1 – Processus de Galton-Watson

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2012-2013

Divertissements probabili es – Corrig´e

0 – Exercice du TD 13 `a chercher

E

^{xercice 0.} (Sommes al´eatoires) Soit (X_n)_n≥) une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de mˆeme loi, centr´ees, de varianceσ^. On poseS_n=Pn

m=X_m. Soit (N_k)_k≥une suite de v.a. `a valeurs dans N_∗, toutes ind´ependantes de la suite (X_n)_n≥. On pose finalement

Z_k=√ N_kS_Nk.

On suppose queN_k→ ∞p.s. lorsquek→ ∞. Montrer queZ_kconverge en loi vers une variable al´eatoire que l’on d´eterminera.

Corrig´e :

PosonsY_n =S_n/√

n et soitN une variable al´eatoire normale centr´ee r´eduite. Nous allons montrer queZ_k converge en loi versN. SoitF :R→R₊ une fonion continue born´ee. Fixons >. D’apr`es le th´eor`eme central limite,Y_nconverge en loi versN. Il exie doncN tel que pourn≥n_:

|E[F(Y_n)]−E[F(N)]| ≤. On ´ecrit ensuite :

E[F(Z_k)] = E

hF(Y_Nk)i

=

∞

X

j=

E

hF(Y_j)1^{N_k=j}

i

=

∞

X

j=

P[N_k=j]E hF(Y_j)i

par ind´ependance deN_k etY_j

Ainsi :

|E[F(Z_k)]−E[F(N)]| ≤

∞

X

j=

P[N_k=j]

E hF(Y_j)i

−E[F(N)]

≤ kFk_∞P[N_k≤n_] +X

j≥n_

P[N_k=j]

E

hF(Y_j)i

−E[F(N)]

≤ kFk_∞P[N_k≤n_] +X

j≥n_

P[N_k=j]

≤ kFk_∞P[N_k≤n_] +.

OrN_kconverge presque s ˆurement vers, et donc en probabilit´e (ou utiliser le th´eor`eme de convergence dominer pour le faire `a la main). Le premier terme de la derni`ere somme converge donc vers. On en d´eduit que|E[F(Z_k)]−E[F(N)]| ≤pourksuffisamment grand, ce qui conclut.



1 – Processus de Galton-Watson

Soitµ= (µ_i)_i≥une mesure de probabilit´e sur {,,, . . .}telle que µ_+µ_<. Le processus de Galton- Watson (Z_n)_n≥ed´efinie r´ecursivement parZ_=et, pourn≥:

Z_n+=

Z_n

X

j=

X_j⁽ⁿ⁾,

o `u les variables al´eatoires (X<sub>j</sub><sup>(n)</sup>)<sub>j,n</sub>≥sont i.i.d. de loiµ. Ainsi, (Z<sub>n</sub>)<sub>n</sub>≥mod´elise l’´evolution d’une popu- lation dont `a chaque inantnles individus meurent en donnant naissance `a des nombres d’enfants i.i.d de loiµ. On introduit la fonion g´en´eratriceφassoci´ee `aµ:

φ(s) =X

n≥

µ_nsⁿ, s∈[,].

On note finalement m=φ⁰() la moyenne du nombre d’enfants. Le but ede d´emontrer le th´eor`eme suivant :

Presque s ˆurement, il exien≥tel queZ_n=si et seulement sim≤.

Th´eor`eme (Probabilit´e d’extinion).

() Prouver queφe riement croissante, queφ⁰ e riement croissante et queφ() =.

(i) Pours∈[,], on noteφ_n(s) =E hs^Zni

. Montrer queφ_n+=φ_n◦φ.

(ii) SoitT = min{n≥;Z_n=}. Montrer queP(T <∞) ele plus petit point fixe deφ. Conclure.

Figure  – Simulation d’un grand arbre g´en´ealogique du processus de Galton-Watson (les sommets correspondent aux individus, et deux individus sont reli´es par une arˆete si l’un a donn´e naissance `a l’autre).

Corrig´e :

() Pas de difficult´e en d´erivant sous le signe somme.



