Problème B — Supplémentaires et calcul diﬀérentiel

(1)

PSI* — 2019/2020 Le 14/03/2020.

D.S. 5

^{(4 heures)}

Problème A

Dans ce problème, nous étudions le processus de Galton-Watson qui permet entre autres de modéliser le développement d’une population. Ce processus est par exemple utilisé en biologie ou en physique nucléaire.

Dans tout le problème, on se place dans un espace probabilisé (Ω,A, P).

Si X est une variable aléatoire entière et positive sur cet espace, on notera GX, série entière de rayon de convergence au moins 1, la fonction génératrice deX. On rappelle que la fonction génératrice de X est la somme de la série entière :

∀t∈[−1,1], GX(t) =

∞

n=0P(X=n)tⁿ

La fonction génératrice d’une variable aléatoire caractérise sa loi. Plus précisément, si X est une variable aléatoire à valeurs dansNet si(an)est une suite de réels positifs tels que, pour tout t∈[0,1[, GX(t) =

∞ n=0

antⁿ, alors, pour toutn∈N,an=P(X=n).

On admet le résultat suivant (lemme de Cesàro) : si(an)n∈Nest une suite de nombres réels convergeant vers ℓet si on pose, pourn∈N^∗,bn= 1

n(a1+· · ·+an) alors la suite(bn)n≥1 converge versℓ.

I — Étude d’une suite récurrente

On considère une fonctionf de classeC²sur[0,1]à valeurs dans[0,1]telles quef^′etf^′′soient à valeurs positives. On suppose f(1) = 1,f^′(0)<1etf^′′(1)>0.

On considère de plus la suite récurrente (un)n∈Ndéﬁnie paru0 = 0et, pour toutn∈N,un+1=f(un).

On pose m=f^′(1).

I .A —

I.A.1) Montrer que la suite (un)n∈N est croissante, puis qu’elle est convergente. On note ℓsa limite.

I.A.2) Montrer que l’équation f(x) = x admet une plus petite solution. Dans toute la suite, on la notera xf.

I.A.3) Montrer que ℓ=xf.

I .B — On supposem >1. Montrer quexf ∈[0,1[.

I .C — On suppose maintenant m≤1. Montrer quexf = 1et que pour tout n∈N,un= 1.

I .D — Dans cette question, on suppose m= 1.

I.D.1) On pose, pour n∈N,εn= 1−un. Montrer que

n→+∞lim 1 εn+1 − 1

εn

= f^′′(1) 2 . I.D.2) En déduire que, quand ntend vers l’inﬁni,1−un =εn∼ 2

nf^′′(1). On pourra utiliser le lemme de Cesàro admis en préambule.

I .E — On suppose maintenantm <1 et on pose encore, pour n∈N, εn= 1−un.

I.E.1)Montrer que la série de terme généralεnest absolument convergente et en déduire la convergence de celle de terme général ln m⁻⁽ⁿ⁺¹⁾εn+1

m⁻ⁿεn .

I.E.2) En déduire qu’il existe c >0tel que, quand ntend vers l’inﬁni,1−un∼c.mⁿ. II — Formule de Wald

Soient (Xn)n∈N∗ une suite de variables aléatoires, mutuellement indépendantes, de même loi à valeurs dansN, etT une variable aléatoire à valeurs dansNindépendante des précédentes. (T, Xn)n∈N∗ est une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes.

(2)

PSI* — 2019/2020 — D.S. 5 (4 heures) Page 2/4

On note GX la fonction génératrice commune à toutes lesXn. Pourn∈Net ω∈Ω, on poseSn(ω) =

n k=1

Xk(ω) etS0(ω) = 0, puis S(ω) =ST(ω)(ω).

I I.A — On souhaite démontrer l’égalité GS =GT ◦GX.

II.A.1) Montrer que, si X etY sont deux variables aléatoires à valeurs dans Nindépendantes, alors GX+Y =GXGY.

II.A.2) En admettant que, pour toutk∈N,Sk est indépendante deXk+1, prouver que

∀k∈N, GSk = (GX)^k.

