M ÉCANIQUE TERRESTRE ET CÉLESTE
3.2 D YNAMIQUE EN RÉFÉRENTIEL NON GALILÉEN
compositions des vitesses et des accélérations donnent alors les résultats suivants :
#–va=#–vr+#–vRa(O′) +#–v∧
# – O′M
#–aa=#–ar+#–aRa(O′) + dv#–
dt ∧
# – O′M
+
v#–∧v#–∧
# – O′M
+ 2·#–v∧#–vr
3.2 D YNAMIQUE EN RÉFÉRENTIEL NON GALILÉEN
3.2.1 Le seau d’eau de Newton
On a vu au § 3.1 que l’accélération est la même dans tous les référentiels galiléens (en translation rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres). D’après le principe fondamental de la dynamique, on a:#–
F =m·#–a. On en déduit que les lois fondamentales de la dynamique sont invariantes par changement de référentiel galiléen. Ainsi, il n’y a pas d’expérience de mécanique dans un référentiel galiléen qui permette à un observateur (lié à ce référentiel) de déterminer s’il est ou non en mouvement par rapport à d’autres référentiels galiléens. Ceci constitue un principe dit derelativité galiléenne.
Ce principe est restreint aux seuls référentiels galiléens. Pour les référentiels non galiléens en revanche, il existe une expérience assez simple permettant à un observateur (lié au référentiel mobile) de se rendre compte du mouvement du référentiel mobile : c’est l’expérience du seau d’eau de Newton.
Imaginons un seau rempli d’eau au repos dans le référentiel mobileRr. Un obser-vateur lié àRrest enfermé avec le seau dans une pièce sans fenêtre. Cet observateur peut-il se rendre compte du mouvement deRr? Deux cas se présentent alors :
1)Rrest en translation rectiligne uniforme par rapport àRa: dans ce cas, la surface de l’eau reste plane et l’observateur ne peut savoir siRrest en mouvement.
2)Rrn’est pas galiléen : par exemple la pièce où se trouve le seau et l’observateur tourne à vitesse angulaire uniforme. Le seau est placé au centre ici. Cette fois-ci, la surface de l’eau s’incurve, et l’observateur réalise qu’il est en mouvement.
3.2.2 Forces d’inertie
On a vu précédemment que les lois de la mécanique sont modifiées lorsqu’on n’est pas dans un référentiel galiléen. Voici les conséquences du principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen.
SoitRrréférentiel non galiléen, mobile par rapport à un référentiel Ragaliléen consi-déré comme fixe. Considérons un pointM de massemsoumis à une force résultante #–
F. D’après le principe fondamental de la dynamique, on peut écrire :
#–F =m·#–a
#–a correspond à l’accélération dans le référentiel fixe (accélération absolue).
La loi de composition des accélérations donne :#–aa= #–ar+ #–ae+ #–ac
Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit
Chapitre 3•Mécanique terrestre et céleste
Le principe fondamental de la dynamique permet d’écrire :
#–F =m·#–a =m· #–ar+m·#–ae+m·#–ac
On peut écrire cette relation en faisant ressortir l’accélération exprimée dans le référentiel mobileRr(notée #–ar).
m·#–ar= #–
F −m·#–ae−m·#–ac
Pour l’observateur lié au référentielRr en mouvement, on voit qu’on peut écrire le principe fondamental de la dynamique sous sa forme usuelle (force = produit de la masse par l’accélération), avec cependant deux nouveaux termes qui peuvent être assimilées à des forces. Ces forces existent parce que l’observateur est lié à un référentiel non galiléen : c’est pourquoi on les appelle parfoisforces fictivesouforces de référentiel.
Plus couramment, ces forces sont appeléesforces d’inertie. Elles sont définies comme
suit : (
•
#–fie=−m·#–ae appelée force d′inertie d′entraînement ;
• #–
fic=−m·#–ac appelée force d′inertie de Coriolis.
Les forces d’inertie ne correspondent à aucune interaction entre l’objet et son environ-nement immédiat, et ne font pas partie des interactions fondamentales (dont font partie les interactions gravitationnelle et électrostatique). Cependant leurs effets donnent lieu à des phénomènes importants se produisant sur Terre. L’objectif ici est de donner quelques exemples des effets de ces forces d’inertie : la variation de l’accélération gravitationnelle avec la latitude et la déviation vers l’Est d’un corps en chute libre.
