Le développement de la notion de Nombre
Jean LOZEProfesseur à l'Ecole N a tio n a le d'ingénieurs Arts et Métiers de Lille
Louis COUFFIGNAL Inspecteur général de l'Instruction publiq ue
L e n o u v eau p r o g r a m m e de m a th é m a tiq u e s d es E co les n a tio n a le s d ’in g é n ie u rs A r ts e t M é tie r s a é té conçu' e n v u e de d o n n e r a u x élèves de ces écoles, n o n se u le m e n t des c o n n a is s a n c e s nouvelles, n é c e s s a ire s à l’é tu d e des q u e stio n s d ’o rd re sc ie n tifiq ue e t te c h n iq u e f ig u r a n t a u x p ro g r a m m e s des a u t r e s discip lines, m a is encorei u n e v u e d’en se m b le des p a r t ie s d es m a th é m a tiq u e s utiliSfabies d a n s les a p p lic a tio n s, a in s i q u ’u n e c o n n a is s a n c e p ré c ise de l’eflicacité de ces th é o rie s e t de le u rs lim ites, d ’u tilisa tio n . C’e s t de ce p o in t de v u e que d o iv e n t ê t r e c o n sid é ré es les p re m iè r e s leçons. O r, la l i t t é r a t u r e m a th é m a ti q u e de la n g u e f r a n ç a is e n ’offre g u è re de re s so u rc e s à ce su je t, e t la l i t t é r a t u r e é tr a n g è r e , elle-m êm e a ss e z p eu fo u rn ie , e s t so u v e n t m a la isé e à c o n su lte r. L ’o b je t d e l’exp o sé c i- a p r è s e s t d ’in d iq u e r q u elq u e s-u n es des idées s u r le squ elles il sem b le u tile de fa ire ré flé c h ir les élèves.
C e t e xp o sé r é s u lte de l’a p p o rt, p a r l’u n d e s a u te u r s , de re m a r q u e s o u c o m p lé m e n ts à u n te x te de b a se c o n s titu é p a r le s leçon s d é jà e n se ig n é e s p a r l’a u t e u r d a n s l’u n e de nos E co les n a tio n a le s d ’in g é n ie u rs A r ts e t M é tie rs. I l n e p r é te n d a u c u n e m e n t ê t r e e x h a u s tif , n i n é c e ss a ire .
I. - N o m b r e e n tie r
A ) E N S E M B L E S D ’O B J E T SE T N O M B R E E N T I E R N o tio n s d ’en sem b le, é lé m e n t, c a té g o rie .
1. — D is tin g u e r u n o b je t d ’a u t r e s o b jets, c o n s tru ire u n g ro u p e d ’o b je t so n t deux o p é ra tio n s b a n a les.
L es g ro u p e s d ’o b je ts u su els o n t re ç u des no m s p a r tic u lie r s ; équipe, classe, collection, a m a s, b o u qu et, tro u p e au ... ; la la n g u e f r a n ç a is e en c o n tie n t p lu s ie u rs c e n ta in e s, ils e x p rim e n t donc u n e n o tio n p rim itiv e e t e ss e n tie lle m e n t c o n c rè te ; la îan g u e scien tifiq u e les ap p e lle des e n sem b le s d ’o b jets.
T o u t o b je t d ’u n en sem b le e n e s t u n élé m e n t. Il e s t a u ss i d é sig n é so u s le n o m d ’u nité.
2. — L es o b je ts d’u n en se m b le p e u v e n t ê t r e to u s d iffé ren ts, m a is, à c e r ta in s p o in ts de vue, n ou s p o u vons les c o n sid é re r com m e id e n tiq u e s. A insi, d a n s u n p a n ie r c o n te n a n t d es p ru n e s , des p om m es, des p oires, n ou s po u v on s c o n sid é re r q u ’il y a u n e n se m b le de fr u its . On d it que les é lé m e n ts d ’un e n se m b le s o n t de m ê m e espèce, ou q u ’ils a p p a r t ie n n e n t à la m ê m e c a té g o rie . D a n s l’ex em p le ci-dessus, « p r u n e s », « p o m m e s », « p o ire s », a p p a r t ie n n e n t à la c a té g o rie d es < f r u i t s ».
U n e c a té g o rie c o m p re n d donc to u s les é lé m en ts q u i so n t de m ê m e espèce. N éa n m o in s, u n e c a té g o rie d ’o b je ts n ’e s t p a s u n en se m b le de ces m ê m e s o b je ts, ce q ue p o u r r a i t la isse r c ro ire le m o t « to u s » de la p h ra s e p ré c é d e n te . Q u an d on d it « to u s les o b je ts qui so n t d es f r u it s » on donne, so u s u n e fo rm e de la n g a g e p a rtic u liè r e , la d é fin itio n d ’u n f r u i t ; la n o tio n de c a té g o rie n ’a jo u te rie n à la n o tio n d ’élé
m e n t. A u c o n tra ire , q u a n d on d it « u n p a n ie r de f r u it s » on a jo u te a u x p ro p rié té s de c h a c u n des o b je ts du p a n ie r qui p e r m e tt e n t de r e c o n n a îtr e q u ’il e s t u n fr u it, u n e p ro p r ié té nouvelle, celle de se tro u v e r d a n s le p a n ie r : la n o tio n d ’en sem b le a jo u te a u x p r o p r ié té s de c h a c u n de ces é lé m e n ts u n e p ro p rié té nouvelle, qui c o n s titu e la d éfin itio n m ê m e de l’en sem ble.
A insi, la n o tio n de c a té g o rie e s t d esc rip tiv e, la n o tio n d ’e n se m b le co n stru c tiv e . C ’e s t la seconde, p a r su ite , qui in té re s s e le p lu s l’a r t de l’in g é n ie u r. T o u te fo is la p re m iè r e a u n e telle im p o rta n c e d a n s le ra is o n n e m e n t q u ’il e s t u tile de l’é tu d ie r de p lu s près.
3. — C o n fo n d re u n e c a té g o rie e t u n en sem ble p e u t c o n d u ire à l’a b s u r d ité , c’e s t-à -d ire à des a lig n e m e n ts de m o ts d ’a p p a re n c e sen sée m a is en r é a lité d ép o u rv u e de sens. P a r exem ple, la p h r a s e : « U n h a b i t a n t de C n id e d is a it : « L es h a b i ta n t s de C nidc m e n te n t to u jo u rs » e s t ab su rd e.
E n effet, si c et h o m m e a d it la v é rité , to u t ce q u ’a flir m e n t les h a b i ta n t s de C n id e e s t f a u x et, p u is q u ’il e s t lu i-m êm e u n h a b i t a n t de C nide, ce q u ’il a d it e s t f a u x ; la c o n tra d ic tio n e s t en évidence. E t si ce t h o m m e n 'a p a s d it la v é rité , les h a b i ta n t s de C nide d is e n t p a rf o is la v é rité , p e u t-ê tr e m êm e so u v e n t, e t p u is q u ’il e s t u n h a b i t a n t de Cnide, il se p e u t q u ’il a i t d it la v é rité : la c o n tra d ic tio n n ’e st p a s c e rta in e , m a is elle e s t possible. On ne p e u t donc a t t r i b u e r à la p h r a s e c o n sid é rée u n e sig n ific a tio n en a c c o rd a v ec le b o n se n s d u co m m u n des h om m es.
L ’a b s u r d ité de la p h ra s e cité e en ex em ple ti e n t à l’em ploi du m o t « to u jo u rs » qui fo nde le r a i so n n e m e n t s u r la n o tio n de « to u s les in s ta n t s »,
passés, p ré s e n ts e t fu tu rs , c’e s t-à -d ire su r la c a té g o rie « te m p s ».
L ’a b s u r d ité t i e n t en co re a u f a i t q u e « un h a b i t a n t de C nide » f a i t p a r t ie des « h a b ita n ts de Onide» e t que, ain si, le ra is o n n e m e n t p o rte s u r la c a té g o rie d es « h a b i ta n t s de C nide ». E t c e tte r e m a r q u e aide à c o m p re n d re que la n o tio n de c a té g o rie n ’a jo u te rie n à la d éfin itio n d’u n é lé m e n t ; si, d a n s la p h ra s e con sid érée, on re m p la c e « les h a b i ta n t s de C nide m e n te n t to u jo u rs » p a r « je m e n s to u jo u rs », le r a i so n n e m e n t qui f a i t a p p a r a î tr e l’a b s u r d ité re s te v a lable, b ie n q u ’il s ’a g isse , n o n p lu s d ’u n e c a té g o rie , m a is d ’u n seu l élém en t.
