Tableau de variation d’une fonction polynˆome du second degr´e, et allure de sa courbe : mais d’o`u sortent les th´eor`emes du cours ?
On part de la forme canonique : f (x) = a(x − α)2+ β.
Or, dans la repr´esentation graphique de f , les points de la courbe ont des coordonn´ees de la forme M (x; y), o`u y = f (x).
On peut donc ´ecrire que y = f (x), et la forme canonique s’´ecrit : y = a(x − α)2+ β. En soustrayant β `a chaque membre, il vient : y − β = a(x − α)2.
Posons X = x − α et Y = y − β.
En fait, on est en train de ”changer de coordonn´ees” : les ”anciennes” sont x et y, et les ”nouvelles” sont X et Y . L’´ecriture pr´ec´edente devient : y − β
| {z }
Y
= a (x − α)2 | {z }
X2
, c’est-`a-dire Y = aX2(dans nos ”nouvelles” coordonn´ees).
Or on connaˆıt l’allure d’une courbe du type Y = aX2 : c’est une parabole dont le sommet est situ´e `a l’origine
du rep`ere.
Si a est positif, cette parabole est en forme de ”cuvette”. Si a est n´egatif, cette parabole est en forme de ”montagne”.
Nous avons donc ici l’allure g´en´erale du tableau de variation donn´e dans le th´eor`eme 1.1. Il nous reste, pour obtenir :
– un tableau de variation ”complet”,
– ainsi que l’allure de la courbe donn´ee au th´eor`eme 1.2 – et les coordonn´ees du sommet S,
`
a d´emontrer que le sommet de la parabole est bien situ´e au point d’abscisse α et d’ordonn´ee β.
En mettant notre polynˆome du second degr´e sous la forme Y = aX2, nous avons prouv´e que le sommet de la parabole se situait au point de coordonn´ees X = 0 et Y = 0, dans les ”nouvelles coordonn´ees”.
Mais qu’en est-il des ”anciennes coordonn´ees”, x et y, de ce sommet ? Je rappelle que la fl`eche ⇐⇒ se lit ”´equivaut `a”.
On a : X = 0 ⇐⇒ x − α = 0 ⇐⇒ x = α et : Y = 0 ⇐⇒ y − β = 0 ⇐⇒ y = β.
Donc le sommet se situera au point de coordonn´ees x = α en abscisse et y = β en ordonn´ee.
Cela correspond bien au tableau de variation du th´eor`eme 1.1 et `a l’allure de la courbe du th´eor`eme 1.2. Interpr´etation graphique :
