Calcul différentiel

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Licence Sciences et T echniques L1 PC

MP23

Calcul différentiel

Recueil d’exercices corrigés et aide-mémoire.

Gloria Faccanoni

ihttp://faccanoni.univ-tln.fr/enseignements.html Année 2015 – 2016

Table des matières

1 Approximations : polynômes de Taylor & développements limités 3

2 Fonctions de plusieurs variables 41

2.1 Introduction . . . 41

2.2 Représentations de fonctions de deux variables . . . 42

3 Limites et continuité 55 3.1 Normes . . . 55

3.2 Limites . . . 56

3.3 Continuité . . . 59

4 Dérivabilité et différentiabilité, fonctions implicites 65 4.1 Dérivées partielles du premier ordre et gradient . . . 65

4.2 Différentiabilité . . . 71

4.3 Dérivées partielles de deuxième ordre et matrice hessienne . . . 76

4.4 Fonctions implicites . . . 80

5 Extrema 119 5.1 Extrema libres . . . 120

5.2 Extrema liés . . . 130

6 Intégrales multiples 197 6.1 Intégrale double d’une fonction continue . . . 197

6.2 Intégrale triple . . . 200

6.3 Applications . . . 201

6.4 Quelques intégrales remarquables . . . 203

7 Fonctions vectorielles d’une variable réelle : courbes paramétrées 235 7.1 Courbes planes en coordonnées polaires . . . 236

8 Champs de vecteurs, formes différentielles 239 8.1 Formes différentielles . . . 240

8.2 Champs de vecteurs . . . 240

Dernière mise-à-jour Jeudi 21 janvier 2016

1

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Dernière mise à jour : Jeudi 21 janvier 2016 Ce cours s’adresse à des étudiants de la première année d’une Licence Physique-Chimie. Il a pour objectif de donner les bases en calcul différentiel pour des fonctions de plusieurs variables indispensables à toute formation en physique et en chimie.

Les notions supposées connues correspondent au programme du premier semestre.

L’objet de ce aide-mémoire est de proposer une explication succincte des concepts vu en cours. De nombreux livres, parfois très fournis, existent. Ici on a cherché, compte tenu des contraintes de volume horaire, des acquis des étudiants au premier semestre et des exigences pour la suite du cursus, à dégager les points clés permettant de structurer le travail personnel de l’étudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Ce polycopiée ne dispense pas des séances de cours et de TD ni de prendre des notes complémentaires. Il est d’ailleurs important de comprendre et apprendre le cours au fur et à mesure car on a très peu de temps et beaucoup de concepts nouveaux. Ce polycopié est là pour éviter un travail de copie qui empêche parfois de se concentrer sur les explications données oralement maisce n’est pas un livre auto-suffisant (il est loin d’être exhaustif ) !De plus, ne vous étonnez pas si vous découvrez des erreurs. Malgré de très nombreuses relectures, il restera toujours des fautes, ce polycopié est donc fournit sans garanties ! N’hésitez pas à me signaler les erreurs que vous remarquez.

On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrigés. Ceux-ci, de difficulté variée, répondent à une double nécessitée. Il est important de jongler avec les différents concepts introduits en cours et même de faire certaines erreurs une fois pour bien identifier les pièges. Les exercices permettent d’orienter les raisonnements vers d’autres domaines (physique, économie, etc.), cela afin d’exhiber l’intérêt et l’omniprésence du calcul différentiel. Cependant, veuillez noter que vous n’obtiendrez pas grande chose si vous vous limitez à choisir un exercice, y réfléchir une minute et aller vite voir le début de la correction en passant tout le temps à essayer de comprendre la correction qui va paraitre incompréhensible. Pour que la méthode d’étude soit vraiment efficace, il faut d’abord vraiment essayer de chercher la solution. En particulier, il faut avoir un papier brouillon à coté de soi et un crayon. La première étape consiste alors à traduire l’énoncé (pas le recopier), en particulier s’il est constitué de beaucoup de jargon mathématique. Ensuite il faut essayer de rapprocher les hypothèses de la conclusion souhaitée, et pour cela faire quelques calculs ou transformer les hypothèses pour appliquer un théorème dont on aura vérifier que les hypothèses sont bien satisfaite. C’est ici que l’intuition joue un grand rôle et il ne faut pas hésiter à remplir des pages pour s’apercevoir que l’idée qu’on a eu n’est pas la bonne. Elle pourra toujours resservir dans une autre situation.

Quand finalement on pense tenir le bon bout, il faut rédiger soigneusement en s’interrogeant à chaque pas sur la validité (logique, mathématique) de ce qu’on a écrit. Si l’étape précédente ne donne rien, il faut chercher de l’aide (voir le début de la correction, en parler à un autre étudiant, interroger les tuteurs).

