T.D. 12 — Calcul différentiel — Courbes et surfaces

PSI* 2019/2020

T.D. 12 — Calcul différentiel — Courbes et surfaces

1. Soit f :R² →Rdéfinie par

f(0,0) = 0 et f(x, y) =xy x²−y² x²+y² . Montrer que f est de classeC¹ surR². Calculer ∂²f

∂x∂y(0,0)et ∂²f

∂y∂x(0,0). Conclusion ? 2. Soit f l’application de GLn(R)dans Mn(R) qui àM associe M⁻¹.

Montrer que f est différentiable en tout point A deGLn(R), avec : df(A) :H → −A⁻¹HA⁻¹.

3. c Théorème d’Euler : soit C un cône ouvert de sommet O dans E (i.e. un ouvert de E tel que :

∀u ∈ C ∀t ∈ R^+∗ t.u ∈ C). Une application f de C dans R est dite homogène de degré α sur C (α∈Rdonné) si et seulement si :

∀u∈C ∀t∈R^+∗ f(t.u) =t^α.f(u).

Soit f de classe C¹ sur C. Montrer que f est homogène de degréαsur C si et seulement si :

∀u∈C df(u)·u=α.f(u).

4. Trouver les fonctions de classeC¹ surR² telles que :

∀(x, y)∈R² x·∂f

∂x(x, y) +y·∂f

∂y(x, y) = x⁴+y⁴. (On pourra utiliser le théorème d’Euler !)

5. Trouver les solutions de y∂f

∂x −x∂f

∂y = x²+y² xy de la forme (x, y)→ϕ(x) +ψ(y), oùϕet ψ sont de classe C¹ sur R.

6. Résoudre les équations aux dérivées partielles suivantes, en utilisant le changement de variables indiqué (f fonction inconnue de deux variables réelles) :

a) ∂f

∂x −∂f

∂y + 3(x−y)f(x, y) = 0 (u=x−y, v=x+y) b)x∂f

∂y −y∂f

∂x =k.f (coordonnées polaires)

7. Déterminer le maximum de f : (x, y)→ x+y

(1 +x²) (1 +y²) sur C= [0,1]². 8. Étudier les extrema des fonctions suivantes :

f : R² → R

(x, y) → x⁴+y⁴−2 (x−y)²

; g: ]0,+∞[² → R (x, y) → a

x +a y +xy

a²

(a >0 donné)

9. Dans la figure ci-dessous, ABC est un triangle isocèle de sommet principalC. Déterminer le maximum de la somme des aires des rectanglesIJ KL etM N OP, en fonction de l’aire deABC.

I

A B

C

J L K

M N

O P

10. Soit Σla nappe paramétrée par (u, v)→F(u, v)





x=u+v y =u²+v² z=u³+v³

,(u, v)∈R².

a)Quels sont les points singuliers de Σ?

b)Trouver l’équation cartésienne d’une surface S contenant le support de Σ.

c)Transformer le paramétrage de Σpar s=u+v,p=uv (pouru < v par exemple).

d)Vérifier que le support de Σest une réunion de demi-droites.

11. On considère la surface S d’équation x²+y²−z² = 1.

a)Montrer que S ne contient aucune droite parallèle au planxOy.

b)Soit D la droite définie par x=az+b

y=cz+d . Montrer que D est incluse dansS si et seulement si la matrice a b

c d est orthogonale.

c)Montrer que par tout point de S passent deux droites incluses dans S.

12. Soit dansR² l’ellipseE d’équation cartésienne x² a² +y²

b² = 1(où0< b < a).

Donner une condition nécessaire et suffisante suru, v, h pour que la droite d’équationux+vy+h= 0 soit tangente àE.

13. Trouver les plans tangents à la surface S d’équation cartésienne x²+y²+ 2z² = 1et orthogonaux à la droite d’équations x= y

3 =−z 2.