C INÉMATIQUE DU POINT
LES UNITÉS DE MESURE DU MOUVEMENT D’UN POINT
1.2 L A VITESSE DU POINT MATÉRIEL M
1.2.1 Définition de la vitesse
Dans le référentiel d’étude (R), la position d’un pointMest repérée à tout instant par son vecteur position : #–r(t)= # –
O M(t).
À l’instantt1, le vecteur position deMest notér1, à l’instantt2(postérieur àt1), ce vecteur est notér2. On appelle le vecteur déplacement le vecteurD#–r = #–r2− #–r1. Entre ces deux instants successifst1ett2, lavitesse moyenne(notée #–vm) est définie par le rapport de son vecteur déplacementD#–r par l’intervalle de tempsDt =t1−t2.
Ainsi on écrit : #–vm = D#–r Dt =
#–r2− #–r1
t2−t1 =
#–r(t1)− #–r(t2) t2−t1 .
La vitesse instantanée deMà l’instanttcorrespond en fait à la limite de ce rapport lorsqueDttend vers zéro : par définition, on peut dire que la vitesse instantanée cor-respond en fait à la dérivée du vecteur position par rapport au temps ; ainsi on écrit la vitesse instantanée #–v(t) du point matérielM:
#–v(t)= lim
Dt→0
D#–r Dt = d#–r
dt
Par analyse dimensionnelle, on trouve qu’une vitesse est un rapport d’une longueur par un temps, elle s’exprime donc en mètre par seconde (m·s–1).
1.2. La vitesse du point matériel M
À noter qu’il est important de préciser par rapport à quel référentiel la vitesse est définie. On écrit alors par exemple :
#–v = #–vR(M)= d#–r
dt
R
Le référentielR est indiqué en indice : on a donc ici l’expression de la vitesse du pointMdans le référentielR. Dans ce référentiel, les axes liés à ce référentiel sont considérés comme fixes, donc ne dépendant pas du temps.
Remarques
•La définition d’un vecteur donne en fait trois informations en une : elle indique la direction, le sens et la norme du vecteur. À noter aussi que le vecteur vitesse d’un pointMest toujours tangent (au pointM) à la courbe décrite par le pointMau cours de son mouvement.
•On utilise en cinématique la notation de Newton qui consiste à marquer toute dérivation d’un vecteur ou d’une grandeur par rapport au temps, avec un point au-dessus de ce vecteur ou grandeur. Ainsi, on note :
dx
dt =x• et d#–r dt =
•
#–r
1.2.2 Expressions de la vitesse instantanée a) En coordonnées cartésiennes
On a vu plus haut que le vecteur position du pointM dans le repère cartésien (O,#–ux,#–uy,#–uz) lié au référentielR s’écrit :
# –
O M =x·#–ux +y·#–uy+z·#–uz
Lorsqu’on dérive ce vecteur par rapport au temps pour obtenir la vitesse instantanée, on rappelle une règle élémentaire de dérivation d’une somme de produits, en marquant les dérivées avec la notation « primée » :
( f g+hk)′= f′·g+ f ·g′+h′·k+h·k′
On applique cette même règle en dérivant le vecteur position OM par rapport au temps (avec la notation de Newton, « pointée ») :
#–vR(M)=
•
# –
O M =x• ·#–ux+x·#–u•x +y• ·#–uy+y·#–u•y+z• ·#–uz+z·#–u•z
Or les vecteurs dans le repère cartésien lié au référentielR sont invariants avec le temps, donc #–u•x =
#–•
uy =
#–•
uz = #–0 ; on écrit alors :
#–vR(M)=
# –•
O M=x• ·#–ux+y• ·#–uy+z• · #–uz
Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit
Chapitre 1•Cinématique du point
Les composantes de #–vR(M) sont doncx•,y,• z•. b) En coordonnées cylindriques
L’objectif ici est d’exprimer le vecteur vitesse du pointM en fonction des vecteurs (#–ur,#–uu,#–uz) de la base du repère cylindrique (local, mobile, associé au pointM) associé au référentielR qui correspond à un observateur fixe situé au point origineO.
Le vecteur position a été écrit précédemment : # –
O M = r· #–ur+z ·#–uz. On peut le dériver par rapport au temps pour obtenir le vecteur vitesse instantanée du pointMdans R et dans la base du repère cylindrique :
#–vR(M)=
•
# –
O M =r• ·#–ur+r·#–u•r+z• ·#–uz +z·#–u•z
Notons d’abord que dans le référentiel d’étudeR, le vecteur #–uz est fixe alors que #–ur
et #–uuévoluent avec le temps. Ainsi on peut déjà écrire :
•
#–uz = #–
0 . On utilise la méthode mathématique suivante, basée sur le fait qu’on peut diviser et multiplier un rapport par la même quantité :
#–•
ur = d#–ur
dt = d#–ur
du ·du dt = d#–ur
du ·u•
Or, on a vu plus haut que lorsqu’on dérive un vecteur (ici #–ur) par son angle polaire (iciu), on obtient un vecteur directement perpendiculaire (ici #–uu).