MP23

CM 12h 8 séances de 1h30 TD 27h 18 séances de 1h30

Gloria FACCANONI

IMATH Bâtiment U-318 T0033 (0)4 94 14 23 81

Université du Sud Toulon-Var

Avenue de l’université Bgloria.faccanoni@univ-tln.fr

83957 LA GARDE - FRANCE ihttp://faccanoni.univ-tln.fr

2 © G.Faccanoni

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1 Approximations : polynômes de Taylor &

développements limités

Il est souvent plus avantageux de remplacer des fonctions compliquées par des fonctions plus simples qui les approchent.

Définition 1(Linéarisation) Si on approche une fonctionf au voisinage d’un pointx₀au moyen d’une fonction affineL(x)= q+mx, il est naturel de choisir la fonctionLdont le graphe est tangent au graphe de la fonctionf enx₀:

L(x)=f(x0)+f⁰(x0)(x−x0).

C’est ce qu’on appelle la linéarisation def enx₀. Dans certains cas on mentionne explicitement le point auquel la linéarisa- tion est obtenue et on note la linéarisation def enx₀parL_x₀.

AttentionLa linéarisation d’une fonction dépend du point auquel on linéarise la fonction. Par exemple, la linéarisation de la fonctionf(x)=p

1+xen 0 donneL₀(x)=1+x/2 (car f⁰(x)=1/(2p

1+x) etL₀(x)=f(0)+f⁰(0)x=1+x/2) tandis que la linéarisation en 3 donneL₃(x)=(5+x)/4. La linéari- sationL₀fournit une meilleure approximation def tant que x<1, la linéarisationL₃devient meilleure lorsquex>1. En x=1, les deux linéarisations fournissent la même valeur.

f L₀

L₃

x y

−2 −1 0 1 2 3 4

Définition 2(Notation) Lorsqu’elle est évaluée en x₀, la linéarisation de la fonction f enx₀coïncide avec la fonction f. Lorsquexreste proche dex₀, la linéarisation deL_x₀fournit une approximation def. On note

f(x)'L(x) lorsquex'x0.

Le signe'signifie “est approximativement égal à” sans que l’on attache ici de sens plus précis à cette notation.

Exemple 1La dérivée de f(x)=(1+x)ⁿ est égale àf⁰(x)=n(1+x)ⁿ⁻¹. La linéarisation de f à l’origine est donc égale à L₀(x)=f(0)+f⁰(0)x=1+nxest on a

(1+x)ⁿ'1+nx lorsquex'0.

Cette formule particulièrement simple à retenir est valable pour des valeurs quelconques den. Elle permet de calculer rapi- dement des approximations de racines et de puissances de nombresproches de l’unité. Ainsi, par exemple

p3

1.2=(1+0.2)^0.3'1+0.2 3 =1.06.

La même formule permet d’évaluer immédiatement 1.002¹⁰⁰à 1.2 (la valeur exacte est 1.221 . . . ).

Exemple 2La linéarisation de la fonction sin à l’origine estL₀(x)=x, donc

sin(x)'x lorsquex'0.

C’est la linéarisation que l’on effectue pour résoudre l’équa- tion du pendule en physique.

La qualité de cette approximation peut être également appré- ciée au moyen de quelques valeurs :

f L₀

x₀ x

y

3

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1 Approximations : polynômes deTaylor& développements limités Dernière mise à jour : Jeudi 21 janvier 2016

x −0.2 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.2

f(x)=sin(x) −0.1986 −0.0998 −0.0499 0 0.0499 0.0998 0.1986 L₀(x)=x −0.2 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.2

On veut mesurer un angleα∈[0^◦; 90^◦] mais on n’a pas de rapporteur d’angle. Sur chacun des côtés de l’angle on va alors marquer un trait à 60 mm du sommet et on mesure ensuite la distance (en millimètres) entre les traits : on obtient une approximation parfaitement acceptable de la mesure de l’angle en degrés ! Comment est-il possible ?

60 mm

60 mm α[mm]

α^◦

On considère un angleαet on procède tel qu’indiqué : en marquant les côtés de l’angle à la même distance (ici, 60 mm), on dessine un triangle isocèle.

α^◦ 60

mm

60 mm

`/2

Et comme c’est un triangle isocèle, la bissectrice de l’angleαsera aussi une médiatrice. Ainsi, en n’oubliant pas que 1^◦= π

180

on observe la relation suivante dans les triangles rectangles formés par la bissectrice/médiatrice et dans laquelleαest exprimé en degrés

sin³ π 180

α 2

´

=

`2

60 i.e.

sin³ π 360α´

= ` 120. Pour de petits angles (exprimés en radian), on a

sin(ϑ)'ϑ ce qui donne comme première approximation

π 360α' `

120

et en utilisantπ'3 on obtientα'`. Est-ce que l’approximation est fiable ? Le graphique suivant montre la relation entre α(abscisses) etα−`(ordonnées).

Estimer la mesure d’un angle sans utiliser de rapporteur

4 © G.Faccanoni

(5)

Dernière mise à jour : Jeudi 21 janvier 2016 1 Approximations : polynômes deTaylor& développements limités

α^◦ (α−`)^◦

10 20 30 40 50 60 70 80 90

−1 0 1 2 3 4 5

On remarque que pour des angles entre 0^◦et (environ) 75^◦, l’erreur est de moins de 2^◦. Après 75^◦, ça se gâte un peu, et l’erreur culmine avec un maximum d’environ 5^◦lorsque l’angle est près d’un angle droit. Cependant, toutes proportions gardées, l’erreur de 5^◦reste quand même relativement petite pour cette approximation très économique.