4. — L a d is tin c tio n e n tre e nsem b le e t c a té g o rie n ’e s t p a s ab solue.
P a r exem p le, d a n s u n e e n tre p ris e de tr a v a u x p u b lics qui a in s ta llé p lu s ie u r s c h a n tie r s A, B, C, o n p e u t co n sid é re r u n e équipe de t e r r a s s ie r s du c h a n tie r A, ou u n e éq u ip e de c im e n tie rs de ce m ê m e c h a n tie r, c om m e u n en se m b le d ’é lé m e n ts de la c a t é g o rie c o n stitu é e p a r le p e rso n n e l du c h a n tie r A. M ais le p e rs o n n e l du c h a n tie r A c o n stitu e lu i-m êm e u n en sem b le d ’é lé m e n ts de la c a té g o rie co n stitu é e p a r le p e rso n n e l de l’e n tre p ris e e n tière.
On d o it donc, d a n s ch a q u e cas, p ré c ise r avec so in :
1° L a d éfin itio n de la c a té g o rie d ’é lé m e n ts d ont l’en se m b le e s t fo rm é ;
2“ L a d éfin itio n p ro p re de l’ensem ble.
5. — On ap p elle so u s-en sem b le u n en sem b le fo rm é d ’é lé m e n ts a p p a r t e n a n t à u n e n sem b le donné. D o m ain e d ’u n e no tion.
6. — D e la d éfin itio n d ’u n o b je t, que la la n g u e scien tifiq u e p re n d soin de b ie n p ré c ise r p o u r é v ite r l’a b s u rd ité , e t de celle d ’a u t r e s o b je ts, on p e u t d é d u ire d e s p ro p r ié té s de l ’en se m b le fo rm é p a r to u s ces o b je ts. L a re c h e rc h e de telles p ro p r ié té s est l’o b je t de la science.
On p e u t d o n n e r p o u r co n clu sio n à ces re c h e rc h e s u n ta b le a u des o b je ts au x q u e ls on s a i t a p p liq u e r u n e n o tio n d é te rm in é e . Ce ta b le a u , m é th o d iq u e m e n t c o n s tru it, c o n stitu e le d o m a in e d ’u tiU sa tio n , ou s im p le m e n t le d o m a in e, de la n o tio n con sidérée.
L a science, e t n o ta m m e n t les m a th é m a tiq u e s e t la lo giq u e tra d itio n n e lle s so n t d ’essence s p é c u la tiv e ; elles la is s e n t o rd in a ir e m e n t d a n s l’o m b re la no*^ion de dom ain e. L e p o in t de v u e d u te c h n ic ie n e s t a u t r e : ce qui lui im p o rte e s t de sa v o ir s ’il tr o u v e ra a v a n ta g e à se se r v ir d ’u n e n o tio n q u ’il c o n n a ît, d a n s les c a s q u ’il a e ffe c tiv e m e n t à c o n sid é re r ; la c o n n a is sa n c e p ré c ise d u d o m a in e de ch a q u e n o tio n p e rm e t de ré p o n d re im m é d ia te m e n t à c e tte question.
Il sufiat m ê m e so u vent, p o u r la p ra tiq u e , de c o n n a ître c e r ta in s d o m a in e s d ’u n e no tion, p lu s r e s tr e in t s que le d o m a in e que l’on s a u r a i t définir. N ou s n o u s e n tie n d ro n s so u v e n t à des d o m a in e s p a rtie ls d a n s la su ite de ce cours. D u p o in t de vue de l ’action, on p r e n d r a soin de n e p o in t u tilis e r u n e n o tio n en deh o rs d u d o m a in e q u i lu i a é té a ttrib u é .
7. — L es é lé m e n ts d ’u n en se m b le d ’o b je ts d o iv en t a p p a r t e n ir à u n e m ê m e c a té g o rie . P a r c o n sé q u e n t :
L e d o m a in e de la n o tio n d ’en sem b le d ’o b je ts e s t la c a té g o rie d es é lé m e n ts c o n s titu tifs d es en sem b le s q u e l’on se p ro p o se de c o n s tru ire o u de co n sid é rer. C o rre sp o n d a n c e b iu n iv o q u e . e n tr e o b je ts de d eu x
en sem b les.
8. — C o n sid éro n s des v is m u n ie s c h a cu n e d ’un écro u e t su p p o so n s q u ’elles so ie n t de d ia m è tre to u s d ifféren ts. F a is o n s u n t a s A d es v is e t u n t a s B des écro u s. A e t B so n t d eu x ensem b les. Il e x iste e n tre les é lé m e n ts de ces d e u x e n se m b les u n e c o rre s p o n d a n ce r e m a r q u a b le d é te rm in é e p a r le v is sa g e . A une vis de A, c o rre sp o n d u n e t u n seu l éc ro u de B, celui qui se v isse a v e c elle, e t in v e rse m e n t, à un écro u de B c o rre sp o n d de c e tte m a n iè re la seule v is de A qui se v isse a v ec lui.
Q uand, é t a n t d on n és d eu x e n sem b le s A e t B, à to u t é lém en t (a ) de A c o rre sp o n d u n élé m e n t e t u n seul (b) de B e t que, ré c ip ro q u e m e n t, à ch a q u e élé m e n t (b) de B c o rre sp o n d le seul élé m e n t (o) de A, on d it q u ’il e x iste e n tre les é lé m e n ts d es d e u x e n sem b les A e t B u n e c o rre sp o n d a n c e b iunivoque. (O n d it enc o re c o rre sp o n d a n c e p a r f a it e , ou c o rre s p o n d an c e u n iv o q ue e t ré c ip ro q u e .)
Il p e u t e x iste r, e n tre d e u x ensem b les, p lu s ie u rs c o rre sp o n d a n c e s b iu n iv o q u e s ; m a is, l’u n e d ’elles é t a n t choisie, les couples d ’é lé m e n ts c o rre s p o n d a n ts so n t p a r f a it e m e n t d é te rm in é s. A in si n o u s p o u rrio n s p e in d re c h a q u e v is d ’u ne co u leur d iffé re n te e t a sso cier à c h a c u n e d ’elles u n é cro u de m ê m e couleur, le co lo riag e v is-éc ro u é t a n t f a i t s a n s te n ir c o m p te des p o ssib ilités du v issag e .
9. — D e u x e n se m b les en c o rre sp o n d a n c e b iu n i voque a v ec u n m ê m e tro isiè m e le so n t é v id e m m e n t e n tre eux. C e tte p ro p r ié té ré s u lte de la s t r u c t u r e de l’o p é ra tio n qui co n siste à m e ttr e d e u x e n se m b le s en c o rre sp o n d a n c e b iu niv o q ue e t no n de la n a t u r e des e n sem b le s e u x -m ê m e s ; o n d it que la c o rre sp o n d a n c e b iu n ivo q u e e s t u n e o p é ra tio n tr a n s itiv e .
N o m b re e n tie r.
10. — T o us les en sem b le s d ’o b je ts que l ’on p e u t m e ttr e en c o rre sp o n d a n c e b iu n iv o q u e a v ec l ’un d ’e n tr e e u x p e u v e n t ê t r e m is d eu x à d e u x en c o rr e s p o n d a n c e biun iv oq u e. O n ex p rim e c e tte p ro p r ié té en d is a n t q u ’ils o n t m ê m e g ra n d e u r , ou q u ’ils so n t de la m ê m e g ra n d e u r .
