ARTheque - STEF - ENS Cachan | Les méthodes modernes de calcul dans l’enseignement.

Les méïhodes modernes de calcul

DANS L'ENSEIGNEMENT

I. — L E U R D E V E L O P P E M E N T

L a r e c h e r c h e e x p é r i m e n t a l e des lois naturelles, l'utilisation des f o r m u l e s qui en sont l'expression m a t h é m a t i q u e , la nécessité de contrôler ou de pré-voir s a n s cesse n u m é r i q u e m e n t les r é s u l t a t s acquis ou f u t u r s , celle aussi d ' é p a r g n e r un t e m p s et une a c t i v i t é t o u j o u r s précieux, ont conduit à l'élabora-tion de m é t h o d e s de calcul n u m é r i q u e s , g r a p h i q u e s , m é c a n i q u e s de plus en plus efficientes.

D e p u i s un demisiècle, l'utilisation de ces m é -thodes est devenue b a n a l e , et la dernière g u e r r e en a p o r t é l'emploi à u n e sorte de p a r o x y s m e , l'au-t o m a l'au-t i s m e m a l'au-t h é m a l'au-t i q u e el'au-t physiqu e s ' é p a u l a n l'au-t l'un l ' a u t r e o n t p r o d u i t des r o b o t s e x t r a o r d i n a i r e s d'une intelligence r e d o u t a b l e.

II. — D A N S L ' E N S E I G N E M E N T P e n d a n t le second cycle, les élèves n ' o n t ni les connaissances, ni la m a t u r i t é d'esprit, ni le t e m p s n é c e s s a i r e s pour profiter de l'étude des m o y e n s m o d e r n e s que la science et l'industri e o n t m i s à la disposition des c a l c u l a t e u r s .

Il f a u t dire a u s s i qu'ils n y sont p a s t o u j o u r s e n c o u r a g é s ; l ' A d m i n i s t r a t i o n a u t o r i s e l'utilisation des t a b l e s de l o g a r i t h m e s a u x e x a m e n s . Mais, il y a deux ans, l'emploi de la r è g l e à calcul — ces l o g a r i t h m e s en b â t o n — f u t i n t e r d i t à des c a n d i d a t s à la p r e m i è r e p a r t i e du b a c c a l a u r é a t qui a v a i e n t f a i t l ' a p p r e n t i s s a g e n é c e s s a i r e d u r a n t leurs cours et m a n i p u l a t i o n s de p h y s i q u e et chimie.

E t p o u r t a n t , les m é t h o d e s m o d e r n e s de calcul, si variées, si ingénieuses, si élégantes , ne p e u v e n t -elles p a r e r la culture g é n é r a l e de n o s j e u n e s g e n s ? L'es F r a n ç a i s qui s'y sont a t t a c h é s , P a s c a l , d'Ocagne, n e m é r i t e n t - i l s p a s d'êtr e connus d'eu x pour la finesse de ce qu'ils ont réalisé c o m m e pour la h a r d i e s s e des p e r s p e c t i v e s qu'ils ont indiquées ? Pourquoi, aussi, prive r nos élèves de m o y e ns de contrôle s é d u i s a n t s et les e n c h a î n e r à la table de P y t h a g o r e ? P o u r q u o i les placer, dès a u j o u r d ' h u i , en r e t a r d sur leur époque, les obliger à p a r t i r de

zéro q u a n d ils s e r o n t des h o m m e s voulant a c q u é r i r u n e c o n n a i s s a n c e qui ne p e u t m a n q u e r de s'avérer de plus en plus indispensabl e ?

Ne v a u d r a i t - i l p a s m i e u x cherche r à éveiller chez c e r t a i n s des vocations qui p o u r r o n t aider la F r a n c e à conserver sa place d a n s des r e c h e r c h es où elle a p p o r t e d é j à l'esprit de c l a r t é et de sim-plicité qui c a r a c t é r i s e le g é n i e de ses s a v a n t s ?

