D YNAMIQUE DU POINT
COORDONNÉES CARTÉSIENNES
2.2.3 Théorème de l’énergie cinétique et énergie mécanique a) Définition de l’énergie cinétique
donne la pente de la tangente à la courbe de Ep(x). Aux points extrêmes de cette courbe (minima et maxima), la pente de la tangente est nulle, doncF(x) = 0. En ces points, la force appliquée à la particuleM est nulle ; donc si on libère la particule, elle reste en équilibre en ce point extremum. Ainsi les extrema d’énergie potentielle sont lespositions d’équilibrede la particule.
Les régions de l’espace où l’énergie potentielle possède un minimum sont appelées
despuits de potentiel(équilibre stable enx1 etx3 sur la figure 2.8). Les régions Voir site web
de l’espace où l’énergie potentielle possède un maximum sont appelées barrières de potentiel(équilibre instable enx2sur la figure 2.8). En équilibre stable, il existe une force qui « ramène » la particule vers sa position. En équilibre instable au contraire, la force éloigne la particule de sa position.
2.2.3 Théorème de l’énergie cinétique et énergie mécanique a) Définition de l’énergie cinétique
Leibniz a montré que l’effet d’une force pouvait être caractérisé par le travail de cette force mais aussi par ce qu’il a appelé « la force vive » correspondant en fait au double d’une énergie dite cinétique. Il convient maintenant de rappeler comment on trouve l’expression de cette énergie cinétique, notamment à partir du cas de la chute libre d’un corps. On peut montrer qu’un corps en chute libre depuis une hauteurh atteint une vitesse au solk#–vsk=p
2· k#–gk ·h, ce qui donne 1
2k#–vsk2=k#–gk ·h.
En multipliant par la Voir site
web
masse, on obtient : 1
2m· k#–vsk2 =m· k#–gk ·h = #–
P ·h. On voit alors que l’effet d’une force peut se mesurer par son travail, mais aussi par une énergie dite cinétique, exprimée en joules comme le travail.
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Chapitre 2•Dynamique du point
Remarque
Comme la vitesse du pointM est une grandeur définie dans un référentiel donné, l’énergie cinétique est aussi une quantité relative à ce référentiel donné.
b) Théorème de l’énergie cinétique
Étudions le mouvement d’un pointM de massem, mobile dans un référentiel gali-léenR, sous l’action d’une force quelconque #–F. D’après le principe fondamental de la dynamique, on a :
#–F =m·#–a =m·d#–v dt De plus, par définition, on a : d#–r
dt = #–v, donc d#–r = #–v ·dt Le travail de la force #–
F entre deux pointsAetBest donc :
Il convient alors de faire un calcul différentiel simple pour avancer dans cette démons-tration du théorème de l’énergie cinétique.
Ainsi on peut écrire la différentielle du produit scalaire du vecteur #–v par lui-même : d(#–v ·#–v)=d#–v ·#–v +#–v ·d#–v =2#–v ·d#–v
On peut donc écrire le travail de la force #–
F comme suit : On obtient donc l’expression suivante :
WA→B
Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique entre deux positions est égale au travail de la force résultante appliquée entre ces deux positions.
2.2. Travail et énergie
Remarque
Quand plusieurs forces sont appliquées, on fait la somme vectorielle de ces forces ; et cette somme est la force résultante.
c) Cas des forces conservatives
On considère un pointMmobile dans un référentiel galiléen et soumis à l’action d’une force résultante conservative #–
F. Alors le théorème de l’énergie cinétique implique : WA→B
#–
F
= Ec(B)−Ec(A)
Or pour une force conservative, on peut écrire le travail comme suit : WA→B(#–
F) =− Ep(B)−Ep(A) On peut donc écrire :
− Ep(B)−Ep(A)
= Ec(B)−Ec(A) On arrive alors à la relation suivante :
Ep(A) +Ec(A)= Ep(B) +Ec(B)
On peut définir alors une nouvelle grandeur correspondant à la somme des énergies cinétique et potentielle : cette grandeur a la dimension d’une énergie, elle est appelée énergie mécaniqueet se noteEm.
Énergie mécanique
On appelle énergie mécanique du pointM, la somme de son énergie cinétique et des énergies potentielles des forces conservatives qui lui sont appliquées.
La relation établie plus haut peut donc s’écrire simplement en introduisant la notion d’énergie mécanique :
Em(A)= Em(B) Théorème
Dans un référentiel galiléen, l’énergie mécanique d’un point soumis à des forces conservatives se conserve. L’énergie mécanique est donc dans ce cas une constante du mouvement.
Remarques
•On voit ici l’origine de l’expression « force conservative », qui vient du fait que l’énergie mécanique associée se conserve.
•La loi de conservation de l’énergie mécanique est aussi appelée intégrale première du mouvement car elle ne fait intervenir que des dérivées premières.
