LA STATISTIQUE
ET LE CALCUL DES PROBABILITÉS
dans l'Enseignement technique
C'est sans doute parce que j'ai enseigné de longues années le calcul des probabilités et la sta-tistique à la Sorbonne que j'ai eu l'honneur d'être appelé par M. le Directeur général de l'Enseigne-ment technique à participer à l'élaboration des programmes de ces matières pour le baccalauréat économique. C'est peut-être plus encore parce que je m'étais occupé de faciliter l'introduction future de ces deux sciences dans l'enseignement moyen en publiant un projet précis de programme d'études (1).
L'introduction d'un chapitre nouveau dans l'en-seignement est toujours une œuvre délicate. Elle devient très difficile quand il s'agit non plus d'un chapitre mais d'une science toute entière. Aussi la Direction de l'Enseignement technique a-t-elle été bien avisée en procédant à un « rodage » préalable, en entourant de ses conseils les professeurs qui enseignent pour la première fois la statistique et le calcul des probabilités.
J'ai pensé les faire profiter de mon expérience à ce sujet en développant ici les réflexions que j'avais été amené à faire très brièvement en Com-mission.
(1) « L o s définitions courantes de la probabilité»,
Revue philosophique, CXXXVI, 1946, p. 129-169.
Bien entendu l'ordre qui sera suivi dans ces ré-flexions ne sera pas nécessairement l'ordre dans lequel les sujets ainsi commentés devraient être traités en classe.
Les fondements. — Dans l'enseignement de toute science, la question la plus délicate à traiter est celle à laquelle la plupart des élèves attachent le moins d'importance : c'est la question des fon-dements.
Elle est délicate parce qu'elle touche à la philo-sophie, et qu'alors, comme toujours, il ne s'établit pas d'unanimité. Et le professeur se trouve devant cette fâcheuse alternative : ou bien essayer de don-ner une idée de toutes les doctrines, ce qui serait beaucoup trop long et risquerait, en outre, d'éveil-ler le doute dans l'esprit des élèves; ou bien n'en donner qu'une et être taxé d'erreur ou de partialité. En outre, la majorité des élève's ne ,s'intéressent pas à ces questions de principe. C'est le moment où ils cessent de p r e n d r e des notes : ce qu'il leur faut, ce sont des recettes et non des pensées.
Et pourtant, s'il ne faut pas s'appesantir sur les fondements de la science, il faut en dire quelque chose.
Pourquoi ne pas dire aux élèves que de nom-breuses interprétations ont été données? Pourquoi ne pas satisfaire la curiosité de quelques-uns en indiquant les titres complets de quelques ouvrages 35
exposant à ce sujet des points de vue différents? Liste à laquelle j'ajouterai, pour les professeurs, un article (où j'ai passé en revue plusieurs de ces points de vue).
Ceci fait, le professeur se trouvera à l'aise pour déclarer qu'il devra, pour ne pas être trop long et pour être plus clair, faire un choix. Ce choix du professeur, je crois qu'il serait dangereux de l'im-poser administrativement, soit dans les pro-grammes, soit par l'effet d'une pression des ins-pecteurs ou chefs d'établissement. Nous savons quelle est actuellement la confusion des esprits sur les fondements du calcul des probabilités. Mais nous ignorons quelle évolution se produira : la multiplicité des interprétations va-t-elle se
main-tenir? Ou, au contraire, suivrons-nous pour le calcul des probabilités le même chemin que pour le calcul différentiel où toutes les difficultés de principe parmi lesquelles se débattaient les utili-sateurs se sont peu à peu effacées?
Nous laisserons donc au professeur la possibi-lité d'adopter le point de vue qu'il se sentira à même d'enseigner avec le plus de conviction, et, par suite, avec le plus d'efficacité.
C'est d'abord pour les mêmes raisons que je vais indiquer comment, personnellement, j'expo-serais ces questions de principe. Avant d'entrer dans le détail, dans un prochain article, je dirai en un mot : la probabilité est^ pour moi, une no-tion objective consistant en une idéalisano-tion des fréquences. (Alors que pour d'autres auteurs, c'est une notion subjective sans lien nécessaire avec les fréquences. Ceci sans entrer dans le détail des nombreuses nuances attachées à ces deux groupements principaux et sans parler d'autres points de vue encore.)
Mais si je choisis ici un point de vue d'accord avec mes préférences, c'est aussi en considération du lieu où il s'agit de l'enseigner. Pour le bacca-lauréat économique, la statistique (et donc ses fré-quences) joue un rôle fondamental. Elle pénètre dans les autres ordres d'enseignements et elle est enseignée, comme il convient, avant le calcul des probabilités.
En basant le calcul des probabilités sur la no-tion de fréquence, on ne fait que prolonger la sta-tistique en y introduisant la possibilité d'énoncés théoriques généraux. De même qu'en enseignant la géométrie à un maçon, un menuisier, un dessi-nateur, on leur donne la possibilité d'appliquer des règles plus générales et plus précises que les règles empiriques très particulières qu'ils em-ployaient.