Source :http://www.thedudeminds.net/?p=5917

La linéarisation d’une fonctionf en un pointx₀est un polynôme de degré inférieur ou égal à 1 tel que (L(x₀)=f(x₀),

L⁰(x₀)=f⁰(x₀).

Les polynômes de TAYLORgénéralisent cette construction pour des polynômes de degrés quelconques.

Définition 3(Polynôme de TAYLOR) Le polynôme de TAYLORd’ordrengénéré parf au pointx₀est le (seul) polynômeP_nde degré inférieur ou égal ànqui satisfait les conditions

P_n^(k)(x₀)=f^(k)(x₀) pourk=0, 1, . . . ,n, i.e.le polynôme

P_n(x)=

n

X

k=0

f^(k)(x₀)

k! (x−x₀)^k.

Le graphe du polynôme de TAYLORd’une fonctionf enx₀est une courbe polynomiale tangente au graphe def enx₀. Remarque 1Soit la fonctionf(x)=x²+1. On af⁰(x)=2x,f⁰⁰(x)=2 etf^(k)(x)=0 lorsquek≥3. Les polynômes de TAYLOR

d’ordre 0, 1 et 2 générés parf à l’origine s’obtiennent parP₀(x)=P₁(x)=1 etP₂(x)=P_k(x)=f(x) lorsquek≥3 : les poly- nômes de TAYLORd’ordre≥2 sont tous égaux à 1+x². C’est la raison pour laquelle on définit unpolynôme deTAYLORd’ordre n et non pas de degré n: le degré d’un polynôme de TAYLORpeut être inférieur à son ordre.

Exemple 3Le polynôme de TAYLORd’ordrengénéré au point 0 par la fonctionf(x)=e^xest

P_n(x)=1+x+x² 2 +x³

6 +. . .xⁿ n!.

f

P₀ P1

P₂

x₀

x y

Exemple 4Le polynôme de TAYLORd’ordre 4 généré au point 0 par le fonctionf(x)=sin(x) est

P_n(x)=x−x³ 6

La qualité de l’approximation des fonctions circulaires par leurs polynômes de TAYLORest excellente.

f P₃

x0 x

y

(6)

Exemple 5Le polynôme de TAYLORd’ordrengénéré au point 0 par le fonctionf(x)=(1−x)^m,m>nest Pn(x)=

n

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k. Comme

f^(k)(x)=m(m−1)· · ·(m−(k−1))(1−x)^m−k= m!

(m−k)!(1−x)^m−k= Ãm

k

!

k!(1−x)^m−k on trouve

P_n(x)=

n

X

k=0

Ãm k

! x^k.

Proposition 1Le polynôme de TAYLORd’ordrengénéré au pointx₀par un polynômef de degrém≤ncoïncide avecf quel que soitx₀.

Propriété 1Soitf etgdeux fonctionsnfois dérivables en un pointx₀etP_f etP_g leurs polynômes de TAYLORd’ordrenen x₀. Alors

1. le polynôme de TAYLORd’ordrengénéré par lasommef +gau pointx₀est le polynômeP_f+P_g; 2. le polynôme de TAYLORd’ordrengénéré par lasoustractionf−gau pointx0est le polynômeP_f−Pg;

3. le polynôme de TAYLORd’ordrengénéré par leproduitf gau pointx₀est la somme des termes de degré inférieur ou égaux àndu polynômeP_fPg;

4. le polynôme de TAYLORd’ordren généré par lacomposition f(g(x)) au pointx₀est la somme des termes de degré inférieur ou égaux àndu polynômeP_f(P_g(x)) ;

5. siP_f(x₀)6=0 alors le polynôme de TAYLORd’ordrengénéré par ladivisiong/f au pointx₀est l’unique polynômeQ_n d’ordren, obtenu par la technique de la division selon les puissances croissantes, vérifiantP_g=P_fQ_n+o((x−x₀)ⁿ) ;¹ 6. le polynôme de TAYLORd’ordren−1 généré parf⁰au pointx₀est le polynômeP⁰_f.

Exemple 6(Somme) Sachant que le polynôme de TAYLORd’ordre 3 généré par sin(x) à l’origine est égal àx−x³/6, on peut conclure que le polynôme de TAYLORd’ordre 3 généré par 4x+3x²−sin(x) à l’origine est égal à 4x+3x²−(x−x³/6),i.e.

P₃(x)=3x+3x²+x³/6.

Exemple 7(Produit) Sachant que le polynôme de TAYLORd’ordre 3 généré pare^xà l’origine est égal à 1+x+x²/2+x³/6, on peut conclure que le polynôme de TAYLORd’ordre 3 généré par (x+2x²−x³)e^xà l’origine est donné par le polynôme obtenu par la somme des termes de degré inférieur ou égaux à 3 du produit (x+2x²−x³)(1+x+x²/2+x³/6),i.e. P₃(x)=x+3x²+3x³/2.

