Vibrations libres non lin ´eaires et ondelettes

FIG. 3.10 – Plaque de plexiglass, mode 8. a) Ar ˆetes extraites `a partir des signaux enregistr ´es. b) Repr ´esentation logarithmique des amplitudes des squelettes, avec les intervalles de temps appropri ´es pour l’analyse modale. c) Partie r ´eelle de la forme modale complexe identifi ´ee. d) Partie imaginaire de la forme modale complexe identifi ´ee.

choc induisant la vibration libre est impos ´e au point 1, le mode 8 est excit ´e avec une amplitude beaucoup plus grande que celle du mode 7. R ´eciproquement, quand le choc est impos ´e au point 2, qui se trouve approximativement sur une ligne nodale du mode 8, seulement le mode 7 est excit ´e `a cette fr ´equence, et son identification devient facile (cf. Fig. (3.9)).

En outre, les modes 9 et 10 avec des fr ´equences plus ´elev ´ees sont bien excit ´es en imposant le choc au point 2. Par cons ´equent, les valeurs de la fr ´equence et du taux d’amortissement de ces modes ont ´et ´e identifi ´ees ´egalement `a partir de ce deuxi `eme proc ´ed ´e de mesure (voir les trois derni `eres colonnes du Tableau 3.2). Des indices de non-proportionnalit ´e I^˜_np,ident^(j) ont ´et ´e calcul ´es pour tous les modes de la plaque (cf. [EA07]).

3.5 Vibrations libres non lin ´eaires et ondelettes

Il est fr ´equent qu’une structure industrielle ou civile sorte du domaine lin ´eaire par exemple lorsque des ph ´enom `enes de glissement prennent naissance aux joints de la structure ou que le comportement du mat ´eriau rentre dans le domaine de plastifica-tion ou encore que des zones endommag ´ees apparaissent. N ´egliger les effets non lin ´eaires peut alors entraˆıner une grande diff ´erence entre le comportement r ´eel de la structure et le comportement estim ´e par un mod `ele num ´erique, m ˆeme pour des non lin ´earit ´es faibles. Dans ce contexte, le but de l’identification dynamique non lin ´eaire est de donner `a l’ing ´enieur des outils th ´eoriques et num ´eriques pour tenter de localiser les non-lin ´earit ´es et d’en caract ´eriser leur nature et finalement de les identifier `a partir de

l’auscultation vibratoire de la structure.

La transformation de Hilbert est un des premiers outils utilis ´es pour d ´etecter et ca-ract ´eriser la pr ´esence de non-lin ´earit ´es [Fel94]. Pour un syst `eme non lin ´eaire, les fr ´equences modales peuvent varier avec le temps et sont appel ´ees fr ´equences ins-tantan ´ees ; ce ph ´enom `ene ne peut pas ˆetre correctement analys ´e par l’analyse de Fourier. Au contraire, les m ´ethodes d’analyse temps-fr ´equence, notamment la TWV [Coh95] et la TOC d ´efinie pr ´ec ´edemment n’ont pas cette restriction. Elles ont ´et ´e r ´ecemment appliqu ´ees pour l’identification de structures non lin ´eaires. La TWV a ´et ´e utilis ´ee par [GPS98] pour classifier le type de non-lin ´earit ´es et identifier les param `etres instantan ´es d’un syst `eme non lin ´eaire. Cette m ´ethode n ´ecessite un filtre passe-bande si plusieurs fr ´equences sont pr ´esentes dans le signal comme c’est le cas pour un syst `eme `a plusieurs DdLs. En revanche, la TOC permet non seulement de capter l’ ´evolution en temps de la fr ´equence et de l’amplitude mais joue aussi le r ˆole d’un filtre. Nous avons vu dans ce qui pr ´ec `ede que l’emploi de la TOC facilite l’identifica-tion modale de syst `emes lin ´eaires et stal’identifica-tionnaires et donne des r ´esultats prometteurs lorsque deux modes propres sont coupl ´es. Quelques r ´esultats r ´ecents quant `a l’identi-fication des syst `emes non lin ´eaires par la TOC ont ´et ´e pr ´esent ´es par [Sta98], [AL03], [LA03]. On note l’utilisation de plus en plus fr ´equente de la TOC pour analyser des r ´eponses de syst `emes non lin ´eaires comme par exemple, dans le ph ´enom `ene du pom-page ´energ ´etique. Dans [GVK07], les auteurs appliquent la TOC, la transformation de Hilbert et la d ´ecomposition modale empirique aux r ´eponses sous chocs du syst `eme constitu ´e d’une barre `a comportement lin ´eaire reli ´ee en bout `a une masse tr `es l ´eg `ere, par une liaison essentiellement non lin ´eaire.