R e m a rq u e . — L a p re m iè r e de ces ex p re ssio n s d éfin it la g r a n d e u r d ’u n en sem b le com m e u n e q u a lité, u n e p ro p r ié té de ce t e n se m b le ; la seco n d e d é fin it u n e g r a n d e u r co m m e u n e c a té g o rie d ’e n se m b les qui p e u v e n t ê tr e m is d e u x à d eu x en c o rre s p o n d an c e biun iv o q ue. On con fon d so u v e n t les d i v e rs e s s ig n ific a tio n s du m o t g r a n d e u r ; c e tte c o n fu sion n ’a g u è r e d’in c o n v é n ie n t e n m a th é m a tiq u e s ; elle e s t p a r c o n tre à la b a se de n o m b re de diffi c u lté s ép ro u v ée s d a n s l’a p p lic a tio n des m a th é m a tiq u e s a u x q u e stio n s te ch n iq u e s.
11. — P o u r d éfin ir les g r a n d e u r s des d iv e rs e n se m b les d ’o b je ts que l’on p e u t c o n stru ire , il suffit de défin ir u n en sem b le de ch a c u n e de ces g ra n d e u r s .
A c e tte fin, on a c o n s tru it un e su ite de m o ts se s u c c é d a n t to u jo u rs d a n s le m ê m e o rd re : un, deux, tro is, q u a tre ... C e tte su ite e s t indéfinie, c ’e st- à -d ire que, a r r iv é à un c e r ta in m o t, on s a i t fo rm e r le s u iv a n t.
L a n u m é r a tio n p a rlé e e t la n u m é ra tio n é crite a p p r e n n e n t à fo rm e r, p a r le r e t é c rire les m o ts de c e tte su ite . C h a q u e m o t e s t a p p elé n o m b re e n tie r. L e u r su ite c o n stitu e la su ite n a tu re lle d es nom bres, en tie rs .
N o u s d é sig n e ro n s p a r s e g m e n t u n e p o rtio n de la su ite n a tu re lle a r r ê té e à u n c e r t a in n om bre. A in si ; 1, 2, 3, 4, 5 e s t u n se g m e n t.
U n s e g m e n t de la su ite d es e n tie rs e s t un en se m b le de n o m b res, c’e s t-à -d ire u n en sem b le d ’o b je ts p a rtic u lie r s . I l p e u t ê tr e défini p a r le d e r n ie r d es n o m b re s qui le c o n s titu e n t ; il en e s t de m êm e, p a r co n sé q u e n t, de la g r a n d e u r de c et e n sem ble.
12. — Si l’on g ro u p e e n so u s-e n sem b les les élé m e n ts d ’u n e n se m b le d ’o b je ts, c h a c u n de ces sous- e n se m b le s d e v ie n t u n é lé m e n t de l’en sem b le donné. L e n o m b re des é lé m e n ts p r im itif s e t le n o m b re des so u s-e n sem b le s n e so n t p a s les m êm es.
P a r exem ple, u n e a rm é e de 90.000 h o m m e s p e u t ê tre c o n stitu é e p a r 30 r é g i m e n t s de 3.000 hom m es, 5 d ivisio n s de 18.000 h o m m e s ou 10 b r ig a d e s de 9.000 h om m es. S elon la n a t u r e des é lé m e n ts de l’e n sem b le d’h o m m e s que c o n stitu e l ’a rm é e , le no m b re d ’é lé m e n ts de c e t en se m b le e s t 90.000, 30, 5, 10.
Il a p p a r a î t d ’a b o rd que la g r a n d e u r d ’un e n sem b le n ’e s t définie p a r u n n o m b re que si l’on d éfin it a u ss i les é lé m e n ts de l’en sem ble. C ’e s t p a r t i c u liè re m e n t d a n s ce c a s q u ’u n é lé m e n t re ç o it le n o m d ’u n ité . Le n o m b re d es u n ité s c o n s titu a n t l ’en sem b le e s t a p p elé m e su re de la g r a n d e u r de l’e n sem b le a v ec l’u n ité donnée.
L ’exem p le p ré c é d e n t m e t é g a le m e n t en évidence que l ’eflicacité d ’u n e nsem b le d ’o b je ts p o u r l’u s a g e a u q u e l il e s t d e stin é ne d é p en d p a s de l’u n ité avec laq u elle on en m e su re la g ra n d e u r . A insi, 30 r é g i m e n ts, 10 b r ig a d e s ou 90.000 h om m es, c ’e s t la m ê m e a rm é e ; to u te fo is, selon les m a n œ u v re s q u ’il p ré p a re , le c h e f tro u v e p lu s a isé de co n cevoir so n a rm é e soit com m e u n en se m b le de 10 b rig a d e s , so it com m e un en se m b le de 30 ré g im e n ts ; la d o nnée d’u n en sem ble de 90.000 h o m m e s en év alu e la p u issan c e.
A insi, la g r a n d e u r d ’u n en sem b le d ’o b je ts e s t u n e p ro p r ié té de c e t e n se m b le qui, g é n é ra le m e n t, e n c a r a c t é r i s e l’efficacité d a n s c e rta in e s a p p lic a tio n s. L ’h o m m e p re n d co nscien ce de la g ra n d e u r d ’un en sem b le d ’o b je ts a u m o y e n de la m e s u re de c e tte g r a n d e u r a v e c u n e u n ité a n t é r ie u r e m e n t défi nie. C e tte u n ité e s t choisie d a n s c h a q u e c a s de la fa ç o n la p lu s p ra tiq u e .
13. — P o u r c o m p te r, o n d it enco re d é n o m b rer, c ’e s t-à -d ire a t t a c h e r à u n en sem b le le n o m b re qui en m e su re la g ra n d e u r , on f a i t c o rre sp o n d re à c h a q u e m o t su c c e s sif de la su ite n a tu re lle des e n tie rs, u n é lé m e n t d if fé re n t de l’en sem ble, ju s q u ’à é p u ise m e n t de celui-ci. N o u s su pp o son s p o u r l’in s
t a n t ce t e n se m b le é p u isa b le ou, a u t r e m e n t dit, fini. O n é t a b li t de c e tte m a n iè re u n e co rre sp o n d a n c e b iu n ivo q u e e n tre les é lé m e n ts de l’en sem b le e t les n o m b re s d ’u n c e r ta in se g m e n t. L e d e rn ie r n o m b re u tilisé e s t le n o m b re d ’u n ité s de l’en sem ble.
L es en sem b les q u e l’o n p e u t d é n o m b re r so n t d its d é n o m b rab le s. N o u s a u r o n s p a r la su ite à co n sid é re r des e n se m b le s qui n ’o n t p a s c e tte p ro p riété .
14. — A ch a q u e é lé m e n t de l’en sem b le, l’opé r a t io n de d é n o m b re m e n t a tta c h e u n n o m b re qui p e u t se r v ir à le c a ra c té ris e r. Ce n o m b re e s t app elé le n u m é ro de l’élém en t. A u x d iffé re n te s m a n iè re s d ’é ta b lir la c o rre sp o n d a n c e e n tre é lé m e n ts de 1 e n sem ble e t n o m b re s d ’u n c e r t a in s e g m e n t c o rre s p o n d e n t d iffé re n ts n u m é ro ta g e s . U n n u m é ro ta g e é t a n t choisi, il s e r a p o ssible de r a n g e r les é lé m en ts de l’en sem b le to u jo u rs d a n s le m ê m e ord re. On d it que l’en sem b le e s t ordonné.
15. — Le n o m b re e n tie r a donc d eu x em plois fo n d a m e n ta u x :
1° Il s e r t à c o m p te r ; 2° Il s e r t à o rd o n n er.
G r a m m a tic a le m e n t, on d it d a n s le p re m ie r c as q u ’il a u n sen» c a rd in a l et, d a n s le second, u n sens o rd in al.
B ) O P E R A T I O N S S U R L E S E N S E M B L E S D ’O B J E T S E T L E S E N T I E R S
16. — L a c o m p a ra is p n de d eu x e n se m b le s A e t B p e u t se fa ire d ’u n e m a n iè re d irecte. On essa y e d ’é ta b lir u n e c o rre sp o n d a n c e b iu n iv o q u e e n tre le u rs élém en ts. T ro is c a s p e u v e n t se p ré s e n te r :
1“ L a co rre sp o n d a n c e e s t possible. On d it que les d e u x e n sem b le s o n t a u t a n t d ’é lé m e n ts ;
2“ L a c o rre sp o n d a n c e e s t im p o ssib le e t il y a d a n s B des é lé m e n ts p o u r le sq u e ls on n ’a p u tro u v e r de c o rre s p o n d a n t d a n s A. O n d it que A a m o in s d ’é lé m e n ts que B, ou que B a p lu s d ’é lé m e n ts que A ;
3“ L a c o rre sp o n d a n c e e s t im p o ssib le com m e p r é c éd e m m e n t, les rô le s de A e t B é t a n t p e rm u té s .
