Analyse d’un mouvement

Une fois les mouvements s ´equentiels excitants r ´ealis ´es, il faut les analyser. L’objet de cette section est de fournir les outils permettant de synth ´etiser les informations

1.3 Analyse d’un mouvement 33 pertinentes pour chaque mouvement. Nous pr ´esentons deux outils importants : la d ´erivation num ´erique et le filtrage parall `ele.

1.3.1 D ´erivation

A. Diff ´erence centr ´ee

Pour le calcul de la matrice d’observationW, il faut mesurer les positions, vitesses et acc ´el ´erations intervenant dans les ´equations du mod `ele dynamique. Tr `es peu de syst `emes sont instrument ´es de mani `ere `a mesurer l’ensemble de ces variables. Pour la majeure partie des articulations roto¨ıdes, c’est l’angle de rotation qui est mesur ´e, g ´en ´eralement avec un codeur incr ´emental. Dans ce cas, les informations de vitesse et acc ´el ´eration de rotation sont obtenues par d ´erivation num ´erique. La d ´erivation des signaux num ´eriques de codeur doit se faire avec certaines pr ´ecautions, ([Gau97]). On choisit l’approximation de la d ´eriv ´ee continue q˙(t_k) par la diff ´erence centr ´ee pour sa simplicit ´ee et l’absence de distorsion de phase.

ˆ˙

q(t_k) = ^{q(tk+1)−q(tk−1)}

2T ^(1.3.1)

D’un point de vue temporel, cette approximation implique une erreur d ´eterministe dans le calcul de la d ´eriv ´ee car ce n’est qu’une approximation de la d ´eriv ´ee continue q˙(t_k). Si on suppose que la position est contin ˆument d ´erivable 2 fois(C₂), alors on peut ´ecrire le d ´eveloppement de TAYLOR:

q(t_k+1) = q(t_k) +Tq˙(t_k) + ^T 2

2 ^{q¨(tk+αT) (1.3.2)} avec0≤α≤1On obtient la majoration de l’erreurq˜˙(t_k) = ˙q(t_k)−qˆ˙(t_k)suivante :

kq˜˙(t_k)k ≤ ¹

2^Tt∈[t^maxk−1, tk+1]kq¨(t)k (1.3.3) On en d ´eduit que l’estimation de la d ´eriv ´ee d’un signal par la diff ´erence centr ´ee tend vers la d ´eriv ´ee continue quandT tend vers0.

D’un point de vue fr ´equentiel, la distorsion d’amplitude du filtre (1.3.1) par rapport `a la d ´eriv ´ee continue est caract ´eris ´e par une bande passante `a f_e/4 (FIG. 1.3). De ce point de vue, la limite fr ´equentielle de l’estimation de l’acc ´el ´eration est donc f_e/8. Or pratiquement, la limite fr ´equentielle est beaucoup plus faible. Ceci est du au fait que la position est souvent fournie par un codeur, et donc d’apr `es l’ ´equation (1.3.1), le bruit sur la position est multipli ´e par environ f2

e. Pratiquement, le bruit sur l’acc ´el ´eration est 100 millions de fois plus important que le bruit sur la position lorsque l’ ´echantillonnage est de 10 kHz. Pour r ´eduire ce bruit, nous proposons un filtrage passe bas d ´ecrit dans le paragraphe suivant.

B. Filtrage passe bas

Une mesure est constitu ´ee du signal et du bruit de mesure. D’un point de vue fr ´equentiel, le signal est concentr ´e dans une bande de fr ´equence qui d ´epend de la physique du syst `eme alors que le bruit de mesure couvre g ´en ´eralement toutes les fr ´equences. Dans nos applications, les informations pertinentes sont basses fr ´equences. Or lorsque nous d ´erivons, nous multiplions par un gain tr `es important la partie haute

fr ´equence des mesures (ce qui est illustr ´e par la figure (FIG. 1.3)), c’est- `a-dire que nous privil ´egions le bruit au d ´epend du signal utile. C’est pourquoi, les signaux sont filtr ´es par un filtre passe bas pour att ´enuer les bruits hautes fr ´equences des mesures avant d’ ˆetre d ´eriv ´es num ´eriquement. Le choix de la fr ´equence de coupure est fait `a partir d’une analyse fr ´equentielle des mesures. Du point de vue de l’identification, si l’on choisit une bande de fr ´equences trop large, l’ ´ecart-type sur le bruit de mesure σ_ρ

va ˆetre grand et si l’on choisit une bande de fr ´equences trop ´etroite, les crit `eres d’exci-tation ne seront pas bons.

