m ´ethodes qualifi ´ees d’implicites sont des m ´ethodes it ´eratives qui ´evitent l’inversion directe de cet op ´erateur [CdCV91], [MRdCV99], [Ali94], [AAR95]. Elles pr ´esentent souvent un caract `ere r ´egularisant intrins `eque [AAR95], [Han95]. Dans cette direc-tion, la formulation par moindres carr ´es semble ˆetre un cadre tr `es favorable pour le d ´eveloppement d’algorithmes rapides et robustes [JzB91]. La r ´egularisation de type Ti-khonov [EHN94] est souvent utilis ´ee pour corriger le caract `ere mal pos ´e du probl `eme. La d ´emarche mise en œuvre dans cet article est celle du contr ˆole optimal [Lio68] appliqu ´e `a la reconstruction des flux ext ´erieurs et de la temp ´erature initiale. On obtient en postraitement la temp ´erature courante par r ´esolution de l’ ´equation de la chaleur. Cette m ´ethode, parfois appel ´eem ´ethode adjointe `a cause de l’utilisation syst ´ematique de l’ ´etat adjoint pour calculer le gradient de la fonctionnelle `a minimiser, pr ´esente de nombreux avantages, dont la g ´en ´eralit ´e. Elle s’impose ici car on souhaite en effet traiter des situations multidimensionnelles et des g ´eom ´etries ´eventuellement complexes.
Le probl `eme ´etant mal pos ´e, on est amen ´e `a le r ´egulariser. On montre alors que le choix d’une norme produit de type H1 au lieu de L2 permet d’am ´eliorer fortement la pr ´ecision de la temp ´erature reconstruite par une lib ´eration de l’ ´etat adjoint `a l’instant final.
6.2 Formulation g ´en ´erale du probl `eme
Dans ce paragraphe, on consid `ere un solide occupant un domaineΩdans IRd,d ≥
1, de fronti `ere∂Ω. Par la suite, on se limitera au cas o `ud = 1.
6.2.1 L’ ´equation de la chaleur
En l’absence de changement de phase et en n ´egligeant la dissipation intrins `eque, la distribution de temp ´eratureθ(x, t)dans le solide est r ´egie par l’ ´equation de la chaleur
ρc∂θ
∂t −div(Kgrad θ) = f dans Ω×[0, T] (6.2.1)
o `u x = (x1, x2, x3) ∈ Ω est la variable d’espace, t ∈ [0, T] la variable de temps, f =
f(x, t) d ´esigne la source de chaleur interne distribu ´ee, ρ = ρ(x) la masse volumique du mat ´eriau, c = c(x) sa capacit ´e calorifique et K son tenseur de conductivit ´e. Le tenseur Kest sym ´etrique, d ´efini positif et se r ´eduit souvent `a un tenseur diagonal. Si la conduction est isotrope, il s’ ´ecrit K = k(x)Id, o `u k = k(x) d ´esigne le coefficient scalaire de conductivit ´e et Idla matrice identit ´e.
A l’instant initial, le champ de temp ´erature est donn ´e parθ(x,0) =θ0(x), et `a chaque instant le solide est soumis `a une temp ´erature ext ´erieureθext(x, t)et `a un flux de cha-leur g(x, t) le long de sa fronti `ere∂Ω. On peut r ´esumer les interactions avec le milieu ext ´erieur par la condition de Fourier-Robin
(Kgrad θ)·~n+α(θ−θext) =g sur ∂Ω×[0, T] (6.2.2) o `u α =α(x|∂Ω)≥ 0d ´esigne le coefficient d’ ´echange, et~nle vecteur unitaire normal `a Ωle long de∂Ω.
Les conditions aux limites de type Dirichlet (respectivement Neumann) peuvent ˆetre vues comme des conditions aux limites de type Fourier-Robin avec un coefficientαqui tend vers l’infini (respectivement vers z ´ero).