Sachant que le polynôme de TAYLORd’ordrengénéré par 1/(1−x) à l’origine est égal à 1+x+x²+ · · · +xⁿ, on peut conclure que le polynôme de TAYLORd’ordrengénéré parx²/(1−x) à l’origine est égal àx²+ · · · +xⁿ.

Exemple 8(Composition) Sachant que le polynôme de TAYLORd’ordrengénéré par 1/(1−x)=(1−x)⁻¹à l’origine est égal à 1+x+x²+· · ·+xⁿ, on peut conclure que le polynôme de TAYLORd’ordrengénéré par 1/(1−(−x))=(1−(−x))⁻¹à l’origine est égal à 1+(−x)+(−x)²+ · · · +(−x)ⁿ,i.e.1−x+x²+ · · · +(−1)ⁿxⁿet que le polynôme de TAYLORd’ordrengénéré par 1/(1+x²) à l’origine est égal à 1+(−x²)+(−x²)²+ · · · +(−x²)ⁿ,i.e.1−x²+x⁴+ · · · +(−1)ⁿx²ⁿ.

Exemple 9On veut calculer les polynômes de TAYLORd’ordre 4 à l’origine générés par les fonctions deRdansRsuivantes : 1. f(x)=e^x

2. g(x)=sin(x)

3. s(x)=f(x)+g(x) 4. p(x)=f(x)×g(x)

5. c(x)=f(g(x)) 6. d(x)=^g(x)_f_(x₎

Par définition de polynôme de TAYLORon a

f(x)'f(0)+f⁰(0)x+f⁰⁰(0)

2 x²+f⁰⁰⁰(0)

6 x³+f^{(i v)}(0)

24 x⁴ lorsquex'0.

1.Théorème sur la division selon les puissances croissantes :soientAetBdeux polynômes tels queB(0)6=0. Pour tout entiern, il existe un couple et un seul de polynômes (Qn,Rn) vérifiant :A=BQn+xⁿ⁺¹Rn, avecQnde degré inférieur ou égale àn.

6 © G.Faccanoni

(7)

1. f(x)=e^x

f(x)=e^x f(0)=1

f⁰(x)=e^x f⁰(0)=1

f⁰⁰(x)=e^x f⁰⁰(0)=1

f⁰⁰⁰(x)=e^x f⁰⁰⁰(0)=1

f^{(i v)}(x)=e^x f^{(i v}⁾(0)=1

donc

e^x'P_f(x)=1+x+x² 2 +x³

6 +x⁴

24 lorsquex'0.

2. g(x)=sin(x)

g(x)=sin(x) g(0)=0

g⁰(x)=cos(x) g⁰(0)=1

g⁰⁰(x)= −sin(x) g⁰⁰(0)=0

g⁰⁰⁰(x)= −cos(x) g⁰⁰⁰(0)= −1

g^{(i v)}(x)=sin(x) g^{(i v)}(0)=0

donc

sin(x)'Pg(x)=x−x³

6 lorsquex'0.

3. s(x)=f(x)+g(x)

En utilisant la définition :

s(x)=e^x+sin(x) s(0)=1

s⁰(x)=e^x+cos(x) s⁰(0)=2

s⁰⁰(x)=e^x−sin(x) s⁰⁰(0)=1 s⁰⁰⁰(x)=e^x−cos(x) s⁰⁰⁰(0)=0 s^{(i v)}(x)=e^x+sin(x) s^{(i v)}(0)=1 donc

e^x+sin(x)'P_s(x)=1+2x+x² 2 +x⁴

24 lorsquex'0.

En utilisant la propriété de la somme : e^x+sin(x)'P_s(x)=P_f(x)+P_g(x)=

µ

1+x+x² 2 +x³

6 +x⁴ 24

¶ +

µ x−x³

6

¶

=1+2x+x² 2 +x⁴

24 lorsquex'0.

4. p(x)=f(x)×g(x)

p(x)=e^xsin(x) p(0)=0

p⁰(x)=e^x(sin(x)+cos(x)) p⁰(0)=1

p⁰⁰(x)=2e^xcos(x) p⁰⁰(0)=2

p⁰⁰⁰(x)=2e^x(cos(x)−sin(x)) p⁰⁰⁰(0)=2

p^{(i v)}(x)= −4e^xsin(x) p^{(i v)}(0)=0

donc

e^xsin(x)'P_p(x)=x+x²+x³

3 lorsquex'0.

En utilisant la propriété du produit :

e^xsin(x)'Pp(x)=termes de degré inférieur ou égal à 4 du produitP_f(x)×Pg(x)

=termes de degré inférieur ou égal à 4 du produit µ

1+x+x² 2 +x³

6 +x⁴ 24

¶ µ x−x³

6

¶

(8)

=termes de degré inférieur ou égal à 4 de µ

x+x²+x³ 3 −x⁵

24−x⁶ 36− x⁷

144

¶

=x+x²+x³

3 lorsquex'0.

