonctions vectorielles d’une variable réelle : courbes paramétrées 233 7.1 Courbes planes en coordonnées polaires . . . 235

8 Champs de vecteurs, formes différentielles 237 8.1 Formes différentielles . . . 238

8.2 Champs de vecteurs . . . 238

Dernière mise-à-jour Jeudi 5 juin 2014

1

Dernière mise à jour : Jeudi 5 juin 2014

Ce cours s’adresse à des étudiants de la première année d’une Licence Physique-Chimie. Il a pour objectif de donner les bases en calcul différentiel pour des fonctions de plusieurs variables indispensables à toute formation en physique et en chimie.

Les notions supposées connues correspondent au programme du premier semestre.

L’objet de ce aide-mémoire est de proposer une explication succincte des concepts vu en cours. De nombreux livres, parfois très fournis, existent. Ici on a cherché, compte tenu des contraintes de volume horaire, des acquis des étudiants au premier semestre et des exigences pour la suite du cursus, à dégager les points clés permettant de structurer le travail personnel de l’étudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Ce polycopiée ne dispense pas des séances de cours et de TD ni de prendre des notes complémentaires. Il est d’ailleurs important de comprendre et apprendre le cours au fur et à mesure car on a très peu de temps et beaucoup de concepts nouveaux. Ce polycopié est là pour éviter un travail de copie qui empêche parfois de se concentrer sur les explications données oralement mais ce n’est pas un livre auto-suffisant (il est loin d’être exhaustif ) ! De plus, ne vous étonnez pas si vous découvrez des erreurs. Malgré de très nombreuses relectures, il restera toujours des fautes, ce polycopié est donc fournit sans garanties ! N’hésitez pas à me signaler les erreurs que vous remarquez.

On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrigés. Ceux-ci, de difficulté variée, répondent à une double nécessitée. Il est important de jongler avec les différents concepts introduits en cours et même de faire certaines erreurs une fois pour bien identifier les pièges. Les exercices permettent d’orienter les raisonnements vers d’autres domaines (physique, économie, etc.), cela afin d’exhiber l’intérêt et l’omniprésence du calcul différentiel. Cependant, veuillez noter que vous n’obtiendrez pas grande chose si vous vous limitez à choisir un exercice, y réfléchir une minute et aller vite voir le début de la correction en passant tout le temps à essayer de comprendre la correction qui va paraitre incompréhensible. Pour que la méthode d’étude soit vraiment efficace, il faut d’abord vraiment essayer de chercher la solution. En particulier, il faut avoir un papier brouillon à coté de soi et un crayon. La première étape consiste alors à traduire l’énoncé (pas le recopier), en particulier s’il est constitué de beaucoup de jargon mathématique. Ensuite il faut essayer de rapprocher les hypothèses de la conclusion souhaitée, et pour cela faire quelques calculs ou transformer les hypothèses pour appliquer un théorème dont on aura vérifier que les hypothèses sont bien satisfaite. C’est ici que l’intuition joue un grand rôle et il ne faut pas hésiter à remplir des pages pour s’apercevoir que l’idée qu’on a eu n’est pas la bonne. Elle pourra toujours resservir dans une autre situation.

Quand finalement on pense tenir le bon bout, il faut rédiger soigneusement en s’interrogeant à chaque pas sur la validité (logique, mathématique) de ce qu’on a écrit. Si l’étape précédente ne donne rien, il faut chercher de l’aide (voir le début de la correction, en parler à un autre étudiant, interroger les tuteurs).

Gloria FACCANONI

IMATH Bâtiment U-318 T0033 (0)4 94 14 23 81

Université du Sud Toulon-Var

Avenue de l’université B [email protected]

83957 LA GARDE - FRANCE i http://faccanoni.univ-tln.fr

1 Approximations : polynômes de Taylor &

développements limités

Il est souvent plus avantageux de remplacer des fonctions compliquées par des fonctions plus simples qui les approchent.

Définition

Linéarisation

Si on approche une fonction f au voisinage d’un point x0au moyen d’une fonction affine L(x) = q + mx, il est naturel de choisir la fonction L dont le graphe est tangent au graphe de la fonction f en x0:

L(x) = f (x0) + f⁰(x0)(x − x0).

C’est ce qu’on appelle la linéarisation de f en x₀. Dans certains cas on mentionne explicitement le point auquel la linéa- risation est obtenue et on note la linéarisation de f en x₀par L_x0.

Attention

La linéarisation d’une fonction dépend du point auquel on linéarise la fonction. Par exemple, la linéarisation de la fonction f (x) =p

1 + x en 0 donne L0(x) = 1 + x/2 (car f⁰(x) = 1/(2p

1 + x) et L0(x) = f (0) + f⁰(0)x = 1 + x/2) tan- dis que la linéarisation en 3 donne L₃(x) = (5 + x)/4. La linéarisation L0fournit une meilleure approximation de f tant que x < 1, la linéarisation L3 devient meilleure lorsque x > 1. En x = 1, les deux linéarisations fournissent la même valeur.

f L0

L₃

x y

−2 −1 0 1 2 3 4

Définition

Notation

Lorsqu’elle est évaluée en x₀, la linéarisation de la fonction f en x₀coïncide avec la fonction f . Lorsque x reste proche de x0, la linéarisation de Lx₀fournit une approximation de f . On note

f (x) ' L(x) lorsque x ' x0.

