Int´egration et probabilit´es
ENS Paris, 2012-2013Divertissements probabili es
1 – Processus de Galton-Watson
Soitµ= (µi)i≥une mesure de probabilit´e sur {,,, . . .}telle que µ+µ<. Le processus de Galton- Watson (Zn)n≥ed´efinie r´ecursivement parZ=et, pourn≥:
Zn+=
Zn
X
j=
Xj(n),
o `u les variables al´eatoires (Xj(n))j,n≥sont i.i.d. de loiµ. Ainsi, (Zn)n≥mod´elise l’´evolution d’une popu- lation dont `a chaque inantnles individus meurent en donnant naissance `a des nombres d’enfants i.i.d de loiµ. On introduit la fonion g´en´eratriceφassoci´ee `aµ:
φ(s) =X
n≥
µnsn, s∈[,].
On note finalement m=φ0() la moyenne du nombre d’enfants. Le but ede d´emontrer le th´eor`eme suivant :
Presque s ˆurement, il exien≥tel queZn=si et seulement sim≤. Th´eor`eme (Probabilit´e d’extinion).
() Prouver queφe riement croissante, queφ0 e riement croissante et queφ() =.
(i) Pours∈[,], on noteφn(s) =E hsZni
. Montrer queφn+=φn◦φ.
(ii) SoitT = min{n≥;Zn=}. Montrer queP(T <∞) ele plus petit point fixe deφ. Conclure.
Figure – Simulation d’un grand arbre g´en´ealogique du processus de Galton-Watson (les sommets correspondent aux individus, et deux individus sont reli´es par une arˆete si l’un a donn´e naissance `a l’autre).
2 – Percolation
On consid`ere un graphe G form´e d’un ensemble (fini ou d´enombrable) de sites S et d’un ensemble d’arˆetesA(une famille de couples de sites).
On d´efinit une famille de variables al´eatoires (ω(a), a∈ A) ind´ependantes, de mˆeme loi de Bernoulli de param`etrep∈[,]. En d’autres termes, pour chaque arˆetea, on tire ind´ependamment pile (c`ad ) avec probabilit´epou face (c`ad) avec probabilit´e−p. Lorsqueω(a) =, on dit que l’arˆeteaeouverte, et sinon ferm´ee. On notePpla loi correspondante.
Une r´ealisation deωd´efinit donc un sous-graphe al´eatoire deGform´e des sitesSet des arˆetes ouvertes pourω. Souvent, on identifie la r´ealisationω= (ω(a), a∈ A) avec le graphe qu’elle d´efinit.
On consid`ere le cas du grapheG=Zd.
(i) Lorsqued=, p.s. exie-t-il une composante connexe infinie ? Notre but ede d´emontrer le r´esultat suivant :
Lorsqued≥, il exiepc=pc(d)∈(,) tel que :
- pour toutp < pc,ωn’a presque s ˆurement pas de composante connexe infinie.
- pour toutp > pc,ωa presque s ˆurement (au moins) une composante connexe infinie.
Th´eor`eme (Transition de phase pour la percolation).
(ii) On noteA={ωa au moins une composante connexe infinie}. Montrer quePp(A) =ou. (ii) Montrer quep7→Pp(A) ecroissante.
Indication. On pourra d´efinir une famille (X(a), a ∈ A) de variables al´eatoires ind´ependantes uniformes sur [,] et consid´ererωp(a) =1X(a)≤p.
. l’espace d’´etats edonc{,}Amuni de la tribu produit.
Figure – Simulation de la composante connexe contenant l’origine dans Z (simulation de Daniel Tiggemann).
(iii) Montrer que pour p suffisamment petit, presque s ˆurement il n’exie pas de chemin ouvert de longueur infinie issue de l’origine.
(iv) En d´eduire quepc>.
(v) Montrer que sipesuffisamment proche dealors presque s ˆurement il exie un chemin ouvert de longueur infinie issue de l’origine. En d´eduire quepc<.
Indication.Pourd=, on pourra remarquer que s’il n’exie pas de chemin ouvert de longueur infinie issue de l’origine, alors il exie un cycle “dual” ferm´e entourant l’origine.
(vi) Quelle ela probabilit´e critiquepcpour la percolation (par arˆetes) dans un arbre binaire (chaque site, sauf la racine, ereli´e `a trois voisins, et le graphe ne comporte pas de cycle) ? Pour p=pc, exie-t-il une composante connexe infinie ?
Petits compl´ements (hors TD) :
- Montrer le th´eor`eme analogue dans le cas de la percolation par sites (et non plus sur arˆetes) sur Zd.
- ( ) Montrer que surZd, ou bien il n’y a p.s. pas de composante connexe infinie, ou bien il y a p.s. une unique composante connexe infinie.
On peut d´emontrer quepc=/pour la percolation par arˆetes pourZet que sousP/il n’y a p.s. pas de composante connexe infinie. On ne sait pas ce qu’il en een dimension.
Pour davantage de d´etails, consulter le livrePercolation et mod`ele d’Isingde Wendelin Werner.
3 – Le capybara savant
Un capybara tape un texte al´eatoirement sur son capyclavier contenant leslettres de l’alphabet ca- pybarien (en choisissant chaque nouvelle lettre uniform´ement au hasard, les lettres ´etant tap´ees aux inants,,, . . .). On noteXnla lettre tap´ee `a l’inantn. Pour un motM=mm· · ·mk, on noteTMle premier inant o `u le capybara a tap´e exaement le motM, c’e-`a-dire :
TM= inf{n≥; (Xn−k+, Xn−k, . . . , Xn) = (m, m, . . . , mk)}.
On suppose que l’alphabet romain einclus dans l’alphabet capybarien.Quelle ela probabilit´e de lire ABRACADABRA avant ABRACADABRI ?Qui ele plus grand entreE[TABRACADABRA] etE[TABRACADABRI] ?
Fin
. Un mot etoujours suppos´e de longueur finie.