[AL03] proposent quatre indicateurs instantan ´es appliqu ´es aux r ´eponses libres d’un syst `eme faiblement non lin ´eaire. Le principe de superposition modale n’est plus appli-cable lorsque le comportement de la structure est non lin ´eaire.

Pour des syst `emes non lin ´eaires conservatifs, [SS90b] introduit le concept de modes normaux coupl ´es MNC qui est d ´evelopp ´e par [BB99] pour analyser des syst `emes non lin ´eaires discretis ´es faiblement amortis. La r ´eponse libre en d ´eplacement u_k(t) au point de mesure k d’un syst `eme non lin ´eaire conservatif `a N DdLs peut ˆetre ap-proch ´ee par une combinaison lin ´eaire d’un terme constant Ψ_0k qui repr ´esente la va-leur moyenne de u_k(t) et de termes harmoniques dont l’amplitude d ´epend d’un vec-teur li ´e `a un «mode» Ψ<sub>rk</sub> et la phase `a la pulsation propre correspondante Ω_r :

u_k(t) = Ψ_0k + ^PN_r=1Ψ_rkA_r cos (Ω_rt+ϕ_r(t)) o `u Ψ_0k et Ψ_rk sont fonctions de toutes les amplitudes modales (A1(t), A2(t), . . . , AN(t))et non pas uniquement de Ar(t). Les termes de la somme sont encore des chirpsukr(t)etuk(t)peut encore se mettre sous la forme : uk(t) = Ψ0k+^Pukr(t) = Ψ0k+ ^PN

r=1

Υ(ukr)(t) cos^¡α(ukr)(t)^¢. Bellizzi propose de normaliser le vecteur Ψ_k des composantes Ψ_rk suivant la matrice de masse. Le MNC est donn ´e par le couple (Ω_k,Ψ_k) ∈ R+ ×R et suite `a la propri ´et ´e de normali-sation,A<sub>k</sub> d ´efinit l’amplitude modale du ke mode non lin ´eaire coupl ´e. L’application des techniques d’ ´equilibrage harmonique [SS90a] fournit des ´equations algr ´ebriques non lin ´eaires dont la r ´esolution conduit au MNC comme une fonction du vecteur A dont les composantes sont les amplitudes modales Ar. Dans [BGKM01], les amplitudes et phases instantan ´ees sont extraites au moyen d’une d ´efinition des ar ˆetes ´etendues `a l’analyse continue en gaborettes et les MNC sont ensuite identifi ´es. La technique pro-pos ´ee ici est fond ´ee sur le m ˆeme concept de MNC mais utilise l’analyse en ondelettes continue.

3.5 Vibrations libres non lin ´eaires et ondelettes 83 On note k₀ l’indice du point de mesure o `u la valeur moyenne sur t de l’amplitude Υ(^uk₀r)(t)est maximale. Les indicateurs sont appliqu ´es sur les r ´eponses acc ´el ´erom ´etriques ¨

u_k(t) au point de mesure k . Pour cela, on calcule les TOC des u¨_k(t) aux diff ´erents points de mesure et on extrait les diff ´erentes ar ˆetes a^(¨ukr)

r (t) `a l’aide des m ´ethodes pr ´ec ´edemment d ´ecrites et on obtient le squelette : Tψn[¨uk]

