, (8.3.7)
et la probabilit ´e π2(n??|n?) de revenir en arri `ere de n? `a n?? est obtenue de (8.3.7) en changeanth(eji) avech(−i)ej.
En conclusion (8.3.5) et (8.3.7) nous permettent d’expliciter le ration des lois candi-dates qui apparaˆıt dans (8.3.2) :
π(ni|n?) π(n?|ni) = Qp j=1min ³ measI(i), maxI(i)−h(−i)ej ´ Qp j=1min ³ measI(i), maxI(i)−h(eji) ´ . (8.3.8)
8.4 R ´esultats num ´eriques
Les deux algorithmes ont ´et ´e test ´es en prenant en compte des pas de diff ´erente lon-gueur ; dans la suite on compare les r ´esultats de ces choix. L’algorithme `a candidature modifi ´ee bas ´e sur des pas de longueur4se montre plus efficace que les autres qui ont ´et ´e test ´es ; par cons ´equent on m `ene une analyse statistique des r ´esultats qui peuvent ˆetre obtenus dans ce cas, afin d’ ´evaluer le nombre minimale de pas qu’il faut inclure dans le chemin al ´eatoire pour obtenir, de fac¸on suffisamment probable, une ´evaluation raisonnable de la valeur dominante de la vraisemblance.
8.4.1 Comparaison des algorithmes
Dans la figure 8.4 on montre des chemins de 1000 pas construits par l’algorithme simple de Metropolis, en prenant des pas qui peuvent comprendre plus qu’un seul
8.4 R ´esultats num ´eriques 179
(a) (b)
(c) (d)
(e)
FIG. 8.4 – Chemins de 1000 pas dans le plan constitution vs. vraisemblance, obtenus par algorithme de Metropolis ind ´ependant, avec pas compos ´es au plus de1,2,4,8,16glissements d’arr ˆete (montr ´es respectivement du haut `a droite vers le bas `a gauche).
glissement d’arr ˆete. On montre l’issue des calculs men ´es en prenant 1, 2, 4, 8ou 16, glissement d’arr ˆete par pas.
Ces r ´esultats montrent que cet algorithme requiert des chaˆınes relativement longues pour atteindre des r ´esultats relativement peu approch ´es de la valeur dominante de la vraisemblance (qui est connue dans cet exemple). Les taux de rejet dans la construc-tion du chemin sont :39.2%,42.7%,48.4%,57.6%et77.3%, respectivement pour les cas 1,2,4,8et16.
Des chaˆınes de 1000 pas construites par l’algorithme `a loi candidate modifi ´ee sont pr ´esent ´ees en figure 8.5. Le taux de rejet total (anticip ´e et final) pour les diff ´erents test est 33.2%, 36.0%, 37.0%, 41.8%, 43.0% et 40.7%, pour des pas dont la longueur maximale est 1,2,4,8, 16et32(dans ce cas chaque pas couvre toute la longueur du fil), respectivement. A noter que ces taux de rejets sont tous inf ´erieurs `a l’optimum de Roberts, Gelman et Gilks (76.6%, d ´emontr ´e pour de densit ´es de probabilit ´e normales). Le cas donn ´e par le deuxi `eme algorithme, avec 4glissements d’arr ˆete par pas au plus, donne les meilleurs r ´esultats et m ´erite plus d’attention.
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
FIG. 8.5 – Chemin de 1000 pas dans le plan constitution vs. vraisemblance, obtenus par algorithme de Metropolis-Hastings `a marche al ´eatoire donnant lieu `a rejets anticip ´es, pour des pas compos ´es au plus de1,2,4,8,16,32glissement d’arr ˆete (montr ´es respectivement du haut `a droite vers le bas `a gauche).
En r ´eduisant la probabilit ´e d’acceptation (8.3.2) `a
πM Hr(ni+1 =n?) = max µ 0,πM H(ni+1 =n ?)−r 1−r ¶ r ∈]0,1[, (8.4.1) on focalise d’avantage sur les ´echantillons plus vraisemblables et on r ´eduit donc le nombre des calculs num ´eriques `a mener lorsqu’on cherche la valeur dominante de la vraisemblance. On consid `ere r = 0.8 et on analyse les r ´esultats de plusieurs calculs afin de d ´efinir l’ensemble de param `etres le plus appropri ´es pour ce type de calcul.