6.2.2 Reconstruction de la temp ´erature
En l’absence de source de chaleur interne, la temp ´erature dans Ω est donc r ´egie par le probl `eme d’ ´evolution
ρc∂θ
∂t −div(Kgrad θ) = 0 dans Ω×[0, T]
(Kgrad θ)·~n+α(θ−θext) = g sur ∂Ω×[0, T]
θ(x,0) =θ0(x) dans Ω
(6.2.3) Si on poseΦ(x, t) =g(x, t) +αθext, le probl `eme s’ ´ecrit
ρc∂θ
∂t −div(Kgrad θ) = 0 dans Ω×[0, T]
(Kgrad θ)·~n+αθ = Φ sur ∂Ω×[0, T]
θ(x,0) = θ0(x) dans Ω
(6.2.4) Notons que le couple {θ0,Φ} d ´etermine de mani `ere unique la solution θ(x, t) du probl `eme (6.2.4). Par contre, il n’est pas possible d’identifier ind ´ependamment θext et
g. Dans la perspective d’une identification seul Φa un sens. On suppose qu’ `a l’instant finalT on dispose deMmesures{θd
k(t)}M
k=1de la temp ´era-ture sur tout l’intervalle de temps[0, T], fournies par des capteurs ponctuels plac ´es aux points {xk}M
k=1. A partir de ces mesures, l’objectif fix ´e est de reconstruire la donn ´ee
θ(x, T)ou, `a d ´efaut, la donn ´eeθ(x, T −²), avec²petit.
Parmi les m ´ethodes possibles, on ´eliminera d’embl ´ee le filtrage de Kalman en temps continu qui conduirait `a la r ´esolution d’ ´equations de Riccati en tr `es grande dimension ce qui est pratiquement hors d’atteinte sans r ´eduction pr ´ealable.
Une autre mani `ere de parvenir au champ de temp ´erature `a l’instant final est d’es-sayer de d ´eterminer le couple{θ0,Φ}qui a donn ´e naissance au champ de temp ´erature dont on connaˆıt la valeur aux points de mesure. Au lieu de r ´esoudre l’ ´equation de la chaleur dans le sens habituel, avec comme donn ´ees les conditions initiale et aux li-mites, l’objectif fix ´e est de retrouver ces donn ´ees `a partir d’une solution (partiellement) connue. Il s’agit alors d’un probl `eme inverse. Bien entendu, il n’est pas ´evident que cette approche puisse d ´eboucher sur des algorithmes en temps r ´eel, c’est pourquoi l’on s’int ´eresse `a des m ´ethodes rapides quoique g ´en ´eralistes.
Le probl `eme peut ˆetre formul ´e comme un probl `eme de minimisation au sens des moindres carr ´es d’une fonctionnelle mesurant l’ ´ecart entre les mesures et le champ de temp ´erature reconstruit. Cet ´ecart peut ˆetre par exemple mesur ´e par la fonction de co ˆut quadratique J : J({θ0,Φ}) = 1 2 Z T 0 M X k=1 ³ θ(xk, t)−θd k(t) ´2 dt (6.2.5)
Le probl `eme `a r ´esoudre s’ ´ecrit alors (
Trouver {θ0∗,Φ∗} tel que
J({θ0∗,Φ∗}) = min
{θ0,Φ}J({θ0,Φ}) (6.2.6) La minimisation de cette fonction de co ˆut par rapport au couple d’arguments{θ0,Φ}
doit fournir la condition initiale θ0∗ et la condition aux limitesΦ∗ qui donnent le champ de temp ´erature θ(x, t) dont la valeur aux points {xk}M
6.2 Formulation g ´en ´erale du probl `eme 129 des mesures {θ(xk)}M
k=1. La minimisation a un sens par rapport `a une norme donn ´ee qu’il conviendra de pr ´eciser par la suite en m ˆeme temps que l’espace fonctionnel dans lequel sera recherch ´e le couple{θ0,Φ}.