5. c(x)=f(g(x))

c(x)=e^sin(x⁾ c(0)=1

c⁰(x)=cos(x)e^sin(x) c⁰(0)=1

c⁰⁰(x)=¡

cos²(x)−sin(x)¢

e^sin(x) c⁰⁰(0)=1

c⁰⁰⁰(x)=¡

cos²(x)−3 sin(x)−1¢

cos(x)e^sin(x) c⁰⁰⁰(0)=0

c^{(i v)}(x)=¡

sin(x)−4 cos²(x)+3 sin²(x)−6 sin(x) cos²(x)+cos⁴(x)¢

e^sin(x) c^{(i v)}(0)= −3 donc

e^sin(x)'Pc(x)=1+x+x² 2 −x⁴

8 lorsquex'0.

En utilisant la propriété de la composition :

e^sin(x)'P_c(x)=termes de degré inférieur ou égal à 4 de





1+ µ

x−x³ 6

¶ +

³ x−^x₆³

´2

2 +

³ x−^x₆³

´3

6 +

³ x−^x₆³

´4

24







=termes de degré inférieur ou égal à 4 de µ

1+x+x² 2 −x⁴

8 −x⁵ 12−x⁶

72+x⁷ 72+ x⁸

144− x⁹ 1296− x¹⁰

1296+ x¹² 31104

¶

=1+x+x² 2 −x⁴

8 lorsquex'0.

6. d(x)=^g(x)_f_(x)

d(x)=sin(x)

e^x d(0)=0

d⁰(x)=cos(x)−sin(x)

e^x d⁰(0)=1

d⁰⁰(x)=−2 cos(x)

e^x d⁰⁰(0)= −2

d⁰⁰⁰(x)=2 sin(x)+2cos(x)

e^x d⁰⁰⁰(0)=2

d^{(i v)}(x)=−4 sin(x)

e^x d^{(i v)}(0)=0

donc

sin(x)

e^x 'P_d(x)=x−x²+x³

3 lorsquex'0.

En utilisant la technique de la division selon les puissances croissantes : sif etgont au pointx₀un dévelop- pement limité à l’ordrenet si f(x₀)6=0, le polynôme d’approximation deg/f à l’ordrens’obtient en divisant suivant les puissances croissantes à l’ordrenle polynôme d’approximation degpar celui def en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à n:

g(x)

f(x)'P_d(x)=termes de degré inférieur ou égal à 4 de la division selon les puissances croissantes deP_g P_f

8 © G.Faccanoni

(9)

donc

x −¹₆x³ 1 +x +¹₂x² +¹₆x³ +₂₄¹x⁴

−x −x² −¹₂x³ −¹₆x⁴ x −x² +¹₃x³

−x² −²₃x³ −¹₆x⁴ x² +x³ +¹₂x⁴

1

3x³ +¹₃x⁴

−¹₃x³ −¹₃x⁴ 0

Exemple 10On veut déterminer la limite de visibilité depuis un point d’altitudeHau-dessus du niveau de la mer. Du point Aon voit jusqu’au pointB.

O A C B H

ϑ R

L’on a

cos(ϑ)=OB O A= R

R+H = 1 1+^H_R .

Pour une altitude «raisonnable», ^H_R est petit etϑégalement (R≈6371 km). On utilise les deux équivalences

cos(ϑ)≈1−ϑ²

2 , 1

1+^H_R = µ

1+H R

¶₋₁

≈1−H R, qui conduisent àϑ≈

q

2^H_R. On conclut que la distanceC B à la surface de la Terre, c’est-à-dire la longueur de l’arc de cercle, est`=Rϑ=p

2R H. Par exemple, du sommet de la tour Eiffel (H=324 m) on peut voir à une distance de 66 kilo- mètres.

L’utilisation d’un polynôme de TAYLORd’ordrend’une fonctionf enx₀pour approcherf à proximité dex₀induit une erreur qui est d’autant plus élevée que le graphe de la fonction s’écarte du graphe def. L’erreur commise n’est nulle partout que lorsque la fonctionf est un polynôme de degré inférieur ou égal àn. Lorsqu’on dispose d’une borne sur la dérivée (n+1)- ème def, il est possible de borner l’erreur. De plus, lorsque l’on utilise un polynôme de TAYLORd’ordre de plus en plus grand pour approcherf, on s’attend à ce que l’approximation s’améliore.

Théorème 1(Erreur d’approximation) Soitf: [a;b]→Rune fonctionn+1 fois dérivable et soitPnle polynôme de TAYLOR

d’ordrengénéré parf enx0. Si|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)| ≤Mpour tous lesxdans [a;b], alors

|f(x)−P_n(x)| ≤(b−a)ⁿ⁺¹ (n+1)! M pour tous lesxdans [a;b].