En plus on se donne deux cas : l’algorithme avec rejet anticip ´e tel que d ´ecrit pr ´ec ´e-demment, mais avec acceptation (8.4.1), et un cas proche simplifi ´e, obtenu en impo-sant (8.3.8) ´egale `a 1. Ce dernier cas est propos ´e sur la base de consid ´erations em-piriques et produit des chaˆınes non r ´eversibles (donc non markoviennes, ce qui, par ailleurs, ne garantit plus la convergence du calcul), mais fourni de r ´esultats meilleurs du pr ´ec ´edent au moins dans le cas pr ´esent.
Pour obtenir des informations sur le chemin le plus court qu’il faut se donner afin de pr ´edire de fac¸on acceptable la valeur dominante de la vraisemblance, on compare les r ´esultats de chemin dont la longueur est limit ´ee `a 75, 100 et 250 pas. Les r ´esultats, donn ´es en figure 8.6 et 8.7 montrent que le cas de chemin limit ´es `a 100 pas fournit
8.4 R ´esultats num ´eriques 181 des r ´esultats suffisamment approch ´e de la valeur dominante recherch ´ee et, au m ˆeme temps, implique un co ˆut num ´erique raisonnable.
La figure 8.6 donne les histogrammes du maximum estim ´e de la vraisemblance dans les trois cas : les r ´esultats ne sont pas bons si on se limite `a 75 pas (rarement vraisemblables plus qu’ `a 20%) ; avec 100 pas on obtient des meilleurs r ´esultats (vrai-semblance `a 60% dans la plus part des cas) ; les r ´esultats obtenus avec 250 pas ne sont pas remarquablement meilleurs que ceux obtenus avec 100.
(a) (d)
(b) (e)
(c) (f)
FIG. 8.6 – Histogrammes de la valeur maximale obtenue pour la vraisemblance (valeur th ´eorique 1) dans 1000 chemins de 75, 100 et 250 pas respectivement de haut en bas droite. La premi `ere colonne (a, b, c) contient les r ´esultats de l’algorithme `a rejet anticip ´e, la deuxi `eme (d, e, f) montre ceux du processus non markovien.
La figure 8.7 montre le nombre de maillons faux identifi ´es sur le fil dans les diff ´erents cas. Elle confirme la faiblesse du choix de la limite `a 75 pas et la bonne performance du cas `a 100 pas d ´ej `a not ´ee en figure 8.6. Par rapport au nombre de maillons faux le cas avec 250 pas s’av `ere plus int ´eressant (ce qui n’ ´etait pas ´evident dans la comparaison avec le cas `a 100 pas men ´ee sur la base de la vraisemblance).
Notez qu’on adopte un comptage des maillons faux qui consid `ere chaque diff ´erence avec le vrai fil comme un erreur. Par cons ´equent, par exemple, la pr ´esence d’une inclusion souple d ´ecal ´e d’une longueur par rapport `a sa position correcte correspond
(a) (d)
(b) (e)
(c) (f)
FIG. 8.7 – Histogrammes du nombre de maillons faux trouv ´es avec 1000 chemins de 75, 100 et 250 pas, respectivement de haut en bas droite. Les deux colonnes se r ´ef `erent au processus markovien et non comme `a la figure 8.6.
8.5 Conclusions
L’application de la m ´ethode de Monte Carlo `a l’analyse inverse d’un fil ´elastique h ´et ´erog `ene, pr ´esent ´ee dans ce chapitre, montre la possibilit ´e d’application dans des cas plus difficiles, mais caract ´eris ´es par la recherche d’un motif compos ´e par des constituants connus.
En particulier un algorithme de Metropolis-Hastings modifi ´e a ´et ´e pr ´esent ´e qui donne des bons r ´esultats avec un co ˆut (en terme de nombres de calculs directs) rai-sonnable : pas plus que 100 calculs directs se rendent n ´ecessaires pour obtenir, dans la plus part des cas, r ´esultats quantitatifs sur des d ´etails de 1/32de la longueur du fil. En figure 8.8 on montre ce qu’on peut obtenir avec un chemin de 25 000 ´echantillons par la m ´ethode propos ´ee la plus efficace (empirique, non markovienne).