Remarque
La force de Coriolis dans le cas d’une rotation s’écrit: #–
fic = −2m·v#–∧ #–vr (voir l’expression de l’accélération de Coriolis dans le cas d’une rotation en 3.1.4). On voit donc que lorsque #–vr=#–
0 , la force de Coriolis est nulle. Cette force n’a donc d’effet que sur des corps en mouvement dans le référentiel relatif mobile.
a) Variation de l’accélération gravitationnelle avec la latitude
Imaginons le cas d’un fil à plomb vertical et immobile. Deux forces s’exercent sur le plomb suspendu, son poids #–
P0=m·#–g0et la tension du fil #–
T. L’équilibre statique donne la relation suivante : #–
P0+ #–
T = #–
0 .
Si la Terre était immobile, le poids du plomb correspondrait à l’attraction gravitation-nelle exercée par la Terre sur ce corps. Mais la Terre est en rotation sur elle-même et en rotation par rapport au soleil. Donc un observateur sur Terre mesure l’interaction gravitationnelle mais aussi les forces d’inertie. Comme le plomb est immobile, seule la force d’entraînement #–
fiea un effet sur le plomb. L’équilibre statique dans le référentiel terrestre non galiléen donne donc :
#–P0+ #–fie+T#–= #–
0
3.2. Dynamique en référentiel non galiléen
Ainsi, dans le référentiel terrestre, une composante
#–fi e
s’ajoute à la définition du poids du plomb. On peut écrire la relation suivante :
#–P+ #–
T = #–0 avec #–
P = #–
P0+ #–
fie
Pour exprimer la force d’entraînement, il convient de représenter les vecteurs mis en jeu.
xM
O Nord
Sud
H fie
g g0
ω
λ
Figure 3.3 Variation de l’accélération gravitationnelle avec la latitudel
Rappelons l’expression de l’accélération d’entraînement (vue au 3.1.4) :
#–ae = d#–v
dt ∧ # – O M
+
v#–∧v#–∧# – O M
Or on considère que la rotation de la Terre sur elle-même est uniforme, donc à vitesse angulaire constante : dv#–
dt = #–0 .
Le vecteur rotation #–v est orienté selon l’axe Nord-Sud (dans le sens Sud vers le Nord). On peut décomposer le vecteur # –
O Mcomme suit : # – O M = # –
O H + # –
H M. Avec les propriétés du produit vectoriel, on obtient alors :
#–ae=
#–v∧v#–∧H M# –
=−v2·# –H M
L’expression du poids #–P dans le référentiel terrestre non galiléen devient donc :
#–P =m·#–g =m·#–g0+mv2·H M# – On obtient alors l’expression de l’accélération gravitationnelle :
#–g = #–g0+v2·# – H M
Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit
Chapitre 3•Mécanique terrestre et céleste
On constate donc que l’accélération gravitationnelle varie avec la latitudel(car# –H M varie avecl). Ainsi #–g n’est pas la même aux pôles et à l’équateur. D’autre part, dans l’expression de #–g, on distingue deux termes : un terme gravitationnel #–g0et un terme d’inertiev2·# –
H M. Remarque
La force d’inertie d’entraînement #–
fie=mv2·# –
HMest aussi appeléeforce centrifuge.
Cette force centrifuge est responsable des différences de poids selon la latitude du lieu où on le mesure. Elle a eu un effet majeur sur la forme de la Terre : elle a entraîné un aplatissement de notre planète aux pôles, ce qui fait que la Terre n’est pas sphérique.
b) Déviation vers l’Est d’un corps en chute libre
Un corps de massemen chute libre est animé d’une vitesse #–vrdans le référentiel relatif (référentiel terrestre ici). Dans ce cas, la force d’inertie de Coriolis n’est pas nulle.
Rappelons son expression : #–
fic =−2m·v#–∧ #–vr
x O'
vr
ω
X' Y'
Z'
O Z
O'x
Ox
Z
Z'
ω
vr
xfic
Figure 3.4 Déviation vers l’Est d’un corps en chute libre sur Terre Représentation en trois dimensions à gauche, projection dans le plan (OZ,O’Z’) à droite.
La figure 3.4 représente les différents vecteurs mis en jeu lors de la chute libre du corps. On constate que la force d’inertie de Coriolis exercée sur le corps en chute libre est orientée selon l’axeO’X’et donc vers l’Est.
Remarque
La force de Coriolis par sa définition agit sur tout corps en mouvement dans le référentiel terrestre. Elle est donc particulièrement importante notamment pour tous les fluides se déplaçant sur notre planète : elle va agir directement sur les courants marins, sur les vents, les cyclones, etc. Elle devra aussi être prise en compte dans le calcul des trajectoires en avion par exemple car des déviations seront induites par cette force de Coriolis.
3.3. Théorème du moment cinétique