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Chapitre 2•Dynamique du point
d) Cas des forces non conservatives Lorsqu’il existe une force #–
FNCnon conservative, en plus des forces conservatives de résultante #–FC, le théorème de l’énergie cinétique s’écrit :
WA→B
#–
FC
+WA→B
#–
FNC
= Ec(B)−Ec(A)
Or, le travail des forces conservatives peut s’écrire comme la variation d’énergie potentielle ; on obtient donc la relation suivante :
WA→B
#–
FNC
− Ep(B)−Ep(A)
=Ec(B)−Ec(A) On obtient donc :
DEm= Em(B)−Em(A)=WA→B
#–
FNC
Théorème
Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie mécanique d’un point matériel est égale au travail des forces non conservatives exercées sur ce point.
Remarque
Les forces de frottement sont typiquement des forces non conservatives : en effet leur travail dépend fortement du chemin suivi. À noter aussi que ces forces exercent un travail résistant qui s’oppose au mouvement. Ainsi la présence de forces de frottement conduit à une diminution de l’énergie mécanique.
À retenir
Isaac Newton a énoncétrois principes importants qui permettent d’expliquer l’origine des mouvements des objets qui nous entourent.
Le premier permet de définir les référentiels galiléens dans lesquels leprincipe d’inertieest vérifié. Le deuxième est leprincipe fondamental de la dynamique qui montre que la somme vectorielle des forces appliquées à un point est égale au produit de la masse ponctuelle par son accélération. Le troisième montre lanotion d’action et de réaction. De nouvelles notions ont été introduites : notamment la notion de force à l’origine du mouvement des objets.
Une autre approche de l’étude des mouvements est possible avec des lois de conservation d’énergie. Certaines forces sont dites conservatives, c’est-à-dire que leur travail ne dépend pas du chemin parcouru : ce travail étant égal à la variation d’énergie cinétiqueEc=1
2mv2(théorème de l’énergie cinétique) peut, dans ce cas, aussi s’écrire sous forme d’une différence d’énergie potentielle (Ep). Pour des forces conservatives, on constate alors que l’énergie mécanique (Em=Ec+Ep) se conserve lors du mouvement. Pour les forces non conservatives (frottements par exemple), leur travail est égal à la différence d’énergie mécanique.
Exercices
Les solutions sont regroupées p. 592.
2.1 D’une plate-forme située à la hauteurh= 30 m, on lance un projectile avec la vitessev0= 20 m·s–1, le vecteur initial#–v0faisant un anglea= 60avec l’horizontal. Le projectile tombe au sol. On néglige la résistance de l’air et on prendk#–gk, l’accélération de la pesanteur, égale à 10 m·s–2.
a) Déterminer la distancedhorizontale entre le point de lancement et le point d’impact sur le sol horizontal.
b) Déterminer le temps que dure le mouvement de chute.
c) Déterminer la vitesse du projectile lorsqu’il touche le sol.
d) Déterminer l’équation de la trajectoire du projectile.
2.2 Un ressort de constante de raideurket de masse négligeable, est accroché par une de ses extrémités en un pointAd’un plan incliné d’un angleaavec l’horizontale.
À l’autre extrémité, on accroche un objetMconsidéré comme ponctuel et de massem.
a) Une fois l’objetMaccroché et immobile, on parle de la positionxecomme étant la position d’équilibre de l’objetM(les positionsxsont définies sur un axe parallèle au plan incliné). Déterminer l’expression dexe.
b) À l’instantt= 0, on comprime le ressort : l’objetMest alors écarté de sa position d’équilibre d’une longueurx0dans le sens de la compression du ressort, et lâché sans vitesse initiale. Déterminer l’équation horairex(t) du mouvement (en considérant qu’il n’y a pas de frottement de l’objetMsur le plan incliné).
2.3 Un parachutiste de 80 kg subit lors de sa descente verticale une accélération a= 2 m·s–2quand son parachute de masse égale à 5 kg est déployé.
a) On considère le système constitué par l’ensemble du parachutiste et du parachute, qu’on assimile à un point matériel. Quelle est la force #–
F exercée par l’air sur le système ? On précisera sa direction, son sens et sa norme.
b) On considère maintenant le système constitué du parachutiste seul, assimilé à un point matériel. Quelle est l’intensité de la force de tension #–
T exercée par le câble sur le parachutiste ? On suppose que le câble est inextensible et sans masse.
2.4 On étudie le mouvement d’un corps de masse 10 kg, considéré comme ponctuel, sur un plan incliné. Les coefficients de frottement statiquemSet dynamiquemD entre le corps et le plan incliné valent respectivement 0,30 et 0,25.
a) Le plan est incliné progressivement d’un angleapar rapport à l’horizontale. Pour quelle valeur deale corps commence-t-il à glisser ?
b) L’anglea vaut 37. Quelle est la plus petite force #–
f parallèle à la ligne de plus grande pente qui empêche le corps de glisser ?
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c) L’angleavaut toujours 37. À l’instant initial, le corps se déplace sur le plan incliné, vers le haut, à la vitessev0. Quelle est la force parallèle à la ligne de plus grande pente qui permet au corps de continuer à gravir la pente à vitessev0constante ? 2.5 Une caisseA est posée sur une table. Une masseB est reliée à la caisse par l’intermédiaire d’une corde qui passe dans une poulie.