Le signe ' signifie “est approximativement égal à” sans que l’on attache ici de sens plus précis à cette notation.

Exemple

La dérivée de f (x) = (1+x)ⁿest égale à f⁰(x) = n(1+x)ⁿ⁻¹. La linéarisation de f à l’origine est donc égale à L₀(x) = f (0)+ f⁰(0)x = 1+nx est on a

(1 + x)ⁿ' 1 + nx lorsque x ' 0.

Cette formule particulièrement simple à retenir est valable pour des valeurs quelconques de n. Elle permet de calculer rapidement des approximations de racines et de puissances de nombres proches de l’unité. Ainsi, par exemple

p3

1.2 = (1 + 0.2)^0.3' 1 +0.2 3 = 1.06.

La même formule permet d’évaluer immédiatement 1.002¹⁰⁰à 1.2 (la valeur exacte est 1.221 . . . ).

3

1 Approximations : polynômes de Taylor & développements limités Dernière mise à jour : Jeudi 5 juin 2014

Exemple

La linéarisation de la fonction sin à l’origine est L₀(x) = x, donc

sin(x) ' x lorsque x ' 0.

C’est la linéarisation que l’on effectue pour résoudre l’équation du pendule en physique.

La qualité de cette approximation peut être également appréciée au moyen de quelques valeurs :

f L₀

x₀ x

y

x −0.2 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.2

f (x) = sin(x) −0.1986 −0.0998 −0.0499 0 0.0499 0.0998 0.1986

L₀(x) = x −0.2 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.2

La linéarisation d’une fonction f en un point x₀est un polynôme de degré inférieur ou égal à 1 tel que (L(x₀) = f (x0),

L⁰(x0) = f⁰(x0).

Les polynômes de TAYLORgénéralisent cette construction pour des polynômes de degrés quelconques.

Définition

Polynôme de TAYLOR

Le polynôme de TAYLORd’ordre n généré par f au point x₀est le (seul) polynôme P_nde degré inférieur ou égal à n qui satisfait les conditions

P_n^(k)(x₀) = f^(k)(x₀) pour k = 0,1,...,n, i.e. le polynôme

P_n(x) =

n

X

k=0

f^(k)(x₀)

k! (x − x0)^k.

Le graphe du polynôme de TAYLORd’une fonction f en x₀est une courbe polynomiale tangente au graphe de f en x₀.

Remarque

Soit la fonction f (x) = x²+ 1. On a f⁰(x) = 2x, f⁰⁰(x) = 2 et f^(k)(x) = 0 lorsque k ≥ 3. Les polynômes de T^AYLORd’ordre 0, 1 et 2 générés par f à l’origine s’obtiennent par P₀(x) = P1(x) = 1 et P2(x) = Pk(x) = f (x) lorsque k ≥ 3 : les polynômes de TAYLORd’ordre ≥ 2 sont tous égaux à 1 + x². C’est la raison pour laquelle on définit un polynôme de TAYLORd’ordre n et non pas de degré n : le degré d’un polynôme de TAYLORpeut être inférieur à son ordre.

Proposition

Le polynôme de TAYLORd’ordre n généré au point x₀par un polynôme f de degré m ≤ n coïncide avec f quel que soit x0.

Exemple

Le polynôme de TAYLORd’ordre n généré au point 0 par la fonc- tion f (x) = e^xest

P_n(x) = 1 + x +x² 2 +x³

6 + . . .xⁿ n!.

f

P₀ P₁ P₂

x₀

x y

Dernière mise à jour : Jeudi 5 juin 2014 1 Approximations : polynômes de Taylor & développements limités

Exemple

Le polynôme de TAYLORd’ordre 4 généré au point 0 par le fonc- tion f (x) = sin(x) est

Pn(x) = x −x³ 6

La qualité de l’approximation des fonctions circulaires par leurs polynômes de TAYLORest excellente.

f P₃

x₀ x

y

Exemple

Le polynôme de TAYLORd’ordre n généré au point 0 par le fonction f (x) = (1 − x)^m, m > n est

Pn(x) = Xn k=0

f^(k)(0) k! x^k. Comme

f^(k)(x) = m(m − 1)···(m − (k − 1))(1 − x)^m−k= m!

(m − k)!(1 − x)^m−k= Ãm

k

!

k!(1 − x)^m−k on trouve

Pn(x) = Xn k=0

Ãm k

! x^k.