II.A.3) En admettant que, pour toutn∈N,T et Sn sont indépendantes, montrer que

∀t∈[0,1[, ∀K ∈N, GS(t) = ^K

k=0

P(T =k)GX(t)^k+

∞ n=0

∞ k=K+1

P(T =k)P(Sk=n)tⁿ

II.A.4) PourK ∈Nett∈[0,1[, on poseRK=

∞ n=0

∞ k=K+1

P(T =k)P(Sk=n)tⁿ . Montrer que

0≤RK ≤ 1 1−t

∞ k=K+1

P(T =k).

II.A.5) Conclure.

I I.B — En déduire que, si T et lesXnsont d’espérance ﬁnie, alors S aussi etE(S) =E(T)E(X1).

I I.C — Lors d’une ponte, un insecte pond un nombre aléatoire d’œufs suivant la loi de Poisson de paramètre λ >0, notée P(λ).

Ensuite, la probabilité qu’un œuf donné devienne un nouvel insecte estα∈]0,1[.

II.C.1) Donner la fonction génératrice d’une variable aléatoire suivant la loiP(λ).

II.C.2) En utilisant la relation de composition ci-dessus, déterminer la loi du nombre d’insectes issus de la ponte.

III — Processus de Galton-Watson

Soit µ une loi de probabilité caractérisée par la suite (pk)k∈N de nombre réels entre 0 et 1 telle que

∞ k=0

pk = 1. Dire qu’une variable aléatoireX sur (Ω,A, P) suit la loi µ signiﬁe que X(Ω)⊂Net, pour tout k∈N,P(X=k) =pk.

On suppose que p0+p1 <1 (ce qui signiﬁe qu’il existe au moins un entier k supérieur ou égal à 2 tel que pk= 0).

On étudie un individu qui a un certain nombre de fils. Ces fils ont également chacun (indépendamment les uns des autres) un certain nombre de fils et ainsi de suite. Afin de modéliser la situation, on se donne des variables aléatoires (Xn,i)_(n,i)∈^N×N∗, indépendantes, qui suivent toutes la loi µ; on pose Y0

la variable certaine égale à 1 et, pourn∈Net ω∈Ω,





Yn+1(ω) = 0 si Yn(ω) = 0 Yn+1(ω) =

Yn(ω) i=1

Xn,i(ω) si Yn(ω) = 0 . Yn représente le nombre d’individus à la générationn.

S’il n’y a pas d’individu à la génération n, il n’y en a pas plus à la génération suivante et sinon, le nombre de ﬁls du i-ième élément de la générationn est égal àXn,i.

On dit qu’il y a extinction lorsqu’il existe un entier ntel que Yn= 0.

On notef la fonction génératrice de la loiµ(et donc de chacune des variablesXn,i) et, pourn∈N,ϕ_n la fonction génératrice de la variable aléatoire Yn.

On a donc en particulier, pourt∈[0,1],ϕ₀(t) =t.

On suppose que toute variable aléatoire suivant la loiµpossède une espérance égale àmet une variance.

(3)

I II .A — Probabilité d’extinction

III.A.1) Montrer que pour toutn∈N,ϕ_n+1=ϕ_n◦f.

III.A.2) Exprimer, pourn∈N, l’espérance deYn en fonction demet den.

III.A.3a) Vériﬁer que la probabilité d’extinction est égale à la limite de la suite ϕ_n(0) _n≥0. III.A.3b) Vériﬁer qu’on peut appliquer les résultats de la partieI à la suite ϕ_n(0) _n≥0. III.A.4) Sim≤1, montrer que la probabilité d’extinction est égale à 1.

On déﬁnit alors le temps T d’extinction par

∀ω∈Ω, T(ω) = min{n∈N/ Yn(ω) = 0} s’il existen∈N tel queYn(ω) = 0

T(ω) =−1 sinon .

On admettra queT est une variable aléatoire.

I II .B —Cas sous-critique m <1 On suppose dans cette question que m <1.

III.B.1) Vériﬁer queT admet une espérance.

III.B.2a) Montrer que, pour tout entier n,P(Yn≥1)≤mⁿ. III.B.2b) Montrer que E(T) =

∞ k=0

P(T > k).

III.B.2c) En déduire une majoration de E(T).

I II .C — Étude de la lignée

Dans cette question, on suppose m≤1.