³

t, a^(¨ukr)

r (t) ´

. Les quatre indicateurs sont d ´efinis par :

pourk ≥ 1 fkr(t) = ¹ 2π n a^(¨ukr) r (t) ^(3.5.1) rkr(t) = ¯ ¯ ¯T_ψn[¨u_k] ³ t, a^(¨ukr) r (t) ´¯_¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯^Tψn[¨uk] µ t, a^(¨uk0^r) r (t) ¶¯_¯ ¯ ¯ ³ a^(¨ukr) r (t) ´₂ µ a^(u¨k0^r) r (t) ¶₂ (3.5.2) d_kr(t) = ln^¯¯T_ψn[¨u_k] (t, a(¨ukr) r (t)^¯¯+ 2 lna(¨ukr) r (t) +C(n) (3.5.3) et pourk > 1 µ_kr(t) = arg^©T_ψn[¨u_k] (t, a(¨ukr) r (t)^ª−arg ½ T_ψn[¨u_k] (t, a^(u¨(k−1)r) r (t) ¾ (3.5.4) o `uC(n) = −ln(π)−(n+ 2) ln(n) +n+ ln(n!);f_kr(t),r_kr(t). Commeα˙(ukr)(t) = n a⁽r^{ukr¨ )}(t) et T_ψn[¨u_k] ³ t, a^(¨ukr) r (t) ´ ≈ −π ^¡α˙(ukr)(t)^¢2 nne−n

n! Υ(ukr)(t) eiα(ukr)(t), on d ´eduit que : f_kr(t) ≈

˙

α(ukr)(t)

2π ; rkr(t) ≈ ^Υ(ukr)(t)

Υ^(uk0r⁾(t); µkr(t) ≈ α(ukr)(t)− α(u(k−1)r)(t) et dkr(t) ≈ ln^¡Υ(ukr)(t)^¢.

f_kr(t) et r_kr(t) d ´esignent respectivement la re fr ´equence instantan ´ee et le re “mode” instantan ´e (avec une amplitude positive). d_kr(t) et µ_kr(t) caract ´erisent la dissipation d’ ´energie suivant la re composante : d_kr(t) la d ´ecroissance globale de l’ ´energie dans la r ´eponse transitoire de la recomposante et µ_kr(t)caract ´erise la dissipation d’ ´energie entre deux points de la structure ket(k−1).

Pour des syst `emes lin ´eaires et stationnaires avec amortissement visqueux proportion-nel, les relations pr ´ec ´edentes (3.5.1), (3.5.2), (3.5.3) et (3.5.4) s’ ´ecrivent : f_kr(t) = ωr

2π , r_kr(t) ≈ ¯ ¯ ¯ ¯φ^φ_k^kr 0^r ¯ ¯ ¯ ¯ ^{, d}kr(t) = Log|φ_kr| +Log|G_r| −ξ_rω_0rt et µ_kj(t) = π 2(sgn(φ_(k−1)r)−

sgn(φ_kr)). Dans ce cas, pour le mode r, f_kr(t), r_kr(t) et µ_kr(t) sont constants ; f_kr(t) d ´esigne alors la re pseudo-fr ´equence propre etµ_kj(t) redonne le signe de l’amplitude du mode. Finalement,dkj(t)s’ ´ecrit sous la forme d’une droite avec une pente n ´egative dont la valeur est proportionnelle au taux d’amortissement du remode.

L’ ´etude de l’ ´evolution temporelle de ces indicateurs, principalement leur d ´eviation par rapport au comportement lin ´eaire avec amortissement proportionnel permet aux au-teurs de d ´etecter, localiser (si non-lin ´earit ´e locale) et donner des informations utiles pour la caract ´erisation et l’identification futures des effets non lin ´eaires.

