Processus de Galton-Watson

DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE

Processus de Galton-Watson

Leçons : 223, 226², 229, 243, 260, 264,206,241,244,253

Merci Laura !³

SoitXune variable aléatoire intégrable à valeurs dansN.

On note, pourn∈_N, p_n=_P(X=n)etm=_E[X] = _∑^∞

n=₀

np_n<_∞.

Soit X_i,j

i,j∈_Nune famille de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, suivant la loiPX.

On définit la suite(Z_n)_n∈Nde la façon suivante :







Z0=₁

∀n∈_N,Z_n+1= ^Z_∑ⁿ

i=1

X_i,n

L’idée est alors de modéliser avec (Z_n)la taille d’une population ; plus précisément,Z_n symbolisera le nombre d’individus à lan^èmegénération, et pouri∈ [[1,Z_n]],X_i,nreprésentera le nombre de descendants que l’individu de lan^ème génération portant le numéroiaura engendré (les individus de la population qu’on considère génèrent des enfants tous seuls).

On va étudier la suite(Z_n), et particulièrement, on va répondre à la question “Que vautP(∃n∈_N,Z_n=0)? (Quelle est la probabilité que la population considérée s’éteigne ?)”⁴

Lemme

On a :∀n∈_N^∗,∀i∈_N,Z_n ⊥⊥X_i,n. Démonstration :

Soitn∈_N^∗;Znne dépend que deZn−1et de la famille(Xi,n−1)_i∈N.

Ainsi, par une récurrence immédiate, il vient :Znne dépend que de la famille X_i,j

i>0,j<n. Et, par indépendance des variablesX_i,j, on obtient que∀i∈_N,Zn⊥⊥X_i,n.

1. On sautera l’aspect modélisation et le premier lemme. Dans la 229, on ne montre pas queπ_∞est le plus petit point fixe deG, mais on détaille la stricte convexité par la suite. Dans le dernier théorème, on ne construit que les tableaux de variations, et oralement.

2. Attention à bien justifier ce développement dans cette leçon. C’est la suite(πn)_n∈Nqui permet de ne pas être de mauvaise foi, évitez l’argument “On regarde la suite(Zn,n)_n∈N” qui est quand même moins élégant ; ou encore pire : “Z_n+1= fn(Zn)” qui est carrément hors-sujet.

3. Un lien vers la page personnelle de Laura GAY.

4. On aurait pu se poser la question “Que vautE[Zn]? (Quel est le nombre moyen d’individus à lan^èmegénération ?)”

Théorème

On a :∀n∈_N,E[Zn] =mⁿ. En effet, soitn∈_N;

E[Z_n+1] =_E

"_Z

∑n

i=1

X_i,n

#

=_E

"

E

"_Z

∑n

i=1

X_i,n

Zn

##

=_E

"

E

"_∞

i=1∑

1_i6ZnX_i,n

Zn

##

=_E

"_∞

i=1∑

1_i6ZnE X_i,n

Z_n

#

(par Fubini-Tonelli, car1_i6ZnX_i,n>0 ps et parZ_n-mesurabilité de1_i6Zn)

=_E

"_Z

∑n

i=1

E X_i,n

#

(d’après le lemme, on a l’indépendance entreX_i,netZn)

=_E

"_Z

∑n

i=1

m

#

=_mE[Zn]

On conclut par récurrence, en utilisant le fait queZ₀=1.

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DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE

On note, pourn∈_N,π_n=_P(Z_n=0); etπ_∞ =_P(∃n∈_N,Z_n=0)la probabilité d’extinction.

CommeZn=0⇒ Z_n+1 =0, la suite d’événements({Zn =0})_n∈Nest croissante et on a bien :

π_∞ =_P ^[

n∈_N

{Zn=0}

!

= lim

n→_∞πn

Si p₀ =0, alors on a∀n∈_N^∗,Z_n>^{1 ps etπ}∞ =0.

Si p0 =1, alors on a∀n∈_N^∗,Zn=0 ps etπ_∞ =1.

On suppose donc désormais p₀ ∈]0, 1[. Proposition

On définit la série génératrice deXparG:s7→_E^hs^Xi

=

∑

p_ks^k. On a les résultats suivants :

1. Gest bien définie sur[0, 1]et y est de classeC¹. 2. (a) Gest strictement croissante sur]0, 1[.

(b) Gest convexe sur]0, 1[.

(c) Gest strictement convexe sur]0, 1[⇔ p₀+p₁<1.

Démonstration :

1. ∀k∈N,s7→ pks^kest de classeC¹sur[0, 1], la série

∑

k>0

pk1^kconverge (vers 1), et la série de fonctions

k>1

∑

kp_ks^k−1converge normalement (carXest intégrable) donc uniformément sur[0, 1]. Par conséquent, la série

∑

k>0

pks^kconverge uniformément versG, de classeC¹sur[0, 1]. 2. La série entière

∑

k>0

pks^kayant un rayon de convergence>1, on a :

∀s∈[0, 1[,G⁰(s) =

∑

kpks^k−1etG⁰⁰(s) =

∑

k(k−1)pks^k−2 Commep0<1, on a :∃k0>0,p_k0 >0.

