Initiation au calcul analogique
P i e r r e RIVÈRE,
Ingénieur en chef à la C. S. F., Conseiller de l'Enseignement technique,
Professeur à l'E. S. E.
Le calcul analogique participe puissamment à la production et à la productivité nationales. Il multiplie les possibilités d'une . usine tout en favorisant l'amélioration de la qualité des produits.
Un calculateur Analac « a . m i s . en équation» le fonctionnement d ' u n e grps.se unité de la raffinerie Antar de Donges pour la
distil-TI I, lation des Xylènes. ' '
Il constitue 1 executeur fidele de la pensée de l'homme, il le remplace avec précision et promptitude dans les contrôles et les interventions pour la bonne marche de la distillation. (Cliché C.S.F, Georges Bru ) controles et Ies
Les problèmes concernant l'utilisation des ma-chines à calculer analogique sont de grande actua-lité. Nous avons estimé utile de publier ce texte en le complétant par des illustrations de matériel et équipements modernes (1).
*
Les procédés modernes de calcul scientifique mis à la disposition des chercheurs et des ingénieurs s'appuient sur deux grands principes :
— Le calcul numérique ; — Le calcul analogique.
La première machine à calculer, arithmétique, a été imaginée par Pascal en 1642. Biaise Pascal, grand savant et homme de ressources, avait pensé cette première machine, pour faciliter la compta-bilité de son père ; celui-ci était percepteur des finances.
Depuis cette époque la machine comptable s'est largement répandue dans le monde en se perfec-tionnant sans cesse ; elle est très longtemps restée mécanique ; de nombreuses variétés sont actuel-lement utilisées.
L'introduction de l'électronique a développé considérablement les possibilités de cette machine: la calculatrice comptable est devenue le puissant auxiliaire des problèmes de gestion et de statis-tique ; dans le calcul scientifique ses possibilités sont très étendues. Elle calcule en numération binaire, elle présente ses résultats généralement sous forme chiffrée; ces résultats sont rigoureu-sement exacts ou donnés avec une approximation connue et dépendent du nombre de chiffres ou
digits utilisés.
Ces machines n'utilisent comme opération élé-mentaire que l'addition algébrique de nombres réels. Les opérations courantes et plus complexes telles que la multiplication, la division, le calcul de fonctions transcendantes, etc., peuvent être mises en mémoire sous forme de sous-programmes plus ou moins compliqués.
Il n'y a aucune limite théorique aux possibilités de ces machines. Leur exploitation exige une pro-grammation plus ou moins longue et délicate, et des mémoires. L'opération élémentaire d'addition s'effectue dans un temps extrêmement court de l'ordre de la microseconde, mais le temps global de calcul dépend de la complexité des opérations, notamment du transfert des informations, de
l'uti-(1) Ce texte a été rédigé à l'occasion d'un séminaire national sur le calcul analogique qui s'est tenu les 11, 12, 13 et 14 décem-bre 1963. Ce séminaire était organisé par le département Indus-trie du Centre de recherches de productivité de l'Enseignement technique.
lisation des mémoires rapides et lentes, et de l'élégance du programme choisi.
Ces machines se prêtent fort bien à tout calcul compliqué, inaccessible aux possibilités humaines et que l'on désire précis. L'astronomie, la satelli-sation des engins, les problèmes de rencontre dans l'espace, trouvent d'inépuisables solutions dans ce calcul.
La calculatrice numérique se prête donc fort bien au calcul très précis sur une formulation donnée ; la précision des résultats doit tenir compte de la précision de la formulation et de celle des données. Elle peut accepter un nombre considérable de données variant de façon discontinue, et les exploi-ter à tout moment, la vitesse de calcul pouvant varier dans de très larges limites selon la quantité d'informations traitées.
Il est cependant un tout autre procédé de calcul d'une grande souplesse qui, maintenant, est devenu l'auxiliaire précieux et indispensable du chercheur, de l'ingénieur, et même de l'économiste.
