HAL Id: hal-00362979
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00362979v2
Submitted on 18 Oct 2017
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Problèmes inverses en génie civil
Pierre Argoul, Nelly Point, Guillaume Dutilleux
To cite this version:
Pierre Argoul, Nelly Point, Guillaume Dutilleux. Problèmes inverses en génie civil. LABORATOIRE CENTRAL DES PONTS ET CHAUSSEES - LCPC, 261p + cdrom, bibliogr., 2008, ETUDES ET RECHERCHES DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSSEES, �10.3829/erlpc.si15-fr�. �hal- 00362979v2�
Ouvrage collectif
Contributions recueillies et présentées par Pierre Argoul, Nelly Point, Guillaume Dutilleux
Décembre 2008
Laboratoire central des ponts et chaussées 58, boulevard Lefebvre, F 75732 Paris Cedex 15
Conformément à la note du 04/07/2014 de la direction générale de l'Ifsttar précisant la politique de diffusion des ouvrages parus dans les collections éditées par l'Institut, la reproduction de cet ouvrage est autorisée selon les termes de la licence CC BY-NC-ND. Cette licence autorise la redistribution non commerciale de copies identiques à l’original. Dans ce cadre, cet ouvrage peut être copié, distribué et communiqué par tous moyens et sous tous formats.
(CC BY-NC-ND 4.0)
Attribution — Vous devez créditer l'Oeuvre et intégrer un lien vers la licence. Vous devez indiquer ces informations par tous les moyens possibles mais vous ne pouvez pas suggérer que l'Ifsttar vous soutient ou soutient la façon dont vous avez utilisé son Oeuvre.
Pas d’Utilisation Commerciale — Vous n'êtes pas autorisé à faire un usage commercial de cette Oeuvre, tout ou partie du matériel la composant.
Pas de modifications — Dans le cas où vous effectuez une adaptation, que vous transformez, ou créez à partir du matériel composant l'Oeuvre originale (par exemple, une traduction, etc.), vous n'êtes pas autorisé à distribuer ou mettre à disposition l'Oeuvre modifiée.
Le patrimoine scientifique de l'Ifsttar
Le libre accès à l'information scientifique est aujourd'hui devenu essentiel pour favoriser la circulation du savoir et pour contribuer à l'innovation et au développement socio-économique. Pour que les résultats des recherches soient plus largement diffusés, lus et utilisés pour de nouveaux travaux, l’Ifsttar a entrepris la numérisation et la mise en ligne de son fonds documentaire. Ainsi, en complément des ouvrages disponibles à la vente, certaines références des collections de l'INRETS et du LCPC sont dès à présent mises à disposition en téléchargement gratuit selon les termes de la licence Creative Commons CC BY-NC-ND.
Le service Politique éditoriale scientifique et technique de l'Ifsttar diffuse différentes collections qui sont le reflet des recherches menées par l'institut :
• Les collections de l'INRETS, Actes
• Les collections de l'INRETS, Outils et Méthodes
• Les collections de l'INRETS, Recherches
• Les collections de l'INRETS, Synthèses
• Les collections du LCPC, Actes
• Les collections du LCPC, Etudes et recherches des laboratoires des ponts et chaussées
• Les collections du LCPC, Rapport de recherche des laboratoires des ponts et chaussées
• Les collections du LCPC, Techniques et méthodes des laboratoires des ponts et chaussées, Guide technique
• Les collections du LCPC, Techniques et méthodes des laboratoires des ponts et chaussées, Méthode d'essai
www.ifsttar.fr
Institut Français des Sciences et Techniques des Réseaux, de l'Aménagement et des Transports
14-20 Boulevard Newton, Cité Descartes, Champs sur Marne F-77447 Marne la Vallée Cedex 2
Contact : diffusion-publications@ifsttar.fr
« Identification, contrôle et problèmes inverses ».
Il est constitué de onze contributions recueillies et présentées par : Pierre Argoul, Nelly Point et Guillaume Dutilleux.
Pour commander cet ouvrage :
Laboratoire central des ponts et chaussées DISTC - Section Diffusion
58, boulevard Lefebvre, F 75732 Paris cedex 15
Téléphone : 01 40 43 50 20 - Télécopie : 01 40 43 54 95 Ou serveur Internet LCPC : www.lcpc.fr
Prix : 50 Euros HT
Ce document est propriété du Laboratoire central des ponts et chaussées
et ne peut être reproduit, même partiellement, sans l'autorisation de son Directeur général (ou de ses représentants autorisés)
© 2008 - LCPC ISSN 1167-4865 ISBN 978-2-7208-2533-6 DOI/Crossref 10.3829/erlpc.si15-fr
3
Table des mati `eres
R ´esum ´e 6
Abstract 7
Pr ´esentation g ´en ´erale 9
Pr ´esentation des probl `emes inverses . . . 9
Pr ´esentation de l’ouvrage . . . 15
Conclusion . . . 17
1 M ´ethodologie pour l’identification des syst `emes multicorps articul ´es 23 1.1 Position du probl `eme . . . 25
1.2 Planification . . . 28
1.3 Analyse d’un mouvement . . . 32
1.4 R ´esolution . . . 36
1.5 Conclusion . . . 40
2 Algorithmes r ´ecursifs pour l’identification modale des structures de g ´enie civil 43 2.1 Introduction . . . 43
2.2 Identification des syst `emes . . . 44
2.3 Application `a l’identification modale . . . 46
2.4 Mod `eles de travail . . . 48
2.5 Expression r ´ecursive des ´equations de Yule-Walker . . . 49
2.6 Application . . . 53
3 Analyse en ondelettes pour l’identification de param `etres en dynamique 61 3.1 Introduction . . . 61
3.2 Identification de param `etres en dynamique . . . 62
3.3 La transformation en ondelettes . . . 64
3.4 Analyse en ondelettes et identification modale . . . 67
3.5 Vibrations libres non lin ´eaires et ondelettes . . . 81
4 Mod ´elisation et identification de syst `emes discrets hyst ´er ´etiques en dy- namique 91 4.1 Introduction . . . 91
4.2 Briques et mod `eles ´el ´ementaires . . . 93
4.3 Rappels math ´ematiques : existence et unicit ´e . . . 100
4.4 Aspects num ´eriques . . . 101
4.5 Identification . . . 102
5 Mod `eles probabilistes de d ´etection de rupture dans le comportement 113
5.1 Introduction . . . 113
5.2 Pr ´esentation de trois mod `eles de rupture . . . 113
5.3 Plasticit ´e . . . 118
5.4 L’influence des ´elections franc¸aises sur le taux d’ ´echange . . . 119
5.5 Conclusion . . . 121
6 Assimilation thermique 125 6.1 Introduction . . . 125
6.2 Formulation g ´en ´erale du probl `eme . . . 127
6.3 Minimisation dansL2 . . . 130
6.4 Reconstruction dansH1 . . . 135
6.5 Conclusions . . . 138
7 Th ´eorie semi-quadratique, r ´egularisation et estimation robuste 143 7.1 Introduction . . . 143
7.2 Le mod `ele quadratique et ses limites . . . 144
7.3 Th ´eorie semi-quadratique . . . 147
7.4 Applications . . . 152
7.5 Conclusion . . . 160
8 Des m ´ethodes pour l’identification des syst `emes ´elastiques h ´et ´erog `enes 167 8.1 Introduction . . . 167
8.2 Description du probl `eme . . . 170
8.3 M ´ethode de Monte Carlo . . . 175
8.4 R ´esultats num ´eriques . . . 178
8.5 Conclusions . . . 182
9 Algorithmes pour l’optimisation globale 187 9.1 Introduction . . . 187
9.2 Principes g ´en ´eraux . . . 188
9.3 Une m ´etaphore physique : le recuit simul ´e . . . 190
9.4 Une m ´etaphore sociale : l’essaim de particules . . . 193
9.5 Une m ´etaphore darwinienne : les algorithmes ´evolutionnaires . . . 196
9.6 Une m ´etaphore immunitaire : la s ´election clonale . . . 204
9.7 Pratique de l’optimisation globale . . . 208
9.8 Conclusion . . . 210
10 Optimisation de forme de murs antibruit par algorithmes g ´en ´etiques 217 10.1 Introduction . . . 217
10.2 Calcul du champ de pression . . . 218
10.3 R ´esultats . . . 221
10.4 Conclusions . . . 224
11 Les m ´ethodes inverses en reconnaissance et g ´eophysique au LCPC 229
11.1 Introduction . . . 229
11.2 Inversion de la dispersion des ondes de surface . . . 232
11.3 Tomographies sismiques . . . 240
11.4 Tomographie ´electromagn ´etique 2D entre forages . . . 245
11.5 Tomographies de r ´esistivit ´e ´electrique de structures 3D de g ´eometrie quelconque . . . 250
Liste des auteurs 262
Probl `emes inverses en g ´enie civil
Ouvrage collectif
Contributions recueillies et pr ´esent ´ees par Pierre ARGOUL
Guillaume DUTILLEUX Nelly POINT
Sch ´ematiquement, r ´esoudre un probl `eme inverse revient `a essayer de restituer la r ´ealit ´e `a partir d’une image partielle et/ou brouill ´ee. Les probl `emes inverses constituent un domaine foisonnant ; les applications sont multiples, les probl ´ematiques diverses et les m ´ethodes utilis ´ees forc ´ement vari ´ees.