(i) On d´emontre ais´ement par r´ecurrence surnque pour tout entiern≥,Z_net (X_j^(k);≤j,≤k≤n) sont ind´ependants. Ainsi :

φ_n+(s) = E

s^PZnj=X

(n) j

=

∞

X

k=

E

s^Pkj=X

(n) j 1^{Z_n=k}

=

∞

X

k=

P[Z_n=k]E

s^Pkj=X

(n) j

carZ_net (X_⁽ⁿ⁾, . . . , X_k⁽ⁿ⁾) sont ind´ependants

=

∞

X

k=

P[Z_n=k]E

s^X(n) k

carX_⁽ⁿ⁾, . . . , X_k⁽ⁿ⁾sont iid

=

∞

X

k=

P[Z_n=k]φ(s)^k

= φ_n(φ(s)).

D’o `u le r´esultat.

(ii) La probabilit´e d’extinionP(T <∞) ela r´eunion croissante des ´ev´enements{Z_n=}. En remar- quant queφ_n() =P[Z_n=], il s’ensuit queqela limite deφ⁽ⁿ⁾() lorsquen→ ∞.

Lorsquem≤, on introduit la fonionh(s) =φ(s)−squi v´erifie, pour≤s <h⁰(s) =φ⁰(s)−<

φ⁰()−≤. Ainsihe riement d´ecroissante sur [,] avech() =. On en d´eduit queφ(t)> t pour toutt∈[,). Lorsquem >, on d´emontre de mani`ere similaire que que φ(s) =sadmet une unique solution sur [,). Il ealors classique de montrer que la suiteφ⁽ⁿ⁾() converge vers le plus petit point fixe deφsur [,] lorsquen→ ∞.

2 – Percolation

On consid`ere un graphe G form´e d’un ensemble (fini ou d´enombrable) de sites S et d’un ensemble d’arˆetesA(une famille de couples de sites).

On d´efinit une famille de variables al´eatoires (ω(a), a∈ A) ind´ependantes^, de mˆeme loi de Bernoulli de param`etrep∈[,]. En d’autres termes, pour chaque arˆetea, on tire ind´ependamment pile (c`ad ) avec probabilit´epou face (c`ad) avec probabilit´e−p. Lorsqueω(a) =, on dit que l’arˆeteaeouverte, et sinon ferm´ee. On noteP_pla loi correspondante.

Une r´ealisation deωd´efinit donc un sous-graphe al´eatoire deGform´e des sitesSet des arˆetes ouvertes pourω. Souvent, on identifie la r´ealisationω= (ω(a), a∈ A) avec le graphe qu’elle d´efinit.

On consid`ere le cas du grapheG=Z^d.

(i) Lorsqued=, p.s. exie-t-il une composante connexe infinie ? Notre but ede d´emontrer le r´esultat suivant :

Lorsqued≥, il exiep_c=p_c(d)∈(,) tel que :

- pour toutp < p_c,ωn’a presque s ˆurement pas de composante connexe infinie.

- pour toutp > p_c,ωa presque s ˆurement (au moins) une composante connexe infinie.

Th´eor`eme (Transition de phase pour la percolation).



Figure  – Simulation de la composante connexe contenant l’origine dans Z^ (simulation de Daniel Tiggemann).

(ii) On noteA={ωa au moins une composante connexe infinie}. Montrer queP_p(A) =ou. (iii) Montrer quep7→P_p(A) ecroissante.

Indication. On pourra d´efinir une famille (X(a), a ∈ A) de variables al´eatoires ind´ependantes uniformes sur [,] et consid´ererω_p(a) =1X(a)≤p.

(iv) Montrer que pour p suffisamment petit, presque s ˆurement il n’exie pas de chemin ouvert de longueur infinie issue de l’origine.

(v) En d´eduire quep_c>.

(vi) Montrer que sipesuffisamment proche dealors presque s ˆurement il exie un chemin ouvert de longueur infinie issue de l’origine. En d´eduire quep_c<.

Indication.Pourd=, on pourra remarquer que s’il n’exie pas de chemin ouvert de longueur infinie issue de l’origine, alors il exie un cycle “dual” ferm´e entourant l’origine.