Ces indicateurs ont ´et ´e calcul ´es sur les r ´esultats de la campagne d’essais men ´ee en 2001 par l’Universit ´e de Li `ege(3). Le corps d’ ´epreuve est constitu ´e de l’assemblage de deux ´el ´ements : l’ ´el ´ement principal est une poutre en acier encastr ´ee `a une de

3au sein du Laboratoire de Techniques A ´eronautiques et Spatiales - D ´epartement Vibrations et Identification des Structures dirig ´e par le Professeur Jean-Claude Golinval.

ses extr ´emit ´es et l’ ´el ´ement secondaire est une poutre mince en acier encastr ´ee `a une extr ´emit ´e dans un b ˆati fixe et fix ´ee `a l’autre extr ´emit ´e, `a la poutre principale au moyen de vis (pour plus de d ´etails sur l’essai et sur les caract ´eristiques g ´eom ´etriques et m ´ecaniques des poutres voir [Tho03]). La poutre de l’ ´el ´ement principal est instru-ment ´ee de sept acc ´el ´erom `etres r ´eguli `ereinstru-ment espac ´es et est soumise `a un choc par l’interm ´ediaire d’un marteau. On remarque six pics clairement visibles sur les FFTs des r ´eponses acc ´el ´erom ´etriques dont les fr ´equences correspondantes en Hz sont :

f₁ ≈ 40, f₂ ≈ 123, f₃ ≈ 149.5, f₄ ≈ 207, f₅ ≈ 232, f₆ ≈ 395. L’ ´etude est restreinte aux quatre ar ˆetes situ ´ees au voisinage de 40, 123, 149,5 et 395 Hz ; elles ont ´et ´e ex-traites avec des valeurs de Q respectivement ´egales `a 17.33, 53.20, 64.69 et 170.69 (correspondant respectivement `a n = 600, 5660, 8370 et 58270) et choisies de telle sorte que les ´ecarts-types temporel et fr ´equentiel de la TOC soient sensiblement iden-tiques pour le calcul d’extraction des quatre ar ˆetes :∆t_r =a_r∆t_ψn = n

2πfr 1 √ 2n−1 ≈0.069 s, ∆f_r = ^∆ωψn 2π ar = ^fr 2n √

2n+ 1 ≈1.156 Hz. Les fr ´equences instantan ´eesf_kr(t)des trois premiers modes et du premier mode sur-harmonique sont trac ´ees en Fig. (3.11).

FIG. 3.11 – Poutre de Li `ege. Fr ´equences instantan ´eesfkr(t)des trois premiers modes et du premier mode sur-harmonique (r= 1,2,3et6) pour les7capteurs (k= 1,· · ·,7)

Un comportement non lin ´eaire de type Duffing est mis ensuite en ´evidence pour la «poutre»de Li `ege. Ainsi, la composante correspondant au sur-harmonique d’ordre 3 est nettement visible ; en effet, le rapport de la fr ´equence instantan ´ee de cette com-posante sur celle de la comcom-posante fondamentale est pratiquement constant et ´egal `a 3.

3.5 Vibrations libres non lin ´eaires et ondelettes 85 KBM(4)) de la fr ´equence et de l’amplitude instantan ´ees des vibrations libres d’un oscil-lateur non lin ´eaire avec une non-lin ´earit ´e de type Duffing et un faible taux d’amortisse-ment visqueux ξ. L’ ´equation diff ´erentielle qui r ´egit les vibrations d’un tel oscillateur se met sous la forme : u¨(t) +ω2u=−ε[f1( ˙u) +ψ1(u)]avec :ψ1(u) =βω3

h u3 ,f1( ˙u) = 2ωu˙ et ε= h

ω o `u la variableε= ξ a une valeur«faible». L’approximation au premier ordre par la m ´ethode KBM (5) s’ ´ecrit sous la forme d’un signal modul ´e en amplitude et en phase :u₁(t) = a(t) cos(α(t))aveca(t) =a₀e−htetα(t) =α₀+ωt+β 3