Exemple 11La linéarisation def(x)=sin(x) enx=0 donne sin(x)'x. Quelle est la précision de cette approximation lorsque

|x| ≤0.5 ? Comme max

|x|≤0.5|f⁰⁰(x)| = max

|x|≤0.5|−sin(x)| =sin(0.5), une application directe du théorème permet d’écrire

|sin(x)−x| ≤(0.5)²

2 sin(0.5)≤0.06 pour tous lesxdans [−0.5; 0.5].

(10)

Exemple 12Le polynôme d’ordre 2 généré par la fonctionf(x)=1/(1−x) à l’origine est donné par P₂(x)=1+x+x².

Considérons ces fonctions sur l’intervalle [0; 0.1]. La fonction f⁰⁰⁰ est dérivable sur cet intervalle et maxx∈[0;0.1]|f⁰⁰⁰(x)| = maxx∈[0;0.1]|6/(1−x)⁴| =6/(1−0.1)⁴=M. Par conséquent

|f(x)−P₂(x)| ≤(0.1−0)²⁺¹

(2+1)! 6/(1−0.1)⁴≤0.00152 pour tous lesxdans [0; 0.1].

Définition 4(Développement limité.)f admet un développement limité à l’ordrenenx₀, et on le noteDL_n(x₀), siDf∩]x₀− δ,x₀+δ[\{x₀}6= ;pour toutδ>0 et s’il existe un polynômeP_nde degré≤ntel que

f(x)=Pn(x−x0)+(x−x0)ⁿε(x−x0), oùεest une fonction deDf∩]−δ,+δ[\{0} à valeur dansRtelle que lim

x→0ε(x)=0. Au lieu de (x−x₀)ⁿε(x−x₀) on écrit souvent o((x−x₀)ⁿ).

Lorsqu’il existe, le polynômeP_nest unique.

Théorème 2(de TAYLOR-YOUNG) Si f et toutes ses dérivées jusqu’à l’ordren sont définies et continues en tout point d’un intervalle ouvertIcontenantx₀alorsf admet un développement limité à l’ordrenenx₀donné par la formule

f(x)=

n

X

k=0

f^(k)(x₀)

k! (x−x₀)^k+(x−x₀)ⁿε(x−x₀).

AttentionOn dit qu’une fonction f admet un développement limité à l’ordren(entier naturel) au pointx0s’il existe un polynômePde degré au plusntel que

f(x)=P(x−x₀)+o((x−x₀)ⁿ)=a₀+a₁(x−x₀)+a₂(x−x₀)²+ · · · +a_n(x−x₀)ⁿ+o((x−x₀)ⁿ) au voisinage dex₀.

Si f estn fois continûment dérivable sur un intervalleI avecn entier positif ou nul, alors pour tout pointx₀∈I, f a un développement limité au pointx0donné par la formule de Taylor-Young

f(x)=

n

X

k=0

f^(k)(x₀)

k! (x−x0)^k+o((x−x0)ⁿ).

Il est tentant de penser que la réciproque est vraie, c’est-à-dire qu’une fonction qui admet un développement limité à l’ordre nen un pointx₀est dérivablenfois en ce point. C’est effectivement le cas sin=0 oun=1. Dans le premier cas, le développe- ment limité s’écrit justef(x)=a₀+o(1) et donca₀=f(a) par définition d’uno(1). Sin=1 etf(x)=a₀+a₁(x−x₀)+o(x−x₀), alorsa₀=f(a) pour la même raison, et par suite :

f(x)−f(x₀)

x−a =a₁+o(1)

ce qui implique que l’accroissement fini a une limite égale àa₁, ainsi f est bien dérivable enx₀ eta₁=f⁰(x₀). Mais la réciproque est fausse pourn≥2, autrement dit une fonction peut admettre un développement limité à l’ordren≥2 bien qu’elle ne soit pasnfois continûment dérivable.

Exemple 13Soitf:R→Rl’application définie par f:R→R

x7→

(x²sin¡₁

x

¢ pourx6=0,

0 pourx=0.

On veut calculer le développement limité à l’ordre 1 puis à l’ordre 2 en 0 def et montrer quef n’admet pas de développement limité à l’ordre 3 en 0.

10 © G.Faccanoni

(11)

Commençons par calculer les dérivées def : f(x)=

(x²sin¡₁

x

¢ pourx6=0

0 pourx=0 et lim

x→0x²sin µ1

x

¶

=0=f(0);

f⁰(x)=







2xsin¡₁

x

¢−cos¡₁

x

¢ pourx6=0

x→0lim

f(x)−f(0)

x−0 =lim

x→0 x²sin¡₁

x

¢−0

x−0 =0 pourx=0 et lim

x→0f⁰(x)=lim

x→0

µ 2xsin

µ1 x

¶

−cos µ1

x

¶¶

n’existe pas.

Par conséquentf est continue maisf⁰n’est pas continue enx=0. Cela implique quef n’admet pas de dérivée seconde en 0.

On peut utiliser la formule de TAYLOR-YOUNGpour calculer le développement limité def en 0 à l’ordre 1 : f(x)=f(0)+f⁰(0)x+o(x)=0+o(x).