Propriété

Soit f et g deux fonctions n fois dérivables en un point x₀et P_f et P_gleurs polynômes de TAYLORd’ordre n en x₀. Alors 1. le polynôme de TAYLORd’ordre n généré par la somme f + g au point x0est le polynôme P_f+ Pg;

2. le polynôme de TAYLORd’ordre n généré par le produit f g au point x₀est la somme des termes de degré inférieur ou égaux à n du polynôme P_fP_g;

3. le polynôme de TAYLORd’ordre nk généré par f (x^k) au point x₀est le polynôme P_f(x^k) ; 4. le polynôme de TAYLORd’ordre n − 1 généré par f⁰au point x0est le polynôme P⁰_f.

Exemple

Somme

Sachant que le polynôme de TAYLORd’ordre 3 généré par sin(x) à l’origine est égal à x − x³/6, on peut conclure que le polynôme de TAYLORd’ordre 3 généré par 4x + 3x²− sin(x) à l’origine est égal à 4x + 3x²− (x − x³/6), i.e. P₃(x) = 3x + 3x²+ x³/6.

Exemple

Produit

Sachant que le polynôme de TAYLORd’ordre 3 généré par e^xà l’origine est égal à 1+x +x²/2+x³/6, on peut conclure que le polynôme de TAYLORd’ordre 3 généré par (x + 2x²− x³)e^x à l’origine est donné par le polynôme obtenu par la somme des termes de degré inférieur ou égaux à 3 du produit (x + 2x²− x³)(1 + x + x²/2 + x³/6), i.e. P₃(x) = x + 3x²+ 3x³/2.

Exemple

Composition

Sachant que le polynôme de TAYLORd’ordre n généré par 1/(1−x) = (1−x)⁻¹à l’origine est égal à 1+x +x²+· · ·+xⁿ, on peut conclure que le polynôme de TAYLORd’ordre n généré par 1/(1 − (−x)) = (1 − (−x))⁻¹à l’origine est égal à 1 + (−x) + (−x)²+ · · · + (−x)ⁿ, i.e.

1−x+x²+· · ·+(−1)ⁿxⁿet que le polynôme de TAYLORd’ordre n généré par 1/(1+x²) à l’origine est égal à 1+(−x²)+(−x²)²+· · ·+(−x²)ⁿ, i.e. 1 − x²+ x⁴+ · · · + (−1)ⁿx²ⁿ.

Exemple

On veut calculer les polynômes de TAYLORd’ordre 4 à l’origine générés par les fonctions f deR dans R suivantes :

1. f (x) = e^x 2. f (x) = sin(x) 3. f (x) = e^x+ sin(x) 4. f (x) = e^xsin(x) 5. f (x) = e^sin(x)

© G. Faccanoni 5

1 Approximations : polynômes de Taylor & développements limités Dernière mise à jour : Jeudi 5 juin 2014

Par définition de polynôme de TAYLORon a

f (x) ' f (0) + f⁰(0)x +f⁰⁰(0)

2 x²+f⁰⁰⁰(0)

6 x³+f^{(i v)}(0)

24 x⁴ lorsque x ' 0.

1. f (x) = e^x

f (x) = e^x f (0) = 1

f⁰(x) = e^x f⁰(0) = 1

f⁰⁰(x) = e^x f⁰⁰(0) = 1

f⁰⁰⁰(x) = e^x f⁰⁰⁰(0) = 1

f^{(i v)}(x) = e^x f^{(i v)}(0) = 1

donc

e^x' 1 + x +x² 2 +x³

6 +x⁴

24 lorsque x ' 0.

2. g (x) = sin(x)

f (x) = sin(x) f (0) = 0

f⁰(x) = cos(x) f⁰(0) = 1

f⁰⁰(x) = −sin(x) f⁰⁰(0) = 0

f⁰⁰⁰(x) = −cos(x) f⁰⁰⁰(0) = −1

f^{(i v)}(x) = sin(x) f^{(i v)}(0) = 0

donc

sin(x) ' x −x³

6 lorsque x ' 0.

3. s(x) = e^x+ sin(x)

En utilisant la définition :

f (x) = e^x+ sin(x) f (0) = 1

f⁰(x) = e^x+ cos(x) f⁰(0) = 2

f⁰⁰(x) = e^x− sin(x) f⁰⁰(0) = 1

f⁰⁰⁰(x) = e^x− cos(x) f⁰⁰⁰(0) = 0

f^{(i v)}(x) = e^x+ sin(x) f^{(i v)}(0) = 1 donc

e^x+ sin(x) ' 1 + 2x +x² 2 +x⁴

24 lorsque x ' 0.

En utilisant la propriété de la somme : e^x+ sin(x) '

Ã

1 + x +x² 2 +x³

6 +x⁴ 24

! +

à x −x³

6

!

= 1 + 2x +x² 2 +x⁴

24 lorsque x ' 0.

4. p(x) = e^xsin(x)

En utilisant la définition :

f (x) = e^xsin(x) f (0) = 0

f⁰(x) = e^x(sin(x) + cos(x)) f⁰(0) = 1

f⁰⁰(x) = 2e^xcos(x) f⁰⁰(0) = 2

f⁰⁰⁰(x) = 2e^x(cos(x) − sin(x)) f⁰⁰⁰(0) = 2

f^{(i v)}(x) = −4e^xsin(x) f^{(i v)}(0) = 0

donc

e^xsin(x) ' x + x²+x³

3 lorsque x ' 0.