17. — A cau se de la c o rre sp o n d a n c e p a r f a it e e x i s ta n t e n tre u n en sem b le e t u n s e g m e n t de la su ite d es en tie rs, o n co n ço it q u ’il re v ie n n e a u m êm e p o ur c o m p a re r d e u x e n se m b les de c o m p a re r le u rs se g m e n ts . O n re tro u v e l’u n des tr o is c a s en v isa g és. Le r é s u l t a t p ré c é d e n t p e u t donc s ’e x p rim e r a u ss i a u m o ye n des n o m b re s qui m e s u re n t les en se m b les A e t B.
Si a e t t> so n t ces n om bres,, o n a u r a des re la tio n s que l’on é c r ir a :
1 “ a = b ou encore b — a \
2 “ a <; b ou, sous u n e a u t r e fo rm e , b > a ; 3° a > î) ou, sous u n e a u t r e fo rm e , b < a. 18. — D e u x re la tio n s qui o n t la m ê m e sig n ifi c a tio n so n t d ite s éq u iv a le n tes.
E x e m p le s :
a = b e t b — a
a <; b e t b > o a > b e t b < o
L ’éq uiv alen ce des é g a lité s a = b e t b = a s ’ex p rim e en d is a n t que l ’é g a lité e s t u n e re la tio n sy m é triq u e .
L a re la tio n a b ex clut la re la tio n b a •
c e tte p ro p r ié té s ’e x p rim e en d is a n t que l’in é g a lité e s t a s y m é triq u e .
E nfin, la tr a n s i v ité de la c o rre sp o n d a n c e b iu n i- voque e n tre ensem b les d ’o b je ts a p o u r co n séquence que, si l’on a : a = b e t b = c, o n a a u ss i :
a ~ c. C e tte p ro p r ié té s ’ex p rim e en d is a n t que
l’é g a lité e s t tr a n s itiv e .
O p é ra tio n s s u r les n o m b re s e n tie rs.
A d d itio n . 19. — Q u a n d d eu x e n se m b le s d ’élé m e n ts de m ê m e espèce, A e t B, so n t s a n s é lé m e n t co m m u n , le u r so m m e e s t l’e n se m b le fo rm é p a r les é lé m e n ts ré u n is de A e t B. On n o te c e tte so m m e : A + B. L ’o p é ra tio n qui co n siste à fo rm e r la som m e de d e u x en sem b le s s ’ap p elle a d d itio n .
Q u a n d on effectu e l’o p é ra tio n a n a lo g u e s u r des e n se m b les p o u v a n t a v o ir des é lé m e n ts com m u n s, on d é sig n e c e tte o p é ra tio n so u s le n o m de ré u n io n , e t on la n o te : A + B. L ’o p é ra tio n de ré u n io n co m p re n d donc co m m e c a s p a r tic u lie r l’o p é ra tio n de som m e.
20. — Si o e t 6 s o n t les n o m b res m e s u r a n t deux ensem bles A e t B, le n o m b re m e s u r a n t l’ensem ble A 4- B e s t ap p elé so m m e des n o m b re s a e t 6 ; il se n o te : a + b. L ’o p é ra tio n qui co n siste à fo r m e r la so m m e de d eu x e n tie rs e s t a p p elé e a d d itio n des e n tie rs .
21. — On c o n s ta te e x p é rim e n ta le m e n t que l’opé r a t io n d ’a d d itio n de d e u x en sem bles e s t in d é p en d a n te de l’o rd re d a n s lequel on p re n d ces d eu x ensem bles : donc le n o m b re a + b d o it ê tr e c o n si déré com m e é t a n t le m ê m e que le n o m b re b + a, ce que l ’on no te : a + b = b + a.
On ex p rim e c e tte p ro p rié té fo n d a m e n ta le de l ’a d d itio n en d is a n t que l’a d d itio n e s t u n e o p é ra tio n c o m m u ta tiv e . L a c o m m u ta tiv ité s ’é te n d à une so m m e de p lu s ie u rs n o m b res.
L ’ex p é rien c e m o n tre de la m êm e m a n iè re que l ’on d o it av o ir :
a + (b + c) — (a + b) + c
On d it que l’a d d itio n e s t u n e o p é ra tio n a s s o ciativ e.
N o to n s q u e l’o p é ra tio n de ré u n io n possède les m ê m e s p ro p rié tés.
M u ltip lic atio n . 22. — C o n sid é ro n s des en se m b le s A, B, C, fo rm é s d ’o b je ts de m ê m e espèce (e), ch aq u e ensem b le a y a n t m ê m e m e su re, u n n o m b re a. L es ensem b les A, B, C p e u v e n t ê tre re g a r d é s à le u r to u r com m e é lém en ts d ’u n nouvel ensem ble E, de n o m b re b.
R é u n isso n s to u s les o b je ts (e) co n te n u s d a n s A, B, C en u n en sem ble E '. S oit x le n o m b re de E ' ; le n o m b re x e s t ap p elé le p ro d u it de a p a r b, e t on é c rit : X = a y. b, ou X — a b. L ’o p é ra tio n qui co n siste à fo r m e r le p ro d u it d ’u n e n tie r p a r u n a u t r e e s t a p p e lée m u ltip lic a tio n des e n tie rs .
R e m a rq u o n s que les é lém en ts de E , en no m b re 6, n e so n t p a s de m ê m e n a t u r e que ceux de A, B, C, en n o m b re a, m a is que les é lém en ts de E ', en n o m b re X, so n t de m êm e n a t u r e que ceux de A, B, C. L a m u ltip lic a tio n f a i t in te rv e n ir com m e d o nn ées des n o m b res m e s u r a n t d e s e nsem b les d ’é lé m e n ts d ’e s p èces d iffé re n te s : o, m u ltip lic a n d e , e t b, m u ltip li c a te u r ; le p ro d u it x m e su re d es ensem b les de m êm e espèce que le m u ltip lican d e.
23. — P re n o n s p o u r o b je ts (e) d es p o in ts, e t su p p o so n s a == 3, b 5. N o us p ou v o ns c o n stru ire l’ensem ble E ' com m e s u it :
L e s e n sem b le s A, B, C so n t les lig n e s de po in ts, l’en se m b le E e s t fo rm é de 5 lig n e s de p o in ts, l’e n sem ble E ', de to u s les p o in ts de la figu re. On p e u t r é p a r t i r les p o in ts de l’en se m b le E ' en 3 colonnes de 5 p o in ts ; on c o n sid ère a in s i le n o m b re de p o in ts de c et en sem b le com m e le p ro d u it d u n o m b re 5 p a r le n o m b re 3. C e tte e x p é rien c e m e t en évidence que la m u ltip lic a tio n d es e n tie rs e s t c o m m u ta tiv e .
N o ta tio n : ab = ba.
L a c o m m u ta tiv ité s ’é te n d à u n p ro d u it de p lu sie u rs n o m b re s.
24. — O n d é m o n tre les p ro p r ié té s e x p rim é e s p a r les é g a lité s s u iv a n te s :
o (5c) = ( a b ) . c
(a + b + c + . . . ) m = a m + b m -f cm -h . . .
a ( T O - l - n - l - p - l - . . . ) = a m + a n + ap + . . . O n d it que la m u ltip lic a tio n d es e n tie r s e s t a s s o c ia tiv e (1™ é g a lité ) e t que la m u ltip lic a tio n des e n tie rs e s t d is trib u tiv e p a r r a p p o r t à l’a d d itio n (2° e t 3» é g a lité ).