Cet ouvrage collectif r ´ealise un ´etat de l’art sur diff ´erentes techniques inverses utilis ´ees au sein du r ´eseau scientifique et technique du Minist `ere de l’ ´ecologie, de l’ ´energie, du d ´eveloppement durable et de l’am ´enagement du territoire, dans le cadre de la m ´ecanique et du g ´enie civil en particulier.
On y aborde des probl `emes inverses divers : identification de param `etres m ´ecaniques d’un compacteur, de param `etres modaux, d’un syst `eme discret hyst ´er ´etique, identifica- tion des causes, d ´etection et reconnaissance d’images, optimisation de mur anti-bruit, d ´etermination d’h ´et ´erog ´en ´eit ´es et aussi plusieurs probl `emes de tomographie appliqu ´es
`a la g ´eophysique et `a l’auscultation d’ouvrages d’art.
Les m ´ethodes de r ´esolution num ´erique propos ´ees vont des m ´ethodes maintenant classiques d’optimisation dans le cadre r ´egulier ou convexe, aux m ´ethodes dites m ´eta- heuristiques de minimisation globale pour lesquelles est joint un cederom contenant une boˆıte `a outil en langage Scilab.
Mots-cl ´es: probl `emes inverses, identification de param `etres, optimisation globale, identification modale, ondelettes, g ´enie civil, tomographie.
7
Abstract
Inverse problems in civil engineering
Collective publication
Contributions gathered and presented by Pierre ARGOUL
Guillaume DUTILLEUX Nelly POINT
Basically, solving inverse problems involves recreating reality from a partial and/or blurred image. The range of inverse problems is broad, involving diverse issues, a host of applications, and obviously a wide variety of methods. This collective publication aims to draw up an inventory of the various inverses techniques used in the Ministry of the Environment, Energy, Sustainable Development and Territorial Planning, in par- ticular in Mechanical and Civil Engineering. Many different inverse problems are consi- dered : identification of mechanical parameters for a compressor, of modal parameters or of a discrete hysteretic system, identification of causes, detection and recognition of images, optimization of noise barrier walls, characterization of heterogeneities as well as various tomographic problems applied to geophysics and the close examination of art works. The numerical resolution methods proposed here range from the now clas- sic optimization methods in regular or convex case to metaheuristic methods of global optimization, for which a CD with a toolbox in Scilab is included.
Mots-cl ´es: inverse problems, parameters identification, global optimization, modal identification, wavelets, civil engineering, tomography.
9
Pr ´esentation g ´en ´erale
Pierre Argoul, Nelly Point
Dans le cadre de l’op ´eration de recherches du Laboratoire Central des Ponts et Chauss ´ees «Identification, contr ˆole et probl `emes inverses», nous avons souhait ´e r ´eunir plusieurs articles de synth `ese sur les probl `emes inverses dans un ouvrage col- lectif. L’ouvrage pr ´esent, ´ecrit par des chercheurs du LCPC et leurs collaborateurs r ´ealise un ´etat de l’art sur diff ´erentes techniques inverses utilis ´ees au LCPC et sur les applications de ces m ´ethodes au G ´enie Civil et Urbain.
Ce chapitre introductif est constitu ´e d’une premi `ere partie qui pr ´esente les probl `e- mes inverses, d’une seconde qui pr ´esente les diff ´erentes contributions de cet ouvrage avec la classification retenue, et enfin d’une conclusion.
Pr ´esentation des probl `emes inverses
D ´efinitions
La terminologie «probl `eme inverse» est apparue dans les ann ´ees soixante, no- tamment dans des probl `emes de g ´eophysique pour d ´esigner la d ´etermination, `a partir d’exp ´eriences de type entr ´ee-sortie ou cause-effet, des inconnues intervenant dans les ´equations de la physique. La notion de probl `eme inverse d ´esigne aujourd’hui la reconstruction au mieux de l’information manquante pour pouvoir estimer soit les sol- licitations (identification de sources ou de la cause), soit la valeur de param `etres ind ´etermin ´es (identification de mod `eles).
Pour ne citer qu’un seul exemple de probl `eme inverse, nous avons retenu celui de la d ´ecouverte de la plan `ete Neptune par Le Verrier. C’est un cas tr `es c ´el `ebre d’iden- tification de la cause. Au d ´ebut du XIXe si `ecle, les astronomes ne connaissaient pas encore l’existence de la plan `ete Neptune ; seule la plan `ete Uranus avait ´et ´e d ´ecouverte par Herschel en 1781. Lorsqu’ils appliquaient la th ´eorie de la gravitation universelle de Newton au cas du mouvement d’Uranus, l’orbite et le mouvement calcul ´es en te- nant uniquement compte des perturbations de Jupiter et de Saturne, pr ´esentaient des irr ´egularit ´es par rapport `a ceux observ ´es. Encourag ´e par Arago, Le Verrier se lanc¸ait d `es 1844 dans le calcul par perturbations inverses des caract ´eristiques (masse, or- bite, position actuelle) d’une plan `ete hypoth ´etique suppos ´ee produire sur Uranus l’effet observ ´e. Dans son m ´emoire `a l’Acad ´emie des Sciences du 31 ao ˆut 1846, Le Ver- rier d ´efinissait les ´el ´ements de l’orbite de cette nouvelle plan `ete. Le 23 septembre 1846, jour m ˆeme o `u il recevait de Le Verrier une lettre pr ´ecisant la position de l’objet
pr ´edit, l’astronome berlinois Galle l’observait. Arago d ´eclarait ensuite `a l’Acad ´emie des sciences : «Mr Le Verrier a aperc¸u le nouvel astre sans avoir besoin de jeter un seul regard vers le ciel ; il l’a vu au bout de sa plume».
Avant de poursuivre sur les sp ´ecificit ´es math ´ematiques de la probl ´ematique inverse, examinons certains termes s’y rapportant. Ainsi, lorsque les param `etres ou les sources sont accessibles directement par des mesures, on parle demesure directe. Mais dans de tr `es nombreux cas, les informations recherch ´ees ne sont pas directement mesu- rables, mais sont reli ´ees physiquement `a des grandeurs mesurables, on est dans le cas demesure indirecte. Ces grandeurs mesurables sont ´evidemment d ´ependantes de la physique du ph ´enom `ene ´etudi ´e mais aussi des appareils de mesure utilis ´es. Les lois physiques qui relient les observables aux grandeurs recherch ´ees sont g ´en ´eralement math ´ematiquement complexes utilisant par exemple des ´equations int ´egrales ou des
´equations aux d ´eriv ´ees partielles. La r ´esolution du probl `eme permettant le calcul des observables en fonction des grandeurs inconnues que l’on qualifie deprobl `eme direct est habituellement maˆıtris ´ee et plus simple que celle du probl `eme permettant le calcul des grandeurs inconnues en fonction des observables qui est qualifi ´e de probl `eme inverse.
En premi `ere approche, nous pouvons dire qu’un probl `eme inverse r ´esulte de la confrontation de donn ´ees exp ´erimentales et des r ´esultats de simulations num ´eriques.
Il consiste `a chercher `a minimiser l’ ´ecart entre la mesure et le calcul.
Une des sp ´ecificit ´es des probl `emes inverses est d’ ˆetre mal pos ´e ou incorrecte- ment pos ´e au sens d’Hadamard : soit l’ensemble des donn ´ees mesur ´ees ne permet pas d’avoir existence d’une solution du probl `eme consid ´er ´e, soit il n’y a pas unicit ´e de cette solution ou encore il n’y a pas stabilit ´e de cette solution par rapport `a une perturbation des donn ´ees.
