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SECOND VOTUME I

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THËARIE À LA PRATIQIE

EQIATION ^S DIFFERENTIE tLE

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Er ÉryerroNs AUX oÉruvrrs ^pARTIELLES

l{T L CUL

C

SC

DE LA

T

Table des matières

Notations Introduction

Intégration

numérique

1.1

^{Les méthodes de} Newton-Cotes

1.1.1

Le principe

L.1.2

^{Les formules de} quadrature élémentaires

1.1.3

Convergence des méthodes de Newton-Cotes

I.1.4

Erreur de quadrature pour la méthode de Simpson

L.2

L'intégration ^gaussienne

I.2.1

Introduction aux méthodes gaussiennes

I.2.2

^{Les méthodes} gaussiennes et les intégrales pondérées

I.2.3

Polynômes orthogonaux

1.2.4

Existence des méthodes gaussiennes

Equations différentielles ordinaires

2.1

^{Exemples de} modélisation de problèmes physiques

2.1.1

Les circuits électriques

2.1.2

Le système de van Der Pol

2.1.3

Réduction à des équations différentielles de degré 1

2.2

L'inêgalité de Gronwall

2.3

^Existence et unicitê des solutions via la méthode d'Euler

2.3.1

Le théorème de Cauchy-Lipschitz

2.3.2

Le théorème d'unicitê

2.3.3

La méthode d'Euler

XI XIII I

2 2 3

2l

27 21 30 33 35 37 37 38 40 5 6

I

9 11 L2 18

2.3.4

Un cas où la mêthode d'Euler ne converge

pas

⁴⁴

2.4

Equations différentielles ordinaires

linéaires

⁴⁶

2.4.1 Introduction

⁴⁶

2.4.2 Généralités

⁴⁷

2.4.3

Les équations différentielles à cæfficients

constants

⁵¹

2.4.4

Portrait de phase en dimension

2

^.

2.4.5

L'équation

x" : Ax

⁵⁹

L28 131

158 160 161 162

vill

I I

t

I

I

I

Table des matières

2.5

^{Analyse des} êquilibres d'une équation différentielle autonome

2.6

Approximation numérique des équations différentielles

2.6.1

Les méthodes d'Euler améliorée, de Runge-Kutta et de Taylor

2.6.2

Une inégalité de Gronwall discret et convergence des schémas

2.6.3

Les méthodes implicites

2.6.4

Comportement des approximations lorsque le temps tend vers I'infini

2.7

L'équation de va.n Der Pol

61 78 78 84 6(

90 93

Quelques problèmes elliptiques

3.1

^{La méthode de}

tir

3.2

^Méthodes variationnelles

. .

^.

3.2.I

Introduction aux méthodes variationnelles ^.

3.2.2

^Les espaces '11r(0,L) et ?1fi(0,1)

. .

^.

3.2.3

Résolution du problème elliptique via les méthodes varia- tionnelles

3.3

Approximation

numérique

^.

3.3.1

Présentation des méthodes d'approximation ^.

3.3.2

Convergence de I'approximation numérique pour une discré- tisation à pas constant

3.3.3

^Exercices

Les phénomènes dissipatifs

4.L

Quelques modèles dissipatifs

4.L.L

Equations de la dynamique des gaa incompressibles .

4.1.2

Variation de température dans un barreau métallique

4.1.3

La transmission d'un gène dans une population

4.2

Résolution de l'équation de la chaleur linéaire en

lD 4.2.1

Résolution de l'équation de la chaleur sur ^IR

4.2.2

Résolution de l'équation de la chaleur sur _[0,1]

4.3

Approximation numérique des équations dissipatives

4.3.1

Principe de ces schémas

4.3.2 Etudedesschémaslorsqueo:0 ..:.. ..

4.3.3

Mise en oeuvre numérique Phénomènes de

transport

5.1

Quelques modèles

5.1.1

Le tra,fic routier

5.1.2

L'équation de Biirgers

5.2

Propriétés de l'équation de transport à vitesse constante

5.2.1

Existence et unicité des solutions de l'équation de transport à vitesse consta,nte