25. — L ’a d d itio n e t la m u ltip lic a tio n d es e n tie rs p e u v e n t ê tr e définies de fa ç o n e n tiè re m e n t th é o riq u e p a r les p ro p r ié té s d es § 21, 23, 24, co n sid é rée s co m m e des co n v en tio n s à p rio ri d é fin is sa n t des r è g le s de c o m b in a iso n d es n o m b r e s e n tie rs e n tre eux. C ’e s t le p o in t de v u e a d o p té d a n s le développe m e n t c la ssiq u e d es m a th é m a tiq u e s , quelle que so it la défin itio n des o p é ra tio n s choisie in itia le m e n t. I l a le g r a v e d é f a u t de m a s q u e r c e rta in e s o b se rv a tio n s im p o r ta n te s r e la tiv e s à l’u tilis a tio n d es o p é ra tio n s s u r les e n tie rs p o u r re p r é s e n te r les o p é ra tio n s su r les e n se m b le s d ’ob je ts.
L e s p r o p r ié té s de l’a d d itio n e t n o ta m m e n t la c o m m u ta tiv ité t r a d u is e n t fid è le m en t les p ro p rié té s de l’a d d itio n des en sem b le s d ’o b je ts p a rc e qu e les te r m e s de la so m m e a in s i q u e la som rne m e s u re n t d es e n se m b le s de m ê m e espèce. D a n s le p ro d u it
ab, le n o m b re o m e su re l’en sem b le d ’o b je ts qui
c o n stitu e le m u ltip lic a n d e e t le n o m b re b l’ensem ble d ’ensem bles q u i c o n s titu e le p ro d u it ; m a is le n o m b re
ab m e su re ce m ê m e en sem b le a v ec la m ê m e u n ité
que le m u ltip lic a n d e . Si l ’o n re m p la c e ab p a r ba. le rôle de m u ltip lic a n d e e t de m u ltip lic a te u r des
e n tie rs a e t 6 so n t p e rm u té s , m a is il n ’en e s t p a s de m êm e, d a n s les d o n n ées de l’o p é ra tio n , d u rôle de ces n o m b res com m e m e su re s d ’e nsem b les ; n o ta m m e n t, le p ro d u it m e su re d a n s ce c a s u n ensem ble d ’é lé m en ts de m êm e espèce que ceux d u m u ltip li c a te u r. L a re m a rq u e du § 22 p e rd to u te sig n ificatio n si l’on s ’a cco rd e à f a i r e u s a g e de la c o m m u ta tiv ité de la m u ltip lic a tio n ; a u re s te , on n ’a p a s défini le p r o d u it de d eu x ensem bles, m a is seu le m e n t, à pro p os d ’ensem ble, le p ro d u it d e deux e n tie rs.
Il f a u t donc c o n sid é re r que la c o m m u ta tiv ité de la m u ltip lic a tio n e s t u n e com.inodlté p o u r le calcul du p ro d u it de d eux n o m b re s ; m a is la sig n ifica tio n c o n c rè te de ce p ro d u it, c’e s t-à -d ire l’u n ité de l’e n sem ble q u ’il m e su re , d o it ê tre p ré cisé e p a r une c o n v en tio n p a rtic u liè re , d ’a p r è s la sig n ific a tio n des
fa c te u rs . i
E n g é n é ra l, c e tte co n v en tio n e s t im p lic ite m e n t e x p rim é e p a r l ’é n o ncé d u p ro b lèm e c o n c re t que ré s o u t l’o p é ra tio n . P a r ex e m p le : « C o m b ien de p o m m es c o n tie n t u n w a g o n de 200 c a g e a u x de 60 p o m m es c h a c u n ? ». L e p ro d u it m e su re u n en se m b le de p om m es. E t si l’én oncé e s t im p réc is, l’u s a g e g u id e d a n s le choix de l’u n ité . P a r ex em p le : < Quelle e s t la g r a n d e u r d ’u n tr o u p e a u c o n te n a n t 10 b œ ufs, 20 vach es, 15 v e a u x ? ». O n situ e in s tin c tiv e m e n t l’en sem b le som m e, de m e su re 10 + 20 + 15. d a n s u n e c a té g o rie c o m p re n a n t b œ u fs, v a c h e s e t veau x , e t l’on ré p o n d : « 45 tê te s de b é ta il ».
L ’in g é n ie u r, esse n tie lle m e n t, tr a v a ille s u r des o b je ts m a té r ie ls e t des en sem b le s d ’o b je ts m a té rie ls . L a r e p r é s e n ta tio n de ces e n se m b le s e t de le u rs p ro p rié té s p a r d es n o m b re s e t d es c o m b in a iso n s de n o m b re s se f a i t a u m o y e n de co n v e n tio n s d u g e n re de celles que n o u s v en o n s de m e ttr e en évidence. Si le m a th é m a tic ie n p e u t les n é g lig e r, l’in g é n ie u r ne le p e u t pas.
L a su ite de ce co u rs s ’em p lo ie ra, en m ê m e ‘em ps q u ’à d év elop p er les p o in ts de th é o rie u tile s à la p ra tiq u e , à m o n tr e r c o m m e n t d o it se f a i r e c e tte liaiso n co n v en tio n n elle e n t r e les m a th é m a tiq u e s e t la ré a lité .
26. — P a r a p p lic a tio n de la d éfin itio n de la m u ltip lic a tio n d o nnée a u § 22, u n en se m b le d 'o b je ts a p o u r m e su re le p ro d u it de l ’e n tie r 1 p a r s a m e su re . _ P a r e x te n sio n de sens, on d it que un ensem ble
d’o bjets e s t le produit de l’u nité par sa m esure, e t
l’on é c rit que l’en sem b le A a p o u r m e su re m , l’u n ité é t a n t U, sous la fo r m e ;
A = : U X » n ou A — m U
Soustraction, division. 27. — Ce Sont des opé
r a t io n s re s p e c tiv e m e n t in v e rse s de l’a d d itio n e t de la m u ltip lic a tio n .
L a d ifféren c e de d eux n o m b re s a e t 6 e s t le n o m b re c qu i, a jo u té à b, red o n n e a . On é c rit : a — b — c, fa ç o n d ’é c rire d ’a p rè s la d éfin itio n .
b +
c — a.L ’o p é ra tio n n ’e s t possible qu e si b <; a ; il suffit de se re p o r te r à la sig n ific a tio n de la s o u s tra c tio n des ensem bles.
F a is o n s re m a rq u e r (les élèves h é s ite n t so u v e n t),
q ue l’én o ncé : « D ifféren ce de a e t b » e s t a — b. e t n o n b — a.
28. — Le q u o tie n t de d eu x n o m b re s a e t b e st le n o m b re g qui, m u ltip lié p a r b, do n n e a com m e p ro d u it. On é c rit : a : b q, fa ç o n d ’é c rire d ’a p rè s
la d éfinitio n : bq — a.
L ’o p é ra tio n a in s i définie n ’e s t possible que d a n s des c a s fa v o ra b le s.
C) E X T E N S I O N S D E L A N O T IO N D ’E N T I E R N o m b re zéro.
29 . - N o us a v o n s vu que la m e su re d ’un e n sem ble s e r t à en e s tim e r la g r a n d e u r , c ’e st-à -d ire l’efficacité p o u r la p ra tiq u e . A insi, d a n s l’e x p ressio n « une b o îte de 100 m o rc e a u x de c ra ie », la g r a n d e u r « 100 m o r c e a u x » do n n e une idée, p a r exem ple, de la d u ré e p e n d a n t la q u elle on p o u r r a p u is e r d a n s c e tte boîte. Or, m ê m e si la bo îte e s t vide, le besoin de c ra ie s u b siste e t la fo n c tio n de l’en sem b le d ’o b je ts c o n s titu é s p a r les m o r c e a u x de c ra ie h a b i tu e lle m e n t co n te n u s d a n s c e tte b o îte s u b siste é g a lem ent.
O n p e u t donc c o n sid érer, à p ro p o s d ’u n e n se m b le d ’o b je ts, so it s a g r a n d e u r , s o it s a fo n ctio n .
C e tte d is tin c tio n e n tre la g r a n d e u r e t la fo n c tio n d ’u n en sem b le e s t fo n d a m e n ta le : c’e s t à la fo nctio n, e t n o n à la g ra n d e u r , que se r a p p o r te n t la p lu p a r t des th é o rie s m a th é m a tiq u e s , c o n t r a ir e m e n t à un e opinion tr è s ré p a n d u e .