16hωa2 0

¡

1−e−2ht¢ o `u a(0) = a<sub>0</sub> et α(0) = α<sub>0</sub> (6). L’expression analytique de la premi `ere fr ´equence ins-tantan ´ee en fonction de l’amplitude insins-tantan ´ee est de forme parabolique. La premi `ere ´etape de la proc ´edure d’identification consiste `a extraire l’ar ˆete et la valeur de la TOC sur l’ar ˆete des signaux transitoires mesur ´es. Les r ´esultats de l’extraction permettent de d ´eduire la premi `ere fr ´equence instantan ´ee du syst `eme en fonction de l’ampli-tude instantan ´ee. A partir de cette fr ´equence et de son expression analytique obte-nue par la m ´ethode KBM, on identifie les param `etres de l’oscillateur avec une non-lin ´earit ´e cubique. On note que l’erreur relative en norme L2 sur l’ ´evolution temporelle de la fr ´equence instantan ´ee est de l’ordre de 10−3. En conclusion, pour la premi `ere fr ´equence de r ´esonance, le mod `ele avec un faible amortissement visqueux et une non lin ´earit ´e en d ´eplacement de type cubique semble convenir.

Ces r ´esultats constituent un premier pas dans l’utilisation prometteuse de la TOC pour traiter les r ´eponses dynamiques des structures non lin ´eaires au niveau de la d ´etection et de la caract ´erisation des effets non-lin ´eaires. Pour ce qui concerne l’identification des param `etres de comportement, une mod ´elisation pr ´ealable des effets non lin ´eaires est n ´ecessaire ; la TOC permettant un pr ´e-traitement efficace et pertinent de l’informa-tion.

4La m ´ethode Krylov Bogoliubov Mitropolsky (KBM) est bas ´ee sur la m ´ethode de la variation des constantes pour les ´equations diff ´erentielles faiblement non lin ´eaires. Elle est appliqu ´ee ici au cas des vibrations libres d’un oscillateur non lin ´eaire : la r ´eponse est choisie sous la forme d’un signal modul ´e en amplitude et en phasea(t)cos(ωt+ϕ(t))avec l’amplitudea(t)et la phaseϕ(t)

qui varie«lentement».

5L’approximation au premier ordre par la m ´ethode de Krylov et Bogolyubov (KBM) est donn ´ee par :u1(t) = a(t) cos(α(t))

avec lorsquet0= 0,a(0) =a0etα(0) =α0. t(a) =t0+¹_ε^R_a^a 0 da A₁(a) =¹_ε^R_a^a 0 da A₁(a) α(t) =α0+ω(t−t0) +ε^R_t^t₀B1(a)dt=α0+ωt+ε^R₀^tB1(a)dt A1(a) =_2πω^{1 R}₀^2πf1(−ωasin(α)) sin(α)dαne d ´epend que def1.

B1(a) =_{2πω a}^{1 R}₀^2πψ1(acos(α)) cos(α)dαne d ´epend que deψ1.

6A1(a) = 1 2πω

R_2π

0 f1(−ωasin(α)) sin(α)dα=−2ω²a

2πω R_2π 0 sin2(α)dα A1(a) =−ω aet finalementt(a) =−1 ωε R_a a₀ A^da₁(a) =−1 hLn^³a a₀ ´ . D’o `ua(t) =a0e−ht. et encore : ψ1(acos(α)) =βω3a3 4h (cos(3α) + 3 cos(α)) B1(a) = 1 2πω aβω³a³ 4h R_2π

0 (cos(3α) + 3 cos(α)) cos(α)dα=β 3

8hω2a2aveca(t) =a0e−ht B1(a) =β3 8hω2a2 0e−2ht α(t) =α0+ωt+ε^R₀^tB1(a)dt=α0+ωt+β³₈ωa2 0 R_t 0e−2htdt =α0+ωt+β 3 16hωa2 0 ¡ 1−e−2ht¢

BIBLIOGRAPHIE 87

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91

Chapitre 4

Mod ´elisation et identification de

syst `emes discrets hyst ´er ´etiques en

dynamique

Claude-Henri Lamarque, Fr ´ed ´eric Bernardin, J ´er ˆome Bastien, Michelle Schatzman.