Si en th ´eorie, les donn ´ees de mesures peuvent former un espace de dimension finie ou infinie, en pratique elles sont discr `etes et finies. Lorsque le nombre de param `etres d’un mod `ele est inf ´erieur au nombre de donn ´ees des mesures, on est dans le cas d’un probl `eme sur-d ´etermin ´e et on peut ´eventuellement ajouter un crit `ere pour diminuer ou ´eliminer les effets de donn ´ees aberrantes. Si au contraire, le probl `eme consiste
`a d ´eterminer des param `etres continus et par suite ´echantillonn ´es par un tr `es grand nombre de valeurs et si le nombre de r ´esultats d’exp ´eriences est insuffisant, il s’agit d’un probl `eme sous-d ´etermin ´e. Il est alors n ´ecessaire d’utiliser des informations a priori pour avoir un nombre r ´eduit de solutions possibles ou au mieux une seule. Dans ce cas, on obtient habituellement plusieurs solutions possibles et il est n ´ecessaire de pr ´eciser le niveau de confiance que l’on peut accorder `a chacune d’entre-elles. Les donn ´ees peuvent aussi ˆetre affect ´ees d’un coefficient de vraisemblance ou pond ´er ´ees de fac¸on probabiliste. On parle alors d’une approche Bay ´esienne du probl `eme in- verse.
Finalement, une d ´efinition du probl `eme inverse pourrait ˆetre : un probl `eme mal pos ´e ayant pour but l’inversion d’un mod `ele physique `a l’aide d’une image partielle de ses effets.
11
Champs d’utilisation - D ´eveloppement historique
Les probl `emes inverses constituent un champ scientifique essentiellement multi- disciplinaire, associant les math ´ematiques `a de multiples branches de la physique.
Les travaux fondateurs des ann ´ees soixante-dix sur la r ´esolution des probl `emes mal pos ´es (notamment ceux des russes comme A.N. Tikhonov [TA77] et plus r ´ecemment de ses ´el `eves [BM91]) et ensuite l’analyse et la mise en oeuvre de strat ´egies d’in- version pour les probl `emes mal pos ´es sont actuellement une branche reconnue des math ´ematiques appliqu ´ees. On rencontre de nombreuses applications de l’analyse inverse dans les sciences physiques ou m ´ecaniques ; de fac¸on non exhaustive : op- tique, radar, calorim ´etrie, spectroscopie, g ´eophysique, m ´et ´eorologie, oc ´eanographie, acoustique, radioastronomie, contr ˆole non destructif, g ´enie biom ´edical, instrumenta- tion, imagerie, g ´enie civil et g ´enie m ´ecanique. Cet ouvrage quant `a lui, est limit ´e aux applications concernant la g ´eophysique, le g ´enie civil, la m ´ecanique des mat ´eriaux et des structures, la thermique, la reconstruction et l’am ´elioration d’images.
Un peu d’histoire r ´ecente. . . Les chercheurs et ing ´enieurs travaillant sur des donn ´ees g ´eophysiques ont grandement contribu ´e au d ´eveloppement de la th ´eorie des probl `emes inverses. En effet, les g ´eophysiciens essaient de comprendre le comportement interne de la Terre au moyen de donn ´ees enregistr ´ees au niveau de sa surface. Avant 1970, les m ´ethodes d ´evelopp ´ees ´etaient principalement empiriques. Les travaux de G. Backus et de F. Gilbert [BG67]-[BG68] au d ´ebut des ann ´ees 70 constituent une premi `ere ex- ploration syst ´ematique de la structure math ´ematique des probl `emes inverses et sont
`a l’origine du d ´eveloppement de nombreuses m ´ethodes d’interpr ´etation de donn ´ees en g ´eophysique. Ainsi, pour r ´esoudre certains probl `emes inverses d’identification de sources d ´ecrits par une ´equation int ´egrale lin ´eaire de premi `ere esp `ece, ces auteurs ont propos ´e une m ´ethode num ´erique qui porte leur nom et qui a suscit ´e de nombreux articles et ouvrages. Elle a ´et ´e souvent appliqu ´ee pour inverser des donn ´ees sismiques afin d’obtenir les profils de densit ´e `a l’int ´erieur de la Terre [BG70]. Notons ´egalement l’ouvrage plus r ´ecent de W. Menke [Men89] sur l’analyse des donn ´ees g ´eophysiques et la th ´eorie inverse discr `ete.
En France, dans les ann ´ees 80, A. Tarantola est un des pr ´ecurseurs de la th ´eorie des probl `emes inverses qu’il r ´esoud principalement au moyen de mod `eles probabi- listes (approche bay ´esienne). Les applications concernent le traitement des donn ´ees g ´eophysiques. Il est l’auteur de plusieurs ouvrages [TM82], [Tar87] et de nombreux ar- ticles [MT02] sur le sujet. L’utilisation des m ´ethodes inverses pour le g ´enie m ´ecanique et le g ´enie civil connaˆıt un regain d’int ´er ˆet depuis une dizaine d’ann ´ees avec les travaux de H.D. Bui. L’ ´equipe de recherche «Probl `emes inverses-Identification-Optimisation» du Laboratoire de M ´ecanique des Solides de l’Ecole Polytechnique regroupe autour lui des chercheurs tr `es actifs dans le domaine comme M. Bonnet, A. Constantinescu et C. Stolz (cf. [BC99], [BC05], [BCM04], [PS01], [PS03]). L’ouvrage [Bui93] constitue une excellente introduction aux probl `emes inverses en m ´ecanique des mat ´eriaux. Les applications des techniques d’identification propos ´ees concernent la d ´etection non- destructive et la caract ´erisation de d ´efauts internes, des inhomog ´en ´eit ´es et h ´et ´erog ´e- n ´eit ´es, l’identification des singularit ´es en m ´ecanique de la rupture et l’identification des param `etres physiques des mat ´eriaux. Un num ´ero sp ´ecial des Comptes Rendus de l’Acad ´emie des Sciences [CR008], d ´edi ´e `a H.D. Bui, vient d’ ˆetre consacr ´e aux probl `emes inverses et aux probl `emes non-lin ´eaires au vu de leur importance dans la m ´ecanique des solides de nos jours.
On peut aussi consulter trois sites internet sp ´ecialement d ´edi ´es aux probl `emes in- verses o `u l’on peut trouver des informations utiles telles que des listes de personnes impliqu ´ees par ces probl `emes, les annonces des s ´eminaires et conf ´erences pass ´ees et `a venir, les nouveaux ouvrages ainsi qu’un choix d’articles scientifiques sur le sujet : http ://www.inverse-problems.net/ (Inverse Problems International Association : IPIA) http ://www.me.ua.edu/inverse/ (Universit ´e d’Alabama )
http ://www.mth.msu.edu/ipnet/ (Inverse Problems Network : IPNet) .
Parmi les revues scientifiques consacr ´ees aux probl `emes inverses, on peut citer : Journal of Inverse Problems in Science and Engineering (Taylor Francis Group -
G.S. Dulikravich, Editor),
Journal of Inverse Problems (IOP electronics journals - F.A. Gr ¨unbaum, Editor), Journal of Inverse and Ill-Posed Problems (Walter de Gruyter - M.M. Lavrentiev,
Editor),
Inverse problems and Imaging (AIMS American Institute of Mathematical Sciences - Lassi P ¨aiv ¨arinta, Editor).
On peut ´egalement noter un num ´ero sp ´ecial duJournal europ ´een des syst `emes automatis ´essur l’identification des syst `emes paru tr `es r ´ecemment [GMP08].
Enfin, de fac¸on plus modeste, voil `a bient ˆot vingt ans que des recherches r ´ealis ´ees au sein du LCPC concernent des applications des m ´ethodes inverses au g ´enie civil et urbain, citons par exemple les th `eses suivantes :
– les techniques de tomographie sismique avec les reconstructions g ´eom ´etriques
`a deux et trois dimensions pour la reconnaissance g ´eophysique : [Cot88], – l’identification modale de structures sous vibrations : [Arg90] et [Cr ´e90],
– l’identification du comportement vibratoire de b ˆatiments soumis aux s ´eismes : [Afr91],
– l’identification de param `etres dans les mod `eles de pr ´evision de la pluie en hydro- logie : [And98] ;
ainsi que quelques ouvrages plus r ´ecents relatifs aux probl `emes inverses et r ´edig ´es par des chercheurs du LCPC :
– les techniques de contr ˆole non destructif par exemple pour l’ ´evaluation non des- tructive de l’ ´etat d’alt ´eration des ouvrages en b ´eton : [BA05],
– les plans d’exp ´eriences- un outil indispensable `a l’exp ´erimentation [Lin05].
