M ÉCANIQUE DES SOLIDES INDÉFORMABLES
4.1 C INÉMATIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE
M ÉCANIQUE DES SOLIDES INDÉFORMABLES
PRÉALABLES
• Produits scalaire et vectoriel
• Gradient d’une fonction et de dérivée
• La lecture du chapitre de mécanique du point est conseillée
MOTS CLÉS
• Solide indéformable
• Liaisons
• Principe fondamental de la dynamique
• Théorème de l’énergie cinétique
OBJECTIFS
• Paramétrer la position d’un (ou de plusieurs) solide(s)
• Écrire le champ des vitesses et des accélérations d’un solide indéformable
• Composer les torseurs cinématiques et d’accélération
• Calculer un tenseur (ou une matrice) d’inertie
• Caractériser une liaison – parfaite – entre solides (quelques liaisons simples)
• Écrire les torseurs d’actions mécaniques, le principe fondamental de la statique, le principe fondamental de la dynamique en repère galiléen et non galiléen
• Se familiariser avec le Théorème de l’énergie cinétique et la notion d’intégrale première
4.1 C INÉMATIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE
Dans un modèle mécanique, la première étape de la modélisation est la cinématique, c’est-à-dire la modélisation du mouvement. Si le milieu est assimilé à un ensemble de solides indéformables, le mouvement est discontinu au passage d’un solide à un autre solide. Plutôt que de chercher à modéliser les discontinuités du mouvement dans un seul espaceE, il a été choisi de représenter le mouvement à l’aide d’une collection d’espaces (un espace pour chaque solide) dans lesquels le mouvement est continu.
Chapitre 4•Mécanique des solides indéformables
Unsolideest ditindéformablelorsque - quels que soient les points Aet B de ce solide — la distance A Breste constante au cours du mouvement. On se limitera par la suite à appeler « solide » un solide indéformable. On peut imaginer que, dans l’exemple ci-dessous, les points Aet B répondent bien à cette définition mais évidemment pas ceux qui se situent dans la zone du choc.
L’étude du mouvement du solideS2par rapport au solideS1est identique à l’étude du mouvement de l’espaceR2attaché au solideS2par rapport à l’espaceR1attaché au solideS1.
A B
http://www2.ac-lyon.fr
Positionner le solideS2par rapport au solideS1revient donc à positionner le repère R2attaché au solideS2, par rapport au repèreR1. La position du repèreR2par rapport àR1est complètement déterminée si l’on se fixe : (1)l’orientation de la basedeR2par rapport à celle deR1et (2)les coordonnées de l’origine O2du repèreR2dans le repère R1. Quel que soit le système de coordonnées choisi, trois paramètres indépendants sont nécessaires pour positionner O2dansR1.
Dans un premier temps on cherche à définir l’orientation de la base (#–x,#–y,#–z) du repère R2(O2,x,y,z) par rapport à la base (#–x1,#–y1,#–z1) du repèreR1(O1,x1,y1,z1).
Cette orientation est toujours définie par trois paramètres. La méthode présentée est celle des angles d’Euler.
Lesangles d’Eulercorrespondent à la composition de trois rotations planes succes-sives qui permettent de faire coïncider la base (#–x,#–y,#–z) avec la base (#–x1,#–y1,#–z1). La première rotation d’anglec, autour de l’axe (O,z1) permet de passer à une première base intermédiaire (#–u,#–v,#–z1= #–z). L’anglecest appelé « angle de précession ». Une deuxième rotation d’angleuest alors appliquée autour de l’axe (O,#–u), de la première base intermédiaire, ce qui permet de définir une deuxième base intermédiaire (#–u,w,#– #–z1).
L’angleuest appelé « angle de nutation ». Une dernière rotation d’anglefest appliquée autour de l’axe (O,#–z1) de la seconde base intermédiaire, ce qui permet de positionner la base (#–x1,#–y1,#–z1). L’anglefest appelé « angle de rotation propre ». La composition de rotations planes successives permet de dessiner des figures de projection qui sont souvent très utiles pour la résolution des problèmes.
4.1. Cinématique du solide indéformable
Soit un point P1 d’un solide S1 en mouvement par rap-port au repère R. Les vecteurs vitesse et accélération du point P1par rapport au repère R sont alors notés : #–
V(P1∈ S1/R) et #–
G(P1 ∈S1/R). Cette notation permet de préci-ser à quel solide appartient le point dont on suit le mouve-ment lorsque plusieurs espaces coïncident au même point.
