M ÉCANIQUE DES SOLIDES INDÉFORMABLES
4.4 S TATIQUE DES SOLIDES
4.5.9 Intégrale première de l’énergie cinétique a) Énergie mécanique d’un système de solides
Intégrale première
Supposons dans cette partie que certains des efforts extérieurs (tels que l’action de la gravité) dérivent d’un potentiel Epext et que les autres n’en dérivent pas. Ceci s’écrit :
Pext=−d
dtEp ext+Pext′ .
Dans la relation ci-dessus, Ep ext représente l’énergie potentielle des efforts exté-rieurs, tandis quePext′ représente la puissance dissipée par les actions extérieures. Le théorème de l’énergie cinétique fait apparaître la puissance des efforts intérieursPint (qui dans le cas de solides indéformables, se limite à la puissance des inter-efforts).
Supposons de la même manière la décomposition suivante pourPint: Pint=−d
dtEp int+Pint′ . Remarque
Il convient de souligner que la notion d’énergie potentielle Ep est associée à une grandeur ne dépendant que des coordonnées d’espace mais pas explicitement du temps. S’il en était autrement, le travail sur une trajectoire fermée ne serait pas nul, puisque on ne peut revenir au même point au même instant.
Compte tenu des deux équations précédentes et de l’énoncé du théorème de l’énergie cinétique, on a :
d
dtT(s/Rg)=−d
dtEp ext+Pext′ − d
dtEp int+Pint′
soit encore :
d
dtT(s/Rg) + d
dtEp ext+ d
dtEp int=Pext′ +Pint′ .
La quantitéT(s/Rg) +Ep ext+Epintreprésente l’énergie mécaniqueEmdu systèmes.
Remarque
Dans le cas particulier de forces conservatives (dérivant d’un potentiel : liaisons parfaites, actions de la pesanteur), les termesP
′ extetP
′
intsont nuls, et on peut donc écrire que l’énergie mécanique du système se conserve. Cette notion est à rapprocher de la notion d’énergie interne employée en thermodynamique.
Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit
Chapitre 4•Mécanique des solides indéformables
b) Intégrale première
Pour un système matériel dont la configuration est caractérisée par un certain nombre de paramètres(q1,q2...qn), on appelleéquation du mouvementtoute relation entre les paramètres de position et leurs dérivées par rapport au temps.
Remarque
L’équation de mouvement ne contient en particulier aucune inconnue de liaison, mais peut par contre faire intervenir l’expression de forces connues. Les forces connues désignent ici les forces dont on connaît l’expression en fonction des données du problème, des paramètres de position, de leurs dérivées par rapport au temps et du temps. C’est le cas par exemple de l’action de la pesanteur.
Si on note qi la dérivée première par rapport au temps du paramètre de position qi (i = 1,2, ...n) ett le temps, on appelleintégrale première du mouvementd’un système matériel, une fonction desqi,qi ettqui reste constante au cours du mouvement.
La relation obtenue est du type :
f(q1,q2, ...,qn,q1,q2, ...,qn,t)=cste, pour tout mouvement du système étudié.
À retenir
Le vecteur vitesse #–
V(M/R) est la dérivée dans le repèreRdu vecteur position : V#–(M/R)= dOM# –
dt R.
Champ des vitesses dans un solide.SoientAetBdeux points d’un solideS indéformable et V(S/R) le vecteur vitesse de rotation. On a la relation :#–
V#–(B∈S/R)=#–
V(A∈S/R) +#–
V(S/R)∧# –
AB ∀A,∀B∈S.
Torseur cinématique(ou des vitesses). On dit que le champ des vitesses d’un solide indéformableSdans son mouvement par rapport à un repèreRest représenté par un torseur appelé torseur cinématique et noté (Vcomme vitesse) :
{V(S/R)}=
( V(S/R)#–
V#–(A∈S/R) )
A
.
Le champ des accélérations n’est pas un champ de torseur.
Composition des accélérations.L’expression de composition est plus complexe que pour les vitesses et fait apparaître un terme d’accélération dit de Coriolis lié à la vitesse relative du solide dans le repère entraîné.
Exercices
Les solutions sont regroupées p. 598.