Diff ´erentes approches pour les r ´esoudre
La th ´eorie de l’inversion ou des m ´ethodes inverses est un ensemble organis ´e de techniques math ´ematiques qui op `erent sur un nombre r ´eduit de donn ´ees d’un probl `eme afin d’obtenir une information utile, pertinente sur le syst `eme physique r ´eel
´etudi ´e, `a partir d’inf ´erences tir ´ees des observations. Ces techniques doivent tenir compte du caract `ere ´eventuellement incomplet, impr ´ecis et/ou redondant des donn ´ees.
On ne se limite pas `a la recherche de solutions au sens math ´ematiques du terme mais
13
on cherche plut ˆot `a inventorier l’ensemble complet des solutions d ´efinies `a des incer- titudes pr `es. Parmi les nombreuses solutions, on op `ere ensuite un choix suivant des crit `eres additionnels (vraisemblance physique, informations suppl ´ementaires a priori, etc).
Dans le cas g ´en ´eral, on recherche la ou les solution(s) stable(s) au sens de Ha- damard. Dans cette optique, les m ´ethodes d’investigation des probl `emes inverses peuvent ˆetre class ´ees en trois grandes cat ´egories suivant les fondements de chacune
`a savoir :
• l’analyse fonctionnelle
Le probl `eme inverse, mal pos ´e par essence, est modifi ´e en probl `eme bien pos ´e en jouant sur le choix des espaces qui servent `a d ´ecrire les variables et de leur topo- logie qui permettent de d ´efinir les notions d’ ´ecart ou d’erreur. Ce choix rel `eve prin- cipalement de consid ´erations physiques et non math ´ematiques. Les m ´ethodes correspondantes proposent g ´en ´eralement l’introduction de contraintes globales sur les classes de solutions.
• la r ´egularisation des probl `emes mal pos ´es
La solution obtenue par inversion r ´egularis ´ee va d ´ependre contin ˆument des don-
´ees et va tendre vers la solution exacte (en supposant qu’elle existe). La r ´egulari- sation d’un probl `eme inverse consiste `a une r ´e ´ecriture de celui-ci et s’articule suivant deux lignes directrices :
– d ´efinir un cadre pour prendre en compte des informationsa priori suppl ´ementai- res«ext ´erieures aux math ´ematiques»,
– assurer la stabilit ´e de la nouvelle solution qui tient compte des informations additionnelles par rapports aux erreurs de mesure.
Pour r ´egulariser un probl `eme inverse, plusieurs mani `eres existent, qui par ailleurs, peuvent ˆetre combin ´ees. En voici quelques-unes :
– r ´egularisation de Tikhonov (m ´ethode la plus connue cf. [TA77] [EHN96]) au moyen de l’ajout dans la fonctionnelle `a minimiser d’une fonctionnelle stabili- satrice non-n ´egative qui peut prendre des valeurs positives aussi petites que possible et qui tient compte de l’informationa priori disponible,
– r ´eduction du nombre de param `etres afin de diminuer la sensibilit ´e du crit `ere aux fluctuations des donn ´ees,
– introduction de contraintes ( ´egalit ´es ou in ´egalit ´es v ´erifi ´ees par les inconnues) dans la fonctionnelle `a minimiser pour limiter la recherche `a des valeurs physi- quement acceptables,
– filtrage des donn ´ees des essais par des techniques de traitement des signaux (filtres fr ´equentiels, transform ´ees de Fourier modifi ´ees, transform ´ees temps- fr ´equence, etc.). Ainsi, les transform ´ees temps-fr ´equence comme l’analyse en ondelettes peuvent se r ´ev ´eler particuli `erement adapt ´ees pour analyser des donn ´ees qui ´evoluent au cours du temps,
– m ´ethode de quasi-r ´eversibilit ´e initialement propos ´ee par R. Latt `es et J.L. Lions [LL93] bien adapt ´ee pour les probl `emes de Cauchy comme par exemple, dans les ´equations aux d ´eriv ´ees partielles elliptiques [Bou07]. Elle consiste `a mo- difier l’op ´erateur diff ´erentiel ou aux d ´eriv ´ees partielles, en g ´en ´eral, en chan- geant l’ordre des d ´eriv ´ees qui y interviennent de mani `ere `a obtenir un nouveau probl `eme qui est bien pos ´e pour les donn ´ees initiales ou les limites connues.
• l’inversion stochastique ou bay ´esienne
Dans ce cas, toutes les variables sont consid ´er ´ees comme al ´eatoires afin de repr ´esenter toutes les incertitudes. On s’int ´eresse alors `a la fonction densit ´e de probabilit ´e associ ´ee aux inconnues et aux donn ´ees du probl `eme `a partir de la- quelle on cherche des grandeurs caract ´eristiques : valeur moyenne, valeur de plus grande probabilit ´e, dispersion, corr ´elations, etc...
Comme nous l’avons mentionn ´e au paragraphe pr ´ec ´edent, un probl `eme inverse se ram `ene le plus souvent `a un probl `eme de minimisation entre calcul et r ´esultats d’exp ´eriences ou `a un probl `eme de maximisation de la vraisemblance et donc conduit
`a un probl `eme d’optimisation qui est souvent un probl `eme en soi.
Les techniques num ´eriques utilis ´ees pour r ´esoudre un probl `eme d’optimisation sont aussi vari ´ees que les domaines d’application des probl `emes inverses eux-m ˆemes (moindres carr ´es lin ´eaires ou non-lin ´eaires, maximum de vraisemblance, m ´ethode de Monte-Carlo, programmation lin ´eaire, recuit simul ´e, algorithmes g ´en ´etiques ou ´evolu- tionnaires, m ´ethodes du contr ˆole optimal, etc). L’objectif de cette introduction n’est pas de dresser une liste d ´etaill ´ee des m ´ethodes d’optimisation. Pour plus de renseigne- ments, le lecteur peut se r ´ef ´erer `a une abondante litt ´erature parmi laquelle nous avons retenu les ouvrages suivants : les livres de Fletcher [Fle80] et Ciarlet [Cia82] sont des grands classiques, l’ouvrage de Culioli [Cul94] est simple et pr ´esente les m ´ethodes num ´eriques les plus usuelles, celui de Bergounioux [Ber01] concerne `a la fois l’optimi- sation et le contr ˆole tandis [Gro93] est plut ˆot orient ´e vers les probl `emes inverses ; sur les m ´ethodes d ´eterministes et les probl `emes convexes, on peut consulter [HP95] et sur les m ´ethodes non d ´eterministes et l’optimisation discr `ete [PR02]. Enfin, en 2009, une encyclop ´edie en anglais sur l’optimisation sera r ´e ´edit ´ee [FP].
Notons que si le probl `eme `a traiter fait intervenir des param `etres assurant la r ´egula- rit ´e et la stabilit ´e du crit `ere, on est dans le cadre de l’optimisation dite«classique». Les m ´ethodes num ´eriques pour l’optimisation classique calculent des d ´eriv ´ees premi `eres et/ou secondes de la fonction co ˆut par rapport aux inconnues. Les algorithmes it ´eratifs pour l’optimisation font habituellement appel de fac¸on r ´ep ´etitive `a la r ´esolution num ´eri- que du probl `eme direct associ ´e. Le probl `eme direct est fr ´equemment d ´efini `a l’aide d’ ´equations aux d ´eriv ´ees partielles ou de syst `emes d’ ´equations diff ´erentielles par rap- port au temps. L `a encore, les m ´ethodes de r ´esolution abondent et pour ne citer que les plus courantes `a savoir : les diff ´erences finies, les ´el ´ements finis et les ´equations int ´egrales.
En l’absence d’hypoth `eses de r ´egularit ´e, il devient difficile de trouver un optimum global ou de bons optimums locaux par les m ´ethodes classiques ; il faut alors faire appel `a des m ´ethodes de minimisation globale, par exemple de type g ´en ´etiques ou
´evolutionaires. Efficaces mais ne permettant pas toujours de disposer de th ´eor `emes de convergence, elles contituent ce que l’on peut appeler des m ´ethodes d’optimisation d’ordre z ´ero ou encore«m ´etaheuristiques». Les m ´etaheuristiques sont g ´en ´eralement des algorithmes stochastiques it ´eratifs, qui progressent vers l’extremum global de la fonction objectif par ´echantillonnage. Ces m ´ethodes ont connu un essor consid ´erable ces derni `eres ann ´ees gr ˆace au d ´eveloppement des moyens de calcul. Les ouvrages r ´ecents, [DPST03] en franc¸ais et [dC06] en anglais, pr ´esentent une famille de m ´etaheu- ristiques telles que le recuit simul ´e, la recherche avec tabous, les algorithmes ´evolution- naires et g ´en ´etiques, les colonies de fourmis pour ne citer que les principales.