30. — Il p e u t a r r iv e r que l’en sem b le qui do it re m p lir u ne fo n c tio n d é te rm in é e n ’e x iste p as, com m e le m o n tre l’ex em ple ci-dessus. S ’il in te r v ie n t d a n s le ra is o n n e m e n t p a r s a fon ctio n , il e s t com m ode de c o n sid é re r q u ’il e x iste n é a n m o in s. S on inefficacité, co n séq u en c e de son in e x iste n c e , p e u t en co re ê tr e co n sid érée co m m e te n a n t à s a g r a n d e u r , que l’on ap p elle a lo rs : la g r a n d e u r nulle. On re p r é s e n te c e tte g r a n d e u r p a r u n sym bole, le zéro, que p a r e x te n sio n de sen s on c o n v ie n t de c o n sid é re r com m e u n n o m b re.
L es d éfin itio n s d o n n ée s p ré c é d e m m e n t m o n tre n t que le n o m b re zéro s a t i s f a i t a u x rè g le s e x c e p tio n nelles c i-a p rè s : o a quel que so it a a + o = o 0 + 0 — 0 o X o, = o o X o = o a — a = o o : a = o o — a e s t a b su rd e a : o e s t a b su rd e Le z é ro e s t p la cé a u d é b u t de la su ite n a tu re lle des n o m b re s : 0, 1, 2, 3. L a nouvelle su ite a in si co n stitu é e e s t ap p elée la su ite des n o m b re s en tie rs . N o m b re Infini,
3 1. — L o rs q u ’u n e n se m b le d ’o b je ts p e u t ê t r e m is en c o rre sp o n d a n c e b iu n iv o q u e a v ec la su ite des en tie rs, on d it que s a g r a n d e u r e s t l’in fin ité déno m - b ra b le . O n la r e p r é s e n te p a r u n sy m b o le p a rtic u lie r, l’infini d é n o m b ra b le, que l’on n o te œ, e t que, p a r
e x te n sio n de sen s, on c o n v ien t de c o n sid é re r com m e u n n o m b re.
L es d éfin itio n s d o n n ée s p ré c é d e m m e n t m o n tre n t que le n o m b re Infini s a t i s f a i t a u x rè g le s e x ce p tio n n elle s c i-a p rè s :
co > a quel que soit a
00 - f - QO = CO
co X a = : CO
a — 00 est absurde a : 00 est absurde 0 X oo est absurde
L ’infini, lo rs q u ’on l’é c rit, e s t p la c é à la fin de la su ite n a tu re lle d es e n tie rs d o n t on re p r é s e n te les te rm e s que l’on n e p e u t p a s é c rire p a r des p oints, é n on cés e t c œ te ra . •
0, 1. 2...œ .
D ) D O M A IN E D U N O M B R E E N T I E R
32. — L a te rm in o lo g ie é ta b lie p ré c é d e m m e n t co n d u it à d ire que le d o m a in e d u a o m b re e n tie r e s t la c a té g o rie des g r a n d e u r s (o u e n se m b le s) dén o m
-b ra -b le s ou, com m e l’on d it p a rfo is , le d é n o m -b ra -b le. M ais il f a u t b ie n r e m a r q u e r que ce d o m a in e ne p ré e x iste p a s à la d éfin itio n d u n o m b re e n tie r. A u c o n tra ire , il e s t défini p a r la n o tio n m ê m e de n o m b re entier.’ C h a q u e fo is que l’on u tilise le n o m b re e n tie r p o u r r e p r é s e n te r u n e g ra n d e u r , o n s ’a s s u re que c e tte g r a n d e u r e s t d é n o m b rab le , o u bien, si elle e s t nouvelle, on la f a i t r e n t r e r d a n s la c a té g o rie des g r a n d e u r s d én o m b ra b les.
D es re m a rq u e s a n a lo g u e s se p r é s e n te r o n t p our les a u t r e s g r a n d e u r s que n o u s c o n sid é re ro n s p a r la su ite.
33. — Le d o m a in e de ch a c u n e d es o p é ra tio n s su r les e n tie rs e s t c o n stitu é p a r l’o p é ra tio n m a té rie lle q u ’elle re p ré se n te .
On n o te ra que les o p é ra tio n s s u r les e n tie rs que n o u s a v o n s définies ne r e p r é s e n te n t p a s to u te s les o p é ra tio n s que l ’on p e u t f a ir e s u r des en sem bles. L a d is tin c tio n fa ite a u § 19 e n tre a d d itio n e t ré u n io n de d e u x e n sem b le s d ’o b je ts, illu s tre c e tte re m a rq u e .
II. - Fractions
A ) D E F IN IT IO N .
O P E R A T IO N S S U R L E S F R A C T IO N S D éfinition.
34. — C e rta in s o b je ts o n t la p ro p rié té que le u rs m o rc e a u x so n t u tilis a b le s d a n s les m ê m e s c o n d itio n s que l ’o b je t e n tie r. A in si u n lin g o t p e u t ê tr e divisé en u n c e r ta in n o m b re de lin g o ts p lu s p e t its e t c h a c u n d ’eu x p e u t ê tr e u tilisé ( à la co n fe c tio n de p iè ces de m o n n a ie s, p a r e x em p le) co m m e p o u v a it l’ê tr e le lin g o t p r im itif. I l n e v ie n d r a it à l’idée de p e rs o n n e d ’o p é re r de m ê m e s u r u n ch ev a l : le p a r t a g e a n t en d eu x on n ’o b tie n t p a s d eu x c h ev au x p lu s p e tits .
L es fr a c tio n s o n t été im a g in é e s p o u r se r v ir de m e su re to u te s les fo is q u ’on e s t co n d u it à p a r t a g e r p h y s iq u e m e n t u n o b je t qui in te r v e n a it p rim itiv e m e n t c om m e u n ité d a n s u n d éc o m p te e t d o n t les p a r tie s so n t u tilis a b le s d a n s les m ê m e s c o n d itio n s que l’o b je t e n tie r.
O n d é fin it com m e s u it u n e f r a c tio n ;
O n f r a g m e n t e c et o b je t A e n gr p a r tie s ég ale s (ceci su pp o se la f r a g m e n t a ti o n possible, possible a u ss i la d éfin itio n de l’é g a lité d es p a r tie s ) e t l’on p re n d p de ces p a r t ie s (ceci su p p ose que l’o h sa ch e d éfinir l’a d d itio n des p a rtie s ).
L a p o rtio n a de l ’o b je t a in s i o b te n u e e s t appelée
P
les « p q -ièm es de A ». L e sym bole — e st ap p elé u n e
Q
fraction.
Com m e a u § 26, on d it que a e s t le p ro d u it de l’u n ité A p a r la m e su re — e t l ’o n é c rit : a = — A
<7 9
U n e f r a c ti o n e s t le co m p te re n d u de l’o p é ra tio n q u i p e rm e t de re tro u v e r a à p a r t i r de A. A cau se
de c e tte p ro p rié té , elle p e u t ê t r e p rise p o u r m e su re de a q u a n d A e s t p r is com m e u n ité , a u m ê m e ti t r e que le n o m b re e n tie r e s t la m e s u re d ’u n ensem ble q u a n d u n é lé m e n t e s t p r is p o u r u n ité . P o u r c e tte ra is o n , u n e f r a c ti o n e s t con sid érée com m e u n n o m b re, d ’u n e espèce nouvelle.
O p é ra tio n s s u r les fra c tio n s.
E g a lité . 35. — D e la d éfinitio n d es fra c tio n s, on d é d u it s im p le m e n t :
m p v m q Q
a in s i que la ré d u c tio n d ’u n e f r a c ti o n à s a p lu s sim ple ex p ressio n , p u is la c o n d itio n n é c e ss a ire e t su ffisan te p o u r que d eu x f r a c tio n s , -r e t ^ , so ie n t égales,
D b
sa v o ir : ab' = ba'.
