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Planification

Dans le document Problèmes inverses en génie civil (Page 30-34)

Dans la section pr ´ec ´edente, il est question de proc ´eder `a l’identification `a partir d’un “mouvement riche en informations”. Il s’agit maintenant de trouver un crit `ere quantitatif

1.2 Planification 29 permettant de repr ´esenter ce concept qualitatif. Ainsi, nous pourrons comparer plu-sieurs mouvements entres eux, avant leurs r ´ealisations, et d ´eterminer ceux qui sont les meilleurs vis `a vis de ce crit `ere. Deux repr ´esentations d’un “mouvement riche en informations” sont classiquement utilis ´ees :

– un crit `ere sur la pr ´ecision moyenne de l’estimation : il s’agit d’am ´eliorer globale-ment le vecteur des param `etres identifi ´es par rapport `a une perturbation.

– un crit `ere sur la pr ´ecision absolue de l’estimation : il s’agit d’am ´eliorer l’ ´ecart-type sur chacun des param `etres.

Nous modifions l ´eg `erement ces crit `eres pour prendre en compte la pr ´ecision relative de l’estimation. Nous montrons que ceci rejoint une interpr ´etation physique du concept d’un “mouvement riche en informations”. Dans la suite, nous pr ´esentons ces diff ´erents crit `eres. Une application au compacteur illustre le choix de mouvements excitants.

1.2.1 Pr ´ecision moyenne de l’estimation : conditionnement et perturbations

Consid ´erons le syst `eme (1.1.4) avecm =p(syst `eme carr ´e) par soucis de simplicit ´e, de solutionX tel que :

Y =W X (1.2.1)

SoitXδY la solution du syst `eme perturb ´e surY :

Y +δY =W XδY (1.2.2)

XδY v ´erifie la relation suivante ([GvL96]) :

kXδY −Xk

kXk cond(W) kδYk

kYk (1.2.3)

cond(W) est le conditionnement de la matrice W, relativement `a une norme 2. Ce terme est analys ´e plus loin dans ce paragraphe.

SoitXδW la solution du syst `eme perturb ´e surW, dans le cas de petites perturbations

δW :

Y = (W +δW)XδW (1.2.4)

XδW v ´erifie la relation suivante :

kXδW −Xk X cond(W) kδWk kWk = kδWk Σp(W) (1.2.5) Σp(W)est la plus petite valeur singuli `ere deW.

Par soucis de simplicit ´e, nous nous sommes limit ´es au cas d’une matrice carr ´ee. Il existe des relations similaires pour un syst `eme surd ´etermin ´e(r×p)et lorsqueY etW

sont perturb ´es simultan ´ement (voir ([GvL96]) pour une pr ´esentation d ´etaill ´ee).

Le conditionnement et la plus petite valeur singuli `ere sont calcul ´es num ´eriquement `a partir de la d ´ecomposition en valeurs singuli `eres (SVD) deW, sous la forme :

W =USVT (1.2.6)

o `u U (m×m) etV (p×p) sont deux matrices orthogonales en colonnes et en lignes telles que :

o `uIm est la matrice(m×m)identit ´e. S = · Σ(W) 0(mp)×p ¸ = diag(Σi(W)) =   Σ1(W) · · · 0 0 . .. 0 0 · · · Σp(W)   (1.2.8) Σ1 Σ2 ≥ · · · ≥Σp 0 (1.2.9)

La diagonale de Σ(W) contient les valeurs singuli `eres de W class ´ees par ordre d ´ecroissant. Le conditionnement en norme 2 de W est le rapport de la plus grande valeur singuli `ere sur la plus petite :

cond(W) = Σ1(W)

Σp(W) (1.2.10)

Les relations (1.2.3), (1.2.5), montrent que le conditionnement de W doit ˆetre proche de un avec des valeurs singuli `eres grandes. Cependant le conditionnement en norme 2 fournit un crit `ere d’incertitude en norme 2, c’est- `a-dire une mesure de l’incertitude moyenne sur l’ensemble des composantes de Xb, qui ne prend pas en compte un ´eventuel d ´es ´equilibre de ces composantes. D’o `u la n ´ecessit ´e d’estimer les incertitudes sur chaque composante de Xb ([PG93]).