On note, pourn∈N^∗,Zn= 1 +

n

i=1Yi et Z = 1 +

∞ n=1Yn. On admettra queZ est une variable aléatoire déﬁnie sur

k∈N

(Yk= 0).

III.C.1) Montrer que Z est déﬁnie sur un ensemble de probabilité 1.

III.C.2a) Montrer que, pour tout k ∈N, P(Zn≤k) _n∈_N∗ est une suite convergente. Déterminer sa limite.

III.C.2b) En déduire que pour tout k∈N, P(Zn=k) _n∈_N∗ converge versP(Z =k).

III.C.2c) Montrer que pour tout s∈[0,1[, tout n∈N^∗ etK ∈N,

|GZn(s)−GZ(s)| ≤

K k=0

|P(Zn=k)−P(Z =k)|+ s^K+1 1−s.

III.C.2d) En déduire que la suite de fonctions (GZⁿ) converge simplement versGZ sur [0,1].

III.C.3a) ExprimerGZ₁ en fonction def.

III.C.3b) On admet que, pour tout nentier naturel supérieur ou égal à 2 et pour touts∈[0,1], GZn(s) =s.f GZn−1(s) .

En déduire que, pour tout s∈[0,1],

GZ(s) =s.f GZ(s) .

III.C.3c) Montrer que Z est d’espérance ﬁnie si et seulement si m <1. Calculer l’espérance lorsque c’est le cas.

IV — Un exemple On suppose dans cette partie que, pour tout k∈N,pk = 1

2^k+1. I V.A — Exprimer, pourt∈[0,1],f(t)et calculer m.

I V.B — Vériﬁer que pour toutt∈[0,1[,ϕ_n(t) = 1. On peut donc poser an(t) = 1

ϕ_n(t)−1.

I V.C — Montrer que, pourt∈[0,1[, la suite (an(t))_n∈N est arithmétique.

(4)

I V.D — En déduire que, pourt∈[0,1[et n∈N,

ϕn(t) = n+ (1−n)t 1 +n−nt . I V.E —Exprimer, pour n, k∈N,P(Yn=k) en fonction denetk.

I V.F — Exprimer, en fonction de n ∈ N^∗, la probabilité de l’événement (T > n). La variable T admet-elle une espérance ?

I V.G — Exprimer, pours∈[0,1[, GZ(s) en fonction des. En déduire la loi deZ.

Problème B — Supplémentaires et calcul diﬀérentiel

La déﬁnition suivante permet d’étendre les notions de famille génératrice et de famille libre aux espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension ﬁnie.

Soit E unR-espace vectoriel et I un ensemble d’indices non nécessairement ﬁni.

•Une famille (ei)_i∈I est dite génératrice de E lorsque tout vecteur de E est combinaison linéaire d’une sous-famille ﬁnie(ei)_i∈J de (ei)_i∈I.

•Une famille est ditelibre dans E lorsque toute sous-familleﬁnie de cette famille est libre.

Soit E l’espace des fonctions de classeC^∞déﬁnies surR² et à valeurs dans R. Pour(i, j)∈N², on déﬁnit la fonction

fi,j : (x, y)→xⁱy^j.

Soit F le sous-espace vectoriel deE engendré par la famille(fi,j)_(i,j)∈N2. On pose

∆ : E → E

f → ∂²f

∂x² −∂²f

∂y²

et Φ : E → E

f → ∂²f

∂x∂y Pourg∈F, on note gF l’ensemble des fonctions qui s’écrivent gf avecf ∈F. 1) Prouver que la famille (fi,j)_(i,j)∈N2 est libre.

2) Montrer que les restrictions ∆ (respectivement Φ) de ∆ (respectivement Φ) à F sont des endomor- phismes deF.

3) Déterminer Ker Φ.

4) Montrer que F =f1,1F ⊕Ker Φ.

5) Soit le changement de variables

w: R² → R² (u, v) → u+v

2 ,u−v 2

ainsi que l’applicationL:f →f ◦w. Montrer queL déﬁnit un automorphisme de F.

6) Montrer que L Ker ∆ = Ker Φ.

7) On note δ =f2,0−f0,2 l’application(x, y)→x²−y². Montrer queL(δF) =f1,1F. 8) Déterminer un supplémentaire deKer ∆ dansF.