Ce calcul s'appuie sur le « modèle physique », il prélève l'information à l'état physique, il la mani-pule par des procédés exclusivement physiques.
Des exemples permettront de mieux faire com-prendre les principes de ce calcul, de dégager sa philosophie, sa souplesse, et par voie de consé-quence son intérêt.
I. — RELEVEMENT D'UNE INFORMATION PHYSIQUE OU CHIMIQUE
Le contrôle des mécanismes des ensembles com-plexes imaginés par l'homme, tels que les centrales thermiques modernes, les grandes usines automa-tisées, conduit à relever, à tout moment, et d'une façon continue, toutes les données nécessaires à leur fonctionnement.
On aura fréquemment à contrôler les caracté-ristiques suivantes : — Températures ; — Pressions ; — Poids ; — Volumes ; — Vitesses ; — Débits ;
— Déplacements longitudinaux ou angulaires ; — Etats électriques ;
— Etats chimiques, etc.
Ces prélèvements sont effectués par des « cap-teurs » qui transforment en courants ou tensions proportionnels, les grandeurs à mesurer.
Le calculateur analogique en exploitation. Les équations du problème se posent par l'insertion de blocs de calcul dans les alvéoles. (Cliché C.S.F., René Bouillot.)
et disponibles. Elles sont obtenues sans aucun retard autre que celui résultant de la légère constante de temps des circuits, en général très simples, utilisés dans les capteurs.
Ces capteurs, plus ou moins faciles à imaginer, sont des dispositifs analogiques. Leur but se limite à la transformation d'une grandeur physique ou chimique de nature très variée en une autre grandeur toujours de même espèce qui est le courant ou la tension électrique très facilement exploitable. Ces diverses données peuvent être rassemblées soit dans une machine arithmétique grâce à des systèmes de conversion appropriés, soit sans autre modification et directement dans des calculateurs analogiques.
II. — TRAITEMENT D'UNE INFORMATION PHYSIQUE
PAR PROCEDE ANALOGUE Prenons l'exemple suivant :
Intégration :
Ce schéma que nous venons de dessiner est particulièrement simple.
En partant du repos, si on a R suffisamment grand devant l'impédance capacitive C et si l'on ne considère le phénomène que pendant une période suffisamment faible pour que le conden-sateur n'ait pas le temps de développer à ses
bornes une tension U2 appréciable, on aura
sen-siblement :
i = .
R
Il est clair, dans ce cas, que la petite tension U2
que nous mesurerons en CD par un voltmètre d'impédance très élevée, ou tout autre dispositif très sensible, sera égale à :
IL = —
suivant la loi bien connue de la charge du conden-sateur d'où :
I U» =
CR o
On voit alors que la tension de sortie est tout
1
simplement, à une constante près propre au
CR
circuit, l'intégrale de la tension d'entrée. Remarque. — Ce calcul n'admet aucune
restric-tion autre que celle indiquée plus haut, U = f(t) peut avoir une forme aussi compliquée que l'on voudra ; on remarquera que le résultat est prati-quement immédiat.
Ce tout petit circuit est une des formes les plus simples et très utilisées dans les intégrateurs.
Des schémas aussi simples peuvent être don-nés pour l'addition, la soustraction, la dérivation. D'autres schémas permettront d'effectuer les autres opérations fondamentales (multiplications, généra-tion de foncgénéra-tions, foncgénéra-tions trigonométriques, etc.).
III. — TRAITEMENT D'UNE INFORMATION D'ORIGINE MATHEMATIQUE
Considérons par exemple la fonction :
ax- + bx + c = 0 = fi (x)
soient x± et Xs les racines, on pourra écrire :
fi (x) = a (x — Xi) . (x — %»).
Considérons une valeur de x au voisinage de Xi
et posons : x — xt = bx
on écrira alors :
/i (x) = at±x (x — X2).
