La statistique et le calcul des probabilités
dans l enseignement technique
Dans ces p r e m i è r e s a n n é e s d'essai du p r o -g r a m m e du b a c c a l a u r é a t é c o n o m i q u e , le besoin le p l u s u r g e n t est de c o n n a î t r e et de d o n n e r des e x e m p l e s et p r o b l è m e s d ' a p p l i c a t i o n de la Statistique et du Calcul des P r o b a b i l i t é s à l ' E c o n o -m é t r i e . P o u r p r é s e n t e r i -m -m é d i a t e -m e n t de tels exemples, n o u s allons d o n c r e p o r t e r à p l u s t a r d la suite des r e m a r q u e s d ' o r d r e g é n é r a l de n o t r e p r e m i e r a r t i c l e (1).
I N T R O D U C T I O N
Dans un c o u r s de Statistiqu e ou de Calcul des P r o b a b i l i t é s p o u r des classes p r é p a r a n t au b a c c a -lauréat é c o n o m i q u e , il est bon de m o n t r e r aux élèves que la t h é o r i e m a t h é m a t i q u e a i n si déve-l o p p é e s ' a p p déve-l i q u e aussi bien a u x p h é n o m è n e s é c o n o m i q u e s — objet p r i n c i p a l des é t u d e s — q u ' a u x jeux de h a s a r d cpii ont d o n n é n a i s s a n c e au Calcul des P r o b a b i l i t é s . N o n s e u l e m e n t il est utile, d'en d o n n e r des e x e m p l e s d a n s le c o u r s , m a i s il est s o u h a i t a b l e é g a l e m e n t d ' e n f a i r e le sujet d ' e x e r c i c e s .
D a n s ce but, n o u s a v o n s traité , d a n s ce qui suit, des e x e m p l e s avec q u e l q u e s détails. Nous ne (1) Voir le premier article sous le même titre dans le présent périodique, 8" année, n° 7, 1954, pp. 35-37. Tenir compte des errata suivants qui rendent incom-préhensibles deux paragraphes :
La note (1) au bas de la page 35 doit être reportée au bas de la première colonne de la page 30, ie numéro (1) de renvoi devant être placé à la tin de la 4U ligne de cette même colonne.
La note (1) en question au bas de la page 35 doit être remplacée par : (1) Les définitions courantes
de lu probabilité, Revue Philosophique, CXXXVI,
1946, pp. 129-169.
Dans la 2e colonne de la page 36, remplacer F par H dans les deux formules figurant aux lignes 23, 24.
r e c o m m a n d o n s p a s d'en f a i r e l'objet de leçons
suivies, niais p l u t ô t d ' e n e x p o s e r p l u s i e u r s m o r -c e a u x a u x m o m e n t s a p p r o p r i é s ou plutôt, l'ho-r a i l'ho-r e é t a n t d é j à tl'ho-rès c h a l'ho-r g é , d ' e n t i l'ho-r e l'ho-r des e x e l'ho- r-cices. U n e f o i s a y a n t exposé le sujet et les nota-t i o n s d a n s un p r e m i e r e x e r c i c e , on p o u r r a y r e n v o y e r , p o u r a b r é g e r , d a n s les e x e r c i c e s sub-séquents. Ceux-ci p o u r r o n t c o n s i s t er en des cas
p a r t i c u l i e r s du cas g é n é r a l t r a i t é d a n s n o t r e texte, a v e c a p p l i c a t i o n s n u m é r i q u e s . T o u t ceci c o n c e r n e s u r t o u t le t r o i s i è m e exemple, celui des e n s e m b l e s r e n o u v e l é s . On p o u r r a i t t r o u v e r d a n s la t h é o r i e c o n c e r n a n t ces e n s e m b l e s m a i n t a u t r e p r o b l è m e q u e ceux t r a i t é s d a n s le texte qui sui-vra, en se r e p o r t a n t au 4'' c a h i e r (Les ensembles
statistiques renouvelés et le remplacement
in-dustriel) de n o s L e ç o n s de Statistique m a t h é m a
-tique, chez Constans. On p o u r r a i t aussi t r o u v e r , p o u r s e r v i r de b a se à des a p p l i c a t i o n s n u m é r i -ques de l ' E c o n o m é t r i e , un g r a n d n o m b r e de rele-vés é c o n o m i q u e s statistique s d a n s l ' o u v r a g e
Eco-nomie Statistics, bv C r u m and P a t r o n , édité chez
W . S h a w a n d Cy, L o n d o n , 1925.
P o u r t e r m i n e r , il m ' e s t a g r é a b l e d ' a d r e s s e r nies r e m e r c i e m e n t s à M. J a c k L a m a t , qui a b i e n voulu m ' a p p o r t e r sa c o l l a b o r a t i o n , à la fois p a r ses r e m a r q u e s j u d i c i e u s e s et p a r le c o n t r ô l e des c a l c u l s et des g r a p h i q u e s de nos e x e m p l e s (qu'il a p r o p o s é en e x e r c i c e à ses élèves du Collège T e c h -n i q u e Bagg'io).