En utilisant la propriété du produit :

e^xsin(x) ' termes de degré inférieur ou égal à 4 du produit Ã

1 + x +x² 2 +x³

6 +x⁴ 24

! Ã x −x³

6

!

= termes de degré inférieur ou égal à 4 de Ã

x + x²+x³ 3 −x⁵

24−x⁶ 36− x⁷

144

!

= x + x²+x³

3 lorsque x ' 0.

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5. c(x) = e^sin(x)

En utilisant la définition :

f (x) = e^sin(x) f (0) = 1

f⁰(x) = cos(x)e^sin(x) f⁰(0) = 1

f⁰⁰(x) =

³

cos²(x) − sin(x)

´

e^sin(x) f⁰⁰(0) = 1

f⁰⁰⁰(x) =

³

cos²(x) − 3sin(x) − 1

´

cos(x)e^sin(x) f⁰⁰⁰(0) = 0

f^{(i v)}(x) =³

sin(x) − 4cos²(x) + 3sin²(x) − 6sin(x)cos²(x) + cos⁴(x)´

e^sin(x) f^{(i v)}(0) = −3 donc

e^sin(x)' 1 + x +x² 2 −x⁴

8 lorsque x ' 0.

En utilisant la propriété de la composition :

e^sin(x)' termes de degré inférieur ou égal à 4 de



1 + Ã

x −x³ 6

! +

³ x −^x₆³

´₂

2 +

³ x −^x₆³

´₃

6 +

³ x −^x₆³

´₄ 24







= termes de degré inférieur ou égal à 4 de Ã

1 + x +x² 2 −x⁴

8 −x⁵ 12−x⁶

72+x⁷ 72+ x⁸

144− x⁹ 1296− x¹⁰

1296+ x¹² 31104

!

= 1 + x +x² 2 −x⁴

8 lorsque x ' 0.

Exemple

On veut déterminer la limite de visibilité depuis un point d’altitude H au-dessus du niveau de la mer. Du point A on voit jusqu’au point B .

O A

B C

H

ϑ R

L’on a

cos(ϑ) =OB O A= R

R + H = 1 1 +^H_R.

Pour une altitude «raisonnable», ^H_R est petit etϑ également (R ≈ 6371 km). On utilise les deux équivalences

cos(ϑ) ≈ 1 −ϑ²

2 , 1

1 +^H_R = µ

1 +H R

¶₋₁

≈ 1 −H R,

qui conduisent à ϑ ≈q

2^H_R. On conclut que la distance C B à la surface de la Terre, c’est-à-dire la longueur de l’arc de cercle, est` = Rϑ =p

2R H . Par exemple, du sommet de la tour Eiffel (H = 324m) on peut voir à une distance de 66 kilomètres.

L’utilisation d’un polynôme de TAYLORd’ordre n d’une fonction f en x₀pour approcher f à proximité de x₀induit une erreur qui est d’autant plus élevée que le graphe de la fonction s’écarte du graphe de f . L’erreur commise n’est nulle partout que lorsque la fonction f est un polynôme de degré inférieur ou égal à n. Lorsqu’on dispose d’une borne sur la dérivée (n + 1)- ème de f , il est possible de borner l’erreur. De plus, lorsque l’on utilise un polynôme de TAYLORd’ordre de plus en plus grand pour approcher f , on s’attend à ce que l’approximation s’améliore.

Théorème

Erreur d’approximation

Soit f : [a; b] → R une fonction n + 1 fois dérivable et soit Pn le polynôme de TAYLORd’ordre n généré par f en x₀. Si

| f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)| ≤ M pour tous les x dans [a;b], alors

| f (x) − Pn(x)| ≤(b − a)ⁿ⁺¹ (n + 1)! M pour tous les x dans [a; b].

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Exemple

La linéarisation de f (x) = sin(x) en x = 0 donne sin(x) ' x. Quelle est la précision de cette approximation lorsque |x| ≤ 0.5 ? Comme

|x|≤0.5max| f⁰⁰(x)| = max

|x|≤0.5|− sin(x)| = sin(0.5), une application directe du théorème permet d’écrire

|sin(x) − x| ≤(0.5)²

2 sin(0.5) ≤ 0.06 pour tous les x dans [−0.5;0.5].

Exemple

Le polynôme d’ordre 2 généré par la fonction f (x) = 1/(1 − x) à l’origine est donné par P₂(x) = 1 + x + x².

Considérons ces fonctions sur l’intervalle [0; 0.1]. La fonction f⁰⁰⁰ est dérivable sur cet intervalle et max_x∈[0;0.1]| f⁰⁰⁰(x)| = max_x∈[0;0.1]|6/(1 − x)⁴| = 6/(1 − 0.1)⁴= M. Par conséquent

| f (x) − P2(x)| ≤(0.1 − 0)²⁺¹

(2 + 1)! 6/(1 − 0.1)⁴≤ 0.00152 pour tous les x dans [0; 0.1].