Cela permet aussi de distinguer la vitesse d’un point
appar-tenant à un solide, de la vitesse d’un point de l’espace n’apparappar-tenant à aucun solide, comme le point de contact P entre les solidesS1etS2. La vitesse du point P sera alors notée : #–
V(P/R).
Supposons un référentiel du mouvementR1d’origine O1et un solideS2en mouve-ment par rapport à ce référentiel, auquel est attaché un repèreR2d’origineO2. La base attachée àR2a une vitesse de rotation #–
V(R2/R1) par rapport à la base attachée àR1. Supposons deux points quelconques Aet Bdu solideS2, alors on peut écrire :
d# –
dont on déduit la formule de changement de point pour le champ des vecteurs vitesses des points d’un solide :
∀A,∀B ∈S2 #–
Il est important de comprendre que la notion de dérivée d’un vecteur doit s’accompa-gner de la donnée du repère par rapport auquel on dérive. On comprend aisément qu’un vecteur « attaché » à la Terre par exemple est vu comme fixe pour un observa-teur lui aussi fixe sur cette Terre mais le martien qui nous observe peut-être voit ce
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Chapitre 4•Mécanique des solides indéformables
vecteur se déplacer car son repère naturel est Mars. C’est le sens de la notation d#–
∗
La vitesse d’un pointBquelconque du solide S2peut donc se calculer à partir de la vitesse d’un point AdeS2et de la vitesse de rotation du solide par rapport au référentiel du mouvement. Le champ des vecteurs vitesses des points du solideS2par rapport àR1
peut être représenté par un torseur, dit torseur cinématique, noté{V}(V comme vitesse) dont la résultante est la vitesse de rotation de la base B2par rapport à la base B1et le moment en un point A, la vitesse du point Aappartenant au solideS2, par rapport au repèreR1:
Comme le champ des vecteurs vitesses d’un solide se représente par un torseur, c’est un champéquiprojectif. Ceci signifie que quels que soient deux points Aet B d’un solideS2:
Cette propriété se déduit du champ de moment projeté (produit scalaire) sur # – A B.
Nous insistons sur la propriété importante d’équivalence entre champ équiprojectif et champ de moment de torseur.
D’après ce qui a été dit plus haut, la dérivée des vecteurs unitaires (#–x2,#–y2,#–z2) de la base du repèreR2par rapport au référentielR1, se calcule comme suit :
d#–x2
On en déduit alors, si l’on connaît les dérivées des vecteurs unitaires : V(S#– 2/R1)= #–x2∧ d#–x2
4.1.2 Champ des vecteurs accélération des points d’un solide Supposons un référentiel du mouvementR1et un solideS2en mouvement par rapport à ce référentiel, auquel est attaché un repèreR2. La base attachée àR2a une vitesse de rotation #–
Vpar rapport à la base attachée àR1. Supposons deux points quelconquesA etB du solideS2, alors :
La relation entre les vecteurs accélération des points AetB du solide S2 dans son mouvement par rapport au repèreR1, s’obtient en dérivant les deux membres de cette
4.1. Cinématique du solide indéformable
égalité par rapport à t dans le repèreR1. On en déduit (après quelques calculs) la formule de changement de point du champ des vecteurs accélérations d’un solide :
#–G(B ∈S2/R1)= #–
Ainsi,le champ des vecteurs accélérations des points d’un solide ne peut pas être représenté par un torseur, du fait de l’existence du dernier terme. Ce point est très important et marque la différence entre champ des vitesses et des accélérations.
4.1.3 Composition des mouvements
Soit un point P, appartenant à un solide S2, en mouvement à la fois par rapport à un repère R1(O1,#–x1,#–y1,#–z1) et par rapport à un repère R(O,#–x,#–y,#–z). On va chercher la relation entre les vecteurs vitesses #–
V(P/R1) et #–
V(P/R), ainsi que la relation entre les vecteurs accélération
#–G(P/R1) et#–
G(P/R). Ces relations, dites
« de composition du mouvement », sont
particulièrement utiles lorsqu’on étudie des mécanismes dans lesquels les mouvements relatifs mutuels des pièces sont connus, mais pas la cinématique d’ensemble du mécanisme.
a) Composition des vecteurs vitesse
On cherche à définir en premier lieu la relation entre #–
V(P/R) et #– maintenant on considère le point deR1qui coïncide avec P à l’instantton peut écrire : V#–(P ∈ R1/R)=V#–(O1∈ R1/R) + #–
V(S2/R1)∧O# –1P. Donc : V#–(P/R)=V#–(P/R1) +V#–(P ∈ R1/R)
Dans le mouvement du point Ppar rapport aux deux repèresRetR1, on appelle (par convention) : (1) vecteur vitesse absolue #–
V(P/R), (2) vecteur vitesse relative V#–(P/R1) et (3) vecteur vitesse d’entraînement #–
V(P ∈R1/R).