Considérons maintenant la disposition schéma-tique ci-après :
les blocs représentent les différentes fonctions ou paramètres.
Les branches de calcul ax", bx, et c convergent en o; et si l'équilibre n'est pas atteint, le résidu Si (x) est exploité par un asservissement qui entraîne un dispositif M modifiant de façon continue la valeur de x. A l'équilibre, c'est-à-dire lorsque l'équation
ùt.fate
«Utt-ui.mtiH
fi (x) = o, le système s'arrête et on peut mesurer
une des racines de l'équation que l'on prélèvera sur le système de réglage M. L'autre racine s'ob-tiendra en modifiant les conditions initiales du dispositif M.
Si les racines sont imaginaires on peut décom-poser l'équation en deux équations réelles donnant séparément les parties réelles et les parties ima-ginaires des racines.
Les manivelles a, b, c, permettent, elles aussi, de faire varier de façon continue les paramètres correspondants a, b, c, de la fonction, si bien que toute une série de courbes de valeurs de x1 et x,
pourrait être relevée, en fonction des paramètres
a, b, c.
Ces derniers pourraient être, du reste, des don-nées physiques :
— Pressions ;
-— Températures, etc.,
constamment variables agissant sur x, qui sera, par exemple, l'alimentation de chaudière en car-burant, d'une centrale.
Mais les manivelles a, b, c, peuvent aussi être des paramètres mis à la disposition des ingénieurs pour l'étude d'une fonction fi (x) ou d'une fonction plus générale encore.
Nous avons présenté ce petit schéma sous une forme très simple, pour faire comprendre la sou-plesse du calcul. Ce schéma devrait être complété
par des amplificateurs opérationnels à courant continu. Ils présentent toutefois l'inconvénient d'avoir un gain de boucle variable, fonction de l'inconnue x et des paramètres a, b, c. Il peut donc apparaître des instabilités de la boucle de contre-réaction, et des précisions variables.
La représentation des résultats s'effectuera par un tracé de courbes, à l'aide d'un traceur. L'inter-prétation à vue des courbes est une possibilité particulièrement précieuse pour l'ingénieur. Ces tracés n'ont pas la précision des relevés numé-riques des grandes machines scientifiques, ils sont cependant donnés avec une approximation meil-leure que le millième ce qui est largement suffisant en bien des cas.
La haute précision donnée, en tableaux de chiffres avec beaucpup de décimales, par grande machine de calcul est remplacée par une infor-mation pourrait-on dire continue et quasi-instan-tanée sur l'étude d'un phénomène effectuée au gré de l'ingénieur.
On voit, à ce stade, les possibilités comparées de chacune de ces machines et le choix qui peut être fait selon les calculs à effectuer.
Il est certain que si l'on doit procéder à des calculs comptables où les opérations doivent être rigoureusement exactes, le calcul arithmétique s'impose.
On peut, après ces explications, dire que la machine à calculer analogique est la règle à calcul
,-très perfectionnée de l'ingénieur. Remarquons un essai que la simple règle à calcul, si utile, est une machine analogique.
IV. CLASSIFICATION DES MACHINES ANALOGIQUES On peut classer les machines analogiques selon la nature du support de l'information. C'est ainsi que l'on rencontre :
— Les machines à courant continu ;
— Les machines à courant alternatif de fré-quence industrielle ;
—• Les machines à fréquence élevée (472 kHz dans le cas à'Analac).
Ces trois types ont chacun leur caractère :
Le premier : comporte parmi les éléments
essen-tiels, des amplificateurs à courant continu, stables et à grand gain. Ces amplificateurs, convenable-ment réactionnés, peuvent servir pour additionner un signal, l'intégrer (montage Bootstrap), l'inverser. Ce type de machine utilise beaucoup de potentio-mètres, et d'autres dispositifs dont l'énumération sort du cadre de nos propos.