Lois des fréquences. — Précisons maintenant : d'abord une question de mots. On employait au-trefois le mot fréquence en statistique en deux sens différents qui prêtaient à confusion. Car, on négligeait souvent de préciser s'il s'agissait, comme on disait alors, de fréquences absolues ou de fré-quences relatives.
Nous conformant à la terminologie adoptée par l'Association française de normalisation (AFNOR), nous appellerons fréquence (de la réalisation)
d'un événement E au cours de n épreuves le rap-port à n soit F = - du nombre de répétitions R de E dans les n épreuves.
Après cette définition, nous donnerions immé-diatement dans le cours de statistique deux théo-rèmes ou lois des fréquences.
Loi des fréquences totales. — Si au cours d'une suite S d'épreuves, l'événement E peut se présen-ter sous deux modalités incompatibles Ei, Es, la fréquence E dans la suite S est égale à la somme des fréquences de E, et de E=, dans cette même suite S.
Loi des fréquences composées. — Si un événe-ment G résulte du concours de deux événeévéne-ments G, et G», la fréquence de G dans une suite S d'épreuves est le produit de la fréquence de Gi dans S et de la fréquence de G= .dans l'ensemble S' de celles des épreuves de S ou G, s'est produit.
Ce sont là des théorèmes de pure arithmétique — de l'arithmétique la plus élémentaire — dont les démonstrations se résument dans deux égalités des formes respectives :
£1 £? _ F? + Fi .
n n n '
F _ F_ m_
n m n
Pour les faire mieux comprendre, on pourra donner des exemples concrets numériques.
Idéalisation. — La droite euclidienne, le cercle euclidien ne sont que des notions abstraites idéali-sant les propriétés du rayon lumineux ou de la règle, d'une part, du pourtour d'une roue, d'autre part.
De la même façon, on pourra idéaliser les fré-quences d'un même événement [dans divers en-sembles d'épreuves appartenant à une même caté-gorie, C, d'épreuves] en leur substituant un même nombre qui sera appelé « la probabilité de l'évé-nement E dans la catégorie C d'épreuves ».
Mais pour qu'on puisse le faire, il faut que ces fréquences ne soient pas indépendantes entre elles. C'est précisément le cas des événements, dits aléatoires, qui obéissent à la « loi du hasard » : les fréquences d'un même événement aléatoire E dans divers ensembles de nombreuses épreuves (appar-tenant à une même catégorie C d'épreuves) se massent autour d'un même nombre qu'on appelle probabilité de E dans C.
On voit ainsi un premier grand avantage de l'in-troduction de la probabilité.
Au lieu des simples constatations des valeurs de telles ou telles fréquences, nous pouvons envisa-ger des prédictions.
Un autre avantage sera dans la substitution des principes de probabilités totales ou composées aux lois des fréquences totales ou composées.
De même que les propriétés admises pour la droite euclidienne ressemblent aux propriétés constatées du bord d'une règle mais sont plus pré-cises, de même les principes des probabilités to-tales ou composées — principes admis par conven-tion — sont inspirés et justifiés par les lois démon-trées et constatées des fréquences totales ou 36
composées, mais ils sont plus simples et plus gé-néraux. Si l'on veut bien se reporter aux énoncés précédents de ces lois, on voit qu'ils se rapportent à un même groupe restreint d'épreuves. Tandis que les principes correspondants s'entendent pour toute la catégorie d'épreuves où un tel groupe a été considéré.
Principe des probabilités totales. — Si un évé-nement aléatoire E se présente dans une catégorie C d'épreuves sous deux modalités incompatibles Ei, E=, la probabilité de E (dans C) est égale à la somme des probabilités de Ei et de E2 dans C.
Principe des probabilités composées. — Si un événement aléatoire G résulte du concours de deux événements aléatoires G, et G», la probabilité de G dans une catégorie C d'épreuves est le produit de la probabilité de Gi dans C par la probabilité de ('.= dans la catégorie des épreuves de C où Gi s'est réalisé.
Indépendance. — Si la probabilité de G2 reste la même dans toute sous-catégorie d'épreuves de C, ce qu'on exprime en disant que G» est indépendant de Gi, alors on voit que la probabilité de G dans C sera égale au produit de la probabilité de Gi dans C et de la probabilité de G» dans C.
Dans le cours de statistique, on ne pourra donner un énoncé aussi précis. Car l'indépendance de Gi et de G» ne se manifeste dans les propriétés des fréquences que de façon approchée. Mais en présentant deux exemples statistiques où Gi et G2 soient au sens vulgaire très indépendants dans l'un, très dépendants dans l'autre, on verra bien que la loi des fréquences composées peut approximative-ment se simplifier dans le premier cas et non dans l'autre.
(.'1 suivre.)
M A U R I C E FRÉCHET,