P R E M I E R EXEMPLE :
Les indices de l'inégalité
dans la répartition des revenus
Les s t a t i s t i c i e ns ont a f f a i r e à des relevés sta-t i s sta-t i q u e s c o m p o r t a n t b e a u c o u p de n o m b r e s . C o m m e il est difficile d'en saisir la signification c o m p l e x e , de se r e p r é s e n t e r l ' e n s e m b l e de ces
n o m b r e s et de c o m p a r e r e n t r e eux de tels e n s e m -bles, ils c h e r c h e n t g é n é r a l e m e n t à d é f i n i r p o u r c h a q u e r e l e v é u n ou q u e l q u e s n o m b r e s q u i suffisent p o u r d o n n e r u n e p r e m i è r e i d é e a p p r o x i -m a t i v e d ' e n s e -m b l e d u r e l e v é c o n s i d é r é . P a r e x e m p l e , p o u r la r é p a r t i t i o n d e s r e v e n u s , la r é p a r t i t i o n réell e s'éloign e b e a u c o u p de celle où il y a u r a i t égalité c o m p l è t e , où c h a q u e i n d i -vidu a u r a i t le m ê m e r e v e n u . On c o n s t a t e t o u j o u r s q u e la m a j o r i t é du m o n t a n t total d es r e v e n u s est p o s s é d é e p a r la m i n o r i t é d e s i n d i v i d u s . 11
revenus, en nombre Nu. (Le revenu moyen est
donc r = R0/N„.)
P o s o n s nx = N,./N0 > p, = q u a n d x c r o î t
à p a r t i r d e 0, nj ; et gx d é c r o i s s e n t de 1 à 0, et
le p o i n t de c o o r d o n n é e s :
X =- Y
d é c r i t un a r c (|iii est a p p e l é courbe de concentra-tion (des r e v e n u s c o n s i d é r é s ) . Q u a n d x s u b i t
l'acc r o i s s e m e n t Aa\ N , et H,, s u b i s s e n t les a l'acc l'acc r o i s s e -m e n t s (de s i g n e c o n t r a i r e à celui de Ax) AN* et
s'agit de d é f i n i r un i n d i c e qui r e p è r e cette i n é -galité d a n s la r é p a r t i t i o n d es r e v e n u s . L e m i e u x est de le p r e n d r e g r a n d q u a n d il y a u n e g r a n d e i n é g a l i t é , p e t i t d a n s le cas c o n t r a i r e . 11 est, d e p l u s , c o m m o d e de le s u p p o s e r t o u j o u r s c o m p r i s e n t r e z é r o et u n . Il est c l a i r q u e l ' i n é g a l i t é de la r é p a r t i t i o n est f a i b l e q u a n d t o u s les r e v e n u s s o n t p r e s q u e égaux . Il p a r a î t c o n f o r m e à n o t r e i n t u i t i o n d e c o n s i d é r e r q u e cette i n é g a l i t é est la p l u s f l a g r a n t e q u a n d u n t r è s p e t i t n o m b r e d es m e m b r e s de la c o l l e c t i v i t é c o n s i d é r é e p o s s è d e n t à e u x seuls la p r e s q u e t o t a l i t é de la s o m m e des r e v e n u s d a n s cette collectivité . On p e u t m e t t r e sous u n e f o r m e g é o m é t r i q u e ces d e u x s i t u a t i o n s o p p o s é e s au m o y e n de « la c o u r b e de c o n c e n t r a t i o n ». Courbe de concentration. Soit R(. le m o n t a n t t o t a l des r e v e n u s s u p é r i e u r s ou é g a u x à x, R0 le m o n t a n t total de t o u s les
AR,. P o u r Ax < o, AR,, est le m o n t a n t total des r e v e n u s e n t r e x + Ax et x, q u i sont en n o m b r e ANr. D o n c :
x ANj, ^ AR t. ^ (.r + Ax) A N ,
ou :
x (A/z,,) N0 ^ R0 (A?,) > (x + Ax) ( A / g N0
et p u i s q u e An > 0 : x r
>
x -f- Ax Ces i n é g a l i t é s s e r a i e n t de sens c o n t r a i r e p o u r Ax > 0. On voit q u e : q u a n d Ax —> o, —ïe. _> JOLr
c ' e s t - à - d i r e q u e Y = ç>x a u n e d é r i v é e p a r r a p-p o r t à X = nx, qui est égale à x/r. Le
de concentratio n est ^ 0 et décroît avec .r : l'angle de ladite tangente avec O.r décroît quand il- décroît, donc quand X croît. La courbe est
ainsi convexe vers les Y > 0. On a la l'orme ci-contre (fig. 1) où en allant de O à A, x
décroît.
Quand il y a presque égalité des revenus, x reste p r e s q u e égal à le coefficient angulaire de la tangente reste p r e s q u e égal à 1, la tangente est p r e s q u e parallèle à OA. Et puisque la courbe est convexe vers le liant, elle devra être voisine de OA en tous ses points. La courbe se réduit au segment OA q u a n d il y a égalité complète des revenus.
La plus g r a n d e inégalité possible des revenus a lieu q u a n d un petit n o m b r e des individus con-sidérés possède p r e s q u e tout le m o n t a n t total des revenus, c'est-à-dire que R,,/R0 reste voisin
de l'unité quand N,t./N„ décroît mêm e jusqu'à line
valeur petite convenable. Autrement dit, il doit y avoir un p o i n t de la courbe où nx et 1 — p,,. sont
à la fois petits. C'est dire qu'il y a un point de la courb e voisin de G. Et p u i s q u e la courbe est convexe vers le haut, c'est dire aussi que pour les inégalités de revenus les plus grandes, la courbe est voisine de l'angle OCA.