(vii) Quelle ela probabilit´e critiquep_cpour la percolation (par arˆetes) dans un arbre binaire (chaque site, sauf la racine, ereli´e `a trois voisins, et le graphe ne comporte pas de cycle) ? Pour p=p_c, exie-t-il une composante connexe infinie ?

Petits compl´ements (hors TD) :

- Montrer le th´eor`eme analogue dans le cas de la percolation par sites (et non plus sur arˆetes) sur Z^d.

- ( ) Montrer que surZ^d, ou bien il n’y a p.s. pas de composante connexe infinie, ou bien il y a p.s. une unique composante connexe infinie.

On peut d´emontrer quep_c=/pour la percolation par arˆetes pourZ^et que sousP_/il n’y a p.s. pas de composante connexe infinie. On ne sait pas ce qu’il en een dimension.

Pour davantage de d´etails, consulter le livrePercolation et mod`ele d’Isingde Wendelin Werner.

´Ebauche de corrig´e :

(i) Oui, uniquement lorsquep=. Sip <, le lemme de Borel-Cantelli implique que presque s ˆurement, ω(i) =pour une infinit´e dei≥eti≤.

. l’espace d’´etats edonc{,}^Amuni de la tribu produit.



(ii) V´erifions tout d’abord que Aebien mesurable pour la tribu produit. `A cet effet, notons A_x = {ωa au moins une composante connexe infinie contenantx}pourx∈Z^d, de sorte que

A= [

x∈Z^d

A_x= [

x∈Z_d

\

n≥

{Xereli´e `a la boule de centrexet de rayonnpar un chemin ouvert}. Or toute partie qui ne d´epend que de l’´etat d’un nombre fini d’arˆetes emesurable pour la tribu produit. Formellement, cela veut dire que si on noteπ_a :{,}^A → {,}la projeion d´efinie par π_a(ω) =ω(a), alors toute partie de la forme

π_a⁻_^(C_)∩ · · · ∩π_a⁻_j^(C_j) (j≥, a_, . . . , a_j ∈ A, C_, . . . , C_j⊂ {,}) emesurable pour la tribu produit. AinsiAebien mesurable.

Le fait queP_p(A) =oueune cons´equence de la loi du-de Kolmogorov. Si on veut r´ediger cela en d´etail, on peut proc´eder comme suit. Soit (a_i)_i≥une ´enum´eration des arˆetes deAet notons X_i = ω(a_i) pour i ≥ . Ainsi, sousP_p, (X_i)_i≥ eune suite de variables al´eatoires i.i.d. Or A ne d´epend pas de l’´etat d’un nombre fini d’arˆetes, de sorte que pour toutn ≥, A∈σ(X_n, X_n+, . . .).

DoncAedans la tribu asymptotique de (X_i)_i≥, qui etriviale d’apr`es la loi du-de Kolmo- gorov pour une suite de variables ind´ependantes.

(iii) La loi deω_peP_p. On en d´eduit que pourp≤p⁰ :

P_p(A) =P(ω_p∈A)≤P(ω_p⁰∈A) =P_p⁰(A).

Pour l’in´egalit´e, on a utilis´e l’inclusion{ω_p∈A} ⊂ {ω_p⁰∈A}, vraie presque s ˆurement.

(iv) On rappelle la notationA_x={ωa au moins une composante connexe infinie contenantx}pourx∈ Z^d. Mais

A_⊂ {il exie un chemin injeif ouvert infini issu de}.

Mais le nombre de chemins injeifs ouverts de longueurn issus de  eau plus d(d−)^n−. Donc, pour toutn≥,

P[A_]≤P( il exie un chemin injeif ouvert de longueurnissu de)≤pⁿd(d−)^n−, qui tend verslorsquen→ ∞pourp </(d). AinsiP[A_] =lorsquep </(d).

(v) On a

P[A]≤ X

x∈Z^d

P[A_x]≤ X

x∈Z^d

P[A_]

par invariance par translation. On a vu queP[A_] =pourp </(d), doncp_c≥/(d).

