Puissance des actions mécaniques exercées sur un solide Reprenons l’expression (4.9) de la puissance P en introduisant pour #–

V(M ∈ s/R) la relation de champ de torseur dans un solide rigide :P(s/R)=

Z

s

#–f(M)· #–

V(M ∈ s/R)·dm. On obtient, en notant respectivement#–F etM#–la résultante et le moment des actions exercées par l’extérieur sur le solides :

P(s/R)= #–

V(A∈ R)·#–

F + #–

V(s/R)·#–

M(A,#–

F)

4.5. Dynamique

qui représente le co-moment du torseur cinématique et du torseur des actions méca-niques. D’après ce résultat, on peut énoncer le théorème suivant :

Puissance pour des solides

La puissance des actions mécaniques exercées sur un solide indéformable s en mou-vement par rapport à un repèreRest égale au co-moment du torseur cinématique et du torseur des actions mécaniques.

P(s →s/R)={V(s/R)} · {A(s →s)} (4.10)

a) Puissance des actions mutuelles entre deux solides

Considérons deux solides S₁et S₂en interaction, et en mouvement l’un par rapport à l’autre (et par rapport à un repèreR).S1et S2sont soumis à des actions mécaniques caractérisées par un des torseurs de liaisons présentés précédemment. Compte tenu de la définition de la puissance des actions mécaniques nous pouvons écrire, pour le solideS₁:P(S₂→ S₁/R)={V(S₁/R)} · {A(S₂→ S₁)}. Pour le solideS₂, en tenant compte également de la composition des torseurs cinématiques :P(S₁ → S2/R) = {V(S₂/R)} · {A(S₁→ S₂} = {V(S₂/S₁)}+{V(S₁/R)}

· {A(S₁→ S₂)}. Si nous ajoutons terme à terme les deux relations précédentes nous obtenons, en tenant compte duthéorème des actions réciproques:

P(S₁→S₂/R) +P(S₂→ S₁/R)={V(S₂/S₁)} · {A(S₁→ S₂)} Nous venons de montrer le résultat suivant :

Puissance d’interaction entre solides

La somme de la puissance des actions développées par S₂sur S₁et par S₁sur S₂, qui définit la puissance des actions mutuelles entre ces deux solides, est indépendante du repère choisi pour la calculer, et vaut :

P(S₁↔ S₂)={V(S₂/S₁)} · {A(S₁→ S₂)}

4.5.7 Travail

TRAVAIL

Le travail élémentairedW s’obtient comme le produit de la puissance instantanée élé-mentaireP(t) par la durée élémentaire dt, il est notédW =P(t)dt. Le travail s’obtient par intégration par rapport au temps. Il dépend a priori du référentiel dans lequel on le calcule ainsi que de la trajectoire de tous les points matériels du système.Unité: dans le système SI, l’unité du travail est le joule (J). 1 J=1 kg·m²·s ².

Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit

Chapitre 4•Mécanique des solides indéformables

a) Énergie potentielle et densité massique d’énergie potentielle Dans de nombreux cas, la densité massique de forces #–

f(M,t) peut s’exprimer sous la forme du gradient (dérivée spatiale) d’une fonction scalaire.

Énergie potentielle Soit#–

f(M,t) une densité massique de forces. S’il existe une fonctione(M,t) telle que :

1. La variation élémentaire de(M,t) deeentre les pointsMetM^′ (infiniment proches) à l’instant t est reliée au gradient par la relation : de(M,t) = # –

grade(M,t).dOM# – où d# –

OM=# – OM^′−# –

OMest le vecteur déplacement élémentaire.

2. Dans le cas général #–

f etedépendent du temps. Dans le cas contraire, lechamp de forcesest ditstationnaire.

Dans ce dernier cas d’un champ de forces stationnaire, on peut calculer le travail élémentairedW associé aux forces #–

f :

Sous réserve de pouvoir permuter les intégrations spatiale et temporelle, on obtient : dW =−Z # – Dans l’équation précédente,Epdésignel’énergie potentielle du systèmeassociée aux forces de densité massique #–

f.Epne dépend pas explicitement du temps. Elle reste dépendante de la position moyenne du système, c’est-à-dire de la position de son centre de masse.

Remarque

On notedWpour signifier que dans le cas général il n’existe pas d’énergie potentielle.