15
Pr ´esentation de l’ouvrage
Les probl `emes inverses sont un domaine foisonnant. Nous l’avons vu, les applica- tions sont multiples, les probl ´ematiques diverses et les m ´ethodes utilis ´ees forc ´ement vari ´ees. L’objectif de cet ouvrage est de pr ´esenter un panorama de plusieurs m ´ethodes utilis ´ees et de quelques probl `emes trait ´es au sein du r ´eseau scientifique et technique du Minist `ere de l’ ´ecologie, de l’ ´energie, du d ´eveloppement durable et de l’am ´enagement du territoire, dans le cadre de la m ´ecanique et du g ´enie civil en particulier.
Cet ouvrage commence par des exemples de probl `emes inverses lin ´eaires sur- d ´etermin ´esen dimension finie. Typiquement ce sont desprobl `emes d’identification de param `etres.
Le premier chapitre est un exemple type deprobl `eme inverse lin ´eaireet il pr ´esente une«M ´ethodologie pour l’identification des syst `emes m ´ecaniques articul ´es». La r ´eso- lution proprement dite doit ˆetre pr ´ec ´ed ´ee d’une premi `ere ´etape de recensement des connaissances a priori, et d’une seconde ´etape qui consiste `a extraire des mesures les informations pertinentes, soit par filtrage, mise `a l’ ´echelle, etc. On d ´etermine en- suite les param `etres identifiables qui peuvent constituer un jeu minimal pour d ´efinir le syst `eme dynamique consid ´er ´e. Ces param `etres interviennent ici de fac¸on lin ´eaire dans les ´equations diff ´erentielles du mod `ele. Pour conserver la lin ´earit ´e du probl `eme inverse, on est amen ´e `a calculer num ´eriquement des d ´eriv ´ees. On r ´esout le probl `eme inverse correspondant qui estsur-d ´etermin ´e. Une ´etape essentielle est l’ ´evaluation de la pr ´ecision de l’estimation obtenue. Cette m ´ethodologie est utilis ´ee pour identifier les caract ´eristiques m ´ecaniques d’un compacteur.
L’identification modale est un cas particulier de l’identification de param `etres. Il s’agit d’estimer les fr ´equences, les modes propres et les taux d’amortissement modaux de syst `emes m ´ecaniques lin ´eaires `a param `etres constants `a partir de leurs r ´eponses dynamiques dans le domaine des basses fr ´equences. C’est ce th `eme qui est abord ´e dans les chapitres suivants.
On commence par«Algorithmes r ´ecursifs pour l’identification modale des structures de g ´enie civil ». L’identification pr ´esent ´ee utilise le mod `ele lin ´eaire ARMA et se fonde sur des essais sous excitations ambiantes, c’est- `a-dire pour lesquels l’entr ´ee n’est pas connue, et seule la sortie peut ˆetre mesur ´ee. En l’occurrence, l’auteur s’int ´eresse aux vibrations de c ˆables de ponts `a haubans sous l’action du vent. L’accent est mis sur l’aspect r ´ecursif des algorithmes (utile en th ´eorie du contr ˆole, en traitement du signal, en estimation statistique de param `etres). En utilisant `a chaque instant de nou- velles mesures disponibles, ces m ´ethodes r ´ecursives temporelles permettent de suivre l’ ´evolution des param `etres modaux.
L’analyse en ondelettesest un outil fondamental pour le traitement des signaux de mesure afin d’en faciliter l’analyse. Son utilisation permet d’identifier les param `etres modaux et leur ´evolution au cours du temps. Dans le chapitre «Analyse en ondelettes pour l’identification de param `etres en dynamique»trois exemples sont pr ´esent ´es utili- sant respectivement trois types de donn ´ees : les fonctions de r ´eponses en fr ´equence de poutres, les r ´eponses apr `es choc de plaques en plexiglass, et enfin les r ´eponses sous excitations ambiantes de b ˆatiments. Le chapitre se termine par une extension au cas de l’analyse vibratoirede structures dynamiquesnon lin ´eaires.
Le chapitre sur la«Mod ´elisation et l’identification de syst `emes discrets hyst ´er ´etiques en dynamique», pr ´esente diff ´erents mod `eles d’hyst ´er ´esis construits `a l’aide de mod `eles rh ´eologiques simples (ressorts, amortisseurs ou patins). Il utilise en pr ´etraitement l’analyse en ondelettes, de fac¸on `a pr ´eciser pour l’ ´evolution simul ´ee, les plages de fonctionnement o `u le syst `eme ´evolue avec un nombre fig ´e et connu de patins bloqu ´es ou d ´ebloqu ´es. Globalement le probl `eme estnon lin ´eaire, mais lin ´eaire dans chacune des plages d ´etect ´ees gr ˆace `a l’analyse en ondelettes.
Une autre mani `ere de d ´eterminer des changements de comportement est propos ´ee dans le chapitre sur des«Mod `eles probabilistes de d ´etection de rupture de comporte- ment ». Des exemples sont propos ´es comme la d ´etection du point de rupture entre les ´evolutions ´elastique et plastique d’un mat ´eriau sollicit ´e en traction. Bas ´ees sur les moindres carr ´es lin ´eaires et sur des consid ´erations de probabilit ´es, ces m ´ethodes peuvent permettre de trouver `a la fois le point de rupture et les param `etres correspon- dant aux mod `eles respectifs avant et apr `es le changement.
L’ouvrage se poursuit par des articles concernant cette fois ci lad ´etermination des causes et non plus des param `etres des mod `eles. On commence par des probl `emes inverses qui sont aussi sur-d ´etermin ´es et le dernier chapitre est consacr ´e `a des probl `emes sous-d ´etermin ´esissus de la g ´eophysique.
Le premier exemple de ce type concerne l’«Assimilation thermique 1D par m ´ethode adjointe lib ´er ´ee». Connaissant l’ ´evolution de la temp ´erature en un certain nombre de points du milieu, il s’agit de d ´eterminer la temp ´erature initiale et le flux de chaleur entrant. Le probl `eme ´etant mal pos ´e, il est r ´egularis ´e `a l’aide de la m ´ethode de Ti- khonov. Pour ´eviter le calcul du gradient de la fonctionnelle `a minimiser, on utilise la m ´ethode de l’ ´etat adjoint, ce qui permet de r ´eduire le co ˆut de calcul. Les r ´esultats obtenus en choisissant la normeH1sont meilleurs que ceux obtenus avec la normeL2. La connaissance de la donn ´ee initiale et du flux entrant permet de d ´eterminer ensuite l’ ´evolution de la temp ´erature ; ceci afin de prendre en compte l’effet de la temp ´erature dans l’ ´etat de pr ´econtrainte des structures.
Un autre exemple d’identification des causesconcerne la d ´etection et la recon- naissance d’images. Mais les moindres carr ´es lin ´eaires sont parfois mal adapt ´es car ils ne prennent pas en compte le caract `ere al ´eatoire des mesures et des pa- ram `etres cherch ´es. Le chapitre «Th ´eorie semi-quadratique, r ´egularisation et estima- tion robuste» montre comment, en ajoutant des param `etres dans la fonctionnelle de la m ´ethode classique des moindres carr ´es, on la transforme en une fonctionnelle qui n’est plus quadratiquemais qui permet de tenir compte des informationsa priori dont on dispose. Cette th ´eorie est utilis ´ee pour la d ´etection et la reconnaissance d’images, elle est ´egalement appliqu ´ee `a la reconstruction d’images.
Mais dans certains cas, l’absence de r ´egularit ´e a priori de la fonctionnelle `a mi- nimiser, impose d’utiliser les «Algorithmes pour l’optimisation globale». Ce chapitre fait le tour de diff ´erentes m ´ethodes d’optimisation globale fond ´ees sur diff ´erentes m ´etaphores et qui ont montr ´e leur efficacit ´e comme le recuit simul ´e, les essaims de particules, la s ´election clonale, les algorithmes ´evolutionnaires, etc. Une boite `a outils en langage Scilab est fournie, avec aide en ligne et banc d’essai.