Le r a p p o r t I de l'aire h a c h u r é e OFABO à l'aire du triangle OAC est d o n c égal à zéro dans le cas où l'inégalité des revenus est nulle et dans ce cas seulement. Il est voisin de l'unité quand l'inéga-lité est très grande et r é c i p r o q u e m e n t .
Il est alors naturel de p r e n d r e , avec GINI et d'autres auteurs, ce r a p p o r t I comme mesurant ou, plus exactement, comme r e p é r a n t l'inégalité dans la r é p a r t i t i o n des revenus.
On a p r o p o s é de n o m b r e u x autres indices de l'inégalité des revenus. Les uns, que nous lais-serons de côté, n'ont de sens que si la loi de répartition est exprimable p a r u n e formule d'un type d é t e r m i n é et exigent p o u r être calculés l'exécution préalable de l'ajustement des don-nées p a r cette formule. P a r m i les autres qui ne sont soumis ni à l'une, ni à l'autre de ces exigen-ces, le p r e m i e r en date, à notre connaissance, est celui de H K H Z K N que nous allons examiner.
- . L ' i n d i c e de H E R Z E N est :
r " — f
H =
r
—où r ' ' est la m o y e n n e des revenus supérieurs à r (revenu moyen de l'ensemble (les revenus) et r' la m o y e n n e des revenus inférieurs à r [s'il n'y avait pas de revenu supérieur (inférieur) à r, on p r e n d r a i t r " = r ( r ' = r ) ] .
On voit que H est t o u j o u r s ^ 0 et nul quand il y a égalité des revenus. Par contre, H n'est pas nécessairement ^ 1. Mais on peut r e m p l a c e r H p a r :
W
= H _ r"
—
r'
_H + 1 r " — + r
qui reste c o m p r i s entre 0 et 1.
On peut écrire :
On voit ([ne p o u r que H' soit égal soit à 0, soit à 1, il faut et il suffit que :
r
—r.
r
soit infini ou soit nul.—
r
Comme :
r on voit que p o u r que :
r
—
r
r soit infini,—
r
il faut que ;•' = /• = r " ; la r é c i p r o q u e est vraie. Or, il est clair qu'on ne peut avoir r' = r = r" que si tous les revenus sont égaux. Donc, comme pour I, pour que tous les revenus soient égaux, il faut et il suffit que H' soit nul.
D'autre part, comme :
i•
r
1 _r" ^ r " — r ' ^ r" — r ~ r"
pour que : r
— — soit petit
il faut et il suffit que r"/r soit grand. On a vu ([lie si un petit nombre d'individus possèdent presque tout le revenu total, la courbe de con-centration est voisine de l'angle OCA. En faisant déplacer une parallèle à OA de C vers OA, elle r e n c o n t r e r a déjà près de C la courbe en un point où la tangente a pour coefficient angulaire 1. Gomme ce coefficient est = x/r, ce point corres-pond au revenu r. Alors on voit que o,. est voisin de 1 et nr voisin de 0, d o n c :
J-L
=2 k
=-JA
'' V Nr R0 ii,. )
est très grand. Ainsi dans ce cas H' est voisin de 1.
C'est la r é c i p r o q u e qui n'est />an vraie : H' peut être voisin de 1 sans que l'inégalité des revenus soit au maximum.
Supposons, p a r exemple, que dans une île vi-vent 1.000 p ê c h e u r s gagnant chacun 200.000 fr. p a r an et un industriel gagnant 10 millions de fr. p a r an. Le revenu total sera 210 millions; un pe-tit nombre, s, d'habitants, même si on lui adjoint l'industriel, aura un revenu total égal à (10 + 0,2 e) millions, qui non seulement ne p o u r r a être la m a j e u r e parti e mais même ne sera qu'une petite
25
p a r t i e clt'k 210 millions. P o u r t a n t , H' sera voisin de 1 : On iiura : 10,000.000 + 200.000.000 210.000.000 '' 1.1)01. 1.001 = 209.000 f r a n c s . D o n c il y a ùn seul r e v e n u s u p é r i e u r à r, celui (le l ' i n d u s t r i e l , et On a r " = il) m i l l i o n s et de iiiême r' = 200.000.
H'
10.000.000 — 20)0.000 10.000.000 — 200.000 + 209.000 9.800 9.800 0,97 9.800 + 209 "" 10.009 q u i est bien v o i s i n de 1. — •. H o r s t MENDERSIIAUSEN c o n s i d è r e l ' i n d i c e :m
J | f - -où m est le r e v e n u « m é d i a n » et E le r e v e n u « é q u a t o r i a l ». Si l ' o n r a n g e les m e m b r e s de la c o l l e c t i v i t é s u i v a n t l ' o r d r e de g r a n d e u r de s re-v e n u s , m s e r a le r e re-v e n u de celu i q u i est au m i l i e u et E s e r a le r e v e n u tel q u e la s o m m e d e s r e v e n u s s u p é r i e u r s ou égaux à E soit égal à la s o m m e de c e u x q u i lui s o n t i n f é r i e u r s . A u t r e m e n t dit : N . _ R„ N„, = H, (1) Il est c l a i r q u e Rm> m Nm ^ R0- ^ R , „ , d ' o ù R,„ ^ R0/ 2 = RE, d o n c m ^ E. On n ' a u r a m = E q u e si R,„ = R / 2 = m N „ ,Or, Rm— mN,,, est égal à la s o m m e de s
diffé-r e n c e s de c h a q u e diffé-r e v e n u s u p é diffé-r i e u diffé-r ou égal à m et de m. P o u r (pie cette s o m m e d e q u a n t i t é s ^ 0 soit nulle, il f a u t et il suffit q u e c h a q u e d i f f é -r e n c e soit nulle, d o n c ([lie t o u s ces -r e v e n u s soien t é g a u x à m. D e m ê m e , p o u r les r e v e n u s ^ m. E n r é s u m é , p o u r q u e J = 0, il f a u t et il suffit q u e les r e v e n u s s o i e n t é g a u x .