Il e s t im p o r t a n t de n o te r q u ’il ex iste u n e infin ité de f r a c ti o n s é g a les à u n e f r a c ti o n donnée. L e p ro d u it d ’u n e g r a n d e u r do nnée p a r n ’im p o rte laquelle de ces fr a c tio n s e s t le m êm e, ce q u i ju stifie q u e l’on co n sid ère ces f r a c tio n s com m e ég ales. O n d o it donc d is tin g u e r la v a le u r d ’u n e f r a c ti o n e t s a fo rm e ; to u te s les fr a c tio n s é g a le s e n tre elles o n t la m ê m e v a le u r, p a r d éfin itio n ; elles o n t des fo rm e s diffé r e n te s si elles n e so n t p a s c o n stitu é e s p a r les m ê m e s n o m b res.
N o u s re n c o n tre ro n s f r é q u e m m e n t p a r la su ite des en se m b les de n o m b re s d iffé re n ts e t c o m b in és p a r d es o p é ra tio n s d iffére n tes, m a is d é te r m in a n t u n m ê m e n o m b re ; n o u s v e rro n s que la re c h e rc h e de fo rm e s d iffé re n te s p o u r u n m ê m e n o m b re , c ’e st-à - d ire p o u r la m e su re d ’u ne m ê m e g r a n d e u r , e s t l’u n d es o b je ts les p lu s im p o r ta n ts des m a th é m a tiq u e s .
A d d itio n . M u ltip lic a tio n . 36. — L a d éfin itio n d ’u n e fr a c tio n com m e m e su re d ’u n e n sem b le d ’u n i té s de la fo rm e — A m o n tre que l’a d d itio n de d eu x
<7
f r a c tio n s n ’a de se n s que si ces fr a c tio n s o n t le m ê m e d é n o m in a te u r. D e là, la rè g le usu elle d ’a d d i tio n des fra c tio n s.
37. — D e m ê m e, la d éfin itio n d u | 34 e t les o p é ra tio n s s u r les e n tie rs c o n d u ise n t à a p p e le r la fr a c tio n — : p ro d u it de la fr a c tio n
i-
p a r l’e n tie r9 <7
P P
p , e t la f r a c tio n ^p ro d u it de la f r a c ti o n — p a r la I
f r a c tio n — . D e là, la rè g le de m u ltip lic a tio n des
<7
f r a c tio n s .
C o m p a ra iso n . 38. — L a c o m p a ra is o n d es e n tie rs e t la d éfin itio n d es fr a c tio n s p e r m e tt e n t de c o m p a r e r d e u x fr a c tio n s de m ê m e d é n o m in a te u r. T e n a n t c o m p te de la d éfin itio n de l’a d d itio n , on p e u t d ire : u n e f r a c tio n f e s t p lu s g ra n d e q u ’u n e fr a c tio n
b b*
lo rs q u ’elle e s t la so m m e de c e tte d e rn iè re e t d ’u n e a u t r e fr a c tio n .
d
S o u s tra c tio n . D ivision. 39. — L a s o u s tra c tio n e t la d ivision d es fr a c tio n s so n t définies com m e opé r a t io n s in v e rse s de l’a d d itio n e t de la m u ltip li catio n .
L a s o u s tra c tio n s ’effectu e s u iv a n t la rè g le usuelle. C om m e p o u r les e n tie rs ,
i ’ n ’a de se n s que si : - > — .
b h'
40. — L a d iv isio n de - p a r — e s t p ossib le quelles
b b*
que so ie n t le s f r a c tio n s ? e t ° . N o u s n e re p r e n d ro n s p a s la d é m o n stra tio n , m a is il y a lieu d ’in s iste r s u r c e tte p ro p r ié té d o n t l ’in t é r ê t r e s s o r t des p a r a g r a p h e s su iv a n ts.
E n tie rs , c a s p a r tic u lie r s d es fra c tio n s.
41. —* On c o n s ta te que le n o m b re e n tie r p e t la
P
f r a c ti o n _ m e s u re n t la m ê m e g r a n d e u r à p a r t i r de la m ê m e u n ité . On e s t d on c c o n d u it à co n sid é re r ces
P
d e u x n o m b res com m e é g a u x , e t à p o ser : p = A in si, l’en sem b le des f r a c ti o n s c o n tie n t l’e n sem ble des n o m b re s e n tie rs , p u isq u e ceux-ci so n t id e n tiq u e s à d es f r a c ti o n s de d é n o m in a te u r 1. C ette id e n tific a tio n p e rm e t de d o n n e r u ne d éfinitio n du q u o tie n t de l’e n tie r a p a r l’e n tie r b (so u s la co n d i tio n :b - j - o), q u a n d ce q u o tie n t n ’e s t p a s u n n o m b re e n tie r. O n d o it p o ser, d a n s ce cas, a : b = ° ; e n effet ; a b a ab b X — = — X — = - - - = a b 1 b b B i N O M B R E S R A T IO N N E L S N o m b re s ra tio n n e ls.
42. — L ’en se m b le des e n tie rs e t des f r a c tio n s c o n stitu e l’en sem b le des n o m b re s ra tio n n e ls. R e m a r q u o ns que les q u a tre o p é ra tio n s fo n d a m e n ta le s effec tu é es, q u a n d cela e s t possible, s u r des n o m b re s ra tio n n e ls, d o n n e n t to u jo u rs p o u r r é s u lt a t u n n o m b re rattionnel.
R ôle o rd in a l des n o m b re s ra tio n n e ls.
43. — L a n o tio n de f r a c tio n e t les o p é ra tio n s que n o us v e n on s de d éfin ir re p o s e n t s u r le rôle c a rd in a l de ces n om bres.
D u p o in t de v ue o rd in a l, la rè g le de c o m p a ra is o n des fr a c tio n s p e rm e t d ’o rd o n n e r u n e nsem b le fini de fr a c tio n s .
M ais il e s t po ssib le d ’in te r c a le r u n e in fin ité de fr a c tio n s o rd o n n é e s e n tre d e u x fr a c tio n s données, a u ss i v o isin e s so ient-elles. E n effet, a p rè s av o ir in te rc a lé u n c e r ta in n o m b re de fra c tio n s , o n p e u t en in te r c a le r u n e de plus, p a r ex em p le la dem i- som m e de d eu x de ces fr a c tio n s co n sécutiv es. L a fig u re s u iv a n te sc h é m a tis e c e tte c o n s tru c tio n :
donnée intercalée intercalées donnée
î i ^
<7i <7-2 9.1
Pii-1 Pn û <7n-l qn b’
= 2 ('" + - )
2 \ q , q /L ’e n se m b le des n o m b re s ra tio n n e ls , lo rsq u ’on en o rd o n n e les é lé m e n ts p a r v a le u rs c ro issa n te s, a p p a r a î t donc com m e p ro fo n d é m e n t d iffé re n t de l’e n sem b le c o n stitu é p a r la su ite d es e n tiers.
44. — N o u s a llo n s d o n n er u n exem ple p lu s c o n c re t d ’e n se m b le s d ’o b je ts en c o rre sp o n d a n c e b iu n iv o q u e av ec l ’e n sem b le o rd o n n é des n o m b re s ra tio n n e ls.
L a g é o m é trie défin it u n s e g m e n t de d ro ite, la so m m e de s e g m e n ts é g a u x et, p a r su ite, le p ro d u it d ’u n s e g m e n t p a r u n n o m b re e n tie r.
Si l’on p o rte s u r u n e d em i-d ro ite o x, à p a r t i r du p o in t o, des s e g m e n ts u, 2u, 3m, m u ltip le s d ’u n m êm e se g m e n t u, p r is p o u r u n ité :
o Aj A j A^ X
les e x tr é m ité s de ces s e g m e n ts so n t d es p o in ts A,, A.j, A.,, en c o rre sp o n d a n c e b iu n iv o q u e avec la su ite d es e n tie rs . O n app elle le p o in t A n qui co rresp o n d a u n o m b re n le p o in t r e p r é s e n ta t if d e n, e t le n o m b re n, l ’ab sc isse du p o in t A n .
L o rs q u ’u n se g m e n t de d ro ite e s t le p ro d u it d ’un s e g m e n t u n ité p a r u n n o m b re m , o n p e u t le d iv iser en s e g m e n ts é g a u x en n o m b re m . On n e p e u t p a s d é m o n tre r que, in v e rse m e n t, on p u isse d iv ise r u n s e g m e n t de d ro ite en m se g m e n ts é g a u x , quel que so it TO. L ’e x p érien c e a c o n d u it a u p o s tu la t s u iv a n t : P o s t u la t d ’A rc h im è d e : Q uel q u e so it l’e n tie r m , on p e u t d iv ise r u n s e g m e n t de d ro ite d on n é en m s e g m e n ts é g a u x .
