Exercices : Calcul différentiel

Exercices : Calcul différentiel

Exercice 1

Déterminer toutes les fonctions de R

dans R , de classe C

, vérifiant

∂f

∂x + ∂f

∂y = f

(on pourra utiliser le changement de variables u = x + y, v = x − y).

Exercice 2 (Surfaces)

1) Déterminer les plans tangents à la surface S d’équation cartésienne x

+ y

+ 2z

= 1 et orthogonal à la droite x = y

3 = − z 2 .

2) Donner les équations des plans tangents à la surface S d’équation cartésienne xy = z

, contenant la droite D d’équation

(

x = 2 y = 3z − 3 Exercice 3 (Extrema)

1) Soit f : (x, y) 7→ x

+ y

− (x − y)

définie sur D(0, 1), le disque ouvert de centre 0 et de rayon 1.

Montrer que f est de classe C

sur son ensemble de définition, puis étudier ses extrema.

2) Soit f : (x, y) 7→ x

+ xy − y

définie sur [0, 1]

. Mêmes questions.

Exercice 4

Trouver toutes les fonctions f ∈ C

( R

, R ) vérifiant

∂

f

∂x

− 2 ∂

f

∂x∂y + ∂

f

∂y

= 0

On commencera par donner la structure de l’espace des solutions, et on utilisera le changement de variable x = u − v et y = v.

Exercice 5

1) Montrer que l’ensemble E

des applications f de classe C

sur R

à valeurs dans R et vérifiant :

∀t ∈ R

, ∀(x, y, z) ∈ R

, f(tx, ty, tz) = t

.f(x, y, z) est un sous-espace vectoriel de C

( R

).

2) Montrer que, si f ∈ E

est C

, ∂f

∂x ∈ E

.

3) Montrer que pour tout f ∈ E

, f(x, y, z) = f (0, 0, 0). Que peut-on en déduire sur E

? 4) Soit f de classe C

, telle que

x ∂f

∂x (x, y, z) + y ∂f

∂y (x, y, z) + z ∂f

∂z (x, y, z) = af (x, y, z).

Montrer que g, donnée par g(t) = f(tx, ty, tz) − t

.f (x, y, z) est dérivable sur R

et que tg

= ag. En déduire que f ∈ E

.

La réciproque est-elle vraie ? Exercice 6

Soit P ∈ C [X]. Soit Φ définie sur R

par

∀(x, y) ∈ R

Φ(x, y) = P (x + iy)

De plus, on définit f(x, y) = <(Φ(x, y)) et g(x, y) = =(Φ(x, y)) pour tout (x, y) ∈ R

. 1) Montrer que Φ est C

sur R

et que

∂f

∂x = ∂g

∂y et ∂f

∂y = − ∂g

∂x 2) Montrer que Φ est C

et harmonique sur R

(∆Φ = 0).

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