F LUIDES PARFAITS
FAIRE LA PLANCHE
5.5 R ÉSULTANTE DES FORCES
Le calcul des forces exercées par un fluide sur une paroi est souvent l’objectif de la résolution d’un problème de mécanique des fluides. La résultante #–
R des forces exercées par un fluide parfait sur un corpsCde frontière∂Cs’exprime formellement comme dans un problème de statique (section 5.1.1). Désignons par #–
N la normale extérieure àC :
#–R = Z
∂C
(−pN#–)dA.
De façon à pouvoir exploiter le théorème des quantités de mouvement (5.13), la résultante #–
R est cherchée à partir d’une expression intégrée sur le domaine fluideD dans lequelCest plongé (C ⊂ D). Après avoir décomposé le bord deDen deux parties :
∂D=∂C ∪ Set observé que #–
N+ #–n =0, on peut isoler la résultante#–
R :
#–R = Z
D
∂
∂t(r#–v) dV + Z
S
r#–v(#–v ·#–n) dA− Z
D
r#–g dV + Z
S
p#–n dA (5.18)
Remarque
le flux de quantité de mouvement est nul sur∂Cen raison de la condition de glissement (#–v ·#–n =0).
À retenir
Après avoir isolé le système, le milieu extérieur est remplacé par un ensemble de forces de surface et de volume.
En statique, les forces d’inertie sont nulles et l’équilibre se fait entre les forces extérieures.
La pression est continue à la traversée d’une interface entre deux fluides non miscibles.
En statique, la résultante des forces de pression s’obtient par intégration explicite des pressions ou par application du théorème d’Archimède.
En représentation de Lagrange, le temps est la seule variable alors qu’en représen-tation d’Euler, les variables sont le temps et les trois coordonnées spatiales.
Une dérivée particulaire est un taux de variation évalué en se déplaçant avec le milieu.
La vitesse est la dérivée particulaire de la position et l’accélération est la dérivée particulaire de la vitesse.
Une ligne de courant est une ligne tangente en tous point au champ de vitesse.
La dérivée particulaire de la masse d’un domaine fluide est nulle : la masse se conserve.
La dérivée particulaire de la quantité de mouvement d’un domaine fluide est égale à la somme des forces extérieures.
Le champ de vitesse d’un fluide parfait satisfait à la condition de glissement au contact d’une paroi imperméable et fixe.
L’énergie mécanique d’un fluide est la somme d’une énergie cinétique, d’une énergie de pression (déformation) et d’une énergie potentielle de position (pesanteur).
L’énergie mécanique d’un fluide parfait en écoulement stationnaire se conserve sur une ligne de courant (premier théorème de Bernoulli).
L’énergie mécanique d’un fluide peut varier si le domaine est le siège de phénomènes dissipatifs (frottements) ou comporte des parois mobiles (turbine ou pompe).
Exercices
Les solutions sont regroupées p. 600.
5.1 Résultante des forces de pression agissant sur un cylindre
Un cylindre circulaire de hauteur Het de sectionSest plongé dans deux liquides non miscibles. On cherche la résultante des forces de pression par deux méthodes différentes.
Les grandeurs utiles sont définies sur la figure ci-dessous.
Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit
Chapitre 5•Fluides parfaits
g O
S
H zc
zi
1 pa
<
ρ
ρ1 ρ2
ρ2
a) Calculer la pression dans les deux liquides.
b) Calculer la résultante par intégration des forces de pression sur la paroi du cylindre.
c) Calculer cette résultante en appliquant le théorème d’Archimède et vérifier qu’on obtient le même résultat par les deux méthodes.
5.2 Écoulement instationnaire On considère le champ de vitesse eulérien :
#–v =u#–ex +v#–ey =(vx −at)#–ex −vy#–ey.
a) Déterminer l’équation des lignes de courant par intégration d’une forme différen-tielle. Quelle est la forme de ces lignes ?
b) Établir la représentation lagrangienne de ce mouvement. On désigne parx0ety0les coordonnées du point à l’instant initialt =0.
c) Soitec = 1
2r(u2+v2) l’énergie cinétique volumique du fluide oùrest sa masse volumique, constante et positive. Déterminer la dérivée particulaire deec.
d) Calculer l’accélération en représentation eulérienne et lagrangienne.