Q u a n d l ' i n é g a l i t é d es r e v e n u s est au m a x i m u m , la c o u r b e de c o n c e n t r a t i o n est v o i s i n e de l ' a n g l e OCA. Le p o i n t C c o r r e s p o n d a n t à x = r est alors, c o m m e n o u s l ' a v o n s vu, v o i s i n d e C. L a t a n g e n t e en u n p o i n t de l ' a r c C'A est, dè s q u ' o n s ' é l o i g ne (ie C , p e u i n c l i n é e s u r OX; s o n c o e f f i c i e n t a n g u-l a i r e x/r est v o i s i n d e z é r o, u-les r e v e n u s .r p o u r il,, n o n petit s o n t p e t i t s : la p l u p a r t des r e v e n u s s o n t petits, en p a r t i c u l i e r le r e v e n u m é d i a n est p e t i t : J est voisin de 1. Ici e n c o r e , c'est la -réci-p r o q u e q u i n'est -réci-p a s e x a c t e : ,1 -réci-p e u t ê t r e v o i s i n de 1 s a n s q u ' u n petit n o m b r e d ' i n d i v i d u s p o s s è d e la p l u s g r a n d e p a r t i e d es r e v e n u s . 11 suffit, p o u r q u e .1 soit v o i s i n de 1, (pie la m o i t i é d u n o m b r e total de s m e m b r e s d e la c o l l e c t i v i té a i e n t u n p e t i t (1) Tout au moins ce sont des égalités suffisamment approchées quand le nombre N» des revenus est assez grand.
revenli : i'aiilre m o i t i é p o u r r a i ) a v o i r de s revenu!; s e n s i b l e m e n t plus élevés, m a i s égaux ou p e u dif-f é r e n t s , s a n s (pie .1 cessât d ' ê t r e voisin de l ' u n i t é .
— . O U M I Î E L a p r o p o s é l ' i n d i c e :
G = 1. — 2 il},,
où E est le r e v e n u é q u a t o r i a l et où nK est la f r é
-q u e n c e de c e u x -qui ohi lin r e v e n u s u p é r i e u r au r e v e n u é q u a t o r i a l , soit : de s o r t e q u e : On a : (i = f N0 . 9 - 1 -N,. PE H, le p o i n t F (fig. 1) de c o o r d o n n é e s he, pK é t a n t
d a n s le t r i a n g l e OCA et s u r SB, on voit (pie nv
est ^ 1 / 2 , d o n c G = 2 ( 1 / 2 — JIe) ^ 0.
On a é v i d e m m e n t G 1. Ainsi 0 ^ G Sj f . Q u a n d G = 0, nB = 1 / 2 , le p o i n t F est en B.
Alors, p u i s q u ' e l l e est c o n v e x e , la c o u r b e d e con-c e n t r a t i o n se r é d u i t au s e g m e n t OA : il y a éga-lité de s r e v e n u s . Et r é c i p r o q u e m e n t . Q u a n d G = l , "r. = 1° p o i n t F est en S, la c o u r b e d e con-c e n t r a t i o n con-c o m p r e n d le s e g m e n t OS et e n s u i t e un a r c c o n v e x e v e r s le h a u t , STA (fig. 2).
O
FIE. 2.C'est p a r e x e m p l e ce qui a lieu à p e u p r è s q u a n d un i n d i v i d u p o s s è d e à lui seul la m o i t i é du r e v e n u total B() et q u e , de p l u s , il y a u n g r a n d
n o m b r e v = N( ) - d ' i n d i v i d u s. Alors nK = 1/v est
p e t i t et G est v o i s i n d e 1.
II p e u t a r r i v e r d a n s ce cas (pie les v — 1 au-t r e s i n d i v i d u s , se p a r au-t a g e n au-t é g a l e m e n au-t l ' a u au-t r e moitié du r e v e n u total. Alors la c o u r b e de c o n c e n
-36
„ , FH v ' 2 F H FB OA — = = — (i'où I 2. D'autre part, 1 — G JIK = aire CDGO
aire curviligne CDFO + a i r e curviligne OFG
? A
tration est f o r m é e des deux segments OF et FA où F est voisin de S (fig. 3).
Iï y a égalité de p r e s q u e tous les revenus , m a i s g r a n d e inégalité avec le d e r n i e r . Il y a bien iné-galité d a n s l'ensemble, m a i s m o i n s g r a n d e que q u a n d un t r è s p e t i t n o m b r e d ' i n d i v i d u s possède p r e s q u e e n t i è r e m e n t le r e v e n u total.