A
B
a) On pose une masseCsur la caisseA. Déterminer la masse minimalemCdeCqui permet l’équilibre statique.
b) On enlève la masseC. Déterminer l’accélération de la caisseAet la tension de la corde.
Application numérique:mA= 10 kg ;mB= 5 kg ;mS= 0,30 ;mD= 0,10.
2.6 On observe la chute dans l’air, d’une gouttelette sphérique de glycérine (assimi-lée à un point matérielA), de massemet de rayonr. La force de frottement visqueux qui s’exerce sur la goutteletteAest donnée par la loi de Stokes :
F#–=−6p·m·r·#–
V
mest le coefficient de viscosité de l’air, avecm= 1,80·10–5S.I.
a) À l’aide du principe fondamental de la dynamique, calculer la vitesseV(t) deA (condition à l’origine :V= 0 m·s–1àt= 0 s).
b) Montrer queV(t) tend vers une valeur limiteV0dont on donnera l’expression en fonction dem,r,metk#–gk=g.
2.7 Une particuleMde massem, pouvant se déplacer suivant un axeOx(pour des valeurs de x positives) est soumise à une force conservative dérivant d’une énergie potentielle définie par :
Ep(x)= A·a·(x −a)2
x3 Aetasont des constantes positives.
a) Donner le tableau de variation deEp(x). Quelles sont les positions d’équilibre stables et instables ?
b) Identifier les régions du demi-axe défini parx> 0 où la force est attractive (vers l’origine) et celles où la force est répulsive.
Exercices c) On considère le cas où l’énergie de la particuleM est E = A
9 et se trouve, à un certain instant, à la positionx= 1,5·a. Quelle énergie faut-il apporter à la particule pour la « libérer » ? Quelle est alors la vitesse de la particule à l’infini ?
2.8 Un chariot de manège, glissant sans frottement sur des rails, arrive sur une boucle verticale circulaire de rayonR. De quelle hauteur doit-il être lâché, sans vitesse initiale, pour pouvoir faire le tour de la boucle ?
a) Envisager le cas où le chariot ne peut pas se décrocher des rails.
b) Envisager le cas où le chariot n’est pas retenu.
2.9 a) Trouver la valeur minimale de la vitesse d’un objet de massem, nécessaire pour quitter la surface de la Terre sans y retourner (appelée vitesse de libération) ? Données : MT= 6·1024kg (masse de la Terre) ;RT= 6 400 km (rayon de la Terre) ; G = 6,67·10–11 m3·s–2·kg–1(constante de gravitation).
b) Quelle serait cette vitesse de libération sur la Lune ?
Données : MT≈81·ML(ML= masse de la Lune) ; RT≈3,7·RL(RL= rayon de la Lune).
c) Quelle vitesse doit-on communiquer à une fusée de massempour qu’elle parvienne sur la Lune ? On ne tient pas compte de la rotation relative des deux astres.
Donnée : dTL≈60·RT(dTL= distance Terre-Lune).
2.10 Dans un référentielR galiléen de base cartésienne(O,#–ux,#–uy,#–uz), un pendule simple est constitué d’une masse ponctuellemliée à une tige rigide de longueurLde masse négligeable, mobile autour de l’axe horizontal #–uz. On écarte le pendule d’un angleu(dans le sens trigonométrique) par rapport à l’axe vertical #–ux (quand le pendule est à l’équilibre à la verticale,u= 0). On lâche le pendule et on néglige les frottements avec l’air et les frottements de la tige sur son axe de rotation.
a) En utilisant le principe fondamental de la dynamique, trouver l’équation différen-tielle du mouvement.
b) En supposant une amplitude de mouvement faible (c’est-à-direu petit, donc sinu≈u), trouver la solution de cette équation différentielle, sous la formeu(t).
Préciser à quoi correspondent la pulsation et la période du mouvement.
c) Retrouver ces mêmes résultats en considérant la conservation de l’énergie méca-nique.
2.11 Un ion He+ (hélium) de massem et de vitesse #–v0 entre en collision avec un atome d’hélium au repos. On suppose que les masses de l’ion et de l’atome sont iden-tiques. Après la collision, l’ion a une vitesse #–v1 faisant un angle de 30 avec #–v0 et
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l’atome une vitesse #–v2faisant un angle de 45avec #–v0. L’ion He+ a une énergie ciné-tique initialeEc= 100 eV.
a) Déterminer le rapport k#–v1k k#–v2k = v1
v2
. Déterminerk#–v1ketk#–v2ken fonction dek#–v0k. Montrer que la collision est inélastique. Calculer l’énergie cinétique perdueDEc (en eV) pendant la collision.
b) Dans le cas général, on appellea et ules angles que font les vitesses #–v1 et #–v2 respectivement avec #–v0. En éliminantuetk#–v2k, établir la relation entrek#–v1k,a, k#–v0ketg= DE
Ec (avecEc= énergie cinétique initiale).