En revanche, comme f n’admet pas de dérivée seconde en 0, on ne peut pas utiliser la formule de TAYLOR-YOUNGpour calculer le développement limité def en 0 à l’ordre 2. Cependant, ce développement limité existe est pour le calculer il suffit de remarquer que

limx→0

x³sin¡₁

x

¢ x² =0,

c’est-à-diref(x)=o(x²) : le développement limité def en 0 à l’ordre 2 est doncf(x)=0+o(x²).

On montre enfin qu’il n’existe pas de développement limité def en 0 à l’ordre 3 car la limite limx→0

x³sin¡₁

x

¢ x³ n’existe pas.

Définition 5(Prépondérance) Soitf etg deux applications deDversRet soitx₀∈R∪{±∞}. On dit que f est négligeable devantgau voisinage dex₀s’il existe un voisinageV dex₀et une fonctionϕ:V →Rvérifiant

∀x∈V ∩D, f(x)=g(x)ϕ(x), et lim

x→x0ϕ(x)=0.

On note alorsf _x=

0

o(g).

Signe s’annule pas dans un voisinage dex₀, cette définition est équivalente à

x→xlim0

f(x) g(x)=0.

Exemple 14

ln(x)_+∞= o(x^α), ln(x)=

0⁺o(x^−α), x^α_+∞= o(e^x), |x|^α_−∞= o(e^−x).

Propriété 2

B ^f =o(1) ⇐⇒ limx→x₀f(x)=0

B ^f =o(f1) etg=o(g1) =⇒ f g=o(f1g1) B ^f =o(h) etg=o(h) =⇒ f +g=o(h) B ^f =o(f₁) =⇒ fⁿ=o(f₁ⁿ),n∈N

B ^f =o(f₁) =⇒ f^α=o(f₁^α),α∈Rsif etf₁sont strictement positives au voisinage dex₀ B ^f ∼g ⇐⇒ f −g=o(g)

Attention

B ^f =o(f₁) etg=o(g₁);^f+g=o(f₁+g₁) B ^f =o(f₁);^e^f =o(e^f¹)

(12)

B ^f =o(f₁);^ln(^f⁾=o(ln(f₁))

Définition 6(Asymptotes) Soitf définie sur un intervalle ]A,+∞[ (ou ]−∞,A[). On dit quef admet un développement limité généralisé à l’ordrenena= +∞(ou ena= −∞) s’il existe un polynômeP tel quef(x)=P(1/x)+o(1/xⁿ) au voisinage de ce point. L’expressionP(1/x) n’est pas un polynôme, mais a des propriétés similaires. Dans la pratique, on peut obtenir un développement limité def(x) ena= +∞(ou ena= −∞) en posantx=1/t(de sorte quettend vers 0, avec un signe fixe) et en tentant de développerf(1/t) au voisinage de 0.

Lorsquex etf(x) tendent vers l’infini, on obtient une asymptote oblique (si elle existe) en effectuant un développement limité au voisinage de l’infini :

f(x) x =a+b

x+ c x^k+o

µ 1 x^k

¶

où ^c

x^k est le premier terme non nul après ^b_x. Dans ce cas, la droite d’équationy=ax+best asymptote à la courbe représen- tative def. Et la position relative de la courbe et de l’asymptote résulte du signe de ^c

x^k lorsquextend vers l’infini.

Définition 7(Équivalence) Soitf etgdeux applications deDversRet soitx0∈R∪{±∞}. On dit quef est équivalente àgau voisinage dex0s’il existe un voisinageV dex0et une fonctionϕ:V →Rvérifiant

∀x∈V ∩D, f(x)=g(x)[1+ϕ(x)], et lim

x→x₀ϕ(x)=0.

On note alorsf _x∼

0

g.

Signe s’annule pas dans un voisinage dex₀, cette définition est équivalente à

xlim→x₀

f(x) g(x)=1.

Exemple 15

B ^Soit^P^(x)=a₀+a₁x+a₂x²+ · · · +a_nxⁿ, (a_n6=0) une fonction polynomiale, alors P(x)_+∞∼ a_nxⁿ, P(x)_−∞∼ a_nxⁿ, P(x)∼

0a₀sia₀6=0.

B ^Soit^F^(x)=a₀+a₁x+a₂x²+ · · · +a_nxⁿ

b₀+b₁x+b₂x²+ · · · +bpx^p, (a_n6=0 etb_p6=0) une fonction rationnelle, alors F(x) ∼

+∞

a_nxⁿ

b_px^p, F(x) ∼

−∞

a_nxⁿ

b_px^p, F(x)∼

0

a₀

b₀sia₀,b₀6=0.

B Fonctions trigonométriques : sin(x)∼

0x, tan(x)∼

0x, 1−cos(x)∼

0

x² 2 . B Fonctions logarithmes, exponentielles, puissance :

ln(1+x)∼

0x, e^x−1∼

0x, a^x−1∼

0xln(a) (a>0), (1+x)^α−1∼

0αx(α∈R).

Théorème 3Soit f etg deux applications deDversRet soitx₀∈R∪{±∞}. Si lim

x→x0

f(x)=`∈R∪{±∞} et sif ∼_x

0

g, alors

x→xlim0

g(x)=`.