E n r é s u m é , nous voyons que les i n d i c e s I, H', J, G sont e n t r e 0 et 1, que p o u r qu'il y ait égalité des r e v e n u s il f a u t qu'ils soient nuls et qu'il suffit ([Lie l'un d'eux soit nul, que s'il y a m a x i m u m intuitif de l'inégalité des revenus , ils sont égaux à 1 mais que c'est seulement p o u r l ' i n d i c e I que la r é c i p r o q u e est vraie.
Ainsi les indices H', J, G sont m o i n s satisfai-sants que l ' i n d i c e 1.
Mais au p o i n t de vue de l'enseignement , ils va-lent la p e i n e d ' ê t r e m e n t i o n n é s p u i s q u ' o n peut d e m a n d e r aux élèves, à titre d ' e x e r c i c e, de p r o u -ver que ces i n d i c e s satisfont à p l u s i e u r s des con-ditions posées p l u s haut, m a i s que 1 est le seul tel que s'il est égal à 1, on se t r o u v e nécessaire-ment d a n s le cas de la plus g r a n d e inégalité possible.
On p e u t aussi l e u r d e m a n d e r d'établi r les résultats qui vont suivre.
Exercice :
C h e r c h o n s p a r un r a i s o n n e m e n t g é o m é t r i q u e les b o r n e s du r a p p o r t :
1
_ G _ 1 — 2 nK 2
1 ~ 2 (aire curvilign e OBAF) ~ & P u i s q u e la courbe de c o n c e n t r a t i o n est convexe vers le haut, l'aire @i (fig. 4) est au m o i n s égale à l'aire du triangle OAF, soit ;
FIG. 4. Soit LK la tangente en F :
aire curviligne OFG ^ aire t r i a n g l e LFG
= aire triangle FKD ^ aire curviligne FAI). D o n c :
1 — G 2
aire curviligne CDFO + aire curviligne FAI) =: aire curviligne OFAC = 1/2 — aire curviligne OBAF | j = 2~ 2 D'où enfin : 1 — G 1 I et p a r suite I Sj G. G (2) F i n a l e m e n t : 1 - p < 2.
On peut m o n t r e r qu'on ne p e u t r e s s e r r e r cette inégalité en o b s e r v a n t que G = 1 — 1 d a n s le cas de l'inégalité m a x i m u m îles revenus et que
37
G — 2 1 si Ja c o u r u e 'le c o n c e n t r a t i o n se r é d u i t à l ' a n g l e OFA. Calcul (le I : On a : (51 2 a et a -a i r e OAC
où ^ est l ' a i r e c u r v i l i g n e OFAC.
(B
F I G . 5 . On c a l c u l e a p p r o x i m a t i v e m e n t cette d e r n i è r e c o m m e s o m m e d es a i r e s de t r a p è z e s tels q u e abcd : 6bV
ad
(l)
= + n.vl,+i)
(5.17; — d ' o ù : (3) I s l I s l - L 1 N0 Ro V ( X „ ,où est le m o n t a n t t o t a l des r e v e n u s c o m p r i s e n t r e xk et xk+1 et où Nj ; ;. est le n o m b r e de s r e v e n u s ^ xk. lk est g é n é r a l e m e n t d o n n é d i r e c t e m e n t d a n s la r é p a r t i t i o n de s r e v e n u s p a r t r a n c h e s et les N,,fc s o n t o b t e n u s p a r s o m m a t i o n s s u c c e s i v e s de s n o m -b r e s de r e v e n u s p a r t r a n c h e s . On s a u r a m ê m e , é t a n t d o n n é e la c o n v e x i t é de la c o u r b e v e r s les Y > 0, q u e < S . . ., de s o r t e q u e la v a l e u r ob-t e n u e p o u r I s e r a a p p r o c h é e par défaut. Calcul de H', J, G : P o u r H', on c a l c u l e d ' a b o r d r = N „ p u i s r ' et p a r r " H, X, H„
K
HX.. rP o u r J et (i, les t a b l e s qui d o n n e n t les R,t. et les
X., p e r m e t t e n t de c a l c u l e r m, K p a r les c o n d i -t i o n s : N
I n »
r..:
en e i ï e c t u a n t au b e s o i n de s i n t e r p o l a t i o n s p a r p a r -ties p r o p o r t i o n n e l l e s ( c o m m e d a n s les t a b l e s de l o g a r i t h m e s ) .F r é q u e m m e n t les s t a t i s t i q u e s ne d o n n e n t que les n o m b r e s d ' i n d i v i d u s de c h a q u e t r a n c h e s a n s d o n -n e r les s o m m e s de r e v e -n u s c o r r e s p o -n d a -n t s . D a -n s ces cas o n p o u r r a , d ' a p r è s la f o r m u l e (1), r e m p l a -c e r a p p r o x i m a t i v e m e n t d a n s (3) : 1 U t + i p a r '7.-+1 D'où a p p r o x i m a t i v e m e n t : M) 1 J ( X . , , ) - ( X , + X2) 2 N H I ( N , , .2) - ( X .t — .r,) + (X.,.,)- (xi - • x.,) + .
(1) Le signe — signifie « csl presque égal à ».