Enfin, et surtout , nous ne s o m m e s p a s dans la vie, nous n ' a v o n s p a s en g é n é r a l le g o û t de la t e c h n i q u e qui nous a m è n e r a i t à considérer les sciences sous un a n g l e plus actuel et moin s théo-rique. L ' E n s e i g n e m e n t a r a i s o n d'êtr e p r u d e n t et de ne p a s v u l g a r i s e r i m m é d i a t e m e n t des théories qui deviendron t plus compréhensibles lorsqu'elles a u r o n t été dépouillées de leurs o b s c u r i t é s p r é s e n t e s, éclairées p a r un s y m b o l i s m e a d é q u a t , appliquée s au m o y e n d'un a p p a r e i l l a g e bien a u point. M a i s le p r e s t i g e de ce m ê m e e n s e i g n e m e n t g a g n e à ce qu'il n e semble p a s le d a g u e r r é o t y p e à demi effacé d'une époque révolue. Ce n ' e s t p a s le pistolet de « Volta » qui intéresse l'adolescent, c'est la bombe a t o m i q u e . Ce n'est p a s l ' e x t r a c t i o n classique de la r a c i n e c a r r é e qui p e u t l ' e n t h o u s i a s m e r , c'est c o m p r e n d r e c o m m e n t , avec un m o r c e a u de papier m i l l i m é t r é et u n brin de fil on peut r é s o u d r e à quelques centi-m è t r e s près, en une centi-minute, l'équation :

1 1 1

R R ' R "

Or, précisément, l ' e n s e i g n e m e n t e x p é r i m e n t a l des s c i e n c e s physiques, p a r ce qu'il a de vivant, de s p o n t a n é , d ' a p p a r e m m e n t i m p r é v u — q u a n d c'est la volonté du p r o f e s s e u r qu'il en soit ainsi — p e r m e t de donner a u x élèves des notions élémentaires, m a i s précises et i m m é d i a t e m e n t utilisables, de t r è s n o m -b r e u s e s m é t h o d e s de calcul.

C'est qu'en effet, pour n o u s tout a u moins, cet e n s e i g n e m e n t doit ê t r e fondé sur l'étude quanti-tative expérimentale des questions du p r o g r a m m e . L e cours doit ê t r e le développemen t de plus en plus fouillé d'une expérience conduite p a r le p r o f e s s e u r 53

et s a n s cesse contrôlée, c o m m e n t é e , discutée p a r les élèves. Les d é v e l o p p e m e n t s t h é o r i q u e s ou m a -t h é m a -t i q u e s doiven-t ê -t r e a m e n é s p a r la nécessi-t é de p o u r s u i v r e l ' œ u v r e e n t r e p r i s e : ainsi les élèvea, à la f o i s a u d i t e u r s et a c t e u r s , s p e c t a t e u r s et cher-cheurs, s ' i n t é r e s s e r o n t - i ls plus v i v e m e n t à la logique qui lie les f a i t s étudiés. Alors q u ' a y a n t plus de m é m o i r e que de j u g e m e n t — f a v e u r et f a i b l e s s e de leur â g e — ils c h e r c h e n t plus volontiers à accu-m u l e r q u ' à c o accu-m p r e n d r e ; et que les sciences r i s q u e n t plus d ' ê t r e pour e u x une collection de r e c e t t e s dis-p a r a t e s et no n un e n s e m b le f o r t e m e n t coordonné.

M a i s cette conception du cours oblige à c o m p t e r b e a u c o u p et à c o m p t e r vite. Seules des m é t h o d e s nouvelles p e r m e t t r o n t de r é s o u d r e sur place, en u n t e m p s t r è s court, des p r o b l è m e s d o n t la l o n g u e u r des calculs a u r a i t f a i t a b a n d o n n e r l'étude.

Au m o y e n de quelques e x e m p l e s vécus, n o u s allons essaye r de m o n t r e r que des méthodes, en g é n é r a l délaissées ou inédites, sont f a c i l e m e n t utili-sables pour réaliser le p r o g r a m m e d ' i n i t i a t i o n et de m o d e r n i s a t i o n que n o u s v e n o n s de définir. Il est d'ailleurs p r o b a b l e que, ici ou là, hier ou a u j o u r -d'hui, de tels e x e m p l e s a i e n t été donnés e t com-m e n t é s .

