Repérage d’un point dans l’espace

Pour décrire la position d’un objet dans l’espace, il est nécessaire de disposer d’une référence. Par exemple, un homme assis dans un train est immobile par rapport au wagon, mais en mouvement par rapport à la Terre. Ainsi pour déterminer le mouvement d’un point, on se rapporte à un solideSsupposé indéformable qui doit être défini clairement.

Ce solide constitue leréférentield’étudeR.

Ensuite, on repère les points de l’espace dans ce référentiel à l’aide d’un repère orthonormé direct, soit un point origine particulier au solideS(souvent on prend le centre de gravité deS) et 3 axes orthogonaux formant un trièdre direct. Plusieurs repères ousystèmes de coordonnéespeuvent alors être choisis en fonction notamment de la géométrie du problème.

Un bon schéma est la clef de la résolution de tout problème de mécanique. Comme l’objectif est de décrire ici des mouvements dans l’espace, il est particulièrement impor-tant de savoir faire des dessins en perspective, et de savoir réaliser des projections adéquates selon des plans bien choisis. C’est ce qui sera détaillé dans la présentation des systèmes de coordonnées.

a) Le système de coordonnées cartésiennes

On considère un repère constitué de trois axesX,Y,Z rattachés à un point origineO caractéristique du solide de référence (R) évoqué plus haut. À ce repère on associe une base orthonormée directe (#–ux,#–uy,#–uz). Les vecteurs #–ux,#–uy,#–uz sont alors les vecteurs unitaires des axesOX,OY etOZrespectivement.

Remarque

La base (#–ux,#–uy,#–uz) est orthonormée directe lorsquek#–uxk=k#–uyk=k#–uzk=1, les trois vecteurs sont orthogonaux deux à deux, et #–ux∧#–uy=#–uz.

À un instant donné, on note la position du pointM par le vecteur #–r = # – O M qui s’appelle levecteur position. On note également les coordonnées cartésiennesx,yetz du pointMqui sont définies par la relation suivante :

#–r =O M# –=x·#–ux +y·#–uy+z·#–uz

Les coordonnéesx,yetzsont des grandeurs algébriques positives ou négatives.

DESSIN

Pour représenter ce système de coordonnées, on marque d’abord le point matérielM.

Ensuite on projette ce pointMsur l’axeOZ: on obtient alors le pointHde coordonnéez sur l’axeOZ. On projetteMorthogonalement dans le plan (OX,OY) en traçant une parallèle à l’axeOZ passant parM: on obtient alors le pointm. On trace alors les droites passant parmet parallèles aux axesOX etOY: les intersections de ces droites avec les axesOX etOYdonnent les coordonnéesxety du pointM(Fig. 1.1).

1.1. Repérage d’un point matériel dans l’espace et dans le temps

x

y z

O

M

X

Y Z

ux

uy uz

H

m

Figure 1.1 Système de coordonnées cartésiennes

Représentation du système de coordonnées carté-siennes dans le repère (O,#–ux,#–uy,#–uz) : cas du point M de coordonnées (x,y,z), et du vecteur position

#–r =# – OM.

b) Le système de coordonnées cylindriques

La position du point M est ici définie dans un repère (O,#–ur,#–uu,#–uz). On introduit ici la base (#–ur,#–uu,#–uz) orthonormée directe, associée aux coordonnées cylindriques (r,u,z).

DESSIN

Comme dans le cas des coordonnées cartésiennes, on noteHetmles projections orthogo-nales du pointMsur l’axeOZet le plan (OX,OY) respectivement. Le pointHa pour cotez qui est la coordonnée deMsuivant l’axeOZ. On noteOm=ret l’angle entre l’axeOXet Omest appeléu(Fig. 1.2).

Les vecteurs de cette base sont définis comme suit : 1. #–ur =

# – Om

r dans le plan (OX,OY) ; #–urest appelé vecteur radial.

2. #–uu est obtenu par rotation de +p/2 dans le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d’une montre) à partir du vecteur #–ur, dans le plan (OX,OY). #–uu est appelé vecteur orthoradial.