4.1 Introduction

Cette contribution pr ´esente des mod `eles permettant de d ´ecrire des ph ´enom `enes avec hyst ´er ´esis. Nous proposons une revue bibliographique rapide et nous abordons de fac¸on un peu plus d ´etaill ´ee une description particuli `ere de la dynamique de sys-t `emes m ´ecaniques discresys-ts exhibansys-t un comporsys-temensys-t hyssys-t ´er ´esys-tique. Nous expliquons sur quelques exemples tr `es simples le formalisme retenu pour d ´ecrire ces syst `emes. Nous rappelons rapidement les r ´esultats math ´ematiques g ´en ´eraux disponibles pour ces syst `emes. Nous montrons aussi qu’il est possible d’identifier les param `etres d’un mod `ele `a partir de donn ´ees discr `etes (mesures).

Les comportements hyst ´er ´etiques peuvent ˆetre li ´es `a des processus de natures tr `es diverses. Ils se produisent et sont observ ´es en m ´ecanique, en physique, aussi bien qu’en biologie, ou en sciences sociales.

Il existe dans la litt ´erature de nombreuses approches pour la mod ´elisation d’hy-st ´er ´esis : approches boˆıte noire (r ´eseaux de neurones), approches analytiques avec interpolation des sorties comme fonctions des donn ´ees (exponentielles, hyperboles, polyn ˆomes, arc-tangente etc.), ou approche par mod `eles diff ´erentiels supposant que les entr ´ees sont connues.

Des mod `eles math ´ematiques sont discut ´es dans les ouvrages [May91] ou [Vis94]. Les mod `eles d ´ecrivant des syst `emes avec hyst ´er ´esis pr ´esentent souvent des discon-tinuit ´es voire des irr ´egularit ´es plus fortes encore.

On trouvera des exemples de syst `emes hyst ´er ´etiques abord ´es du point de vue mod ´elisation, exp ´erimentation, analyse des r ´eponses pour diverses applications dans

[MCV02], [Ber01] et [KO93] (mod `eles `a variables internes avec diverses significa-tions physiques : par exemple approche de Ziegler-Green-Naghdi avec une variable interne), [CSB03] (mod `ele statique, expressions analytiques et interpolation par arc-tangente), [KS00] (mod `ele de Preisach modifi ´e), [KRB+00] (mod `eles de Coleman-Hodgdon, Jiles et Atherton), [KFSM01] (mat ´eriaux ferro-magn ´etiques et alliages `a m ´emoire de forme, mod `ele de Preisach et op ´erateurs hyst ´er ´etiques appropri ´es inter-pol ´es par moindres carr ´es), [MDDWM03] (mod `ele par r ´eseaux de neurones alternative aux calculs par mod `eles de Preisach), [OD02] (alliages `a m ´emoire de forme,approches ph ´enom ´enologique), [OHB03] (limites des mod `eles de Preisach, Coleman-Hodgdon, Jiles et Atherton, dues aux mat ´eriaux, histoire compl `ete des mat ´eriaux mal prise en compte, mod `ele de Preisach partiel), [Sap03, SF03] (fluides magn ´eto- ou ´electro-rh ´eologiques et mat ´eriaux intelligents amortissants, mod `eles avec petit nombre de param `etres de type Bouc-Wen ou Spencer), [Kle97] (mod `ele physique de m ´emoire non locale pour des syst `emes `a hyst ´er ´esis).

Des travaux r ´ecents ´etudient la dynamique d’oscillateurs hyst ´er ´etiques (mod `eles de Masing et Bouc-Wen [CM96, LYL01, LZW02, VN02, LV04, BMMD07], syst `eme `a un degr ´e de libert ´e [Ket98], syst `eme de type Masing `a deux degr ´es de libert ´e [MCV02]) en utilisant des m ´ethodes analytiques et/ou num ´eriques, en allant jusqu’aux

Dans le document Problèmes inverses en génie civil (Page 83-95)