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Chapitre 4•Mécanique des solides indéformables
b) Composition des vecteurs accélération
Soit un point P, appartenant à un solideS2, en mouvement à la fois par rapport à un repèreR1(O1,#–x1,#–y1,#–z1) et par rapport à un repèreR(O,#–x,#–y,#–z). On va chercher maintenant la relation entre les vecteurs accélération #–
G(P/R1) et #– dérivation de chaque terme et quelques manipulations on arrive à la relation :
#–G(P/R)= #–
G(P/R1) + #–
G(P ∈ R1/R) + 2#–
V(S2/R1)∧ #–
V(P/R1) Dans le mouvement du pointP par rapport aux repèresRetR1, on appelle :
•vecteur accélération absolue : #–
G(P/R).
•Vecteur accélération relative : #–
G(P/R1).
•Vecteur accélération d’entraînement : #–
G(P ∈ R1/R).
•Vecteur accélération de Coriolis : 2#–
V(S2/R1)∧ #–
V(P/R1).
4.2 C INÉTIQUE
4.2.1 Torseur cinétique
Pour un point matériel M de masse élémentaire dm la quantité de mouvement asso-ciée au mouvement de ce point par rapport à un référentiel du mouvement R est :
#–p(S/R)= #–
V(M/R)dm. Considérons maintenant non plus un point matériel, mais un solide continuS, larésultante cinétiqueest alors définie comme suit, à l’instantt:
#–p(S/R)= Z
∀M∈S
V#–(M/R)·dm
L’énergie cinétiqueT d’un point matérielMde masse élémentaire dmen mouvement par rapport àRest telle que : 2T(M/R)= #–p(M/R)·#–
V(M/R). Considérons mainte-nant, non plus un point matériel, mais un solide continuS, l’expression précédente se généralise au solide continu indéformable en introduisant la notion detorseur cinétique n
où le torseur cinématiquen
V(S/R) o
représente le champ des vitesses des points M du solide S, et où les composantes du torseur cinétique
n
C(S/R) o
sont la résultante
4.2. Cinétique
est un torseur, appelé torseur cinétique deS par rapport àRet noté :
n
Le tenseur d’inertie se représente par une matrice notée [J(C,S)]B dans une base B donnée et appelée la matrice d’inertie de S calculée au pointC et exprimée dans la base B. Nous avons, dans cette base, la relation matricielle [v] = [J(C,S)]B[u].
Nous ne développons pas cette partie technique que l’on peut trouver détaillée dans des ouvrages.
On distinguedeux cas particuliers courants et importants.
Le point Aest fixe dansR.
4.2.2 Exemple : calcul du torseur cinétique d’une barre
Considérons une barre d’épaisseur négligeable, de longueurl, homogène de massemen liaison pivot d’axezavec le bâti. Soit à calculer le torseur cinétique au centre de masse et au point Oorigine du repère.
n le moment cinétique, il faut prendre un petit élément de longueur dx1situé à une distance x1deC. L’élément de masse dmvautm/ldx1;m/lreprésente la masse linéique de la
Chapitre 4•Mécanique des solides indéformables
Donc le torseur cinétique au pointC se résume à : n
C(S/R) o
=
(ml/2)a#–y1 (ml2/12)a#–z
C
On peut effectuer ce calcul enOet on obtient : ml2
3 a#–z soit par intégration soit par utilisation de la relation de moment de torseur.
x
y z
y1
x1
dx1
x1
O
C
α
Nous venons de calculer le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe quel-conque passant par un pointOquelconque. On a :
ID(O,#–u) = Z
M∈S
(# –
O M∧ #–u)2·dm= Z
M∈S
(# –
O M∧#–u)·(# –
O M∧#–u)·dm
ID(O,#–u)= #–u Z
M∈S
((# –
O M∧#–u)∧O M)# – ·dm= #–u ·#–v
avec : #–v = Z
M∈S
((# –
O M∧ #–u)∧O M)# – ·dm. Nous retrouvons le résultat déjà mentionné relatif au tenseur d’inertie.
Le moment d’inertie d’un système par rapport à un axeDde vecteur unitaire #–u est donc donné par : ID(O,#–u) = #–u.(J.#–u).
Quels sont les éléments de la matrice représentative du tenseur d’inertie dans une base donnée ? Soit (O,#–x,#–y,#–z) un repère tel que O ∈ D(#–u,O). On suppose que les composantes de #–u sont (a,b,g). Soit un pointM(x,y,z) du système.