Mais, chacun', lâché d a n s la f o r ê t v i e r g e p é d a -gogique, y taille son sentie r a v ec plus ou m o i n s de b o n h e u r, seul, s a n s aide et s a n s guide. E t la f o r ê t se r e f e r m e d e r r i è r e lui, o p a q u e et hostile à

n o u v e au pour le j e u n e m a î t r e f r a i s diplômé. Voyez a u c o n t r a i r e l'article de M. Léon Brillouin, p a r u d a n s le n u m é r o 11 des « A n n a l e s des Télé-c o m m u n i Télé-c a t i o n s » ; lisez les n o m b r e u x a r t i Télé-c l e s p a r u s sur la c h i r u r g i e a m é r i c a i n e ; vous y v e r r e z com-m e n t les A com-m é r i c a i n s , g r â c e à leur esprit d'équipe, leur sens social de l'effort, ont r é u s s i à g r o u p e r , à coordonner des r é s u l t a t s , des énergies, n o n seu-l e m e n t chez eux, m a i s encore à seu-l ' é t r a n g e r . C'est qu'ils s a v e n t, eux, que l'union seule f a i t la force, qu'il ne f a u t r i e n laisser p e r d r e de ce qui p e u t ê t r e utilisable, qu'il f a u t t o u t réunir, t o u t essayer, afin d'élaborer plus vite et à m o i n s de f r a i s l ' œ u v r e i n t é g r a l e de tous les e f f o r t s personnels, s o u v e n t décevants, pénibles et peu efficaces lorsqu'ils sont isolés.

N o u s v o u d r i o n s que ce p e t i t t r a v a i l s u s c i t â t des r e m a r q u e s , des réserves, des critiques, et aussi des essais p e r m e t t a n t de réaliser en équipe u n e mise a u point qui s e r a i t d i f f u s é e p a r les j o u r n a u x p é d a g o g i q u e s pour ê t r e p o r t ée à la c o n n a i s s a n c e des f u t u r s p r o f e s s e u r s . C'est à eux de t r a n s f o r m e r en u n flambeau b r i l l a n t la flamme p e r s é v é r a n t e , m a i s incertaine , que nous leur t r a n s m e t t o n s .

III. — Q U E L Q U E S E X E M P L E S R E L A T I F S A U X C A L C U L S N U M E R I Q U E S 1" La multiplication.

L e s m e s u r e s e x é c u t é e s p e n d a n t les cours et m a n i p u l a t i o n s sont t o u j o u r s e n t a c h é e s d ' e r r e u r s r e l a -tives si f o r t e s que les r é s u l t a t s définitifs n e sont s o u v e n t c o n n u s q u ' à 0,5 ou m ê m e 5 % près. Mais, n é a n m o i n s , pour obtenir ces trois ou q u a t r e c h i f f r e s

significatifs, dont le d e r n i e r m ê m e est i n c e r t a i n , il f a u t c e p e n d a n t , t r è s souvent, f a i r e des multipli-c a t i o n s de n o m b r e s de 4 à 5 multipli-chiffres. L a théorie des e r r e u r s p e r m e t de limiter le n o m b r e de c h i f f r e s significatifs , m a i s ne donne p a s le m o y e n de les o b t e n i r seuls en c o m m e n ç a n t les m u l t i p l i c a t i o n s p a r la g a u c h e . C'est p o u r t a n t facil e : il n o u s a suffi pour cela de conserver le p r i n c i p e de la m é -thode I n a u d i , en i n v e r s a n t la m a r c h e des calculs. N o u s r a p p e l o n s que le p r i n c i p e de cette méthode , dont I n a u d i r a p p o r t e la p a t e r n i t é à Léopold R i c h a r d , consiste à c h e r c h e r s é p a r é m e n t les n o m b r e s d'uni-tés, dizaines, c e n t a i n e s, en u t i l i s a n t le s c h é m a ci-dessous, c o r r e s p o n d a n t a u p r o d u i t de 175 p a r 317 : 1 7 5 175 X 3 1 7 X 317 3 X 1 1 X 1 3 X 7 7 X 1 1 X 7 3 X 5 7 X 7 1 X 5 7 X 5 1225 175 525 55475 Ou : dizaines de mille 1 . . X 3 . . mille 1 7 . 3Xl .

centaines dizaines unités 1 - X . 5 3 ^ 7

::?