(a) Ainsi :∀s∈]0, 1[,G⁰(s)>k₀p_k0s^k0−1>0 etGest strictement croissante sur]0, 1[. (b) Aussi :∀s∈]0, 1[,G⁰⁰(s)>k0(k0−1)pk₀s^k0−2>0 etGest convexe sur]0, 1[.

(c) Sip0+p₁=1, alors on ak0=1 etGest affine donc n’est pas strictement convexe sur]0, 1[. Sip0+p1<1, alors on peut avoirk0>1 etG⁰⁰>0 sur]0, 1[d’où la stricte convexité.

Proposition

Pourn∈N, on définit la série génératrice deZnparGn :s7→_E^hs^Zni

=

∑

P(Zn =_k)s^k. Comme précédemment, on peut montrer queG_nest bien définie sur[0, 1].

On a :∀n∈_N^∗,Gn =G◦. . .◦G

| {z }

nfois

sur[0, 1].

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Démonstration :

Soitn∈_N,s∈[0, 1], Gn+1(s) =Eh

s^Zn+1i

=Eh

s^∑Zni=1Xi,ni

=E

"_Z

∏

i=1

s^Xi,n

#

=E

"_∞

j=0

∑

1Z_n=j

∏

s^Xi,n

#

=

∑

E

"

1Zn=j

∏

s^Xi,n

#

(par Fubini-Tonelli, car les termes sont tous positifs)

=

∑

E1Z_n=j

∏

Eh s^Xi,ni

(car les variables en jeu ici sont toutes indépendantes)

=

∑

P(Zn =j)Eh s^Xij

=

∑

P(Zn =j)G(s)^j=Gn(G(s))

On conclut par récurrence, en utilisant le fait queZ₁=X0,0suit la loi deX.

Proposition

La probabilité d’extinctionπ_∞est le plus petit point fixe deGsur l’intervalle[0, 1]. Démonstration :

La proposition précédente donne :∀n∈_N,∀s∈[0, 1],G_n+1(s) =G(Gn(s)).

En évaluant en 0, on obtient la relation :π_n+1= G(πn), puis par continuité deGsur[0, 1], on obtient que π_∞est un point fixe deG. Reste à montrer que c’est le plus petit.

Soitu∈[0, 1]un point fixe deG. On va montrer par récurrence que∀n∈_N^∗,πn6u.

– On a :π1=G(π0) =G(_P(Z0=0)) =G(0)6G(u) =u, carGest croissante.

– Siπn6u, alorsπn+1=G(πn)6G(u) =u, toujours par croissance deG.

Par conséquent,∀n∈N,π_n6u, puis par passage à la limite :π_∞6u.

Théorème

Sim6^{1, alorsπ}∞=1.

Sim>1, alorsπ_∞est l’unique point fixe deGsur]0, 1[. Démonstration :

On rappelle qu’on a deux cas :

– Si p₀+p₁ = 1, et alors Gest une fonction affine ; comme p₀ > 0, la droite représentative de G coupe en un unique point la droite d’équationy=x. Nécessairement, ce point d’intersection a pour coordonnées(1, 1).

– Sinon,Gest strictement convexe sur]0, 1[; il en va alors de même pourx 7→ G(x)−xqui s’annule donc au plus deux fois⁵.

Dans tous les cas, on a :G(x)−xs’annule au plus 2 fois sur[0, 1]; aussiG⁰(0) =p1etG⁰(1) =

∑

npn=m.

Supposonsm>1.

AlorsG⁰−1 est une fonction croissante dep₁−1 < 0 (carp0 > 0) àm−1 >0, donc elle s’annule en un pointα∈]0, 1[. La fonction G−Id est alors décrois- sante sur[0,α]puis croissante sur[α, 1]. Comme G(0)−0 = p0 > 0 et G(1)− 1=0, il existe un point dans l’intervalle ]0,α]oùG−Id s’annule.

π_∞est donc l’unique point fixe deGsur l’intervalle]0, 1[(carGen a au plus 2).

x G⁰(x)−1

G(x)−x

0 α 1

p1−1 − ₀ + _m−1

p0

p0 00

π_∞

0

5. Effectivement, si cette fonction s’annule en trois points distincts, par le théorème de Rolle, sa dérivée s’annulera en deux points distincts,a<b. Maisx7→G(x)−xest convexe, donc sa dérivée est croissante, donc nulle sur[a,b]. Ceci implique que G⁰−1 n’est pas strictement croissante, et donc quex 7→ G(x)−xn’est pas strictement convexe. Attention à l’idée reçue qui consiste à penser que “strictement convexe” équivaut à “dérivée seconde strictement positive” (pour les fonctions deux fois dérivables) – pour vous en convaincre, considérezx7→x⁴.

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Supposonsm61.

AlorsG⁰−1 est une fonction croissante sur[0, 1], néga- tive ou nulle en 1 ; donc négative sur[0, 1].

DoncG−Id est décroissante sur[0, 1], et s’annule en 1.

Comme cette fonction admet au plus 2 annulations, elle ne s’annule qu’en 1 (car sinon elle s’annulerait sur un intervalle non-réduit à un singleton).

Par conséquent,π_∞=1.

x G⁰(x)−1

G(x)−x

0 1

p1−1 − m−1 p0

p0

0 0

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