Définition

Développement limité.

f admet un développement limité à l’ordre n en x₀, et on le note DL_n(x₀), siDf∩]x0− δ, x0+ δ[\{x0} 6= ; pour tout δ > 0 et s’il existe un polynôme P_nde degré ≤ n tel que

f (x) = Pn(x − x0) + (x − x0)ⁿε(x − x0), oùε est une fonction de Df∩] − δ, +δ[\{0} à valeur dans R telle que lim

x→0ε(x) = 0. Au lieu de (x − x0)ⁿε(x − x0) on écrit souvent o((x − x0)ⁿ).

Lorsqu’il existe, le polynôme Pnest unique.

Théorème

de TAYLOR-YOUNG

Si f et toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre n sont définies et continues en tout point d’un intervalle ouvert I contenant x₀ alors f admet un développement limité à l’ordre n en x₀donné par la formule

f (x) =

n

X

k=0

f^(k)(x₀)

k! (x − x0)^k+ (x − x0)ⁿε(x − x0).

Attention

On dit qu’une fonction f admet un développement limité à l’ordre n (entier naturel) au point x₀s’il existe un polynôme P de degré au plus n tel que

f (x) = P(x − x0) + o((x − x0)ⁿ) = a0+ a1(x − x0) + a2(x − x0)²+ · · · + an(x − x0)ⁿ+ o((x − x0)ⁿ) au voisinage de x0.

Si f est n fois continûment dérivable sur un intervalle I avec n entier positif ou nul, alors pour tout point x0∈ I , f a un développement limité au point x0donné par la formule de Taylor-Young

f (x) =

n

X

k=0

f^(k)(x₀)

k! (x − x0)^k+ o((x − x0)ⁿ).

Il est tentant de penser que la réciproque est vraie, c’est-à-dire qu’une fonction qui admet un développement limité à l’ordre n en un point x₀est dérivable n fois en ce point. C’est effectivement le cas si n = 0 ou n = 1. Dans le premier cas, le développement limité s’écrit juste f (x) = a0+ o(1) et donc a0= f (a) par définition d’un o(1). Si n = 1 et f (x) = a₀+ a1(x − x0) + o(x − x0), alors a₀= f (a) pour la même raison, et par suite :

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ce qui implique que l’accroissement fini a une limite égale à a₁, ainsi f est bien dérivable en x₀et a₁= f⁰(x₀). Mais la réciproque est fausse pour n ≥ 2, autrement dit une fonction peut admettre un développement limité à l’ordre n ≥ 2 bien qu’elle ne soit pas n fois continûment dérivable.

Exemple

Soit f :R → R l’application définie par

f :R → R

x 7→

(x²sin³ 1 x

´

pour x 6= 0,

0 pour x = 0.

On veut calculer le développement limité à l’ordre 1 puis à l’ordre 2 en 0 de f et montrer que f n’admet pas de développement limité à l’ordre 3 en 0.

Commençons par calculer les dérivées de f :

f (x) = (x²sin

³1 x

´

pour x 6= 0

0 pour x = 0 et lim

x→0x²sinµ 1 x

¶

= 0 = f (0);

f⁰(x) =





 2x sin

³1 x

´

− cos

³1 x

´

pour x 6= 0 x→0lim

f (x)−f (0) x−0 = lim

x→0 x²sin¡₁

x¢−0

x−0 = 0 pour x = 0 et lim

x→0f⁰(x) = lim x→0 µ

2x sinµ 1 x

¶

− cosµ 1 x

¶¶

n’existe pas.

Par conséquent f est continue mais f⁰n’est pas continue en x = 0. Cela implique que f n’admet pas de dérivée seconde en 0.

On peut utiliser la formule de TAYLOR-YOUNGpour calculer le développement limité de f en 0 à l’ordre 1 : f (x) = f (0) + f⁰(0)x + o(x) = 0 + o(x).

En revanche, comme f n’admet pas de dérivée seconde en 0, on ne peut pas utiliser la formule de TAYLOR-YOUNGpour calculer le développement limité de f en 0 à l’ordre 2. Cependant, ce développement limité existe est pour le calculer il suffit de remarquer que

x→0lim x³sin

³1 x

´ x² = 0,

c’est-à-dire f (x) = o(x²) : le développement limité de f en 0 à l’ordre 2 est donc f (x) = 0 + o(x²).

On montre enfin qu’il n’existe pas de développement limité de f en 0 à l’ordre 3 car la limite

x→0lim x³sin³

1 x

´ x³ n’existe pas.