D’un point de vue pratique, le filtre de Butterworth d’ordre n_but est choisi pour sa r ´eponse plate dans la bande passante. Compte tenu de l’identification hors ligne, un filtrage non causal aller et retour (proc ´edure filtfilt de Matlab) est utilis ´e. Le choix de ce type de filtrage garanti l’absence de distorsion de phase des signaux num ´eriques filtr ´es. Pour obtenir une att ´enuation suffisante du filtre sur les d ´eriv ´ees dans les hautes fr ´equences, n_but = n_der + 2, o `u n<sub>der</sub> est l’ordre de la d ´eriv ´ee la plus ´elev ´ee. G ´en ´eralement nder = 2, ce qui correspond au calcul d’une acc ´el ´eration `a partir d’une position, donc nbut = 4. Il existe une m ´ethode de calcul de la fr ´equence de coupure du filtre passe bas utilis ´e en fonction de la distorsion `a une fr ´equence donn ´ee du filtre passe bande d ´erivateur-filtre passe bas ([Pha02]). Cette m ´ethode sert `a initialiser les param `etres des filtres passe bande pour des d ´eriv ´ees d’ordre ´elev ´e. Ces r ´eglages sont ensuite affin ´es avec une approche par une suite d’essais pour obtenir des r ´eglages satisfaisant du point de vue des indicateurs statistiques de la qualit ´e de l’identifica-tion. La figure FIG. 1.3 r ´esume le principe de la d ´erivation et du filtrage des signaux num ´eriques, o `u il faut que :

– la fr ´equence d’ ´echantillonnage soit suffisamment grande pour que l’estimation de la d ´eriv ´ee soit bonne dans la bande de fr ´equences ´etudi ´ee,

– l’ordre du filtre passe bas soit suffisamment grand pour que le filtre passe bande ait une bonne att ´enuation dans les hautes fr ´equences,

– la fr ´equence de coupure du filtre passe bas doit correspondre `a la dynamique du syst `eme.

C. Application au compacteur

Dans l’exemple de la bille du compacteur, le stator du moteur hydraulique est fixe par rapport au rep `ere de l’atelier. Dans ce cas, on a la relation suivante :

˙

ωz

j = ¨q_j (1.3.4)

Il est alors possible de construire la matrice d’observation W `a partir de q_j, q˙_j et q¨_j.

q_j est mesur ´e `a l’aide d’un codeur incr ´emental au niveau du moteur hydraulique.q˙_j et ¨

q_j sont estim ´e `a partir de q<sub>j</sub> par d ´erivation num ´erique et filtrage. Les param `etres de r ´eglage du filtre passe-bas de Butterworth sont les suivants :

– n_but = 4, car il y a une double d ´erivation num ´erique,

– F_c= 1Hz, car la dynamique des essais r ´ealis ´ees se situe entre 0 et 1 Hz.

1.3.2 Filtrage parall `ele

L’analyse fr ´equentielle effectu ´ee pour le calcul des d ´eriv ´ees num ´erique peut ˆetre appliqu ´e au mod `ele d’identification dans son ensemble. Il faut d ´eterminer la bande fr ´equentielle dans laquelle le mod `ele du syst `eme m ´ecanique est pertinent. Pour cela,

1.3 Analyse d’un mouvement 35 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ −200 −100 0 100 200 Gain (dB) 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ −150 −100 −50 0 50 100 150 Phase (°) Pulsation (rad/s) Passe bande Passe bas Différence centrée Dérivée continue

FIG. 1.3 – Estimation de la d ´eriv ´ee d’un signal

une analyse fr ´equentielle des signaux est r ´ealis ´ee. Ensuite, pour concentrer l’identifi-cation dans la bande de fr ´equences d ´etermin ´ee, nous effectuons un filtrage parall `ele passe bas de Y et de W. La distorsion de ce proc ´ed ´e de filtrage parall `ele de Y et de chaque colonne de W n’affecte pas la solution du syst `eme lin ´eaire (1.1.4) ([Ric91]). C’est pourquoi, nous choisissons un filtre de Tchebychev pour ses propri ´et ´es de cou-pure. Avec le filtrage parall `ele de Y et de W, nous obtenons un syst `eme dont la repr ´esentation temporelle est redondante par rapport `a la repr ´esentation fr ´equentielle : une ligne du syst `eme peut ˆetre calcul ´ee en interpolant d’autres lignes. Nous devons donc d ´ecimer notre syst `eme et s ´electionner une ligne sur F_ech/2F_c o `u F<sub>ech</sub> est la fr ´equence d’ ´echantillonnage. Nous obtenons alors le syst `eme filtr ´e et d ´ecim ´e suivant que nous suffixons par dpour d ´ecim ´e :

Yd=WdX (1.3.5)

A. Application au compacteur

Dans le cas de la bille du compacteur, l’acquisition des signaux a ´et ´e faite `a la fr ´equence de 10kHz pour des raisons de traitement du signal sp ´ecifique ([LVG03]). Il est donc n ´ecessaire de filtrer et d ´ecimer les colonnes de la matrice d’observation W

r ´egl ´ee `a 1Hz (pour ne retenir que la bande de fr ´equence o `u se situe la dynamique de la bille), il a donc fallu retenir une ligne sur 5000. Sur une acquisition de 30 secondes, la taille de la matrice d’observation initialement de 300000 lignes et 5 colonnes s’est r ´eduite `a une matrice 60×5.