Le deuxième type : utilise notamment la
fré-quence 400 hertz. L'appareillage qui s'adapte bien à ce type de machines consiste en des resolvers, des moteurs asynchrones diphasés avec réglage de l'amplitude d'une des phases.
Sur ces fréquences, les circuits sont amortis, il y a des pertes d'énergie qui doivent être compensées par des amplificateurs.
Le troisième type de machine à calculer à haute fréquence fonctionne, à titre d'exemple, sur
472 kilohertz pour la machine Analac.
A cette fréquence les circuits peuvent être réa-lisés avec une très bonne surtension, les selfs sont de véritables selfs sans capacité parasite, les capa-cités sont dépourvues de connexions selfiques.
L'utilisation de cette fréquence permet d'avoir
Mise en équation d'un problème. — Le programmateur vient de donner à son calcul une forme concrète par le choix des blocs, et leur câblage. Voici l'installation de ces blocs et leurs connexions mutuelles selon l'équation à résoudre. (Cliché
des circuits passifs sous forme de blocs très souples à coupler.
Le calcul de ces circuits et leur comportement est obtenu avec toute la précision désirable.
Soit, par exemple, le circuit suivant : Si on le règle de telle sorte que :
Li Cj u>~ = 1 L (Ci + C2) or = 1
La C2 eu2 = 1
il est très facile de vérifier que Ci
Vs = Ve.
C3
Ce circuit est un multiplicateur, il est réversible, et, en sens inverse, on obtient :
C2
V's = Ve.
Cx
Ce circuit est donc multiplicateur dans un sens, et diviseur dans l'autre. D'autre part, en supposant ce circuit sans pertes, et non bouclé :
ZAH = l'infini ZCD = l'infini.
Pratiquement, l'impédance transversale de tels circuits est très élevée. On peut les coupler sans difficulté, ce qui conduit à de larges possibilités pour la préparation des programmes sur un bâti. Cette facilité tirée, entre autres, de la réversibilité des circuits est un avantage très intéressant des machines à haute fréquence.
Cette réversibilité peut être avantageusement mise à profit pour rendre constant le gain de
boucle des résolutions algébriques de la figure 2 ce qui facilite la stabilisation des solutions, et lé maintien de la précision de calcul.
Cette même réversibilité permet aussi d'effectuer des opérations nouvelles telles que : inversion de matrices, recherche des valeurs propres, optimisa-tion, etc. En particulier, la réversibilité donne une solution élégante à l'inversion de la matrice des résidus, ce qui permet de rendre les variables d'un système d'équations algébriques indépendantes et d'atteindre inconditionnellement la stabilité des solutions.
V. — LES SIMULATEURS
Un simulateur est un appareil dont le compor-tement est en correspondance étroite avec le phénomène auquel on se propose de le substituer. Il en est le modèle dont la fidélité peut être très grande.
L'intérêt des simulateurs est considérable. Si, par exemple, nous nous proposons dë construire un ensemble reproduisant à l'intérieur d'une cabine fictive, les mouvements, accélérations, contrôles des caractéristiques de vol d'un avion, on conçoit que la première initiation des pilotes sera consi-dérablement facilitée et simplifiée. L'appareil est toujours disponible, de plus les contrôles extérieurs du comportement du pilote pourront être beaucoup plus fidèles et précis qu'en vol réel, ils pourront être complètement enregistrés. L'initiation devient ainsi considérablement plus économique et plus souple.
T R A C É DES C O U R B E S
On se propose, dans ce problème, d'étudier l'in-tersection de deux surfaces définies par des équa-tions implicites.
Soit donc une surface fixe définie par l'équation : Fi (xyz) = O.
Et soit une surface variable dépendant d'un para-métré définie par l'équation :
F» (x, y, z, l ) = O.