Les algorithmes g ´en ´etiques, qui sont un cas particulier des algorithmes ´evolution- naires, sont utilis ´es pour l’«Optimisation de forme de murs antibruit ». Le probl `eme
17
´etant mal pos ´e, il est d’abord r ´egularis ´e. Les calculs mettent en oeuvre desm ´ethodes des ´el ´ements de fronti `eres (ou m ´ethodes int ´egrales)pour mod ´eliser et r ´esoudre le probl `eme direct.
Le chapitre suivant concerne des «M ´ethodes de Monte Carlo par chaˆınes de Markov pour l’identification de syst `emes ´elastiques h ´et ´erog `enes ». Ces m ´ethodes se basent sur l’ ´echantillonnage al ´eatoire d’un certain domaine, qui dans le cas d’une ana- lyse bay ´esienne est celui des entr ´ees du syst `eme qu’il faut identifier. L’ensemble des
´echantillons forme un chemin al ´eatoire et la convergence de la m ´ethode d ´epend de la nature de ce chemin. Dans l’algorithme par chaˆınes de Markov utilis ´e un noyau de transition r ´egit le passage d’un ´echantillon au suivant et il s’adapte selon les r ´esultats ant ´erieurs.
Enfin, certains probl `emes sont desprobl `emes sous-d ´etermin ´es, car les inconnues sont de dimension infinie alors que les mesures sont en quantit ´e finie.
Le chapitre «M ´ethodes inverses en g ´eophysique» pr ´esente diff ´erentes contribu- tions concernant la caract ´erisation de sous-sol, l’auscultation d’ouvrages d’art, ... La caract ´eristique commune de ces probl `emes est d’ ˆetre largement sous d ´etermin ´es. On ne peut esp ´erer une solution unique ; on peut, tout au plus, affecter `a chaque solution possible un indice de confiance. Les exemples trait ´es concernent la dispersion des ondes de surfaces et diff ´erents probl `emes detomographie: sismique, ´electromagn ´e- tique ou de r ´esistivit ´e ´electrique. Les m ´ethodes de r ´esolution font appel soit `a des lin ´earisations simplificatrices, soit `a des modules de r ´esolution non-lin ´eaires.
Conclusion
Le but premier de cet ouvrage est de donner au lecteur une aide efficace dans son approche des probl `emes inverses. Les principales caract ´eristiques de la probl ´ematique inverse sont rappel ´ees et d ´etaill ´ees tout au long des diff ´erentes contributions. On peut noter que le traitement d’un probl `eme n’est pas en g ´en ´eral «standard», no- tamment pour ce qui est de sa formalisation et de son analyse mais aussi pour ce qui est des m ´ethodes de r ´esolution. Cependant la formalisation et la r ´esolution des diff ´erents probl `emes inverses pr ´esent ´es dans cet ouvrage peuvent g ´en ´erer des id ´ees, des proc ´ed ´es, des remarques qui peuvent ˆetre utiles d’une application `a une autre ap- plication. Nous esp ´erons alors que les m ´ethodes ou algorithmes d ´ecrits ici, qui consti- tuent les briques de base pour la r ´esolution de tels probl `emes, pourront ˆetre largement et facilement r ´eutilis ´es.
En ´elargissant notre r ´eflexion, dans notre monde o `u les m ´ethodes de simulation r ´ealisent chaque jour des progr `es ´etonnants, le cheminement inverse permet de re- consid ´erer, de repenser les notions classiquement acquises. Un exemple imm ´ediat est le concept de mesure qui repose de plus en plus sur l’imbrication de trois ´el ´ements : l’exp ´erimentation, les techniques de simulation directe et les algorithmes d’inversion.
Ainsi, la confrontation entre mod `ele et mesures devient une voie prometteuse qui per- met soit une meilleure compr ´ehension du ph ´enom `ene physique ´etudi ´e, soit la sur- veillance de l’ ´evolution de l’ ´etat du syst `eme `a l’ ´etude, ou encore la validation de me- sures imparfaitement fiabilis ´ees et pouvant consid ´erablement perturber un bilan. En poussant encore plus loin, la pens ´ee inverse peut permettre par des raisonnements diff ´erents et en bouleversant les notions classiques, d’inciter les ´etudiants, ing ´enieurs et chercheurs `a avoir des id ´ees originales ouvrant des perspectives f ´econdes.
BIBLIOGRAPHIE 19
Bibliographie
[Afr91] H. Afra. Identification du comportement sismique de b ˆatiments `a partir de leurs r ´eponses acc ´el ´erom ´etriques. Th `ese de doctorat, Ecole Nationale des Ponts et Chauss ´ees, 1991.
[And98] H. Andrieu. Interpr ´etation de la mesure radar m ´et ´eorologique pour l’hydro- logie - Mod ´elisation des bassins versants urbanis ´es. Th `ese d’habilitation `a diriger des recherches, Institut National Polytechnique de Grenoble, 1998.
67 pages + Annexes.
[Arg90] P. Argoul. Identification des structures vibrantes. Th `ese de doctorat, Ecole Nationale des Ponts et Chauss ´ees, 1990. 283 pages.
[BA05] D. Breysse and O. Abraham. M ´ethodologie d’ ´evaluation non destructive de l’ ´etat d’alt ´eration des ouvrages en b ´eton. Association franc¸aise de g ´enie civil, 2005.
[BC99] H.D. Bui and A. Constantinescu. Probl `emes inverses. de l’exp ´erimentation
`a la mod ´elisation. ARAGO. OFTA, 1999.
[BC05] M. Bonnet and A. Constantinescu. Inverse problems in elasticity. Inverse Problems, 21(2) :R1–R50, 2005.
[BCM04] H.D. Bui, A. Constantinescu, and H. Maigre. Numerical identification of li- near cracks in 2d elastodynamics using the instantaneous reciprocity gap.
Inverse Problems, 20(4) :993–1001, 2004.
[Ber01] M. Bergounioux. Optimisation et contr ˆole optimale des syst `emes lin ´eaires.
Dunod, 2001.
[BG67] G.E. Backus and J.F. Gilbert. Numerical applications of a formalism for geophysical inverse problems. Geophys. J. Roy. Astr. Soc., 1967.
[BG68] G.E. Backus and J.F. Gilbert. The resolving power of gross earth data.
Geophys. J. Roy. Astr. Soc., 1968.
[BG70] G.E. Backus and J.F. Gilbert. Uniqueness in the inversion of inaccurate gross earth data. Phil. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, 1970.
[BM91] V. Badeva and V. Morozov. Probl `emes incorrectement pos ´es. Masson, Pa- ris, 1991.
[Bou07] L. Bourgeois. A stability estimate for ill-posed elliptic cauchy problems in a domain with corners. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 345 :385–390, 2007.
[Bui93] H.D. Bui.Introduction aux probl `emes inverses en m ´ecanique des mat ´eriaux.
Collection de la Direction des Etudes et Recherches d’Electricit ´e de France.
Eds Eyrolles, 1993.
[Cia82] P.G. Ciarlet. Optimisation et contr ˆole optimale des syst `emes lin ´eaires. Mas- son, 1982.
[Cot88] P. Cote. Tomographies sismiques en g ´enie civil. Th `ese de doctorat d’etat
`es sciences physiques, Universit ´e de Grenoble, 1988. 193 pages.
[CR008] Duality, inverse problems and nonlinear problems in solid mechanics. vo- lume 336, pages 1–259. janvier 2008.
[Cr ´e90] C. Cr ´emona. Recursive time domain modal identification techniques. Th `ese de doctorat, University de Wales, 1990. 304 pages.
[Cul94] J.C. Culioli. Introduction `a l’optimisation. Ellipses, 1994.
[dC06] L. Nunes de Castro. Fundamentals of natural computing : basic concepts, algorithms, and applications. Chapman Hall/CRC, 1 edition, 6 2006.
[DPST03] J. Dr ´eo, A. P ´etrowski, P. Siarry, and E. Taillard. M ´etaheuristiques pour l’op- timisation difficile. Algorithmes. Eds Eyrolles, 2003.
[EHN96] H.W. Engl, M. Hanke, and A. Neubauer. Regularization of inverse problems.
Kluwer, 1996.
[Fle80] R. Fletcher. Practical methods of optimization. John Wiley and Sons, 1980.
[FP] C.A. Floudas and P.M. Pardalos, editors. Encyclopedia of optimization.
[GMP08] H. Garnier, M. M’Saad, and T. Poinot. Identification des syst `emes. vo- lume 42. 04-2008.