L ' a p p r o x i m a t i o n o b t e n u e p a r (3) ou (4) s e r a d ' a u t a n t m e i l l e u r e q u e les t r a n c h e s s e r o n t p l u s p e t i t e s , p a r t i c u l i è r e m e n t p o u r les b a s r e v e n u s . ( M a l h e u r e u s e m e n t les s t a t i s t i q u e s a c t u e l l e m e n t dis-p o n i b l e s d o n n e n t g é n é r a l e m e n t d es i n t e r v a l l e s — Nj.f c + 1, t r o p g r a n d s p r é c i s é m e n t p o u r les b a s s a l a i r e s .) E X E R C I C E D ' A P P L I C A T I O N 1. — Problème posé : On va c o m p a r e r les v a l e u r s de d i v e r s i n d i -ces d ' i n é g a l i t é des r e v e n u s r e l a t i f s à p l u s i e u r s d i s t r i b u t i o n s . On c o n s i d è r e d ' a b o r d la r é p a r t i -t i o n d es r e v e n u s a u x E -t a -t s - U n i s en 194(5, 1947, 1948, r é p a r t i t i o n q u i a été é v a l u é e p a r s o n d a g e et où, au lieu de c o n s i d é r e r de s r e v e n u s i n d i v i -duels, c h a q u e r e v e n u est relatif à u n e f a m i l l e vi-v a n t sous le m ê m e toit. La m o n n a i e est le d o l l a r et les c h i f f r e s d o n n é s sont s e u l e m e n t d e s p o u r -c e n t a g e s . 11 s e r a i n t é r e s s a n t de c h e r c h e r si les diffé-r e n t s i n d i c e s m e n t i o n n é s p l u s h a u t d o n n e n t de s a p p r é c i a t i o n s c o n c o r d a n t e s d es v a r i a t i o n s de la r é p a r t i t i o n de s r e v e n u s . P o u r c h a q u e s o r t e d ' i n d i c e , on r a n g e r a les an-nées 1946, 1947, 1948 p a r o r d r e c r o i s s a n t de la v a l e u r de l ' i n d i c e et on c o n s t a t e r a si les o r d r e s d o n n é s p a r les d i f f é r e n t s i n d i c e s sont les m ê m e s . On c o m p a r e r a a u s s i , p l u s l o i n , à d es t a b l e a u x de r e v e n u s b r i t a n n i q u e s et a l l e m a n d s .
1t. Calcul (1) Revenu annuel avant l'impôt Moins de 1.000 l.OOO à 1.999 2.000 à 2.999 3.000 à 3.999 4.000 à 4.999 5.000 à 7.499 7.500 et plus Total 194(5 : Nombre de familles. . . . 17 23 25 17 8 (S 4 100 Revenu total 3 12 21 20 13 11 20 100 10-17 : Nombre de familles. . . . 14 22 23 17 10 9 5 100 2 10 17 18 13 l(i 24 100 1948 : 10 17 18 13 l(i 24 100 Nombre de familles. . . . 12 18 23 20 12 10 5 100 •> 8 16 20 14 17 23 100 1 16 20 14 17 100 P o u r c h a q u e indice, il f a u t d ' a b o r d calculer des q u a n t i t é s m, r, E, r', / • " . . . (qui ne figurent pas d a n s les tableaux). On les o b t i e n d r a p a r in-terpolation (m, E, . . .) ou p a r division (r) ou les deux (/•', 1 • " . . . ) . P a r exemple , p o u r le r e v e n u
équatorial E, on voit qu'en 194(5, 3 + 12 + 21 = 30 % du r e v e n u total ont été obtenus p a r des revenus < $ 2.999 et 3(5 + 20 = 5(5 p a r des reve-nus sC $ 3.999. Une d i f f é r e n c e de 20 % corres-pond à u n e d i f f é r e n c e de 1.000; c o m m e il y a en t r o p (5 % p o u r le r e v e n u é q u a t o r i a l, une i n t e r p o -lation (par p a r t i e s p r o p o r t i o n n e l l e s ) m o n t r e qu'il v a en t r o p d a n s f 3.999 p o u r le revenu équatorial
^ •
0 0° X
eS $ 300.
$ 20 Donc E = $ 3.999 — $ 300 = $ 3.699. Un r a i s o n n e m e n t analogue p o u r le r e v e n u mé-dian d o n n e r a i t m = $ 2.400. (L'interpolation ne donne q u ' u n résultat a p p r o x i m a t i f ; le s o n d a g e avait p e r m i s de calculer p l u s e x a c t e m e n t la mé-diane à $ 2.300. Mais on voit qu'il n ' y a q u ' u n ee r r e u r d ' e n v i r o n 4 % q u ' o n p e u t a d m e t t r e en p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n , s u r t o u t p o u r un sim-ple exercice.)
Les t a b l e a u x ne d o n n e n t p a s les r e v e n u s to-taux m a i s l e u r s p o u r c e n t a g e s . P o u r c e r t a i n es raisons (2) et p o u r fixer les idées, n o u s
admet-(1) Comme ici notre but n'est pas d'arriver à des conclusions scientifiques mais seulement d'indiquer des exemples et des marches à suivre, nous avons exécuté rapidement, sans les doubler, les calculs de ce pre-mier exemple. On y trouvera donc probablement des chiffres à rectifier, mais nous pensons que les ordres de grandeur n'ont pas été faussés.