3. #–uz est le vecteur directeur de l’axeOZ, identique à celui du repère associé aux coordonnées cartésiennes.

À noter que ce repère n’est pas lié au pointO, donc n’est pas lié au référentielR. Le repère cylindrique est associé au pointM, c’est donc un repère local mobile. Dans ce repère, le vecteur position du pointMs’écrit :

#–r =O M# –=Om# –+m M# –=r·#–ur+z·#–uz

Les coordonnées cylindriques sont définies comme suit : rest une distance donc toujours positive ; la cotezest une valeur algébrique (positive ou négative) ; l’angleu est orienté dans le sens (+) défini en imaginant une rotation de l’axeOXvers l’axeOY.

Pour couvrir tout l’espace, il suffit que les coordonnées cylindriques décrivent les intervalles suivants :

r∈[0, +∞[ u∈[0, 2p] z∈]–∞, +∞[

Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit

Chapitre 1•Cinématique du point

Figure 1.2 Système de coordonnées cylindriques Représentation du système de coordonnées cylindriques dans le repère (O,#–ur,#–uu,#–uz) : cas du pointM de coor-données (r,u,z), et du vecteur position#–r =# –

OM.

x

y z

O M

X

Y Z

H

m ρ θ

uρ uθ uz

uρ uθ uz

Remarques

•Si le mouvement a lieu dans le plan (OX,OY), il n’est pas nécessaire d’utiliser la cotez.

On utilise alors les coordonnées polaires (r, angle polaireu). Ainsi, les coordonnées cylindriques correspondent aux coordonnées polaires auxquelles on ajoute la cotez: on parle parfois de coordonnées cylindriques ou cylindro-polaires.

•Les relations entre les coordonnées cylindriques et cartésiennes sont les suivantes Voir site

web

: x=r·cosu,y=r·sinu,z=z,r=p

x²+y²

•Lorsqu’on dérive un vecteur par rapport à son angle polaire, on obtient un vecteur directement perpendiculaire (formant un angle de + 90^◦dans le sens trigonométrique).

Ainsi, dans les systèmes cylindrique et polaire, on a : d#–ur

du =#–uu et d²#–ur

du² = d#–uu

du =−#–ur

c) Le système de coordonnées sphériques

La position du point M est ici définie dans un repère (O,#–ur,#–uu,#–uf). On introduit ici la base (#–ur,#–uu,#–uf) orthonormée directe, associée aux coordonnées sphériques (r,u,f).

DESSIN

Comme dans le cas des coordonnées cartésiennes, on noteHetmles projections ortho-gonales du pointMsur l’axeOZ et le plan (OX,OY) respectivement. Le pointH a pour cotezqui est la coordonnée deMsuivant l’axeOZ(Fig 1.3).

•La distance entreOetMest notéer, soitr=OM.

•l’angle entre l’axeOZet le vecteurOM^{# –}est notéuet est appelé colatitude.

•l’angle entre l’axeOXetOmest notéfet est appelé longitude.

Pour couvrir tout l’espace, il suffit que les coordonnées sphériques décrivent les intervalles suivants :

r∈[0, +∞[ u∈[0,p] f∈[0, 2p]

1.1. Repérage d’un point matériel dans l’espace et dans le temps

Les coordonnées sphériques et les vecteurs de la base sphérique sont représentés dans la figure ci-dessous. À noter que le repère sphérique n’est pas lié au point O, donc n’est pas lié au référentielR. Le repère sphérique est associé au point M, c’est donc un repère local mobile.

Le vecteur position # –

O Ms’écrit comme suit dans la base sphérique : # –

O M=r ·#–ur

x

y z

O M

X

Y Z

H

m ρ

φ uφ

uφ r

ur

uθ θ

Figure 1.3 Système de coordonnées sphériques Représentation du système de coordonnées sphériques dans le repère (O,#–ur,#–uu,#–uf) : cas du pointMde coor-données (r,u,f), et du vecteur position#–r =# –

OM.

