M ÉCANIQUE TERRESTRE ET CÉLESTE
LE PHÉNOMÈNE DES MARÉES
3.3 T HÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE
3.3.4 Mouvement dans un champ de forces centrales
Un champ de forces centrales est un champ de forces dont les supports passent toujours par un point fixe donné de l’espace (point appelécentre de forces) , et telles que leurs intensités ne dépendent que de la distance entre ce centre et les points d’application de ces forces.
Les forces d’attraction gravitationnelle sont des forces centrales et sont particulière-ment importantes pour expliquer les mouveparticulière-ments des astres et des planètes. À partir du théorème du moment cinétique, on trouve alors des lois importantes pour de tels mouvements.
a) Théorème du moment cinétique
Considérons un référentiel galiléenR, et un champ de forces centrales #–F(M), de centreOimmobile dansR. Comme O Met# – #–
F(M) sont parallèles, on obtient donc la relation suivante :
d#–sO/R(M) dt
R
= # – O M∧ #–
F(M)= #–
0 soit #–sO/R(M)=cste# –= #–
L0
Moment cinétique et force centrale
Dans un référentiel galiléen, lorsqu’un pointM est soumis à l’action d’une force centrale, le moment cinétique du pointM, noté s#–O/R(M), calculé au centre de forcesO, est un vecteur constant au cours du mouvement.
b) Planéité de la trajectoire
À chaque instant, le moment cinétique est constant. Cela signifie que :
# –
O M∧m#–v = #–
L0=cste# –
#–L0est déterminé par les conditions initiales, # –
O Met #–v àt= 0.
Donc, à chaque instant, le vecteur O M# –est perpendiculaire au vecteur constant #–L0. Oétant fixe, cela veut dire que le pointMse déplace dans un plan perpendiculaire à #–
L0
et qui contient le pointO.
Trajectoire et force centrale
Dans un référentiel galiléen, la trajectoire d’un pointMsoumis à un champ de forces centrales, est plane : elle se situe dans le plan perpendiculaire à #–
L0et qui contient le centre de forcesO.
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Chapitre 3•Mécanique terrestre et céleste
c) Loi des aires
Puisque le mouvement est effectué dans un plan, deux coordonnées suffisent pour repérer la position du pointM dans ce plan. Il est alors judicieux d’utiliser les coordonnées polaires (r,u) et de placer le centre de forces à l’origine du référentiel.
On peut alors exprimer les différents vecteurs dans la base polaire #–ur,#–uu
:
#–F(M)= F(r)·#–ur # –
O M =r·#–ur #–v(M)=r• ·#–ur+r·u• ·#–uu
Le moment cinétique s’écrit donc : s#–O/R(M)= # –
O M∧m·#–vR(M)= r·#–ur
∧m •
r·#–ur+r·u• ·#–uu
=m·r2·u• ·#–uz
Dans le cas d’un champ de forces centrales, on a vu que le moment cinétique reste constant avec le temps. On a donc :
mr2·u• = L0 avec L0tel que #–
L0= L0·#–uz
On voit avec cette relation, que le produit de la vitesse angulaire par le carré de la distance entre centre de force et point d’application de la force, est égal à une constante, notéeC, telle queC= L0
m. Cette constante est appeléeconstante des aires du mouvement et est définie par la relation :r2·u• = L0
m =C.
On considère maintenant l’aire DSbalayée par le rayon vecteur # –O M, pendant un intervalle de tempsDt.
O
M(t+∆t)
∆θ ρ(t+∆t)
ρ(t) M(t) x
x
arc de cercle de rayon ρ(t) trajectoire du point M
Figure 3.6 Aire balayée par le rayon vecteur pendant un intervalle de tempsDt
Sur un intervalle de temps suffisamment petit, on peut confondre l’arc de cercle de rayonr(t) et la trajectoire réelle du pointM(telle querchange avec le temps : sur la figure 3.6 le rayonr(t+Dt) est plus petit que le rayonr(t)).