(vi) Comme Z^ ⊂Z^d, s’il exie p.s. une composante connexe infinie dans Z^, alors il en exie une p.s. dansZ^d, ce qui impliquep_c(Z^d)≤p_c(Z^). Il suffit donc de prouver le r´esultat pourd=. Par dualit´e, s’il n’exie pas de chemin ouvert de longueur infinie issue de l’origine, alors il exie un cycle “dual” ferm´e entourant l’origine. Mais ce cycle dual intersee n´ecessairement la demi-droite positive. Or si un tel cycle passe par [x, x+], alors il ede longueur au moinsx+et contient donc un chemin injeif de longueur x passant par [x, x+]. Comme il y a u plus^x chemins injeifs de longueurxpassant par [x, x+], on a :

P_p(n’epas dans une composante connexe infinie)≤X

x≥

((−p))^x.

Lorsquepesuffisamment proche de, cette somme e rcitement inf´erieure `a, ce qui implique P<sub>p</sub>(A<sub></sub>)>. D’o `uP_p(A)>, et commeP_p(A) =ou, il s’ensuit queP_p(A) =pourpsuffisamment proche de.



(vii) La composante connexe de la racine eun arbre de Galton-Watson de loi de reproduionµdonn´ee par :

µ_= (−p)^, µ_=p(−p), µ_=p^, µ_i= (i≥).

D’apr`es l’exercice sur les processus de Galton-Watson, la composante connexe de la racine e presque s ˆurement finie si et seulement si la moyenne deµeinf´erieure ou ´egale `a. On en d´eduit imm´ediatement que p_c = /et que pour p=/ il n’y a presque s ˆurement pas de composante connexe infinie.

3 – Le capybara savant

Un capybara tape un texte al´eatoirement sur son capyclavier contenant leslettres de l’alphabet ca- pybarien (en choisissant chaque nouvelle lettre uniform´ement au hasard, les lettres ´etant tap´ees aux inants,,, . . .). On noteX_nla lettre tap´ee `a l’inantn. Pour un mot<sup></sup>M=m<sub></sub>m<sub></sub>· · ·m<sub>k</sub>, on noteTMle premier inant o `u le capybara a tap´e exaement le motM, c’e-`a-dire :

TM= inf{n≥; (X_n−k+, X_n−k, . . . , X_n) = (m_, m_, . . . , m_k)}.

On suppose que l’alphabet romain einclus dans l’alphabet capybarien.Quelle ela probabilit´e de lire ABRACADABRA avant ABRACADABRI ?Qui ele plus grand entreE[TABRACADABRA] etE[TABRACADABRI] ?

´Elements de r´eponse :

En s’arrˆetant aux inants successifs o `u on lit ABRACADABR, on voit que la probabilit´e de lire ABRA- CADABRA avant ABRACADABRI vaut/.

Donnons une explication intuitive du fait queE[TABRACADABRA]>E[TABRACADABRI] :

- lorsqu’on lit ABRACADABR et que la lettre d’apr`es n’epas A, tout se passe comme si on recommenc¸ait de z´ero si on veut lire ABRACADABRA.

- lorsqu’on lit ABRACADABR et que la lettre d’apr`es n’e pas I, tout ne se pas pas comme si on recommenc¸ait de z´ero si on veut lire ABRACADABRI. En effet, si la lettre d’apr`es eA, cela nous favo- rise car on pourrait lire ABRACADABRABRACADABRAou ABRACADABRACADABRA(tout se passe comme si on recommenc¸ait en sachant qu’on a d´ej`a un A, ce qui nous favorise).

Il epossible calculer explicitementE[TM] pour tout motM(cette quantit´e fait intervenir le nombre de pr´efixes deMqui sont ´egalement suffixes). Par exemple, on a

E[TABRACADABRA] =^+^+^, E[TABRACADABRI] =^.

Une d´emonration simple de ceci sera donn´ee en TD au second semere en utilisant le th´eor`eme d’arrˆet pour les martingales.

. Un mot etoujours suppos´e de longueur finie.



Fin