Pour comprendre les orientations relatives des vecteurs de la base sphérique, il est important de faire des représentations dans des plans judicieusement choisis. Une repré-sentation en vue aérienne dans le plan (OX,OY) permet de comprendre l’orientation du vecteur #–uf, notamment par rapport aux vecteurs #–ux et #–uy (Fig. 1.4).

x

O

m

X Y

ux uy uφ

φ φ

φ

x y

Figure 1.4 Vue du plan (OX,OY)

On peut également représenter une vue dans le plan (Om, OZ) pour comprendre l’orientation du vecteur #–uu(Fig. 1.5). Le vecteur #–ufest représenté avec une croix dans un cercle car il est perpendiculaire au plan de la figure, orienté comme « entrant dans le plan ».

Remarques

•Les relations entre les coordonnées sphériques et cartésiennes sont les suivantes Voir site web :

x=r·sinu·cosf,y=r·sinu·sinf,z=r·cosu.

Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit

Chapitre 1^•Cinématique du point

•Les coordonnées sphériques se rapprochent des coordonnées géographiques uti-lisées pour représenter un point à la surface du globe terrestre ; la colatitudeuest en fait l’angle complémentaire de la latitude géographique (complément à 90^◦), la latitude étant définie dans l’intervalle [–p/2,p/2], avec la latitude Nord définie dans le domaine [0,p/2] et la latitude Sud dans le domaine [–p/2, 0] ; la longitude géogra-phique varie dans l’intervalle [–p,p], avec la longitude Ouest dans le domaine [–p, 0] et la longitude Est dans [0,p].

d) Le repère local de Frenet

Un autre repère local appelé repère de Frenet, peut être utilisé pour décrire la posi-tion d’un pointM. Il est représenté sur une courbe qui, par définition, correspond à l’ensemble des positions prises par le pointMau cours d’une trajectoire quelconque.

Sur cette courbe on fixe une origineAet un sens pris en général positif dans le sens du mouvement. La position du pointMsur la courbe est alors repérée par la donnée de son abscisse dite curviligne et notée s(M) : cette abscisse correspond en fait à la longueur de l’arc orientéAM.

On fait l’hypothèse que lorsque l’arc de cercleAMest infiniment petit, la courbe peut être considérée comme inscrite dans un plan appelé alorsplan osculateur. Dans ce cas, on définit une repère local dit de Frenet avec une base orthonormée directe (#–

T,#–

N,#–

B), oùT#–est le vecteur tangent à la courbe au pointM(pour simplifier le formalisme, le sens de #–

T est en général pris dans le sens du mouvement), le vecteur #–

N est perpendiculaire à #–

T et dirigé vers la concavité de la courbe (#–

N définit alors la normale principale à la courbe), et le vecteur #–B est perpendiculaire àN#–etT#–et tel que le trièdre (T#–,N#–,#–B) soit direct (#–

B définit alors labinormaleà la courbe). À noter que #–

T et #–

N sont inscrits dans le plan osculateur de la courbe lorsqueMest très proche deA. La base (#–

T,#–

N,#–

B) est mobile et suit le mouvement deMsur la courbe.

Pour déterminer un rayon de courbure, on prend deux pointsMetM’proches sur une courbe, on trace les

Voir site web

tangentes à la courbe en ces points, puis on trace les perpendiculaires à ces tangentes (aux pointsMetM’) vers la concavité de la courbe : l’intersection de ces droites donne le centre de courbure notéCet le rayon de courbure notéRcest tel queCM=Rc.

1.1. Repérage d’un point matériel dans l’espace et dans le temps

x x M A

B

N T

Figure 1.6 Système de représentation de Frenet Représentation du repère local de Frenet avec la base (#–

T,#–

N,#–

B) orthonormée directe associée. La position deMsur la courbe orientée est donnée par son abscisse curvilignes(M) comptée à partir de l’origineA.

L’arc de cercle séparant les points M et M^′ a une longueur notée ds, et l’angle

interceptant cet arc de cercle vaut da. Géométriquement ^{Voir site}

web

on peut retrouver les relations suivantes :

ds= Rc·da et d#–

T da = #–

N

Dans le document PHYSIQUE TOUT-EN-UN POUR LA LICENCE (Page 38-43)