6.2.3 Un probl `eme mal pos ´e
Le probl `eme est par nature mal pos ´e `a cause des propri ´et ´es de l’ ´equation de la chaleur, qui ‘lisse’ les informations de haute fr ´equence. Ceci peut ˆetre illustr ´e avec l’exemple simple ci-dessous :
Soit l’ ´equation de la chaleur simplifi ´ee avec conditions de Dirichlet ∂θ ∂t −∆θ = 0 dans Ω×[0, T] θ= 0 sur ∂Ω×[0, T] θ(x,0) =θ0(x) dans Ω
On cherche `a d ´evelopperθ(x, T) = f(x)en s ´erie de Fourier. A cette fin, on introduit le probl `eme de valeurs propres
½
∆φk+λkφk = 0 dans Ω
φk = 0 sur ∂Ω
avec kφkk = 1. Alors θk(x, t) = φk(x)e−λkt (x ∈ Ω, t ∈ [0, T]), est solution de l’ ´equation de la chaleur. On en d ´eduit que kθk(·, T)k ≤ e−λkT bien que kθk(·,0)k= 1. Il r ´esulte de la compacit ´e de la r ´esolvante du Laplacien en domaine born ´e que
lim
k→∞kθk(·, T)k= 0.
La 1 `ere formule asymptotique de de Weyl permet d’affiner cette conclusion. En effet,
λk ∼ k2md ,d ´etant la dimension de l’espace dans lequel on se place, et 2m l’ordre de l’op ´erateur diff ´erentiel (2m = 2 pour le Laplacien). Cette derni `ere expression montre que les contributions des modes de haute fr ´equence (lorsquek → ∞) n’ont quasiment plus d’effet `a l’instant final. Ce ph ´enom `ene est responsable du caract `ere mal pos ´e du probl `eme inverse, dont la r ´esolution n ´ecessitera des techniques particuli `eres afin de reconstruire correctement ces contributions des modes de haute fr ´equence. Ce ph ´enom `ene de ’lissage’ signifie aussi que lors de la r ´esolution du probl `eme inverse, les modes de haute fr ´equence sont amplifi ´es. Un l ´eger bruitage des mesures conduit alors `a des solutions du probl `eme inverse divergentes, et la r ´esolution num ´erique est instable. En fait, si les donn ´ees sont irr ´eguli `eres le probl `eme inverse n’a pas de solution car la temp ´erature est tr `es r ´eguliere dansΩ.
On pourrait de m ˆeme montrer que le flux ext ´erieurΦ `a l’instant final n’a pas d’effet sur les donn ´ees de mesure issues des capteurs noy ´es `a l’int ´erieur de la structure.
6.2.4 R ´egularisation de Tikhonov
Pour rendre bien pos ´e le probl `eme de la minimisation de la fonctionnelle 6.2.5, on a recours `a la strat ´egie de r ´egularisation de Tikhonov ([EHN94]) qui consiste `a rajouter un terme quadratique `a la fonctionnelle qui lui conf `ere des propri ´et ´es de stricte convexit ´e. La nouvelle fonctionnelle s’ ´ecrit
J({θ0,Φ}) = 1 2 Z T 0 M X k=1 ³ θ(xk, t)−θd k(t) ´2 dt+ ² 2k{θ 0,Φ}k2 (6.2.7)
o `u k · k d ´esigne la norme de l’espace dans lequel on recherche le couple {θ0,Φ}. Le choix de cet espace a une influence d ´eterminante sur les r ´esultats, comme on le verra plus loin.
On cherchera donc `a r ´esoudre le probl `eme (
Trouver {θ0∗,Φ∗} tel que
J({θ0∗,Φ∗}) = min
{θ0,Φ}J({θ0,Φ}) (6.2.8) Il conduit in ´evitablement `a une solution approch ´ee, mais qui tend vers la solution id ´eale lorsque²→0. Par contre ce probl `eme est math ´ematiquement bien pos ´e, ce qui rend sa r ´esolution num ´erique stable.
La minimisation de la fonctionnelle fait appel `a des m ´ethodes it ´eratives telles que la m ´ethode du gradient conjugu ´e, dont la mise en œuvre ne sera pas expliqu ´ee ici.
Il existe d’autres m ´ethodes de r ´egularisation, comme celle de Morozov qui consiste `a minimiser k{θ0,Φ}k2 sous une contrainte du type ¯¯θ−θd¯¯
≤ δ o `u δ repr ´esente une incertitude de mesure.