La m ´ethode a ´et ´e appliqu ´ee au cas d’une poutre en b ´eton arm ´e en flexion trois points soumise `a des chargements sup ´erieurs `a la limite de son ´elasticit ´e. L’application se base sur l’id ´ee qu’il se forme sur la poutre un motif de zones plus ou moins raides qu’on cherche `a identifier. En adoptant un mod `ele d’endommagement scalaire pour le b ´eton (qui pr ´evoit une ´eventuelle r ´eduction de la raideur du mat ´eriau en fonction
8.5 Conclusions 183
FIG. 8.8 – Chemin de25 000pas.
d’un param `etre compris entre 1, pour le mat ´eriau sain, et 0, qui d ´enote la rupture), on observe en fait la formation de bandes fortement endommag ´ees dans la zone centrale `a l’intrados de la poutre, qui sont altern ´ees avec des bandes tr `es peu endommag ´ees ou saines (voir figure 8.9, image inf ´erieure).
Ce r ´esultat num ´erique classique correspond, en r ´ealit ´e, `a l’ouverture de fissures se propageant `a partir des fibres tendues de l’intrados. Mais si on accepte la description simplifi ´ee du ph ´enom `ene donn ´ee par la th ´eorie de l’endommagement, un probl `eme inverse se pose de la nature de celui discut ´e dans ce chapitre : d ´eterminer quel est l’emplacement des zones endommag ´ees, dont la raideur est suppos ´ee connue ( ´egale `a 10% de la raideur initiale), qui donne la meilleure correspondance entre la d ´eform ´ee mesur ´ee exp ´erimentalement et celle calcul ´ee.
A cette fin on consid `ere une exp ´erience fictive, pendant laquelle la poutre est en-dommag ´ee par des chargements cycliques lents. A la fin d’un certain nombre de tels cycles (cinq dans l’exemple trait ´e) on imagine instrumenter la poutre avant de conduire un dernier cycle : le but de l’analyse inverse est l’identification de l’ ´etat d’endommage-ment `a la fin de tous les cycles, sans connaˆıtre celui `a la fin de l’avant dernier, mais en connaissant la d ´eform ´ee de la poutre au cours du dernier cycle.
Sans rentrer dans les d ´etails du calcul, on montre en figure 8.9 un champ d’endom-magement identifi ´e par la m ´ethode inverse et le champ calcul ´e directement.
184 8. Des m ´ethodes pour l’identification des syst `emes ´elastiques h ´et ´erog `enes
instant 19 endommagement (max = 0.99726 )
D
>−8.29E−01 < 1.46E+00
−0.81 −0.70 −0.60 −0.49 −0.38 −0.28 −0.17 −6.17E−02 4.54E−02 0.15 0.26 0.37 0.47 0.58 0.69 0.79 0.90 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
instant 19 endommagement (max = 0.99726 )
−0.81 −0.70 −0.60 −0.49 −0.38 −0.28 −0.17 −6.17E−02 4.54E−02 0.15 0.26 0.37 0.47 0.58 0.69 0.79 0.90 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
instant 110 endommagement (max = 0.99417 )
D
>−8.27E−01 < 1.44E+00 −0.81 −0.70 −0.60 −0.49 −0.38 −0.28 −0.17 −6.68E−02 3.92E−02 0.15 0.25 0.36 0.46 0.57 0.68 0.78 0.89 0.99 1.1 1.2 1.3 1.4
instant 110 endommagement (max = 0.99417 )
D >−8.27E−01 < 1.44E+00 −0.81 −0.70 −0.60 −0.49 −0.38 −0.28 −0.17 −6.68E−02 3.92E−02 0.15 0.25 0.36 0.46 0.57 0.68 0.78 0.89 0.99 1.1 1.2 1.3 1.4
FIG. 8.9 – Comparaison du champ de l’endommagement identifi ´e par m ´ethode inverse (en haut) avec le champs de r ´ef ´erence obtenus en partant de la distribution«exacte»de l’endommagement calcul ´ee `a partir de l’ ´etat naturel suivant tous les cycles de chargement (en bas). Seulement la moiti ´e `a gauche de la poutre est repr ´esent ´ee.
Remerciements
La recherche a ´et ´e men ´ee au sein duCommissariat `a l’ ´Energie Atomique dans le cadre d’une action sur la dur ´ee de vie des structures en b ´eton financ ´ee par le CEA et
par Electricit ´e de France´ . Les calculs num ´eriques dont le r ´esultat est pr ´esent ´e figure
BIBLIOGRAPHIE 185
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187
Chapitre 9
Algorithmes pour l’optimisation
globale
Guillaume Dutilleux
9.1 Introduction
De fac¸on g ´en ´erale, lorsqu’une relation de cause `a effet est identifi ´ee,
l’expres-sion probl `eme inverse s’applique `a des situations o `u seul l’effet est accessible et o `u
la relation ne peut ˆetre invers ´ee. En l’absence de solution analytique, la r ´esolution d’un probl `eme inverse, c’est- `a-dire la d ´etermination des causes `a partir des effets se ram `ene un probl `eme d’optimisation. La fonction optimis ´ee traduit en g ´en ´eral l’ ´ecart entre des effets observ ´es et une mod ´elisation des effets `a partir des causes.