Pour une valeur donnée de \ leur intersection est une courbe dans l'espace dont on désire tracer la projection sur le plan (Oxy). A cet effet, on a adjoint une équation supplémentaire telle que le point figuratif dans l'espace se déplace à une vitesse constante en module (variable en direction).
*'2 + y'2 + z'2 = «2.
Par ailleurs, \ varie linéairement et lentement en fonction du temps de sorte que l'intersection se déformé lentement et que sa projection donne l'équi-valent d un réseau de courbes.
/ (x ) = er — x2
g (y) =b2 — y
avec h (z) = c2 + z2
FAx,y,z) =/(*) . g(y) —h(z) = 0 F= (x, y,z,l) = ai . x + cfa y + cte z + ki
— l [ a , . f (x) -j- as . g (y)
+ a» . h (z) + fo] = 0. (Cliché C.S.F.)
Le calcul analogique se prête merveilleusement à la confection de tels simulateurs et de bien d'autres pour représenter une grande variété de phénomènes et reproduire le comportement d'une machine.
Une réalisation très intéressante concerne le simulateur de vol d'Orly. Celui-ci présente sur l'écran d'un vrai indicateur panoramique les échos fictifs radar de plusieurs avions volant simulta-nément avec une vitesse et une direction réglables pour chacun d'eux.
Ce dispositif permet d'entraîner les opérateurs, qui seront chargés, au Centre régional de chaque aérodrome français, d'assurer la discipline de vol, et le contrôle des longs courriers et de tout avion circulant dans l'espace aérien.
Le simulateur reproduit avec beaucoup de fidé-lité les conditions réelles d'exploitation grâce à ses circuits de calcul.
On conçoit qu'un tel dispositif peut non seule-ment entraîner les opérateurs, mais encore repré-senter une circulation aérienne particulière dont on désire vérifier les possibilités, et préciser les problèmes qu'elle demandera de résoudre.
VI. — DISPOSITIFS DE TELECOMMANDE Une autre possibilité est offerte par le calcul analogique. Choisissons, à titre d'exemple, le réglage automatique d'une conduite de tir :
Dans cette version, le radar de contrôle «
s'ac-croche », après une recherche automatique, sur l'objectif ; il le suit, mesure sa distance. Les infor-mations recueillies au radar sont données à une machine à calculer qui transforme ces informa-tions en trajectoire fictive de l'avion, et précise le pointage du canon pour que l'obus rencontre l'objectif.
Des éléments complémentaires, telles que les conditions météorologiques, interviennent pour ce calcul.
Cet ensemble fait un appel fondamental au calcul analogique depuis la recherche de « l'ac-crochage » jusqu'au pointage du canon.
Un comportement analogue est rencontré dans le pointage des aériens pour la poursuite des satellites. Dans ce cas, cependant, la précision exigée entraîne l'intervention complémentaire des machines arithmétiques pour exploiter les données des systèmes analogiques. Cette machine arithmé-tique s'interpose, dans toute la chaîne de calcul pour interpréter les résultats initiaux, traduire ces résultats en décisions pour un pointage, ou une transmission de signaux, contrôler la valeur des commandes ordonnées afin de corriger les ordres. Cette boucle fermée comporte quelquefois l'homme, celui-ci constituant l'un des chaînons de l'ensemble du dispositif.
AVENIR DU CALCUL ANALOGIQUE. — D'une façon
générale, les machines à calculer joueront un rôle de plus en plus important dans la vie de l'homme.
Vue de l'installation réalisée par la C.A.E. à la Société nationale des pétroles d'Aquitaine, à Lacq, où un calculateur du type 300 commande, « en boucle fermée », quatre unités de production de soufre. Dans la boucle fermée s'interposent les circuits
La vocation clu calcul analogique est de repré-senter ou d'exploiter de façon continue une donnée physique. C'est pourquoi il est l'auxiliaire précieux clu chercheur et de l'ingénieur.