Attention

Développements limités usuels

ln(1 + x) =

k=nX

k=1

(−1)^k+1x^k

k + o¡xⁿ¢ = x −x² 2 +x³

3 −x⁴

4 + · · · + (−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n + o¡xⁿ¢ ln(1 − x) = −

k=nX

k=1

x^k

k + o¡xⁿ¢ = −x −x² 2 −x³

3 −x⁴

4 + · · · −xⁿ

n + o¡xⁿ¢ e^x=

k=nX

k=0

x^k

k!+ o¡xⁿ¢ = 1 + x +x² 2 +x³

6 +x⁴

24+ · · · +xⁿ

n!+ o¡xⁿ¢

sin(x) =

k=nX

k=0

(−1)^k x^2k+1

(2k + 1)!+ o¡x²ⁿ⁺²¢ = x −x³ 6 + x⁵

120+ · · · + (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n + 1)!+ o¡x²ⁿ⁺²¢ cos(x) =

k=nX

k=0

(−1)^k x^2k

(2k)!+ o¡x²ⁿ⁺¹¢ = 1 −x² 2 +x⁴

24+ · · · + (−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)!+ o¡x²ⁿ⁺¹¢ tan(x) = x +x³

3 +2x⁵ 15 +17x⁷

315 + o¡x⁸¢

© G. Faccanoni 9

1 Approximations : polynômes de Taylor & développements limités Dernière mise à jour : Jeudi 5 juin 2014

arcsin(x) = x +x³ 6 +3x⁵

40 + · · · +

¯

¯

¯

¯

¯ Ã−¹₂

n

!¯

¯

¯

¯

¯ x²ⁿ⁺¹

2n + 1+ o¡x²ⁿ⁺²¢ arccos(x) =π

2− arcsin(x) arctan(x) =

k=nX

k=0

(−1)^kx^2k+1

2k + 1+ o¡x²ⁿ⁺¹¢ = x −x³ 3 +x⁵

5 −x⁷

7 + · · · + (−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

2n + 1+ o¡x²ⁿ⁺²¢

sinh(x) =

k=nX

k=0

x^2k+1

(2k + 1)!+ o¡x²ⁿ⁺²¢ = x +x³ 6 + x⁵

120+ · · · + x²ⁿ⁺¹

(2n + 1)!+ o¡x²ⁿ⁺²¢ cosh(x) =

k=nX

k=0

x^2k

(2k)!+ o¡x²ⁿ⁺¹¢ = 1 +x² 2 +x⁴

24+ · · · + x²ⁿ

(2n)!+ o¡x²ⁿ⁺¹¢ tanh(x) = x −x³

3 +2x⁵ 15 −17x⁷

315 + o¡x⁸¢

(1 + x)^α=

k=nX

k=0

Ãα k

!

x^k+ o¡xⁿ¢ = 1 + αx +α(α − 1)

2 x²+α(α − 1)(α − 2)

6 x³+ · · · +Ãα n

!

xⁿ+ o¡xⁿ¢

avec les cas particuliers p1 + x = 1 +x

2−x² 8 +x³

16−5x⁴ 128+ o¡x⁴¢ p 1

1 + x== 1 −x 2+3x²

8 −5x³ 16 +5x⁴

128+ o¡x⁴¢ p1 − x = 1 −x

2−x² 8 −x³

16−5x⁴ 128+ o¡x⁴¢ 1

1 + x=

k=nX

k=0

(−1)^kx^k+ o¡xⁿ¢ = 1 − x + x²− x³+ · · · + (−1)ⁿxⁿ+ o¡xⁿ¢ 1

1 − x=

k=nX

k=0

x^k+ o¡xⁿ¢ = 1 + x + x²+ x³+ · · · + xⁿ+ o¡xⁿ¢

Définition

Prépondérance

Soit f et g deux applications deD vers R et soit x0∈ R ∪ { ±∞ }. On dit que f est négligeable devant g au voisinage de x0

s’il existe un voisinageV de x0et une fonctionϕ: V → R vérifiant

∀x ∈ V ∩ D, f (x) = g (x)ϕ(x), et lim

x→x0ϕ(x) = 0.

On note alors f =

x0

o(g ).

Si g ne s’annule pas dans un voisinage de x₀, cette définition est équivalente à

x→xlim0

f (x) g (x)= 0.

Exemple

ln(x) =

+∞o(x^α), ln(x) =

0⁺o(x^−α), x^α =

+∞o(e^x), |x|^α_−∞= o(e^−x).

Dernière mise à jour : Jeudi 5 juin 2014 1 Approximations : polynômes de Taylor & développements limités

Propriété

B f = o(1) ⇐⇒ limx→x0f (x) = 0

B f = o(f1) et g = o(g1) =⇒ f g = o(f1g₁) B f = o(h) et g = o(h) =⇒ f + g = o(h) B f = o(f1) =⇒ fⁿ= o( f1ⁿ), n ∈ N

B f = o(f1) =⇒ f^α= o( f1^α),α ∈ R si f et f1sont strictement positives au voisinage de x₀ B f ∼ g ⇐⇒ f − g = o(g )

Attention

B f = o(f1) et g = o(g1);f + g = o(f1+ g1) B f = o(f1);^ef = o(e^f1)

B f = o(f1);ln( f ) = o(ln(f1))

Définition

Asymptotes

Soit f définie sur un intervalle ]A, +∞[ (ou ]−∞, A[). On dit que f admet un développement limité généralisé à l’ordre n en a = +∞ (ou en a = −∞) s’il existe un polynôme P tel que f (x) = P(1/x) + o(1/xⁿ) au voisinage de ce point. L’expression P (1/x) n’est pas un polynôme, mais a des propriétés similaires. Dans la pratique, on peut obtenir un développement limité de f (x) en a = +∞ (ou en a = −∞) en posant x = 1/t (de sorte que t tend vers 0, avec un signe fixe) et en tentant de développer f (1/t ) au voisinage de 0.