7 X 1 + 1 X 7 + 3 X 5 7 X 7 + 1 X 5 + 3 m m 7 X 5 7 X 1 + 1 X 7 + 3 X 5 7 X 7 + 1 X 5 + 3 m m - 3

m

5 Cette m é t h o d e , brillante, p e r m e t d'écrir e le r é s u l t a t s a n s les p r o d u i t s p a r t i e l s . D e m ê m e le pro-duit 175,43 X 31,72 se p r é s e n t e r a ainsi : 1 7 5 , 4 3 1 , 7 2 0 3 2 2 2 9 C 8 1 7 5 3 1 1 3 7 2 au lieu de 5 5 6 ;3. 5 0 &;6 :. 1 2 2 '8 • 0. i';.';:: 1 7 5 4 3 5 2 6 :2 9 5 5 6 4' G 3. 9 G. M a i s si l'on ne doit conserver que t r o i s c h i f f r e s du p r o d u i t , la p a r t i e e n c a d r é e de l ' o p é r a t i on clas-sique est calculée i n u t i l e m e n t : u n t i e r s du t r a v a i l seul est utile. L ' o p é r a t i o n de g a u c h e ne c o m p o r t e p a s d ' e f f o r t i n f r u c t u e u x . Son p r i n c i pe est simple, accessible, curieux, et il oblige à u n calcul m e n t a l susceptible de développer l ' a t t e n t i o n et la m é m o i r e de nos élèves. C'est pourquo i il n o u s p a r a î t inté-r e s s a n t .

2" L'extraction des racines carrées.

Elle n o u s p e r m e t de f a i r e p r e n d r e c o n t a c t à nos élèves de seconde, de m a n i è r e c o m p r é h e n s i b l e pour eux, a v e c les m é t h o d e s i t é r a t i v e s .

Soit à c h e r c h e r la r a c i n e c a r r é e (a + e) d ' u n n o m b r e A > a-A — a2 e = 2 a + e E x e m p l e : C a l c u l o n s la r a c i n e c a r r é e de 452 > 202 452 — 400 52 40 + e 40 + e U n e p r e m i è r e v a l e u r de e est o b t e n u e de t ê t e : 52 e — — = 1,3 40 P u i s u n e s e c o n d e a u m o y e n de la r è g l e à calcul : 52 e ir; = 1,259 41,3 E t si l'on c h e r c h e à définir la 3° d é c i m a l e : 52 e = 1,260 41,26 A i n s i •>v/452 = 21,260 à m o i n s de 0,005 % p r è s . C o m p a r o n s a v e c : 452 052 1100 25600 012400 21,260 4 4 1 X 1 422 X 2 4246 X 6 ou a v e c ( t a b l e de l o g a r i t h m e s à 5 d é c i m a l e s ) : L o g 452 = 2,65514 L o g 452 = 1,32757 p o u r 1,32756 21,26 p o u r 1 1/20 0 p o u r 1,32757 21,260 L a r è g l e à calcul est i n d i s p e n s a b l e p o u r t i r e r t o u t le p r o f i t de la m é t h o d e ; m a i s n ' a p p r e n d - o n p a s à f a i r e des d i v i s i o n s et des m u l t i p l i c a t i o n s a v a n t dé c o n n a î t r e la t h é o r i e de ces o p é r a t i o n s ? C e t t e u t i l i s a t i o n de la r è g l e à calcul d o n n e d ' a i l l e u r s lieu à u n e r e m a r q u e i n t é r e s s a n t e : le divi-d e n divi-d e ( 5 2 ) r e s t e le m ê m e , le divi-d i v i s e u r se p r é c i s e p r o g r e s s i v e m e n t (1,3 p u i s 1,253) ; la r é g l e t t e e x é c u t e de c h a q u e c ô t é de la p o s i t i o n l i m i t e c h e r -chée d e s m o u v e m e n t s de p l u s en p l u s p e t i t s . Q u a n d ils s o n t i n s e n s i b l e s , il d e v i e n t i m p o s s i b l e d ' o b t e n i r p l u s de p r é c i s i o n . L e d e r n i e r m o u v e m e n t i n d i q u e le s e n s de l ' e r r e u r c o m m i s e et la d i f f é r e n c e e n t r e les d e u x d e r n i e r s q u o t i e n t s (1,260 — 1,259 = 0,001) u n e l i m i t e s u p é r i e u r e de l ' e r r e u r a b s o l u e c o m m i s e . N o u s n ' a v o n s p a s c h e r c h é à m o n t r e r t o u t e l'effi-c a l'effi-c i t é de la m é t h o d e , m a i s p l u t ô t s a r a p i d i t é . On o b t i e n d r a i t u n r é s u l t a t p l u s p r é c i s en u t i l i s a n t p o u r a u n n o m b r e m o i n s g r o s s i è r e m e n t é l o i g n é de y J A , p a r e x e m p l e 21, soit a2 _{= 441.} 452 — 4 4 1 11 D o n c e = = — E n s u i t e , s u c c e s s i v e m e n t : 11 e ^ffz — = 0 , 2 ( m e n t a l e m e n t ) 42 11 42,2 11 0,261 ( à la r è g l e ) e -fe. = 0,2604 ( d ' u n e l e c t u r e t r è s f a c i l e s u r 42,26 u n e hélice à calcul de m o d è l e 2,5 m ) • ^ 4 4 2 # 21,2604 L a m ê m e m é t h o d e , utilisée a v e c les l o g a r i t h m e s , p e r m e t t r a i t , a v e c la s i m p l e t a b l e à 5 d é c i m a l e s , de p r é c i s e r - \ / 4 4 1 à ± 0,000.001 p r è s en p a r t a n t de a = 21,2 f o u r n i p a r la t a b l e d e s c a r r é s des 1.000 p r e m i e r s n o m b r e s . a^/450 ^ 21,260.373