4.2. Cinétique
Comme l’intégration sur le système est indépendante du vecteur #–u on en déduit que la matrice se résume à
[J(O)]=
Christian Huyghens était un scientifique hollandais (1629, 1695) né à La Haye et qui s’est intéressé aux chocs entre solides durs ou mous (à la suite de Descartes), à l’attraction entre corps et au mouvement des planètes (à la suite de Newton) et qui a rédigé des notes sur l’harmonie.
Théorème
Soit un système S de masse m de centre d’inertie C. Soit ID. Considérons un axe DCparallèle àDet passant par C. Soit d la distance entre ces deux axes.
ID=IDC +md2
Sachant calculer le moment d’inertie par un axe passant parC, on saura le faire pour un axe quelconque parallèle. On constate que le moment d’inertie par rapport à un axe est minimal si cet axe passe par le centre d’inertie.
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Chapitre 4•Mécanique des solides indéformables
4.2.4 Énergie cinétique d’un solide
On a vu que l’énergie cinétiqueT d’un solideSdans son mouvement par rapport à un repèreRest donnée par : T(S/R)= 1
L’énergie cinétique d’un solide est le comoment du torseur cinématique et du torseur cinétique (pris au même point).
4.2.5 Torseur dynamique
On construit également le torseur dynamique d’un solideS, de masseMSet de centre de masseC, dans son mouvement par rapport à un repèreRde la manière suivante :
n MSV#–(C/R). Pour un système à masse conservative, larésultante du torseur dyna-miqueest la dérivée par rapport au temps de la résultante du torseur cinétique :
d#–p(S/R)
Pour un système à masse conservative, lemoment dynamique Z
4.3. Liaisons
Comme pour les autres quantités dépendant de la masse, le torseur dynamique peut être écrit de manière condensée au centre de masse :
n
Un mécanisme est un ensemble de solides reliés entre eux par des liaisons en vue d’ob-tenir un mouvement déterminé. L’objectif de ce paragraphe est d’en décrire quelques une et de les décrire mécaniquement. À partir d’un ensemble de liaisons simples, tous les mouvements seront alors possibles et les actions mutuelles entre solides pourront être totalement caractérisées.
4.3.1 Définitions
Uneliaisonestparfaitesi le jeu de fonctionnement est nul (pas fondamental comme hypothèse) et si le contact se fait sans frottement.
Une liaison est parfaite si et seulement si lapuissance dissipéepar la liaison est nulle.
La puissance mécanique développée par les inter-efforts de liaison entre un solideS1et un solideS2, par rapport à un repèreR, est égale au comoment du torseur cinématique de S2surS1et du torseur des actions mécaniques deS1surS2(on anticipe sur la suite mais utilisons ce résultat). Les torseurs cinématiques des liaisons, en un point de contactP, sont de la forme et les torseurs des actions mécaniques, ou torseurs statiques, définis en un point P :
La puissanceP des actions mutuelles de liaison entre un solideS1et un solideS2en Pse définit ainsi comme suit :
P(S1↔ S2)=
où «•» représente le comoment entre les torseurs cinématique et statique. Une étude plus approfondie de la puissance des inter-efforts et des actions mutuelles est proposée plus loin.
S’il s’agit d’une liaison parfaite l’équation 4.2 s’annule, garantissant une dissipation nulle de l’énergie :
Chapitre 4•Mécanique des solides indéformables
En remplaçant les différents torseurs par leur expression ci-dessus définie, cette dernière équation se réécrit sous la forme :
P(S1↔S2)=
À partir de cette expression et de la connaissance du torseur statique de la liaison parfaite considérée, on peut exprimer une équation sur le torseur cinématique, et réci-proquement pour le torseur statique si l’on connaît le torseur cinématique.
x
Figure 4.2 Liaison ponctuelle représentée par le contact d’une sphère ou d’un cône sur
un plan
Figure 4.3 Exemple de liaison ponctuelle : une roulette sphérique rigide
sur le sol
4.3.2 Liaison ponctuelle
La liaison ponctuelle entre deux solides S1et S2 est représentée par un point. Elle suppose dans la pratique des solides indéformables du type cône sur un plan ou toute surface de forme quelconque en appui sur une autre surface en un point, comme une sphère en appui sur un plan. Le contact est supposé permanent enO, la vitesse ne peut donc pas avoir de composante selon l’axe (O, #–z).
Letorseur cinématiquede cette liaison s’écrit en fonction des mouvements possibles du solideS2par rapport àS1(terme de gauche). On en déduit donc la forme dutorseur statiqueet on retrouve bien ce que nous donne l’intuition :
n