Ce résultat est fondamentale car il permet de remplacer une limite par une limite plus simple.

AttentionSi deux fonctions ont même limite, elles ne sont pas nécessairement équivalentes. Par exemple, lim_x→+∞x= lim_x→+∞x²maisx7→xetx7→x²ne sont pas équivalentes en+∞.

Propriété 3

B ^f ∼f1etg∼g1 =⇒ f g∼f1g1

B ^f ∼f1 =⇒ ¹_f ∼_f¹₁ sif etf1ne s’annulent pas au voisinage dex0

(13)

B ^f ∼f₁etg∼g₁ =⇒ _g^f ∼_g^f¹₁ sigetg₁ne s’annulent pas au voisinage dex₀ B ^f ∼f₁ =⇒ fⁿ∼f₁ⁿ,n∈N

B ^f ∼f₁ =⇒ f^α∼f₁^α,α∈Rsif etf₁sont strictement positives au voisinage dex₀ Attention

B ^f ∼f₁etg∼g₁;^f +g∼f₁+g₁ B ^f ∼f₁;^e^f ∼e^f¹

B ^f ∼f1;^ln(^f⁾∼ln(f1)

(14)

... Exercices ...

Exercice 1.1(Développements limités usuels — à apprendre par cœur) Calculer les développements limités à l’ordren au voisinage de l’origine des fonctions suivantes :

e^x (1+x)^α sin(x) cos(x)

1 1+x

1

1−x ln(1+x) ln(1−x)

Correction. Toutes les fonctions données sont dérivable n fois au voisinage de l’origine, d’après le théorème deTAYLOR-YOUNG

on a alors

f(x)=

k=n

X

k=0

f^(k)(0)

k! x^k=f(0)+f⁰(0)x+f⁰⁰(0)

2 x²+f⁰⁰⁰(0)

6 x³+. . .f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ+o(xⁿ).

e^x=

k=nX

k=0

x^k k! +o¡

xⁿ¢

=1+x+x² 2 +x³

6 +x⁴

24+ · · · +xⁿ n!+o¡

xⁿ¢

(1+x)^α=

k=nX

k=0

Ãα k

! x^k+o¡

xⁿ¢

=1+αx+α(α−1)

2 x²+α(α−1)(α−2)

6 x³+ · · · + Ãα

n

! xⁿ+o¡

xⁿ¢

sin(x)=

k=nX

k=0

(−1)^k x^2k⁺¹ (2k+1)!+o¡

x²ⁿ⁺²¢

=x−x³ 6 + x⁵

120+ · · · +(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹ (2n+1)!+o¡

x²ⁿ⁺²¢

cos(x)=

k=n

X

k=0

(−1)^k x^2k (2k)!+o¡

x²ⁿ⁺¹¢

=1−x² 2 +x⁴

24+ · · · +(−1)ⁿ x²ⁿ (2n)!+o¡

x²ⁿ⁺¹¢ 1

1+x =

k=nX

k=0

(−1)^kx^k+o¡ xⁿ¢

=1−x+x²−x³+ · · · +(−1)ⁿxⁿ+o¡ xⁿ¢ 1

1−x =

k=n

X

k=0

x^k+o¡ xⁿ¢

=1+x+x²+x³+ · · · +xⁿ+o¡ xⁿ¢

ln(1+x)=

k=nX

k=1

(−1)^k+1x^k k +o¡

xⁿ¢

=x−x² 2 +x³

3 −x⁴

4 + · · · +(−1)ⁿ⁺¹xⁿ n +o¡

xⁿ¢

ln(1−x)= −

k=nX

k=1

x^k k +o¡

xⁿ¢

= −x−x² 2 −x³

3 −x⁴

4 + · · · −xⁿ n +o¡

xⁿ¢

Exercice 1.2(Développements limités usuels) Calculer les développements limités à l’ordrenau voisinage de l’origine des fonctions suivantes :

p1+x p

1−x 1

p1+x

arcsin(x) arccos(x) arctan(x)

sinh(x) cosh(x) tanh(x)

Correction.

p1+x=1+x 2−x²

8 +x³ 16−5x⁴

128+o¡ x⁴¢ p1−x=1−x

2−x² 8 −x³

16−5x⁴ 128+o¡

x⁴¢ p 1

1+x==1−x 2+3x²

8 −5x³ 16 +5x⁴

128+o¡ x⁴¢ arcsin(x)=x+x³

6 +3x⁵ 40 + · · · +

¯

¯ Ã−¹₂

n

!¯

¯

¯ x²ⁿ⁺¹ 2n+1+o¡

x²ⁿ⁺²¢ arccos(x)=π

2−arcsin(x) arctan(x)=

k=n

X

k=0

(−1)^kx^2k+1 2k+1+o¡

x²ⁿ⁺¹¢

=x−x³ 3 +x⁵

5 −x⁷

7 + · · · +(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹ 2n+1+o¡

x²ⁿ⁺²¢