[Gro93] C.W. Groestch. Inverse problems in the mathematical sciences. Vieweg, Braunstein/Wiesbaden, 1993.
[HP95] R. Horst and P.M. Pardalos, editors. Handbook of global optimization. Klu- wer, 1995.
[Lin05] R. Linder. Les plans d’exp ´eriences - Un outil indispensable `a l’exp ´erimentation. 2005.
[LL93] R. Latt `es and J.L. Lions. M ´ethode de quasi r ´eversibilit ´e et applications. Eds Eyrolles, 1993.
[Men89] W. Menke. Geophysical data analysis : Discrete inverse theory, revised ver- sion, volume 45 of International Geophysics Series. Academic Press San Diego, 1989.
[MT02] K. Mosegaard and A. Tarantola. Probabilistic approach to inverse problems.
chapter International Handbook of Earthquake and Engineering Seismo- logy, pages 237–265. Academic Press, 2002. Part A.
[PR02] P.M. Pardalos and H.E. Romeijn, editors. Handbook of global optimization Volume 2 (Nonconvex optimization and its applications). Springer, 2002.
[PS01] M. Peigney and C. Stolz. Approche par contr ˆole optimal du comporte- ment asymptotique des structures ´elastoviscoplastiques sous chargement cyclique. C. R. Acad. Sci., 329 :643–648, 2001.
[PS03] M. Peigney and C. Stolz. An optimal control approach of inelastic structures under cyclic loading. J. Mech. Phys. Solids, 51 :575–605, 2003.
[TA77] A.N. Tikhonov and V.Y. Arsenin. Solutions to ill-posed problems. Winston- Wiley, New-York, 1977.
BIBLIOGRAPHIE 21
[Tar87] A. Tarantola. Inverse Problem Theory. Elsevier, 1987.
[TM82] A. Tarantola and J. Morlet. Inverse problems=quest for information. J. Geo- phys., 50 :159–170, 1982.
23
Chapitre 1
M ´ethodologie pour l’identification des syst `emes multicorps articul ´es : application au compacteur
Pierre-Olivier Vandanjon, Maxime Gauthier,
Charles-Eric Lemaire
Connaˆıtre le torseur des efforts appliqu ´es par un engin de chantier sur le mat ´eriau qu’il met en œuvre, am ´eliorer la pr ´ecision des mouvements d’une machine outil rapide, implanter une commande avec retour d’effort sur un t ´el ´emanipulateur du nucl ´eaire, . . .. Toutes ces applications utilisent une mod ´elisation qui repr ´esente la r ´ealit ´e sous la forme d’un syst `eme multicorps articul ´e. C’est- `a-dire sous la forme d’une liste de corps li ´es entres eux par des articulations de rotation ou de translation. Ces appli- cations n ´ecessitent de connaˆıtre le mod `ele dynamique qui relie les couples et forces appliqu ´es sur le syst `eme aux positions, vitesses, acc ´el ´erations. Ce mod `ele d ´epend de param `etres (masses, centre de gravit ´e, inerties, . . .) des corps composant le syst `eme.
Ces param `etres ne sont g ´en ´eralement pas suffisamment connus par rapport aux ap- plications vis ´ees. L’objet de ce chapitre est de proposer une m ´ethode d’identification des param `etres bas ´ee sur des mesures effectu ´ees lors de mouvements du syst `eme m ´ecanique. En mesurant les forces, couples, positions, vitesse et acc ´el ´erations, nous d ´eduisons avec une incertitude connue les param `etres du syst `eme. C’est un probl `eme inverse car il s’agit bien de remonter aux causes en analysant les effets. Nous pr ´esentons l’application de cette m ´ethode sur un engin de chantier : un compacteur CATERPILLAR CB 544 (FIG. 1.1). Cette application, pr ´esent ´ee en d ´etail dans la th `ese de [Lem05], a permis d’estimer, pour la premi `ere fois, le torseur des efforts appliqu ´e par le compacteur sur de l’enrob ´e chaud lors d’un chantier routier.
Notre m ´ethodologie passe par trois ´etapes : 1. planification de mouvements
2. analyse d’un mouvement 3. r ´esolution
La premi `ere ´etape consiste d’abord `a recenser toutes les connaissances a priori (avant les exp ´erimentations) que nous avons sur le syst `eme. Par exemple, sur un engin de chantier, il s’agit de rassembler la documentation technique permettant de connaˆıtre
FIG. 1.1 – Compacteur CATERPILLAR CB 544
la masse totale du compacteur, sa g ´eom ´etrie, les caract ´eristiques de son syst `eme vi- bratoire, . . .. A partir de ces informations, des mouvements qui permettent une bonne identification du mod `ele sont recherch ´es en simulation en se basant sur une analyse physique. La deuxi `eme ´etape consiste `a extraire des mesures effectu ´ees lors d’un mouvement, les informations pertinentes qui seront utiles pour l’identification. Il s’agit de filtrer les signaux, de retirer les informations redondantes et de synth ´etiser ces in- formations sous une forme compacte, mise `a l’ ´echelle afin de pouvoir les r ´eutiliser facilement et, notamment, de les regrouper avec d’autres informations de mani `ere harmonieuse. La troisi `eme partie est l’ ´etape la plus classique de l’identification. Les informations de chaque mouvement sont assembl ´ees dans un syst `eme complet qui est alors analys ´e pour en d ´eduire un sous ensemble de param `etres essentiels. Nous calculons alors une pr ´ecision sur chaque param `etre. Si cette pr ´ecision n’est pas sa- tisfaisante, une nouvelle ´etape de planification est propos ´ee. Ces trois ´etapes sont indispensables `a la r ´eussite du processus d’identification. Trop souvent, la r ´esolution est men ´ee sans avoir r ´efl ´echi pr ´ealablement au domaine de validit ´e du mod `ele, aux ordres de grandeur des param `etres, au type de filtrage `a mettre en œuvre, `a la fac¸on de synth ´etiser les informations de chaque exp ´erimentations, `a la mani `ere de comparer ces informations de mani `ere coh ´erente. Dans ce cas, l’exp ´erimentateur se retrouve d ´esempar ´e avec d’un cot ´e, des valeurs de param `etres qui ne sont pas physiquement interpr ´etables et de l’autre, une quantit ´e importante de donn ´ees inexploitables.
Entre l’ ´etape planification des mouvements et l’ ´etape analyse des mouvements, il y a la r ´ealisation des exp ´erimentations. Lors de la pr ´eparation et du d ´eroulement des exp ´erimentations, la maˆıtrise des syst `emes de mesure est fondamentale. Elle est n ´ecessaire `a la r ´eussite de l’identification. Cette partie est sp ´ecifique `a chaque do- maine d’application, elle sort donc du cadre de ce livre d ´edi ´e aux probl `emes inverses.
En dehors du g ´enie civil, cette m ´ethodologie a ´et ´e appliqu ´ee avec succ `es `a – un robot exp ´erimental deux axes (SCARA) de l’IRCCyN par [Gau97],
1.1 Position du probl `eme 25
– un robot industriel six axes avec une chaˆıne ferm ´ee, le SR400 de Renault Au- tomation (RA, ACMA). Sur les 56 param `etres identifiables structurellement, 31 param `etres essentiels ont ´et ´e identifi ´es par [Res96],
– un robot prototype RACE du CEA, constitu ´e de trois axes avec une chaˆıne ferm ´ee par [Van95],
– un robot industriel six axes RX90 de Staubli. Sur les 76 param `etres identifiables, 42 param `etres essentiels ont ´et ´e identifi ´es ;
– l’identification de raideurs articulaires et de structure des machines de travail tr `es grande vitesse (TGV), utilis ´ees en transitique rapide, en collaboration avec SE- PRO Robotique ou en usinage tr `es grande vitesse (machines outils UGV, UTGV).
Ces machines sont d ´ecrites par des mod `eles multi-corps avec masses et raideurs localis ´ees par [Pha02],
– l’identification des param `etres dynamiques d’une voiture en collaboration avec PSA par [Ven03].
Ce chapitre est divis ´e en cinq parties. La premi `ere pr ´esente le cadre du probl `eme. Les trois suivantes pr ´esentent les trois ´etapes de notre m ´ethodologie. La derni `ere partie conclut ce chapitre. Chaque partie est illustr ´ee par une application sur le compac- teur de chantier. Ces illustrations sont simplifi ´ees pour des raisons p ´edagogiques. Une pr ´esentation compl `ete et rigoureuse est donn ´ee dans la th `ese de [Lem05].