Lorsque x et f (x) tendent vers l’infini, on obtient une asymptote oblique (si elle existe) en effectuant un développement limité au voisinage de l’infini :

f (x) x = a +b

x+ c x^k+ oµ 1

x^k

¶

où ^c

x^k est le premier terme non nul après ^b_x. Dans ce cas, la droite d’équation y = ax + b est asymptote à la courbe représentative de f . Et la position relative de la courbe et de l’asymptote résulte du signe de ^c

x^k lorsque x tend vers l’infini.

Définition

Équivalence

Soit f et g deux applications deD vers R et soit x0∈ R ∪ { ±∞ }. On dit que f est équivalente à g au voisinage de x0s’il existe un voisinageV de x0et une fonctionϕ: V → R vérifiant

∀x ∈ V ∩ D, f (x) = g (x)[1 + ϕ(x)], et lim

x→x0ϕ(x) = 0.

On note alors f ∼

x0

g .

Si g ne s’annule pas dans un voisinage de x₀, cette définition est équivalente à

x→xlim0

f (x) g (x)= 1.

Exemple

B Soit P (x) = a0+ a1x + a2x²+ · · · + anxⁿ, (a_n6= 0) une fonction polynomiale, alors P (x) ∼

+∞a_nxⁿ, P (x) ∼

−∞a_nxⁿ, P (x) ∼

0a₀si a₀6= 0.

B Soit F (x) =a0+ a1x + a2x²+ · · · + anxⁿ

b0+ b1x + b2x²+ · · · + bpx^p, (an6= 0 et bp6= 0) une fonction rationnelle, alors F (x) ∼

+∞

a_nxⁿ

bpx^p, F (x) ∼

−∞

a_nxⁿ

bpx^p, F (x) ∼

0 a₀ b0

si a₀, b₀6= 0.

B Fonctions trigonométriques : sin(x) ∼

0x, tan(x) ∼

0x, 1 − cos(x) ∼

0 x²

2. B Fonctions logarithmes, exponentielles, puissance :

ln(1 + x) ∼

0x, e^x− 1 ∼

0x, a^x− 1 ∼

0x ln(a) (a > 0), (1 + x)^α− 1 ∼

0αx (α ∈ R).

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1 Approximations : polynômes de Taylor & développements limités Dernière mise à jour : Jeudi 5 juin 2014

Théorème

Soit f et g deux applications deD vers R et soit x0∈ R ∪ { ±∞ }. Si lim_x→x

0f (x) = ` ∈ R ∪ { ±∞ } et si f ∼

x₀g , alors lim

x→x0g (x) = `.

Ce résultat est fondamentale car il permet de remplacer une limite par une limite plus simple.

Attention

Si deux fonctions ont même limite, elles ne sont pas nécessairement équivalentes. Par exemple, lim_x→+∞x = limx→+∞x² mais x 7→ x et x 7→ x²ne sont pas équivalentes en +∞.

Propriété

B f ∼ f1et g ∼ g1 =⇒ f g ∼ f1g1

B f ∼ f1 =⇒ ¹_f ∼ _f¹₁ si f et f1ne s’annulent pas au voisinage de x0

B f ∼ f1et g ∼ g1 =⇒ _g^f ∼_g^f1₁ si g et g₁ne s’annulent pas au voisinage de x₀ B f ∼ f1 =⇒ fⁿ∼ f₁ⁿ, n ∈ N

B f ∼ f1 =⇒ f^α∼ f₁^α,α ∈ R si f et f1sont strictement positives au voisinage de x₀

Attention

B f ∼ f1et g ∼ g1;f + g ∼ f1+ g1

B f ∼ f1;^ef ∼ e^f1 B f ∼ f1;ln( f ) ∼ ln(f1)

Dernière mise à jour : Jeudi 5 juin 2014 1 Approximations : polynômes de Taylor & développements limités

... Exercices ...

Exercice 1.1

Somme et produit de développements limités Calculer les développements limités suivants au point 0 :

1. _1−x¹ − e^xà l’ordre 3, 2. p

1 − x +p

1 + x à l’ordre 4, 3. sin(x) cos(2x) à l’ordre 5,

4. cos(x) ln(1 + x) à l’ordre 4, 5. (x³+ 1)p

1 − x à l’ordre 3, 6. ln²(x + 1) à l’ordre 4.

CORRECTION.