G râ c e à ce p o stu la t, oti p e u t c o n str;iire un
seg-P P
m e n t I- u quel que s o it - , e t p a r su ite a ttr i b u e r u n
<7 <7
p o in t r e p r é s e n ta t if à to u t n o m b re ra tio n n e l, s u r la d e m i-d ro ite ox. L ’ensem b le de ces p o in ts e s t un ensem ble d ’o b je ts o rd o n n és, qui e st en c o rre sp o n d a n ce b iunivoque a vec l’ensem ble des n o m b re s r a tio nn els.
E n tr e d eu x p o in ts r e p r é s e n ta t if s de n o m b re s ra tio n n e ls, a u ss i v o isin s so ien t-ils, il y a u n e infinité d ’a u t r e s p o in ts r e p r é s e n ta t if s de n o m b res r a t i o n nels. O n d it q ue l’en sem ble d es p o in ts r e p r é s e n ta t if s de n o m b re s ra tio n n e ls e s t d ense e n to u t p oin t. P a r e x ten sio n , on d it a u ss i q ue l’en se m b le d es n o m b re s ra tio n n e ls e s t d ense en to u t point.
D o m ain e des n o m b re s ra tio n n els.
45. — Le d o m a in e de la n o tio n de fr a c tio n co m p re n d d ’a b o rd les o b je ts d o n t les m o rc e a u x a p p a r tie n n e n t à la m ê m e c a té g o rie q u e ces o b je ts eux- m êm es, du p o in t de vue de le u r em ploi p ra tiq u e . Ce d o m a in e c o rre sp o n d a u rô le c a rd in a l des fr a c tio n s e t des n o m b re s ra tio n n e ls.
R a p p e lo n s les c o n d itio n s que d o iv e n t re m p lir ces o b je ts :
1" L ’o b je t u n ité p e u t ê tr e coupé en m o rc e a u x de m ê m e espèce que l ’u n ité ;
2" L 'é g a lité des m o rc e a u x p e u t ê tr e définie ; 3" U n e som m e de m o rc e a u x e s t de m ê m e espèce que l’unité.
C ette d e rn iè re co n d itio n p rê te à q u e lq u es r e m a rq u e s. D a n s l’ex em ple du n “ 34, les m o rc e a u x de lin g o t so n t des lin g ots, quelle que so it leu r fo rm e ; m êm e, les 3/4 d ’u n lin g o t p a r e xem p le p e u v e n t ê t r e , fo rm é s de p lu s ie u rs m o rc e a u x du lin g o t considéré. Il n ’en s e r a it p lu s de m ê m e d ’u n e v itre r e c t a n g u la ire : on p e u t la d iv iser en 4 v itre s r e c ta n g u la ire s , m a is tr o is de ces v itre s n e c o n s titu e n t p a s u n e v itre . C ’e s t s e u le m e n t p a r l’in te rm é d ia ire de la n o tio n d ’a ir e de la v itre que l ’on p e u t d éfin ir m a té rie lle m e n t e t c o n s tru ire u n e v itre que l’o n co n sid ère com m e les 3/4 de la v itre donnée. N o us re tro u v o n s ici un c a s a n a lo g u e à celui d u § 25 ; l’o p é ra tio n m a th é m a tiq u e ne s ’ap p liq u e à u n c a s c o n c re t que
par l’interm édiaire de conventions. D a n s l’exem ple
in diq u é, ces co n v en tio n s fo n t m ê m e in te rv e n ir une notio n accessoire, la n o tio n d ’aire.
L a p re m iè re des c o n d itio n s p ré c é d e n te s p e u t a u ssi n ’ê t r e p a s ré a lisa b le . N o us a v o n s vu que, d a n s le c a s sim p le d ’un se g m e n t de dro ite, c e tte p o ssib ilité f a i t l’o b je t d ’un p o stu la t.
N o us re tie n d r o n s de ces r e m a r q u e s . que, m êm e p o u r l’em ploi p r a tiq u e de la n o tio n de fra c tio n , des p ré c a u tio n s p e u v e n t ê tr e n é c e s s a ire s e t q u ’il s e r a it im p ru d e n t de se fier à l’h a b itu d e .
46. — Le d o m a in e des n o m b re s ra tio n n e ls co m p re n d en co re les e n sem b les d ’o b je ts d o n t les élé m e n ts d e m a n d e n t à ê tr e o rd o n n é s selon la p ro g re s s io n de v a le u r de ces n o m b res. N o u s p ré c ise ro n s d a n s le c h a p itre s u iv a n t la s t r u c t u r e d es en sem b les qui r e n t r e n t d a n s c e tte c a té g o rie e t qui se p r é s e n te n t e ffe c tiv e m e n t d a n s les ap p lic a tio n s.
N om bres zéro e t infini.
47. — L a d éfin itio n du n o m b re zéro p e u t ê tr e conservée. S es p ro p r ié té s r e s te n t les m êm es.
O n n o te r a p a r t ic u liè r e m e n t que zé ro e s t in f é r ie u r à to u s les n o m b re s ra tio n n e ls, m a is que, e n tre z é ro e t u n e fra c tio n , a u ss i p e tite soit-elle, o n p e u t in te r c a l e r un e in fin ité de n o m b re s ra tio n n e ls : l’e n sem b le (les n o m b re s ra tio n n e ls e s t d e n se a u vo isi n a g e de zéro.
48. — L a d éfinitio n du n o m b re infini p e u t é g a le m e n t ê tr e co n serv ée (1 ). T o u tefois, la p ro p r ié té p a r laq u elle il in te rv ie n t c o u ra m m e n t e s t que l’infini
e st supérieur à tous les nombres rationnels. T enant
co m pte que la d ivision de d e u x n o m b re s ra tio n n e ls e s t to u jo u rs possible, les p ro p r ié té s de l’infini d a n s le d o m a in e des n o m b re s ra tio n n e ls so n t les s u i v a n te s ;
co > a quel que soit a cx) a “ îû XI X a — 00 oo •. a ~ ^ a — oo est absurde 00 — oo est absurde 0 X 00 est absurde
( I ) E n eüet, rangeons comme suit les nombres rationnels, dans un tableau de lignes et de colonnes : sur la première ligne, les fractions irréduc tibles de dénominateur 1 dans l'ordre des numérateurs croissants ; sur la deuxième ligne, les fractions irréductibles de dénominateur 2 dans l’ordre des numérateurs croissants, et ainsi de suite :
Traçons comme l’indique la figure des carrés renfermant 1-4-9-16 fractions. Enfin numérotons les fractions comme suit : d ’abord celle du premier carré ; puis, celle» de la bordure de ce carré, en la parcourant du point le plus bas à gauche au point le plus haut à droite ; puis, celles de la bordure suivante, en procédant de même, et ainsi de suite. Nous faisons ainsi correspondre biunivoquement chaque nombre rationnel à un entier de la suite naturelle :
1 1/2 3 '2 2 1/3 2/3 4/3 5 2 3 1/4 3/4 5 /4 7 / 4 . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 . . . Puisque l’ensemble des nombres rationnels peut être mis en cor respondance biunivoque avec l'ensemble des entiers, sa grandeur est l'infini dénombrable, La définition de l ’infini déjà donnée est donc applicable à l'ensemble des nombres rationnels.
Nous ne dissimulerons pas le caractère paradoxal du résultat précédent. 11 tient à ce que l'infim est un nombre exceptionnel, appelé nombre par extension de sens. 11 n'est pas surprenant qu'il jouisse de propriétés exceptionnelles.
Ces propriétés sont plus particulièrement étudiées dans la brancha des mathématiques qui porte le nom de thiorte des ensembles.
1 2 3 4 5 6 7
1/2 3 2 5/2 7/2 9/2 11/2 13/2
1/3 2/3 4/3 5/3 7/3 8/3 10/3 1/4 3/4 5/4 7/4 9/4 1.1 4 13,4