5.3 Retenue d’eau
Z
pa Conduite forcée Réservoir
Jet M
O
Atmosphère Surface libre
H
A Vr
Vj H0
Un réservoir de grandes dimensions, situé g
en altitude, alimente une conduite for-cée (installation hydroélectrique). Elle débouche en contrebas, dans l’atmosphère, où il se forme un jet horizontal dont les lignes de courant sont rectilignes.
L’eau est assimilée à un fluide parfait incompressible, de masse volumique r = 103 kg · m−3, et l’écoulement est permanent. On désigne par H = 100 m
le niveau de la surface libre compté par rapport à l’axe du jet, par H−H0 =5 m la profondeur d’eau, par L = 10 m la largeur du réservoir et parA =pD2/4= 8 cm2 l’aire constante d’une section droite quelconque de la conduite forcée. Le réservoir
Exercices est alimenté par un écoulement uniforme de vitesse Vr tandis que dans le jet, l’eau
est éjectée à la vitesse uniforme Vj. Hypothèses : Dans ce qui suit, on admet (i) que la pression atmosphérique pa = 105 Pa est constante, (ii) que la pression statique dans le jet est uniformément égale à paet (iii) que les variations de pression d’origine hydrostatique dans le jet sont négligeables.
a) En effectuant les approximations justifiées par les données, déterminer la valeur de Vjen fonction de g=10 m·s−2et deH. En déduire la valeur du débit-volumeQv.
d D x
pa
b) On ajuste un injecteur (tuyère convergente) de diamètre d < D à l’extrémité de la conduite.
La vitesse Vj a-t-elle changé ? Déterminer la nouvelle valeur du débit volumiqueqv; vérifier qu’elle est inférieure àQv.
Un réservoir de grandes dimensions est raccordé à l’at-mosphère à la pression constante pa par une tuyère convergente de section de sortie S. Il contient un gaz parfait, au repos, aux conditions génératrices p0 etT0. Ce gaz s’échappe à la vitesseV, supposée uniforme et constante.
Définition. On appelle conditions génératrices la température et la pression du gaz dans une région de l’écoulement où la vitesse est nulle (ou négligeable). Tant que ses évolutions restent isentropiques, son état peut se déduire de ces conditions connaissant une seule variable d’état.
a) Par application du premier théorème de Bernoulli à une ligne de courant dont l’origine est dans le réservoir et l’extrémité dans la section de sortie, calculer la vitesseV en fonction des conditions génératrices (l’énergie potentielle de position est négligée).
Une plaque plane, inclinée de l’angleapar rap-port à la verticale, est frappée par un jet d’eau initialement rectiligne. L’eau est assimilée à un fluide parfait incompressible et l’écoulement est stationnaire et plan : il faut donc raisonner par unité de largeur (dimension perpendiculaire au plan de la figure). L’ensemble du dispositif est plongé dans l’atmosphère à la pression pa = cste et la vitesse de l’eau est suffisamment éle-vée pour négliger les effets de la pesanteur.
Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit
Chapitre 5•Fluides parfaits
La section initiale a pour épaisseurh0et la vitesse y est uniforme, parallèle à l’axe Os:
#–v0= v0#–es. Lors de l’impact, le jet se divise en deux nappes qui s’éloignent en deux sens opposés. Loin de l’origine, on peut admettre que l’écoulement est sensiblement parallèle à l’axe O x et on définit deux sections de sortie d’épaisseurs respectivesh1
et h2, où la vitesse est notée : #–v1 = v1(y)#–ex et #–v2 = −v2(y)#–ex ;v1 et v2sont des fonctions positives dey.
a) Expliquer pourquoi on peut admettre que la pression statique est constante et égale à padans les sections d’entrée et de sortie.
b) Par application du théorème de Bernoulli, établir que les trois vitessesv0,v1etv2 sont égales.
c) Déterminer la relation qui existe entre les trois épaisseursh0, h1 eth2, due à la conservation de la masse.
d) Exprimer la résultante des forces agissant sur la plaque en tirant son expression du théorème des quantités de mouvement.
e) Achever la résolution en tenant compte du fait que le fluide est parfait et ne peut exercer que des efforts normaux à la surface de la plaque.