Ainsi on a : d#–ur
du = #–uu
On obtient alors l’expression de la vitesse instantanée du pointM dans la base (#–ur,#–uu,#–uz) :
#–vR(M)=
•
# –
O M =r• ·#–ur+r·u• ·#–uu+z• ·#–uz
c) En coordonnées sphériques
On veut exprimer ici le vecteur vitesse du pointMen fonction des vecteurs (#–ur,#–uu,#–uf) de la base du repère sphérique (local, mobile, associé au pointM) associé au référentiel R qui correspond à un observateur fixe situé au point origineO.
Les vecteurs #–ur,#–uu,#–ufse déplacent avec le pointM, donc ils dépendent du temps, et donc les dérivées de ces vecteurs par rapport au temps ne sont pas nulles.
Écrire la dérivée du vecteur position # –
O Men fonction du temps, revient à déterminer le mouvement du pointMlorsque ses trois coordonnéesr,uetfévoluent avec le temps.
On peut simplifier la résolution de ce problème en décomposant ce mouvement en trois parties :i)un mouvement deMlorsquervarie (àuetfconstants),ii)un mouvement deMlorsqueuvarie (àretfconstants),iii)un mouvement deMlorsquefvarie (àr etuconstants).
i)rvarie de dr, àuetfconstants
Le pointMse déplace alors suivant la droiteOMde vecteur directeur#–ur(voir Fig 1.3).
On peut alors écrire le vecteur déplacement sur cette droite : #–
A =dr ·#–ur
1.2. La vitesse du point matériel M
La vitesse instantanée deMse déplaçant ainsi, peut donc s’écrire comme suit (sachant que sur cette droiteOM, le vecteur #–ur est fixe) :
#–v1(M)= d#–
A
dt =r• ·#–ur
ii)uvarie de du, àretfconstants
Le pointMse déplace alors sur un cercle de centreO, de rayonret inscrit dans le plan (Om,OZ), comme représenté sur la figure 1.7.
x
O
M Z
θ
m z
uθ r
dθ M'
Figure 1.7 Mouvement deMquanduvarie (àretfconstants)
Lorsqueuvarie de du, le pointMparcourt un arc de cercle de longueurr ·du. Si du est infiniment petit, alorsMetM’sont très proches : on fait alors l’hypothèse queM etM’sont à la fois sur le cercle et sur la tangente au cercle au pointM. Ainsi le vecteur déplacement #–
B dans ce cas peut s’écrire : #–
B =r·du·#–uu. La vitesse instantanée deM se déplaçant sur ce cercle peut donc s’écrire comme suit (sachant que sur la tangente au cercle au pointM,ret #–uusont fixes) :
#–v2(M)= d#–
B
dt =r·u• ·#–uu
iii)fvarie de df, àretuconstants
Le pointMse déplace alors sur un cercle de centreH, projection orthogonale du pointMsur l’axeOZ (voir Fig 1.3), de rayon H M =r ·sinuet inscrit dans un plan parallèle au plan (OX,OY), de cote O H =r ·cosu. La figure 1.8 (en vue aérienne par rapport au plan (OX,OY)) permet de mieux visualiser ce mouvement.
Lorsquefvarie de df, le pointMparcourt un arc de cercle de longueurr·sinu·df.
Si dfest infiniment petit, alorsM etM’sont très proches : on fait alors l’hypothèse queMetM’sont à la fois sur le cercle et sur la tangente au cercle au pointM. Ainsi le vecteur déplacement #–
C dans ce cas peut s’écrire : #–
C =r ·sinu·df·#–uf. La vitesse instantanée deMse déplaçant sur ce cercle peut donc s’écrire comme suit (sachant que sur la tangente au cercle au pointM, le vecteur #–ufest fixe et que sur le cercle,r ·sinu est constant également) :
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Chapitre 1•Cinématique du point
x
O
M
X Y
uφ
φ dφ
H
M'
HM = r sinθ
Figure 1.8 Mouvement deMquandfvarie (à r etuconstants)
#–v3(M)= d#–
C
dt =(r ·sinu)·f• ·#–uf
Donc, lorsque les trois coordonnées sphériques du pointM varient de manière simul-tanée, on obtient alors la vitesse instantanée du pointMcomme suit :
#–vR(M)= #–v1(M) + #–v2(M) + #–v3(M) On obtient alors l’expression suivante :
#–vR(M)=r• · #–ur +r ·u• ·#–uu+ (r ·sinu)·f• · #–uf
d) Dans le repère de Frenet
Sur la figure 1.9 est représentée la courbe suivie par le pointM. La distance entre les pointsM etM’ sur la courbe est notée ds. Si M et M’ sont infiniment proches, on peut alors faire l’hypothèse queMetM’sont à la fois sur la courbe et sur la tangente à la courbe au pointM (tangente de vecteur directeur unitaire #–
T). Ainsi le vecteur déplacement peut s’écrire : # –
M M′=ds·#–
T
M M' x x T ds
Ax
Figure 1.9 Trajectoire curviligne suivie par un pointM
La vitesse instantanée du pointMpeut donc s’écrire comme suit, en soulignant que sur la tangente à la courbe au pointMle vecteur #–
T est fixe :
#–v(M)= d# – M M′
dt = ds dt ·#–
T =s• ·#–
T