Chapitre 9 : Introduction au processus de branchement Processus de Galton-Watson

Probabilités

Chapitre 9 : Introduction au processus de branchement Processus de Galton-Watson

Lucie Le Briquer 2 décembre 2017

But. modéliser la descendance d’un individu.

• des bactéries qui se multiplient par division

• survie des noms de Lord anglais (motivation initiale)

•

• • •

• • • • •

• • • • •

X₀= 1

X₁= 3

X₂= 5

X₃= 5 Y₁¹= 3

Y₂²= 3

X_i : nombre d’individus.

Y_i^j : nombre d’enfants dui-ème individu de la générationj−1.

Modélisation. On se donneµ une probabilité surNappelée “loi de reproduction” qui repré- sente le nombre d’enfants d’un individu. On se donne (Y_i^j)i>1,j>1 v.a. indépendantes de loi µ.

On pose :

ß X₀= 1

X_n =Y₁ⁿ+...+Y_Xⁿ

n−1

qui représente le nombre d’individus à la générationn.

Remarque.(Y_i^j)indépendants et de même loi sont des hypothèses très simplificatrices.

1

Remarques.

• Xn=P+∞

i=1Y_iⁿ1ⁱ6X_n−1 est bien défini.

• Xn est défini à partir deX_n−1:

E h

φ(X_n)

X_n−1

| {z }

∈Nv.a. discrète

i _?

=h(X_n−1)

où :

h(x) =E[φ(X_n)|X_n−1=x]

=E

"

φ

x

X

i=1

Y_iⁿ

!

X_n−1=x

| {z }

∈σ(Y_i^k)i>1,k6n−1

#

indépendance par regroupement

=E

"

φ

x

X

i=1

Y_iⁿ

!#

= Z

φ(z)dµ^∗x(z) ∗x= convoléexfois deµ DoncE[φ(X_n)|Xn−1] =R

φ(z)dµ^∗Xn−1(z). DoncL(Xn|Xn−1) =µ^∗Xn−1.

Question. La descendance est-elle finie ou infinie ?

Remarque.µ({0}) = 0⇒population croissante⇒descendance infinie {Xn= 0} ⊆ {Xn+1= 0} doncA=“extinction de la population”=S

n>1↑ {Xn= 0}

Notre but est de trouverρ=P(A) = lim↑P(Xn = 0).

Outil. Fonction génératrice : jour le rôle deφla fonction caractéristique pour les v.a. dansN.

SiX ∈Np.s., sa fonction génératrice est :

g_X:

ß [0,1] −→ [0,1]

s 7−→ gX(s) =E[s^X] =P

k>0pks^k oùp_k=P(X_k)>0.

Définition 1(fonction génératrice)

SiX ∈Np.s. alorsgX est : 1. analytique sur[0,1[

2. croissante convexe (strictement convexe siP(X >2)>0) 3. gX(1) = 1,g_X⁰ (1⁻) =E[X](+∞siX /∈ L¹)

Propriété 1

2

Preuve.

1. sis∈[0, t]avect <1 :g_X(s) =Ps^kp_k

| {z }

|.|6t^k

avect <1⇒convergence normale

2. p_k>0⇒croissance. Et : g_X⁰⁰(s) =X

k>2

k(k−1)p_ks^k−2>0 >0 si∃k>2 tel quep_k >0

3. g_X⁰ (s) =P

k>1ks^kpk

−−−−→↑ s→1⁻

P

k>1kpk=E[X]

Calculonsg_Xn.g_X0(s) =s¹=s.

gX_n(s) =E s^Xn

=E îs^Y

n

1+...+Y_Xn−1ⁿ ó

=E

"

s^Y

n

1+...+Y_Xn−1ⁿ +∞

X

x=0

1^Xn−1=x

#

Fubini>0

=

+∞

X

x=0

E

"

s^Y1n

|{z}

∈σ(Y₁ⁿ)

...s^Yxn 1Xn−1=x

| {z }

∈σ(Y_i^k)i>1,k6n−1

#

famille idp par regroupement

=

+∞

X

x=0

E[s^Y1n]×...×E[s^Yxn]P(X_n−1=x)

=

+∞

X

x=0

(gµ(s))^xP(Xn−1=x)

gX_n(s) =gXn−1(gµ(s)) =gX₀(gµ(gµ(...(gµ(s)))))

| {z }

nfois

Finalement :

gX_n(s) =g_µ^◦n(s) (ok cargµ: [0,1]→[0,1])

Soitρla probabilité d’extinction, i.e.ρ= lim↑P(Xn= 0)est le plus petit point fixe degµ

sur[0,1].

Propriété 2

Remarque.gµ(1) = 1donc il y a des points fixes.

Preuve.

P(X_n = 0) =g_Xn(0). DoncP(X_n= 0) =g_µ(g_µ(...(0)))

| {z }

nfois

.

ρ= limg_µ(g_µ(...(0))) =

continuité deg_µ g_µ(limg_µ(...(0))) =g_µ(ρ) Doncρest un point fixe.

3

Soitxun autre point fixe.0>xetgµ est croissante. Alors : gµ(...(gµ(0)))6gµ(...gµ(x)) =x Puis passage à la limite. Doncρest le plus petit point fixe.

Siµ6=δ₁alors sim=E[Y₁¹] =R

xdµ(x).

• sim61alors il y a extinction p.s.

• sim >1alorsρ <1survie avec une probabilité strictement positive Théorème 1

Remarque.On parle de “transition de phase” enm= 1. D’un côté on a un arbre fini p.s. sinon P(arbre infini)>0.

Preuve.

• sim >1 :g_µ(1) = 1 etg_µ⁰(1) =m >1. Donc∃εtel que

∀1−ε < y <1, g_µ(y)< y i.e.g_µ(y)−y <0 gµ(0)>0. Sigµ(0) = 0⇒ ρ= 0. Sinongµ(0)−0>0.

• Si m <1,g⁰_µ1 <1.gµ est convexe donc reste >à sa pente>{y=x} ⇒ pas d’autre point fixe. ainsiρ= 1.

• g_µ⁰(1) = 1, pente={y=x}mais siP(X >2) = 0alorsm= 1 = 0p0+ 1p1⇒p1= 1⇒µ= δ1 qui est exclut. DoncP(X>2)>0⇒gµ strictement convexe.⇒g reste strictement au dessus de{y=x}sauf en 1⇒pas de point fixe plus petit queρ= 1

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