4.1 Diable
Le diable est un système qui permet le transport de charges (#–
P = −Mg#–y) importantes et ceci à moindre effort #–
F de la part du manutentionnaire. Un diable constitué d’un support de charge et d’une roue de rayon r est schéma-tisé en vue de côté. Deux repères lui sont associés. Un premier repère R(#–x,#–y,#–z) est lié à la base. Un second, diable est négligé devant celui de la charge transportée.
a) Dans un repère que vous choisirez, calculez le torseur résultant des efforts extérieurs appliqués au diable.
b) Pourquoi met-on en pratique le pied pour bloquer les roues ?
c) Calculez l’effort#–F et la réaction au sol en fonction des données géométriques.
4.2 Centrifugeuse de laboratoire
On s’intéresse à une centrifugeuse de laboratoire présentée ci-dessous (Fig 4.4), compo-sée d’un bâtiS0, d’un brasS1et d’une éprouvetteS2contenant deux liquides de masses volumiques différentes. Sous l’effet centrifuge dû à la rotation du brasS1autour de l’axe (O,#–x), l’éprouvetteS2s’incline pour se mettre pratiquement dans l’axe du bras. De fait, le liquide dont la masse volumique est la plus grande est rejeté au fond de l’éprouvette.
G
Figure 4.4 Centrifugeuse de laboratoire
Paramétrage du système : R (O,#–x,#–y,#–z) est un repère lié àS0;S1est en liaison pivot d’axe (O,#–x) avec S0. Le repère R1 (O, #–x1, #–y1, #–z1) est un repère lié à S1, on note a = (#–y,#–y1) l’angle mesuré autour de #–x ;S2 est en liaison pivot d’axe (A,#–z1) avec S1; Le repère R2(A, #–x2, #–y2, #–z2) est un repère lié à S2, on noteb= (#–x, #–x2) l’angle
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Chapitre 4•Mécanique des solides indéformables
mesuré autour de #–z1. On donneO A# –=a#–y1et # –AG=b#–x2, oùaetbsont des constantes positives exprimées en mètres.
a) Calculer la vitesse deS1dans son mouvement par rapport àS0en O et en A.
b) Calculer la vitesse deS2dans son mouvement par rapport àS0en A et en G, puis dans son mouvement par rapport àS1en A et en G.
4.3 Métronome
D’après la schématisation proposée, le système est modélisé par :
y A
B P
z0
y1
z1
θ
θ
Un socleS0auquel est attaché le repère orthonormé directR0=(O,#–x0,#–y0,#–z0), supposé galiléen, l’axe (O, #–z0) étant vertical ascendant.
Un solide S1auquel est attaché le repère orthonormé directR1 =(O, #–x0,#–y1,#–z1). On introduit l’angleu(t)=(#–y0,#–y1)=(#–z0,#–z1). Ce solide est constitué par :
•une tige (A B) de longueurL, de masse négligeable, en liaison pivot parfait d’axe (O,
#–x0) avec le socleS0;
•un disqueDhomogène, de rayonR, de masseM, de centre d’inertieA, fixé rigidement à la tige en A;
•un curseurCr schématisé par une plaque rectangulaire homogène, située dans le plan (O, #–y0,#–z0), de massem, de centre d’inertieP, et lié à la tige pendant le fonctionnement du métronome.
On pose# –
A B=L·#–z1,# –
O A=−d·#–z1, # –
O P=l·#–z1. On admet que les matrices d’inertie du curseurCr et du disqueD, exprimées dans le repère R1, s’écrivent respectivement :
[J(P,Cr)]=
ACr 0 0 0 BCr 0 0 0 BCr
[J(A,D)]=
AD 0 0 0 CD 0 0 0 CD
Exercices 4.4 Analyses cinématique et cinétique
a) Déterminer le torseur cinématique en P deS1dans son mouvement par rapport à S0.
b) Déterminer le torseur cinématiqueAdeS1dans son mouvement par rapport àS0. c) Écrire le torseur cinétique deCr dans son mouvement par rapport àS0au pointP.
d) Écrire le torseur cinétique du disqueDdans son mouvement par rapport àS0enA.
4.5 Théorème de l’énergie cinétique
a) Déterminer l’énergie cinétique du solideS1dans son mouvement par rapport àS0. b) Déterminer la puissance des efforts extérieurs appliqués au solideS1.
c) Par application du théorème de l’énergie cinétique au solideS1dans son mouvement par rapport àS0, retrouver l’équation du mouvement.