Malheureusement, les fonctions `a optimiser dans ce contexte ne sont que tr `es rarement convexes sur l’espace explor ´e. Le bagage classique d’un cours d’analyse num ´erique n’est donc d’aucun secours en la mati `ere, et il faut se tourner vers des algorithmes d’optimisation globale. Ce chapitre se fixe comme objectif d’en pr ´esenter quelques uns parmi les plus importants de ceux qui sont fond ´es sur des m ´etaphores
oum ´etaheuristiqueset de mettre en ´evidence les aspects remarquables de chacun.
Le corps de ce chapitre pr ´esente tout d’abord les grands principes sous-jacents `a ces algorithmes. On verra qu’ils tirent leur efficacit ´e empirique d’un certain nombre d’observations ´el ´ementaires. La pr ´esentation des algorithmes commence par une m ´e-taphore classique tir ´ee de la physique : l’algorithme du recuit simul ´e. La suite traite de m ´etaphores issues de la biologie, en commenc¸ant par une m ´etaheuristique d ´eriv ´ee de l’ ´etude du comportement social, qui s’incarne dans l’algorithme d’essaims de
parti-cules. On pourra appr ´ecier sa facilit ´e de mise en oeuvre et son efficacit ´e. Ce rapide tour
d’horizon se poursuit avec lesalgorithmes ´evolutionnaires, qui s’inspirent quant `a eux de la s ´election naturelle. Dans cette cat ´egorie, la pr ´esentation se limite auxalgorithmes
g ´en ´etiqueset auxstrat ´egies d’ ´evolution. Le point fort des premiers est la polyvalence,
celui des secondes l’efficacit ´e en variables continues. La pr ´esentation des algorithmes choisis s’ach `eve par la description de las ´election clonalequi part d’une analogie avec le syst `eme immunitaire des vert ´ebr ´es. L’algorithme a ceci de remarquable que ses r ´esultats sont tr `es r ´ep ´etables et qu’il permet d’obtenir plusieurs solutions de qualit ´e `a
la fois. La derni `ere section aborde quelques aspects pratiques de la r ´esolution d’un probl `eme inverse par optimisation globale.
Pour chaque algorithme, le lecteur trouvera une pr ´esentation des heuristiques et de l’algorithme canonique qui en est issu, le cas ´ech ´eant des ´el ´ements tr `es brefs sur les preuves de convergence, et des r ´ef ´erences pour approfondir le cas d’un al-gorithme. L’application de chaque algorithme est illustr ´ee dans le corps de ce chapitre, et ´eventuellement dans d’autres chapitres de cet ouvrage qui traitent de la r ´esolution de probl `emes concrets du g ´enie civil. Ce chapitre sur les algorithmes est associ ´e `a un CDROM qui contient une implantation de chaque algorithme en langage Scilab. Une annexe `a ce chapitre pr ´esente les r ´esultats d’un banc d’essai des algorithmes sur une dizaine de probl `emes d’optimisation acad ´emiques classiques.
Seul le cas de l’optimisation d’une fonction `a valeurs r ´eelles est trait ´e ici. L’accent est mis sur l’optimisation de variables continues. Cependant, un algorithme adapt ´e au cas discret est pr ´esent ´e. Il s’agit de l’algorithme g ´en ´etique. Les algorithmes d ´ecrits n’im-posent aucune contrainte de r ´egularit ´e `a la fonction co ˆut, qu’il s’agisse de d ´erivabilit ´e, d’appartenance `a un espace de fonctions particulier. Il n’est d’ailleurs pas n ´ecessaire que celle-ci soit calculable, ni m ˆeme d ´efinie explicitement.
Terminologie Dans la suite, l’expression «espace de solutions» est employ ´ee pour d ´esigner l’espace dans lequel s’effectue la recherche de l’optimum. Un point de cet espace est appel ´e «solution candidate». Enfin, on se place dans le cas de la minimi-sation d’une fonction. La fonction dont on cherche le minimum sur l’espace de solutions est appel ´ee«fonction co ˆut».