DScorrespond en fait à une fraction de l’aire du disque de rayonr(t) et de centreO, siDtest petit.DScorrespond à un angle polaireDu. Par une simple « règle de trois », on peut écrire :
3.3. Théorème du moment cinétique
Surface Angle polaire correspondant
surface d’un disque de rayonr(t) :
p·[r(t)]2=p·r2 2p
surface délimitée par les pointsO,M(t) etM(t+Dt) (Fig. 3.6) :
DS
Du
On peut alors écrire la relation suivante : DS
p·r2 = Du 2p
SiDtest très petit, alorsDttend vers l’infinitésimal dt. On peut alors écrire : dS = 1
2r2·du, d’où dS dt = 1
2r2·du dt On retrouve l’expression de la constante des aires C:
dS dt = 1
2r2·u• = C
2 =cste d S
dt s’appelle lavitesse aréolaireet correspond à la vitesse à laquelle la surface est balayée par le rayon vecteur # –
O M. Loi des aires
Dans un mouvement à forces centrales, le rayon vecteur balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux.
•Conséquences
On peut représenter deux aires balayées par le rayon vecteur à des moments différents mais sur des intervalles de temps égaux, comme dans la figure 3.7.
Pour une trajectoire non circulaire où la norme du rayon vecteur varie au cours du temps, la loi des aires indique que la vitesse angulaire varie aussi. Si le rayonrdiminue, alors la vitesse angulaireu• augmente. On peut dire aussi que plus le point est proche du centre de forces, plus sa vitesse angulaire est grande.
d) Lois de Kepler
Dès l’antiquité, les hommes se sont interrogés sur le mouvement des planètes. Le mot grec «planhths» signifie d’ailleurs errant, vagabond : cette définition illustre bien la complexité de ces mouvements déjà observée à cette époque ancienne.
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Chapitre 3•Mécanique terrestre et céleste
O
M(t+∆t)
M(t)
∆S ∆S
M'(t)
M'(t+∆t)
.
θ(t) θ(t').
Figure 3.7 Lois des aires
L’astronome polonais Nicolas Copernic (1473-1543) avait déjà grandement contribué à la connaissance du mouvement des planètes en marquant le rôle central du Soleil. À partir de ses observations et de celles de son maître danois Tycho Brahe (1546-1601), l’astronome allemand Johannes Kepler (1571-1630) a été à l’origine de lois essentielles qui décrivent le mouvement des planètes (lois établies entre 1604 et 1618).
Les lois de Kepler (établies entre 1604 et 1618) reposent toutefois sur trois hypothèses fondamentales :
1) les interactions gravitationnelles ont lieu essentiellement entre le Soleil et les planètes : on néglige les perturbations dues aux autres planètes ;
2)les planètes et le Soleil sont considérés comme des points matériels, leur masse étant concentrée en leur centre ;
3)le Soleil est fixe et à l’origine du référentiel galiléen d’étude du mouvement des planètes.
Première loi de Kepler
Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil occupe l’un des foyers.
DÉMONSTRATION
En appliquant le principe fondamental de la dynamique avec la force d’attraction gravita-tionnelle et l’accélération en coordonnées polaires, on arrive à une équation du mouvement de type (m0= masse du Soleil) :
Équationr(u): 1
r = G·m0
C2 +A·cosu.
Voir site web
On retrouve ici l’équation des coniques :1 r = 1
p+ e
pcosuavec par analogie : paramètre p= C2
G·m0 et excentricitée= A·C2 G·m0.
3.3. Théorème du moment cinétique
Remarque
Suivant la valeur de l’excentricité e, les trajectoires décrites par r(u) sont soit des hyperboles (e> 1), des paraboles (e= 1) ou des ellipses (06e< 1). Dans le cas des planètes en interaction gravitationnelle avec le Soleil, les paramètresA etC de la conique sont tels que l’orbite des planètes correspond à des ellipses dont un des foyers est occupé par le Soleil.
x
Planète
Soleil
S
M
a b
uρ uθ
x
Figure 3.8 Trajectoire elliptique d’une planète autour du Soleil
À noter aussi que l’énergie mécanique peut aussi s’écrire en fonction du paramètre p et de l’excentricitée: Em = G·m·m0
2p
e2−1
. On constate queEm est du signe de
e2−1
. Ainsi selon le signe de Em, on a les différents types de trajectoires : hyperbole pourEm > 0, parabole pour Em= 0, ellipse pour Em < 0.