M a i s il est bien r a r e q u ' u n e telle p r é c i s i o n soit j u s t i f i é e p h y s i q u e m e n t et la m é t h o d e , a p p l i q u é e en p r e n a n t p o u r a u n n o m b r e g r o s s i è r e m e n t a p p r o c h é , est g é n é r a l e m e n t p l u s que s u f f i s a n t e . C e t t e m é t h o d e d ' e x t r a c t i o n de la r a c i n e c a r r é e r e n t r e d ' a i l l e u r s d a n s la c a t é g o r i e d e s m é t h o d e s de c a l c u l p a r i t é r a t i o n . N o u s f a i s o n s p r e n d r e c o n t a c+ a v e c ces m é t h o d e s a u c o u r s d e s e x p é r i e n c e s s u r les d i l a t a t i o n s . Ainsi, n o t r e d e r n i è r e leçon n o u s a v a i t c o n d u i t s , p o u r le coefficient a ' du t é r é b e n t h è n e , à l ' é q u a t i o n : 2,25 a' — (1 + 14 a') 25,85 X 86 a' é t a n t p e t i t , u n e p r e m i è r e v a l e u r a p p r o c h é e est calculée à la r è g l e : 2,25 a ' — = 1,013 .10-» 25,85 X 86 L e t e r m e c o r r e c t i f est — 1 + 14 X 1,013. 10-' 1,014 (calcul m e n t a l ) , de s o r t e q u ' e n s e c o n d e a p p r o x i m a t i o n : a' — 1,013. 10-* X 1,014 a' — 1,014. 10-' Ce s o n t de t e l s c o n t a c t s , r a p i d e s et p l a i s a n t s , qui f a m i l i a r i s e n t les élèves a v e c des m é t h o d e s i n t é -r e s s a n t e s que les p -r o g -r a m m e s n e leu-r p e -r m e t t e n t p o i n t officiellement d ' é t u d i e r .

3° L e s échelles fonctionnelles.

L a r è g l e à calcul en est u n e u t i l i s a t i o n b a n a l e , g r â c e à laquelle les i n g é n i e u r s , c o n t r e m a î t r e s , r a d i o s , etc., p e u v e n t e x é c u t e r des m i l l i e r s de c a l c u ' s r a p i d e m e n t et s a n s f a t i g u e . P o u r les élèves qui n e c o n n a i s s e n t p a s e n c o r e les l o g a r i t h m e s , d ' a u t r e s r è g l e s , que l'on a i n t é r ê t à f a i r e m u r a l e s pour l ' u t i l i s a t i o n e n classe, d o n n e n t la solution i m m é -d i a t e -de c a l c u l s f a s t i -d i e u x .

A i n s i l'échelle des i n v e r s e s , qui p e r m e t de r é -1 1 1

s o u d r e l ' é q u a t i o n — = — + — 21 X 2 + e 42 + e

/or» Tpuear portée .

. /onqueur portee '/b

| /onqueur totale '/a + 1/b , Vx

cx=> /Yamhre /u X

ou encore l'échelle q u a d r a t i q u e , qui p e r m e t de ré-s o u d r e l ' é q u a t i o n y = \ /m 2 ₊ 712

Jonqueur portée rn2_.