(21 Le revenu moyen r est toujours un peu supé-rieur au revenu médian : 2.400. Près de ces nombres, la densité de probabilité varie peu. Alors le revenu moyen entre 2.000 et 3.000 est 2.500; pour 25 indi-vidus, leur total est : 2.500 X 25 et il doit être égal à 21 % du revenu total r X 100 d'où 2.500 X 25 = r X 21,
3.000.
tons que le r e v e n u m o y e n en 1940 était de $ 3.000. Alors, p o u r calculer r ' et r " , o b s e r v o n s que le r e v e n u total des 100 i n d i v i d u s est r x l O O ; ceux i n f é r i e u r s à r = 3.000 ont un total qui est 3 + 1 2 + 2 1
100 du
30
1 0 0
revenu total, soit
r x 100 = 3(5 r, qui est à p a r t a g e r e n t r e 17 + ^3 + 2f 100 p e r s o n n e s . On a d o n c : 30 r '' = * 05 " On verrait de m ê m e (pie : 0 4 R 3 5
D o n c l'indice de HERZKN est, p o u r 1940 : 0 4
/•
3(5 r 0 , 5 5 05 des r " = II' = 3 5 (55 1 , 8 3 • 2 , 2 8 04 3(5 /• +r
1 , 8 3 — 0 , 5 5 + 1 2 , 2 8 35 (55 H' = 0,56. Un calcul analogue p o u r 1947 d o n n e : (55,(5 r = 3.300; 1,82r =
H ' = 34,4 ( 5 4 , 1 0 , 5 3 1,82 — 0,53 + 1 P o u r 1948, r = 3.500; r ' = 1.73 — 0,57 1 , 2 9 2 , 9 9 3 6 6 3 1,16 3 5 , 9 = 0 , 5 6 .r" = —
37 = 0 , 5 3 1,73 — 0,57 + 1 2,1(5Calculons de m ê m e l'indic e G de GUMBEL. P o u r 1946, la moitié du revenu total est atteinte e n t r e 3.000 et 4.000. On en a 3(5 % au-dessous de 3.000 et il faut e n c o r e p r e n d r e 14 % sur les 20 % de la t r a n c h e suivante, d o n c ajouter à 3.000 :
1.000 x
= 700.D'où E = 3.700. Alors, p o u r o b t e n i r NE ( n o m b r e des i n d i v i d u s de r e v e n u > E ) , il f a u t sur 100 in-d i v i in-d u s en p r e n in-d r e in-d ' a b o r in-d 4 + 0 + 8 = 18 p o u r a t t e i n d r e 4.000, p u i s assez en a r r i è r e p o u r obte-n i r 300 sur 1.000, soit 3/10 des 17 i obte-n d i v i d u s , soit :
17 X 3 10 A 1 10 5,1 D o n c N10 c o r r e s p o n d à 18 + 5,1 = 23,1 sur 100 i n d i v i d u s . D'où : G = 1 2 X 23,1 100 0,538 en 194(3. E n 1947, en o p é r a n t de m ê m e , on t r o u v e : E - 4.000 + 1.000 x -jjj = 4.000 + 230 = 4.230; alors : NE = 14 + 10 X 770 1.000 = 14 + 7,70 = 21,70. G = 1 - = 0,506 100 E n 1948, E = 4.000 + 715 14 X 1.000 = 4.285 Ne = 15 + 12
x
G = 1 — 1.000 2 x 23,58 = 15 + 8,58 = 23,58 H 0,528 100 Calculons de m ê m e J. On a p o u r m, r, E, d'où p o u r J, les v a l e u r s suivantes :m
E mr
E ,1 = 1 1940 2.400 3.000 3.700 0.35 1947 2.000 3.300 4.230 0,38 1948 2.870 3.500 4.285 0.33Nous a p p l i q u e r o n s enfin aux m ê m e s table;*ux l ' i n d i c e : i = i _ r « v . + N „ , ) ( H ,t_ , - n , , ) N„ R„ N„ H , _±i et N„ H„
c o r r e s p o n d e n t aux p o u r c e n t a g e s des tableaux. Les q u a n t i t é s :
100 H , R.
K
sont d o n n é e s d i r e c t e m e n t d a n s le tableau; les 1 0 0 N,,-.; N „ p a r s o m m a t i o n s successives, x
i
1 9 4 6 1 9 4 7 1 9 4 8 xi
1 0 0 N , . . 1 0 0 N , . 1 0 0 NR ; xi
NU N „ N „ 7 . 5 0 0 4 5 5 5 . 0 0 0 1 0 1 4 15 4 . 0 0 0 1 8 2 4 2 7 3 . 0 0 0 3 5 4 1 4 7 2 . 0 0 0 6 0 6 4 7 0 1 . 0 0 0 8 3 8 6 8 8 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 P o u r 1946 : 1 1 = 1 — 1 0 0 - ' (4 + 0) 20 + (10 + 4) 11 + ( 1 0 + 1 8 ) 13 + (18 + 35) 20 + (35 + 60) 21 + (60 + 83) 12 + (83 + 100) 3 i = 1 — 0,5918 = 0,408. P o u r 1947 : 1 1 = 1 100* (0 + 5) 24 + (5 + 14) 16 + (14 + 24) 13 _!_ (24 + 41) 18 + (41 + 64) 17 + (64 + 86) 10 + (86 + 100) 2X) = 1 — 0 , 5 7 4 5 = 0,426. P o u r 1948, on a. de m ê m e : 1 = 0,396. E n r é s u m é , on a les valeurs suivante s :ANNÉE J I I ' (I I
11)46 0 , 3 5 0 , 5 6 0 , 5 6 0 , 5 4 0 , 5 4 0 , 4 1 0 , 4 1 11)47 0 , 3 8 0 , 3 8 0 , 5 6 0 , 5 6 0 , 5 7 0 , 5 7 0 , 4 3 0 , 4 3 1 <J48 0 , 3 3 0 , 3 3 0 , 5 2 0 , 5 2 0 , 5 3 0 , 5 3 0 , 4 0 0 , 4 0
Suivant l ' i n d i c e choisi, l'inégalité des reve-nus c r o î t r a i t clans les o r d r e s suivants p o u r ,1, H', G, I, i n d i f f é r e m m e n t ; 1948, 1946, 1947.