Il permet de mettre au point la formulation des phénomènes physiques, en fonction de la précision recherchée. Les machines analogiques universelles peuvent traiter des problèmes scientifiques de plus en plus nombreux et, à ce titre, aideront l'ingénieur à déterminer les caractéristiques et les performances de sous-ensembles, et leur meilleur compromis, pour un résultat global recherché. Il est, de plus, appelé à intervenir dans de nombreux mécanismes pour personnaliser une machine, et obtenir d'elle des performances que l'homme ne saurait, à lui seul, avec ses propres sens, lui donner.
Si nous nous échappons un instant des machines à calculer scientifiques qui répondent dès main-tenant à des besoins nombreux, nous avons, par exemple, dans les domaines modernes, Mariner IV, satellite qui, une fois placé sur orbite, a reçu des instructions pour se guider tout seul. Il dispose de mémoires qui lui permettent de pointer ses antennes sur le Soleil, sur la Terre, puis sur l'étoile Cassiopée. Un engin disposant de telles références peut se guider clans l'espace tout seul, par rapport à deux ou trois points absolus pour suivre un trajet ordonné à priori. On connaît les résultats spectaculaires de Mariner IV qui a ainsi évolué depuis novembre 1964 pour se trouver à mi-juillet 1965 à 7 000 kilomètres seulement de Mars après avoir parcouru 500 millions de kilo-mètres environ.
On remarquera que ce mécanisme de vol impli-que des circuits de calcul analogiimpli-que très évolués. Ces exigences conduisent les mécaniciens à la recherche des mécanismes les plus précis. Les progrès indispensables de ces machines très sub-tiles doivent être obligatoirement précédés des progrès obtenus sur la qualité des matériaux, sur la finesse, la fidélité des mécanismes, de leur technologie.
A ce stade, on voit que la technologie fait, elle aussi, partie de la recherche. Le soin à apporter à la recherche des composants à diminuer leurs dimensions, à augmenter leur précisions, leur fia-bilité est à la base de tout progrès.
Association des machines à calculer analogiques.. et arithmétiques.
Cette association ouvre des horizons considé-rables sur l'extension des activités industrielles • création de centrales électriques pour l'E.D.F. et inexploitables sans^ un centre de calcul intégré • création des centrales d'énergie nucléaire; raffi-nage du pétrole et extraction des sous-produits; programmations diverses concernant le fonction-nement des machines-outils, et sous une des formes modernes les plus évoluées, la création des engins satellisés.
Nous avons cité plus haut l'exploit de Mariner IV. L'ensemble des performances a été obtenu jus-tement par le concours combiné des deux modes de calcul, chacun étant utilisé dans ses vocations privilégiées.
Il est en étude maintenant des laboratoires satel-lisés, et un rendez-vous spatial pour se diriger ulté-rieurement vers la Lune.
Les récents résultats obtenus par les Russes et les Américains permettent d'insérer que ces labo-ratoires naîtrons à échéance rapprochée.
Ce nouveau concept d'instrument peut à la fois ouvrir les plus larges espérances quant aux possibilités civiles que l'on peut en retirer, mais peut également faire naître de nombreuses craintes. Toutefois, cette marche en avant semble irréversible.
En supposant donc un instant que si toutes les applications de l'électronique venaient à dispa-raître, on assisterait tout à coup à une contraction spectaculaire de l'activité humaine.
Cette contraction se manifesterait à la fois sur le plan des bienfaits que l'électronique apporte à l'homme en soulageant sa peine et en améliorant son confort.
Elle se manifesterait de la même façon dans le domaine où l'électronique développe très dange-reusement les moyens de destruction.
Il est possible par conséquent à tout homme qui veut bien réfléchir, d'apprécier le chemin par-couru depuis quelques décades, et selon les réso-nances de son cœur, de mesurer avec admiration ou elfroi les possibilités qui s'offrent à lui soit pour améliorer ses conditions d'existence, soit pour mieux préparer la destruction de sa race.