^Jo n ^ u e ur^ ^ ort^ ^

^ongueur^totët/e^

_r

0 _{Abmire h, yÇ}

M a i s l ' u s a g e des échelles fonctionnelles est en-core plus f r u c t u e u x lors du dépouillement des expé-riences de cours a u m o y e n desquelles on v e u t f a i r e « redécouvrir » les lois des p h é n o m è n e s physiques . U n t a b l e a u de n o m b r e s est t o u j o u r s r é b a r b a t i f et inexpressif. U n g r a p h i q u e p a r l e d é j à b e a u c o u p mieux, p a r c e qu'il donne une vue s y n o p t i q u e des r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x . M a i s la courbe qu'il pré-s e n t e n ' e pré-s t p a pré-s pré-s o u v e nt f a c i l e à d é t e r m i n e r : lepré-s échelles fonctionnelles, p a r une a n a m o r p h o s e conve-n a b l e de cette courbe econve-n u conve-n e a u t r e plus simple, vont p e r m e t t r e de l'identifier et d'en calculer les p a r a m è t r e s .

E v i d e m m e n t , de t o u t e s les figures g é o m é t r i q u e s , le point est la p l u s s i m p l e ; t o u t le p a r t i qu'on p e u t tirer de cette r e m a r q u e s e r a exposé p l u s loin a u s u j e t de l'étude des m i r o i r s s p h é r i q u e s et des lentilles.

E n s u i t e , c'est la droite qui est la l i g n e la plus f a c i l e à r e c o n n a î t r e et à t r a c e r . L e cercle lui-m ê lui-m e , l ' e n f a n t s a g e de la f a lui-m i l l e des coniques, p r é s e n t e b e a u c o u p p l u s de difficultés à résoudre . Q u a n t à l'hyperbole, dont on n ' a s o u v e n t q u ' u n court f r a g m e n t d ' u n e seule b r a n c h e , elle n é c e s s i t e de la p a r t du m a î t r e u n e f f o r t d ' a p o s t o l a t et de l'élève u n a c t e de foi dont on p e u t se d e m a n d e r si l'un et l ' a u t r e s e r v e n t bien la cause de la p h y -sique e x p é r i m e n t a l e e t développent le sens c r i t i q u e du n é o p h y t e !

U est donc indiqué, si l'on ne p e u t a n a m o r p h o s e r une courbe en u n point, de l ' a n a m o r p h o s e r e n u n e droite. C'est s o u v e n t plus facile qu'on n e le pense. Ainsi l'hyperbole r e p r é s e n t a n t l ' é q u a t i o n :

1 1 1

V V î

ne figurerait p a s d a n s les livres d ' o p t i q u e géomé-t r i q u e si l'homme, a u lieu d ' ê géomé-t r e h a b i géomé-t u é à consi-dérer les distances , é t a i t f a m i l i a r i s é a v e c les «

pro-1

x i m i t é s », i n v er s es des d i s t a n c e s ( P = —). L a loi

P

des m i r o i r s concaves s ' é n o n c e r a i t : la somme des proximités de l'objet et de l'image au sommet est constante : P ' + P = C et la c o u r b e r e p r é s e n t a -tive s e r a i t celle-ci (fig. a) : a u lieu de (fig. b) :

F i g . a F i g .

+

+

+

+

Mais, n o u s dit-on, pour f a i r e ces a n a m o r p h o s e s , il f a u t d ' a b o r d c o n n a î t r e la loi et vous vouiez la f a i r e « r e d é c o u v r i r » a u x élèves. E h bien, f o u r n i s s e z à n ' i m p o r t e qui u n t a b l e a u des m e s u r e s correspon -d a n t a u p h é n o m è n e -d ' o p t i q u e ci--dessus, s a n s lui dire de quoi il s ' a g i t , s a n s b a p t i s e r s u r t o u t les v a r i a b l e s p et p', s a n s f a i r e d é p a s s e r 4 ou 5 f a u x longueurs, s a n s c o r r i g e r les e r r e u r s de m e s u r e s , s a n s donner les v a l e u r s c o r r e s p o n d a n t à l'une des b r a n c h e s de l'hyperbole - r e m a r q u e z que vous lui avez c e p e n d a n t d o n n é t o u t ce d o n t le p r o f e s s e u r t i r e r a la f o r m u l e des m i r o i r s — et a t t e n d e z : le p a t i e n t , n ' a c c r o c h a n t plus à ce t a b l e a u la f o r m u l e de D e s c a r t e s qu'on lui a inoculée a u t r e f o i s , f e r a ce beau g r a p h i q u e : S'il r e c o n n a î t là une b r a n c h e d'hyperbole équila-tère, il p e u t espérer f a i r e u n e belle c a r r i è r e d a n s la l i t t é r a t u r e policière. M a i s combien d'élèves sont-ils c a p a b l e s d ' u n e telle p e r f o r -m a n c e , et peut-il les en-_ c o u r a g e r à la t e n t e r ?