Si au contraire, il existe une telle énergie potentielle, alorsdW est une différentielle

4.5. Dynamique

totale de la fonction−Ep, etW ne dépend pas de toute l’histoire du mouvement, mais seulement de l’état du système aux instants initial et final.

b) Exemple : énergie potentielle de la pesanteur

On considère le champ de pesanteur #–g (constant sur le domaine d’intégration) et un repèreRcentré à la surface de la Terre (pour lequel le vecteur unitaire #–z est vertical ascendant). On cherche à calculer l’énergie potentielle des actions de la pesanteur exercées sur un solidesdont le centre de masse est situé à l’altitudez_g. La puissance associée à la densité massique de forces #–g est donnée par :

P(#–g →s/R)= Z

M∈s

#–g ·#–

V(M ∈s/R)·dm.

En utilisant la définition du centre de masse et le fait que la pesanteur est constante pour l’intégration :

P(#–g →s/R)= #–g ·m#–

V(C∈s/R)=−mg#–z ·#–

V(C∈ S/R). Par définition du vecteur vitesse, et le vecteur #–z étant constant, on obtient :

P(#–g →/R)=−mg#–z ·dOC# –

dt |R =−mgd(OC# –·#–z)

dt |R=−mgdz_g dt

mgz_g+ cste représente l’énergie potentielle de la pesanteur Ep pes, qui est définie à une constante additive prèsC :

W(#–g →s/R)=−E_p^#–g =−mgz_g+ cste. 4.5.8 Théorème de l’énergie cinétique

Ce théorème constitue l’interprétation énergétique du PFD.

a) Application à un solide

Rappelons que le PFD appliqué à un solide S de masse m dans son mouvement par rapport à un référentiel galiléenRgs’écrit :

{D(S/Rg)}_A =

A(S→ S) _A∀A.

Nous pouvons multiplier (co-moment) chaque membre de l’égalité précédente par le torseur cinématique{V}deSpar rapport àR^g.

{V(S/R^g)}A· {D(S/R^g)}A ={V(S/R^g)}A·

A(S → S)

A

Le membre de droite de l’équation ci-dessus représente la puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures exercées sur le solideS, notéeP(S →S/R^g).

Nous pouvons, après quelques calculs, montrer que nous obtenons une nouvelle expression pour le membre de gauche qui conduit à : d

dtT(S/R^g) =P(S → S/R^g).

Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit

Chapitre 4•Mécanique des solides indéformables

Nous venons d’établir le Théorème de l’énergie cinétique, qui s’énonce de la façon suivante :

Théorème de l’énergie cinétique

La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique galiléenne d’un solide S dans son mouvement par rapport à un repère galiléenR^g, est égale à la puissance galiléenne des actions extérieures exercées sur S :

d

dtT(S/R^g)=P(S→ S/R^g)

b) Application à un ensemble de solides

Considérons un ensemblesdensolidesSi en mouvement par rapport à un repère gali-léenRg. Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit pour chacun des solides (i =1,n) :

d

dtT(Si/R^g)=P(Si →si/R^g). On ajoute membre à membre les équations obtenues pour trouver : d

dtT(s/R^g)= Xn

i=1

P(S_i → Si/R^g). Le terme de gauche exprime l’éner-gie cinétique galiléenne de l’ensemble des solides Si, tandis que le terme de droite exprime la somme des puissances galiléennes des efforts extérieurs appliqués à chaque solide. L’écriture détaillée du dernier terme montre qu’il se décompose en deux parties : la puissance galiléenne des efforts extérieurs às appliqués surs, et la puissance des inter-efforts entre solides. Ceci s’écrit :

d

dtT(s/Rg)=P(s→s/Rg) +P(Si ↔ Sj) et conduit à l’énoncé du théorème suivant :

Théorème de l’énergie cinétique pourn solides

La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique galiléenne d’un ensemble s de solides Si dans son mouvement par rapport au repère galiléenR^gest égale à la somme de la puissance galiléenne des actions extérieures exercées sur lui (notée P^ext) et de la puissance des inter- efforts entre les solides Si (notéePint) :

d

dtT(s/R^g)=P^ext+P^int

Remarques

1. À la différence du PFD, les actions intérieures interviennent ici par leur puissance.

2. Dans le cas de liaisons parfaites, la puissance des inter-efforts de liaison est nulle.

4.5. Dynamique

3. Le théorème de l’énergie cinétique ne fournit pas d’équation indépendante de celles obtenues par le PFD. Par contre il conduit souvent aux équations du mouvement de manière plus immédiate.

4.5.9 Intégrale première de l’énergie cinétique