1. _1−x¹ − e^x=¡1 + x + x²+ x³+ o(x³)¢ −³

1 + x +^x₂²+^x₆³+ o(x³)´

=^x₂²+⁵₆x³+ o(x³) 2. p

1 − x +p

1 + x =³

1 −^x₂−^x₈²−₁₆^x3−^5x₁₂₈⁴+ o(x⁴)´ +

³

1 +^x₂−^x₈²+₁₆^x3−^5x₁₂₈⁴+ o(x⁴)´

+ o(x⁴) = 2 + x −^x₄²+^x₈³−₆₄⁵x⁴+ o(x⁴) 3. sin(x) cos(2x) =³

x −^x₆³+₁₂₀^x5 + o(x⁵)´ ³

1 −^(2x)₂²+^(2x)₂₄⁴+ o(x⁵)´

= x −¹³₆x³+¹²¹₁₂₀x⁵+ o(x⁵) 4. cos(x) ln(1 + x) =³

1 −^x₂²+^x₂₄⁴+ o(x⁴)´ ³

x −^x₂²+^x₃³+^x₄⁴+ o(x⁴)´

= x −^x₂²−^x₆³+ o(x⁴) 5. (x³+ 1)p

1 − x = (x³+ 1)³

1 −^x₂−^x₈²−^x₁₆³+ o(x³)´

= 1 −^x₂−^x₈²+¹⁵₁₆x³+ o(x³) 6. ln²(x + 1) = (ln(x + 1))(ln(x + 1)) =³

x −^x₂²+^x₃³+ o(x³)´ ³

x −^x₂²+^x₃³+ o(x³)´

= x²− x³+¹¹₁₂x⁴+ o(x⁴)

Exercice 1.2

Composition de développements limités Calculer les développements limités suivants au point 0 :

1. ln³

sin(x) x

´

à l’ordre 4, 2. e^sin(x)à l’ordre 4, 3. (cos(x))^sin(x)à l’ordre 5.

CORRECTION. 1. ^sin(x)_x =^x−

x3

6+₁₂₀^x5+o(x⁵)

x = 1 −^x₆²+₁₂₀^x4 + o(x⁴). On note u = −^x₆²+₁₂₀^x4 + o(x⁴) −−−→

x→0 0, alors ln³

sin(x) x

´

= ln(1 + u) = u −^u₂²+

o(u²) =³

−^x₆²+₁₂₀^x4 + o(x⁴)´

−

³

−^x2₆+₁₂₀^x4+o(x⁴)´2

2 + o(x⁴) =³

−^x₆²+₁₂₀^x4 + o(x⁴)´

−

x4 36+o(x⁴)

2 + o(x⁴) = −^x₆²+₁₂₀^x4 −^x₇₂⁴+ o(x⁴) =

−^x₆²−₁₈₀^x4 + o(x⁴)

2. sin(x) = x −^x₆³+ o(x⁴). On note u = x −^x₆³+ o(x⁴) −−−→

x→0 0, alors e^sin(x)= e^u = 1 + u +^u₂² +^u₆³+^u₂₄⁴+ o(u⁴). Comme u = x −^x₆³+o(x⁴), alors u²= x²−^x₃⁴+o(x⁴), u³= x³+o(x⁴) et u⁴= x⁴+o(x⁴) et on trouve e^sin(x)= 1+

³ x −^x₆³´

+

³ x²−^x4₃´

2 +

(^x3)

6 +(^x4)

24 + o(u⁴) = 1 + x +^x₂²−^x₈⁴+ o(x⁴)

3. (cos(x))^sin(x)= exp ((sin(x)) ln(cos(x))). Comme cos(x) = 1 −^x₂²+^x₂₄⁴+ o(x⁵), on pose u = −^x₂²+^x₂₄⁴+ o(x⁵) −−−→

x→0 0, alors ln(cos(x)) = ln(1+u) = u −^u₂²+^u₃³−^u₄⁴+^u₅⁵+o(u⁵). Comme u = −^x₂²+^x₂₄⁴+o(x⁵), alors u²=^x₄⁴+o(x⁵) et u³= u⁴= u⁵= o(x⁵), donc ln(cos(x)) =

³

−^x₂²+^x₂₄⁴+ o(x⁵)

´

−

³x4 4+o(x⁵)´2

2 +o(u⁵) = −^x₂²−^x₁₂⁴+o(x⁵). Sachant que sin(x) = x−^x₆³+₁₂₀^x5 +o(x⁵) on en déduit (sin(x)) ln(cos(x)) = −^x₂³+ o(x⁵). On pose alors v = −^x₂³+ o(x⁵) −−−→

x→0 0, et l’on a exp ((sin(x)) ln(cos(x))) = exp(v) = 1 + v +^v₂²+ o(v²) = 1 −^x₂³+ o(x⁵).

Exercice 1.3

Division de développements limités Calculer les développements limités suivants au point 0 :

1. x 7→_1−cos(t)^{sinh2(t )} à l’ordre 4, 2. _1+x+x¹ ₂ à l’ordre 4,

3. tan(x) à l’ordre 5, 4. _cos(x)+1^sin(x)−1à l’ordre 2,

5. ^ln(1+x)_sin(x) à l’ordre 3.

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