5.2.2

Propriétês des solutions faibles

5-3

Introduction aux équations hyperboliques non linéaires .

r07

108 111 111

rt2

118 124 124

135 135 135 136 L37

r37

138

t40

L43 144 L46 153

155 156 156

r57

158

5-3.1

La méthode des caractéristiques

-f*le

des matières

5.3.2

Un premier théorème d'existence et

d'unicité

¹⁶³

5.3.3

Application de la méthode des

caractéristiques

¹⁶⁶

5.3.4

Solutions faibles et notion de solutions

entropiques

⁷⁷⁰

5.3.5

Définition des solutions

faibles

¹⁷⁰

5.3.6

Solutions faibles et condition de

Rankine-Hugoniot

¹⁷²

5.3.7

Non unicité des solutions

faibles

¹⁷⁴

5.3.8

Solutions faibles

entropiques

^L76

5-4

Discrétisation des équations de

conservation

¹⁷⁸

5.4.I

Présentation des

schémas

¹⁷⁸

5.4.2

Propriétés des différents schémas pour l'équation de trans-

portàvitesseconstantec.

¹⁸²

C

Propagation des ondes L91

6-l

Quelques modèles de propagation des ondes. Equation de d'Alembert191

6.1.1

Les ondes

acoustiques

¹⁹¹

6.L.2

La chalne d'oscillateurs

harmoniques

I92

6.1.3

Les cordes d'instruments de

musique I94

6.2

Résolution de l'équation de d'Alembert en une dimension d'espace 196

6.2.1

L'équation des ondes sur lR* x IR

.

¹⁹⁶

6.2.2

Le problème aux

limites

²⁰¹

6-3

Discrétisation de l'équation de

d'Alembert

²⁰⁴

' _6.3.1 Notations

²⁰⁴

6.3.2

^Les différents

algorithmes

²⁰⁵

6.3.3

Convergence des différents

schémas

²⁰⁷

6.3.4 Exercices

^2L5

Correction

des

exercices

217

A.l

Intégration

numérique

²¹⁷

4.2

Equations difiérentielles

ordinaires

²²²

4.3

Quelques problèmes

elliptiques

²³⁵

A.4

Les phénomènes

dissipatifs

²⁴⁷

4.5

Phénomènes de

tra,nsport

²⁵⁴

4.6

Propagation

d'ondes

²⁶⁶

Bibliographie Index

273 277

II

II t I

II

t

I

I:

' _{SECOND VOLUME}

FLORENCE HUBEM' = _IOHN HUBBARD

CALCTJL SCITNTIFIQUË

ÉenuoNs UTEEIENTIEILES Er ÉrynuoNs eux oÉnrvÉEs

PARTIELLES

Depuis Galilée, la partie de la nature sujette à la modélisation mathématique est en croissance constante. Ce cours est consacré au calcul scientifique, branche des mathématiques qui sert dans l'analyse de ces modèles. Appliquée à de nombreux problèmes de la vie courante, cette étude complète porte sur la modélisation physique des phénomènes, l'étude mathématique ^des problèmes et leur approximation numérique ; on y trouvera-aussi la mise ^en æuvre pratique des algorithmes, ^sous Maple ou Matlab.

Ce cours en deux volumes

- ïndépendants s'adresse aux étudiants parvenus ^en troisième année de Licence de mathématiques,

notâmment ceux qui préparent

I'option

Calcul scientifique de I'agrégation de mathématiques.

Il

est âccompagné d'exercices corrigés et d'exemples ^de programmes écrits en Maple et Matlab.

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Le présent volume, consacré aux équations différentielles (ordinaires et aux dérivées partielles)

,

^{traite des} sujets suivants ^: intégration numérique, équations différentielles ordinaires, problèmes elliptiques, phénomènes dissipatifs, phénomènes de transpoft et propagation des ondes.

Figures de Ia page 253

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ISBN : 2 71,17 7149 0 ISBN 2007 : 97 8 -2-7 1,1,7 -7 1,49 -3

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