1.1 Position du probl `eme
L’identification est une ´etape de la mod ´elisation, elle est li ´ee `a celle-ci. La m ´ethodolo- gie que nous proposons ici est li ´ee `a une mod ´elisation usuelle en robotique qui est ex- pos ´ee dans le livre de [Kha99]. Elle consid `ere le robot comme un syst `eme multicorps articul ´e c’est- `a-dire des corps rigides reli ´es entres eux par des articulations rotoides ou prismatiques ´eventuellement ´elastiques. L’int ´er ˆet majeur de cette mod ´elisation pour l’identification est qu’elle permet de construire des mod `eles dynamiques qui sont li- n ´eaires par rapport aux param `etres. L’objet de l’identification est de connaˆıtre ces pa- ram `etres et d’ ´evaluer l’incertitude sur cette connaissance. Les param `etres `a identifier sont :
– les param `etres inertiels standardsJ,MS etMde chacun des corps, – les param `etres des articulations ´elastiquesketc,
– les param `etres de frottementF V etF S.
La lin ´earit ´e du mod `ele dynamique s’exprime math ´ematiquement pour l’articulation j en d ´erivant par rapport aux param `etres, l’ ´equation (1.1.1).
Γj +Qj =A(q)¨q+C(q,q) + Γ˙ e+ Γf (1.1.1) avec :
– Γj l’effort d’actionnement de l’articulationj,
– Qj la projection des efforts ext ´erieurs sur l’articulationj, – A(q)la matrice d’inertie du robot,
– C(q,q)˙ le vecteur des efforts de Coriolis, centrifuges, de gravit ´e, – Γe le vecteur des efforts ´elastiques,
– Γf le vecteur des efforts de frottement.
On obtient alors l’ ´equation (1.1.2).
Γj +Qj = ∂(A(q)¨q+C(q,q) + Γ˙ e+ Γf)
∂XS XS (1.1.2)
o `u XS est le vecteur regroupant tous les param `etres de chaque corps. L’ ´equation (1.1.2) peut se mettre sous la forme :
Γj +Qj =DSj(q,q,˙ q)X¨ S (1.1.3) L’identification consiste `a ´echantillonner l’ ´equation (1.1.3) le long de mouvements ef- fectu ´es par le robot. En concat ´enant ces mesures et en les triant selon les articulations actionn ´ees, il est obtenu un syst `eme surd ´etermin ´e incompatible dem ´equations `apin- connues avecmÀp.
YS =WS(q,q,˙ q)X¨ S +ρ (1.1.4) avec :
YS =
Γ1(1. . . e) +Q1(1. . . e) ...
Γn(1. . . e) +Qn(1. . . e)
(1.1.5)
WS =
D1(1. . . e) ...
Dn(1. . . e)
(1.1.6)
o `u :
– eest le nombre d’ ´echantillons, – n est le nombre d’articulations, – pest le nombre de param `etres,
– m le nombre d’ ´equation est ´egal `an·e,
– Γj(1. . . e)est le vecteur(e×1)des efforts de l’articulationj,
– Qj(1. . . e) est le vecteur(e×1) des efforts g ´en ´eralis ´es projet ´es sur l’articulation j,
– Dj(1. . . e) est la matrice (e × n) construite en ´echantillonnant la matrice ligne d’identification de l’articulationj Dj(q,q,˙ q),¨
– ρ est le vecteur des r ´esidus dus aux bruits de mesure et aux erreurs de mod `ele, il traduit l’incompatibilit ´e du syst `eme.
L’approche la plus r ´epandue en robotique est fond ´ee sur la r ´esolution au sens des moindres carr ´es (MC) du syst `eme lin ´eaire surd ´etermin ´e (1.1.4) ([Gau90]). L’estimation deX est la solution au sens des moindres carr ´es du syst `eme surd ´etermin ´e (1.1.4) :
Xb = argminXkρk2 =W+Y (1.1.7) o `u :
– W+ = (WTW)−1WT est la matrice pseudo-inverse deW, – Xb est la solution des moindres carr ´es.
Cette d ´emarche est appel ´ee m ´ethode des moindre s carr ´es d’erreur d’entr ´ee avec mod `ele inverse. En effet, les forces et les couples, constituants Y, sont consid ´er ´es comme les “entr ´ees” du syst `eme, les sorties sont les trajectoires : positions, vitesses et acc ´el ´erations (q,q,˙ q)¨ . L’ ´equation (1.1.1) est le mod `ele dynamique inverse qui relie les sorties aux entr ´ees.
L’unicit ´e de la solutionXb d ´epend du rang de la matriceW. La perte de rang deW peut avoir deux origines :
– une perte de rang structurelle, qui apparaˆıt quel que soit l’ ´echantillonnage des Dj. C’est le probl `eme de l’identifiabilit ´e structurelle des param `etres qui est r ´esolu avec le calcul des param `etres minimaux du mod `ele ;
1.1 Position du probl `eme 27
– une perte de rang li ´ee au mauvais choix des ´echantillons des Dj. C’est le probl `eme de la strat ´egie optimale des mesures qui est r ´esolu en r ´ealisant une identification `a partir de mouvements excitants pour les param `etres.
Application au compacteur Pour illustrer la mise en ´equation du probl `eme, l’exemple de la bille d’un compacteur est pr ´esent ´e ici. Le mod `ele correspond `a la rotation de la bille autour de son axe actionn ´ee par un moteur hydraulique. L’ ´equation (1.1.1) prend la forme suivante :
Γj +Qj =ZZjω˙jz+Y Z( ˙ωjy+ωxjωjy) +XZ( ˙ωxj −ωjxωyj)
+MXjV˙jy −MYjV˙jx+F Vjq˙j +F Sjsigne( ˙qj) (1.1.8) avec, les param `etres du mod `ele :
– XZj,Y Zj,ZZj les composantes de la matrice d’inertie de la bille, – MXj,MYj les composantes du premier moment d’inertie de la bille, – F Sj,F Vj les param `etres du mod `ele de frottement.
les variables du mod `ele : – Γj le couple du moteur,
– Qj le moment des efforts ext ´erieurs autour de l’axe de rotation de la bille, – ωj =£
ωxj ωjy ωjz¤T
etVj =£
Vjx Vjy Vjz¤T
les composantes du torseur cin ´ematique de la bille qui s’exprime en fonction deq etq,˙
– qj l’angle de rotation entre le rotor et le stator du moteur.
La forme matricielle du mod `ele ( ´equation 1.1.4) se met sous la forme :
YS = Γj+Qj (1.1.9)
WS =£
˙
ωjz ω˙yj +ωjxωyj ω˙xj −ωjxωyj V˙jy −V˙jx q˙j signe( ˙qj)¤
(1.1.10) XS =£
ZZj Y Zj XZj MXj MYj F Vj F Sj¤T
(1.1.11) 1.1.1 Identifiabilit ´e structurelle : les param `etres inertiels de base
La perte de rang structurelle est li ´ee `a la structure m ˆeme du mod `ele. Elle apparaˆıt quel que soit le mouvement q, q,˙ q¨ ´echantillonn ´e dans W. Elle traduit le caract `ere non identifiable des param `etres XS par le fait que le param ´etrage est surabondant.
Ce probl `eme est r ´esolu en calculant un jeu de param `etres identifiables Xb, appel ´es param `etres de base ou encore param `etres minimaux car c’est le nombre minimal des param `etres dynamiques qui permettent de calculer les effort moteurs Γ. Les pa- ram `etres inertiels de base sont obtenus en ´eliminant les param `etres inertiels standards qui n’interviennent pas dans le mod `ele dynamique (1.1.3) et en regroupant d’autres pa- ram `etres sous forme de relations lin ´eaires. Une m ´ethode symbolique et des m ´ethodes num ´eriques, bas ´ees sur la factorisation QR ou SVD d’une matriceW calcul ´ee avec un
´echantillonnage al ´eatoire de D, ont ´et ´e propos ´ees dans [Gau90], [GK90], [Gau91] et implant ´ees dans un logiciel de calcul automatique des mod `eles de robots SYMORO+
([KC97]). A l’issue de cette ´etape de simplification, on obtient le jeu minimal de pa- ram `etres constituant les param `etres identifiables du mod `ele dynamique :
X =£
X1T · · · XnT¤T
Xi =£
XbTi Xif Xie¤T
(1.1.12) o `u Xb est le vecteur des param `etres inertiels de base et X est le vecteur des pa- ram `etres dynamiques identifiables, constitu ´es des param `etres inertiels de base, des