N e n o u s l e u r r o n s donc p a s sur le sens de cette redécouverte. Quelqu'un — h e u r e u s e m e n t ! — p e n -d a n t la leçon, c o n n a î t la f o r m u l e , c o m m e t o u s les Don G o r m a s , m a l g r é leur a s s u r a n c e , s a v e n t q u ' à c h a q u e r e p r é s e n t a t i o n t o u s les R o d r i g u e s les t u e n t i n e x o r a b l e m e n t . L a pièce est écrite à l ' a v a n c e et l'élève n e d e m a n d e à son a c t e u r de m a î t r e qu'elle ne soit p a s t r o p e n n u y e u s e . E t c ' e s t pour cela que le p r o f e s s e u r , j a l o u x d ' i n t é r e s s e r son auditoire, n e doit p a s lui dévoiler le d é n o u e m e n t a v a n t de le lui f a i r e p r e s s e n t i r . Il doit le f a i r e p a r t i c i p e r à l'action, l ' i n t r i g u e r , le guider , e t pour ne p o i n t le décou-r a g e décou-r ou l'essoufledécou-r, lui f a i décou-r e choisidécou-r les s e n t i e décou-r s les p l u s p l a i s a n t s et les plus courts. Aussi, p a r u n e o r i e n t a t i o n a d r o i t e de la pensée de l'auditoire, en p r o v o q u a n t les r e m a r q u e s et les discussions profi-tables, s a ù r a - t - i l r e n d r e plus a u t h e n t i q u e cette r e d é c o u v e r t e en p r é s e n t a n t les calculs sous u n e f o r m e , no n p a s f o r c é m e n t plus classique ou plus simple, m a i s plus é t r o i t e m e n t a d a p t é e à la f o r m u l e -recherchée.

Ceci est r e n d u d ' a i l l e u r s plus facil e p a r la s i m -plicité m ê m e des lois étudiées. U s ' a g i t le plus s o u v e n t de p r o p o r t i o n n a l i t é s d i r e c t e s ou i n v e r s e s à 66

la g r a n d e u r ou à son c a r r é. Q u a n d les deux g r a n -d e u r s v a r i e n t -d a n s le m ê m e sens, la r e p r é s e n t a t i o n c a r t é s i e n n e , si elle ne donne p a s une droite, a des c h a n c e s de donner une p a r a b o l e y = hx2_{. On s'en}

r e n d r a c o m p t e en e s s a y a n t l ' a n a m o r p h o s e X = x-qui donne la droit e y = hX. Ainsi procédons-nous pour l'étude du m o u v e m e n t p a r a b o l i q u e d'une droite sur u n plan incliné. L a p e n t e de la droite la plus x-probable donn e c o m m o d é m e n t la valeur de h = —

y Le g r a p h i q u e ci-dessous est celui obtenu lors d ' u n e

leçon sur ce s u j e t . M O U V E M E N T P A R A B O L I Q U E D ' U N E B I L L E S U R U N P L A N I N C L I N E y X " X* 5,2 18,0 324 13,1 29,0 841 22,3 37,6 1.414 30,8 42,5 1.806 45,1 52,0 2.704

A v a n t cette leçon, les élèves i g n o r a i e n t l'échelle q u a d r a t i q u e . Aussi ont-ils c o n s t r u i t d ' a b o r d l'échelle (x-), de module 20 (unités2_{) p a r millimètre. E n}

-suite, on leur a f a i t r e m a r q u e r qu'il s e r a i t plus r a p i d e de posséder l'échelle X, qui a été c o n s t r u i t e avec précision afin de pouvoir ê t r e utilisée en une a u t r e occasion.

(A suivre.)

M. G U I T T O N ,

Professeur au Collège Moderne Technique de Tours.