Il y a d o n c a c c o r d p o u r les 4 i n d i c e s . C'est m i e u x (pie ce qu'on a u r a i t p u p r é v o i r . Car si l'on avait t r a c é d ' a b o r d les c o u r b e s de c o n c e n t r a t i o n p o u r ces t r o i s a n n é e s (exercice à p r o p o s e r ) , on a u r a i t p u c r a i n d r e un d é s a c c o r d complet. E n les t r a ç a n t , on constate qu'elles sont, en effet, si voisines l ' u n e de l ' a u t r e qu'elles d e v a i e n t néces-s a i r e m e n t e n t r a î n e r denéces-s v a l e u r néces-s de c h a q u e i n d i c e peu d i f f é r e n t e s d ' u n e a n n é e à l ' a u t r e et, p a r suite, des i n d i c a t i o n s peu sûres sur la c r o i s s a n c e ou la d é c r o i s s a n c e de l'inégalité des r e v e n u s , d ' u n e
80
Mimée à l'autre. P o u r avoir des i n d i c a t i o n s p l u s sûres, nous avons c o m p a r é les tableaux précé-d e n t s à un tableau précé-d o n n a n t une c o u r b e précé-de conc e n t r a t i o n plus n e t t e m e n t d i f f é r e n t e des p r é conc é -dentes. C'est le tableau des « libérés de l ' i m p ôt » d a n s l'exercice qui suit.
E X E R C I C E :
On p o u r r a i t de m ê m e calculer les i n d i c e s J. H', G, I p o u r les deux r é p a r t i t i o n s figurant d a n s le tableau ci-dessus qui d o n n e les r e v e n u s a n n u e ls en « d e u t s c h m a r k » p o u r l'Allemagne (y com-p r i s la Sarre) en 193(5. (Nous avons un com-peu sim-plifié les c h i f f r e s en a r r o n d i s s a n t les n o m b r e s des i n d i v i d u s en milliers.)
Quand on c o n s t r u i t la c o u r b e de c o n c e n t r a t i o n relative aux libérés de l'impôt , on constate qu'elle est n e t t e m e n t en dessous des t r o i s c o u r b e s rela-tives aux Etats-Unis : l'inégalité des r e v e n u s est s e n s i b l e m e n t m o i n s g r a n d e . On doit d o n c s'at-t e n d r e à s'at-t r o u v e r des valeurs des d i f f é r e n s'at-t s indices n e t t e m e n t i n f é r i e u r e s a u x v a l e u r s c o r r e s p o n -d a n t e s p o u r les Etats-Unis. Seulement, ce tableau ne d o n n e p a s de détails suffisants sur les r e v e n u s
i n f é r i e u r s à 1.500 d.m. qui c o n c e r n e nt plus de la moitié du n o m b r e total des individus. I.e calcul du revenu m é d i a n , m, serait d o n c très h a s a r d e u x , on p e u t seulement a f f i r m e r qu'il est i n f é r i e u r â 1.500 d.m. Il en est de m ê m e du reven u m o y e n r = 1.440 d.m. Le calcul du revenu m o y en r' des
r e v e n u s <; r serait encore plus h a s a r d e u x . Nous avons d o n c r e n o n c é au calcul de J et de H'. On t r o u v e G = 0,34; I = 0,20 qui sont effectivement n o t a b l e m e n t m o i n s g r a n d s que les v a l e u rs corres-p o n d a n t e s corres-p o u r les Etats-Unis, de G (toutes su-p é r i e u r e s à 0,50) et de 1 (toutes au m o i n s égales à 0,40).
Remarque.
La difficulté r e n c o n t r é e ici p o u r le calcul de m et r ' se r e n c o n t r e m a l h e u r e u s e m e n t d a n s la plu-p a r t des statistiques existantes où les bas reve-nus, q u o i q ue en t r è s grand n o m b r e , sont, soit ignorés, soit r é p a r t i s en un n o m b r e de t r a n c h e s t r o p petit.
(A suivre.) Maurice F R É C I I E T ,
Correspondant de l'Institut.
Soumis i l'impôt Libérés de l'impôt Revenus
Revenus
annuels Nombre Revenus totaux Nombre Revenus totaux
en H.M. d'individus en millions d'individus en millions
en milliers de R.M. en milliers de R.M. 1.500 4.902 4.020 798 814 1.500 à 1.800 1.528 2.523 199 327 1.800 à 2.100 1.013 3.138 137 205 2.100 à 2.400 1.423 3.193 82,9 185 2.4-00 à 3.000 1.849 4.905 72,3 190 3.000 à '3.600 824 2.686 18,4 60 3.600 à 4.800 696 2.854 10,9 44 4.800 à 0.000 300 1.582 2,27 12 6.000 à 7.200 99,8 650 1,10 7 > 7.200 01,7 484 0,411 3 Totaux 1.322,281 1.907