Deuxième loi de Kepler (loi des aires)
Le rayon vecteur Pour la
démons-tration voir p.85
ayant le Soleil pour origine, balaie des surfaces égales pendant des intervalles de temps égaux.
Troisième loi de Kepler
Le carré de la période de révolutionTd’une planète autour du soleil est propor-tionnel au cube du demi grand axe de son orbite.
L’énoncé de la troisième Voir site
web pour la démons-tration
loi de Kepler donne la relation suivante : a3
T2 = G·MS
4p2 où aest le demi grand axe de l’ellipse,T la période de révolution,MSla masse du Soleil, G la constante de gravitation.
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Chapitre 3•Mécanique terrestre et céleste
À retenir
Lorsque des référentiels sont en mouvement les uns par rapport aux autres, il y a alors composition des vitesses et des accélérations. Dans le référentielR fixe (absolu), on parle de vitesse et accélération absolues (#–va,#–aa). Dans le référentielR’ mobile (relatif), on parle de vitesse et d’accélération relatives (#–vr,#–ar). On définit les relations suivantes :
#–va=#–vr+#–ve et #–aa=#–ar+#–ae+#–ac
#–veet #–aesont respectivement la vitesse et l’accélération d’entraînement : ces gran-deurs définissent le mouvement du référentielR’ par rapport au référentiel R.
#–acest une accélération complémentaire dite de Coriolis qui apparaît pour les corps déjà en mouvement dans le référentielR’. Dans un référentiel non galiléen appa-raissent donc des forces dites d’inertie ou de référentiels : #–
fie = −m·#–ae (force d’inertie d’entraînement) et #–
fic =−m·#–ac(force d’inertie de Coriolis) ; ces forces sont à l’origine de nombreux phénomènes naturels se produisant sur Terre.
Le cas important des mouvements à force centrale concerne la force de gravitation (exercée par le Soleil) qui est à l’origine des mouvements des planètes. Les lois de Kepler permettent de décrire ces mouvements, en déterminant notamment leurs trajectoires (elliptiques) et leurs périodes de révolution.
Exercices
Les solutions sont regroupées p. 596.
3.1 Un manège d’enfant tourne à vitesse angulaire constante v. Le propriétaire parcourt la plateforme pour ramasser les billets. On considère deux référentiels : le réfé-rentielR lié à la Terre, de base (O,#–ux,#–uy,#–uz), et le référentielR’ lié au manège, de base (O,#–u′x,#–u′y,#–u′z) : #–uzconfondu avec #–u′z. Àt= 0, les axes #–uxet#–u′x sont confondus.
À l’instantt, #–u′x fait un angleu(t) avec#–ux. Le manège tourne dans un sens tel queu(t) augmente avec le temps (dans le sens trigonométrique). On a donc la relation suivante : u(t)=vt.
a) Tout d’abord, le propriétaire partant du centre àt= 0, suit un rayon de la plateforme avec un mouvement uniforme de vitessevR.
i. Établir l’équation de la trajectoire du propriétaire :
– dans le référentielR’ lié au manège (trajectoire vue par les enfants sur le manège) – dans le référentielR lié à la Terre (trajectoire vue par les parents attendant les
enfants)
ii. Retrouver la vitesse absolue du mouvement de l’homme (dansR).
– à partir de la position
Exercices – en utilisant la loi de composition des vitesses. Interpréter physiquement les
diffé-rents termes.
iii. Reprendre la questioniipour l’accélération absolue (dansR).
b) Maintenant, le propriétaire parcourt sur le manège un cercle de rayonr0 concen-trique à la plateforme, à une vitesse linéaire constanter0v’.
Reprendre les questions précédentes (i,ii,iii) pour ce cas présent.
3.2 Une goutte de pluieP tombe verticalement à la vitesse limitev. Un passant arrive enO, à la verticale deP, au moment où la gouttePest à la hauteurhau-dessus du sol.
a) Quelle est la trajectoire de la goutte de pluie par rapport au passant, si ce dernier marche horizontalement à la vitesseV?
b) Même question si le passant marche sur une pente faisant un angleuavec l’horizon-tale.
3.3 Un nageur plonge enAavec l’intention de traverser une rivière de largeurD, dont les eaux sont animées d’un courant de vitesse uniformeV.
a) Le nageur avance dans l’eau avec la vitessevperpendiculairement aux rives. Quelle est sa trajectoire relativement aux deux rives ? Quel est son point d’abordage ? Quel est le temps de traversée ?
b) Le nageur désire en fait aborder au pointBsitué en face du pointA. Que doit-il faire pour parcourir une trajectoireABrectiligne en nageant à vitesse constantev? Quel est le temps de traversée ? Est-ce toujours possible ?
3.4 Un plateau circulaire horizontal, initialement au repos, porte le long d’un rayon un tube attaché à son centreOet qui contient une bille de massem. Le plateau tourne autour d’un axe vertical passant parOavec une vitesse angulaire uniformev. La bille initialement bloquée à la distancer0 du centreO du plateau, est libérée sans vitesse initiale par rapport au tube.
En admettant qu’il n’y a pas de frottements, après avoir établi le bilan des forces et des forces d’inertie, décrire le mouvement de la bille :
a) dans un référentielR’ lié au plateau ; b) dans un référentielR lié à la Terre.
3.5 Montrer qu’on peut mesurer l’accélération d’un ascenseur, dans les différentes phases de son mouvement (démarrage et arrêt, à la montée, à la descente) à l’aide d’un ressort de caractéristiques inconnues, d’un objet de masse inconnue et d’un double décimètre. On considère l’axeOZde vecteur unitaire #–uzdirigé vers le haut.
Indication: exprimer l’accélération en fonction deg(accélération gravitationnelle),L (longueur du ressort dans l’ascenseur accéléré, lorsqu’une masseMy est suspendue), L0(longueur du ressort non déformé) etLR(longueur du ressort lorsque l’ascenseur est non accéléré avec la même masseMsuspendue).
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Chapitre 3•Mécanique terrestre et céleste
3.6 Par rapport à un référentiel terrestre considéré comme galiléen, un plateau tourne à vitesse constante de 1 tour·s–1. On prend l’accélération de la pesanteurg= 10 m·s–2. De la terre est disposée sur le plateau et on y fait pousser du blé.
a) Dans quelle direction pousse le blé ?
b) Comment varie l’angleaque forme le blé avec la verticale (direction de #–g), suivant la position sur le plateau ?
Comparer le cas où le grain de blé est situé à la distancer1= 10 cm par rapport au centre du plateau, et celui où il est situé à la distancer2= 100 cm du centre.
3.7 Un conducteur a suspendu à son rétroviseur intérieur une balle de massemau bout d’un fil. On considère le référentiel lié à la Terre comme galiléen.
a) Dans un premier temps, la voiture roule sur une route horizontale et rectiligne avec une vitessev0constante. On suppose que la balle est en équilibre. Le fil forme-t-il un angle avec la verticale ? Pourquoi ?
b) Toujours en ligne droite, le conducteur imprime à sa voiture une accélérationa0 positive et constante. En appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel lié à la voiture, déterminer l’expression de l’angleaque fait alors le fil avec la verticale.
c) Enfin, la voiture prend un virage sur une portion de route horizontale. Ce virage suit un cercle de rayonR. La vitesse de la voiture par rapport à la route est alors constante et vautv0. On notevla vitesse angulaire de la voiture (vest constante).
i. Déterminer les expressions des forces d’inertie de Coriolis et d’entraînement.
ii. Déterminer l’anglegque fait le fil avec la verticale.
3.8 Un satelliteMde massem= 1 000 kg tourne autour de la Terre sur une orbite géostationnaire circulaire de rayonrS(mesuré depuis le centre de la Terre). Un satel-lite géostationnaire est tel qu’il reste à la verticale d’un même point de la surface de la Terre. On désigne par RT le rayon de la Terre (RT = 6 400 km),g0 l’accélération gravitationnelle à la surface de la Terre (g0= 10 m·s–2).
a) Montrer que l’orbite du satellite est nécessairement dans le plan équatorial de la Terre.
b) Déterminer le rayonrSde l’orbite et la vitessevS du satellite.
c) Quelle énergie minimale faut-il fournir au satellite pour qu’il puisse échapper à l’attraction terrestre ?