1.2.2 Pr ´ecision absolue de l’estimation

Dans cette partie, nous utilisons des r ´esultats classiques de statistique ´etablis en supposant que dans (1.1.17), W est d ´eterministe et ρest un bruit additif ind ´ependant de moyenne nulle et de matrice de variance-covariance :

Cρρ=E(ρρT) =σ2

ρIm (1.2.11)

o `u E est l’esp ´erance math ´ematique. La matrice de variance-covariance de l’erreur d’estimation et les ´ecarts-types sont alors estim ´es par les expressions suivantes :

CXbXb =E h (X−Xb)(X−Xb) i =σ2 ρ(WTW)1 (1.2.12) En utilisant la d ´ecomposition en valeurs singuli `eres (SVD) ([GvL96]) de W (1.2.12), il vient :

CXbXb =σ2

ρVΣ2VT (1.2.13) En notant σ2

b

Xi = CXbiXbi les coefficients sur la diagonale de CXbXb, on d ´efinit l’ ´ecart-type relatif par :

σXbri = σXbi

|Xbi| (1.2.14)

La variance σ2

ρ de l’erreur est estim ´eea posteriori par la relation : ˆ

σρ2 = kY WXbk 2

m−p (1.2.15)

Dans le cas id ´eal o `u cond(W) = 1, on a Σ1(W) = Σ2(W) = · · · = Σp(W), soit dans (1.2.13) : CXbXb = µ σρ Σp(W) ¶2 Ip (1.2.16)

1.2 Planification 31 On obtient la m ˆeme incertitude absolue sur toutes les composantes deXb :

σXbi = σρ

Σp(W), i= 1· · ·p (1.2.17)

Cette relation sugg `ere un premier crit `ere d’excitation `a minimiser proche de (1.2.10), de la forme :

f1(W) = cond(W) + 1 Σp(W) =

1 + Σ1(W)

Σp(W) (1.2.18) Ce crit `ere tend `a uniformiser les ´ecarts types absolus σXbi. Il en r ´esulte que les petits param `etres sont mal estim ´es dans le cas o `u Xb est d ´es ´equilibr ´e, c’est `a dire lorsque certains param `etres ont des valeurs d’un ordre de grandeurs sup ´erieurs `a d’autres param `etres, ce qui est usuel. Dans ce cas, l’ ´ecart type relatif est tr `es important :

σXbri est grand si|Xbi|est petit, `aσXbi constant.

1.2.3 Pr ´ecision relative de l’estimation

Un deuxi `eme crit `ere a ´et ´e propos ´e dans [PG93], [Pre94] pour calculer des mou-vements qui ´equilibrent les ´ecarts types, relativement `a des valeurs a priori X de X. Les connaissances a priori X peuvent provenir des donn ´ees constructeur ou d’une premi `ere estimation obtenue sur des mouvements optimis ´es suivant le crit `ere f1(W) (issue de l’ ´equation 1.2.18). En pond ´erant l’observationW et le vecteur des param `etres

X dans (1.1.4), on obtient un nouveau syst `eme avec des param `etresXe ´equilibr ´es :

Y =Wdiag(X)diag1(X)X+ρ= ΦXe+ρ (1.2.19) o `udiag(X)est une matrice diagonale(p×p)avec les valeurs deX sur sa diagonale.

Φ =Wdiag(X) = £Φ;,1 · · · Φ:,p¤=£W:,1X1 · · · W:,pXp¤ (1.2.20) o `u Φ;,i et W;,i d ´esignent les colonnes i de Φ et W respectivement. Φ repr ´esente la matrice d’observation W dont les colonnes sont pond ´er ´ees par les valeurs a priori X. Ce syst `eme ´equilibr ´e se r ´esout comme le pr ´ec ´edent (1.1.4). En particulier, dans le cas id ´eal o `u cond(Φ) = 1, l’incertitude absolue est la m ˆeme sur tous les coefficients deXbe, c’est- `a-dire la m ˆeme incertitude relativement aux connaissances a priori sur tous les coefficients deX :

σXbe = σρ Σp(Φ) =

σXbi

|Xi| =constante, i= 1,· · · , p (1.2.21)

Ce r ´esultat sugg `ere d’utiliser le crit `ere f2(Φ) :

f2(Φ) =cond(Φ) + 1 Σp(Φ) = 1 + Σ1(Φ) Σp(Φ) (1.2.22) La relation : cond(Φ) maxikΦ:,ik minikΦ:,ik (1.2.23)

autorise l’interpr ´etation suivante du crit `ere f2(Φ). Un mouvement qui minimise f2(Φ) tend `a ´equilibrer les contributions des param `etres a priori, Φ:,i = W:,iXi , dans le vec-teur des mesures a priori Y = W X. La norme kW:,ik doit ˆetre grande pour rendre

visible un petit param `etre Xi dans Y et ainsi permettre son identification. Ce crit `ere rejoint une interpr ´etation physique d’un “mouvement riche en informations”. Il faut que chacun des param `etres inertiels ait une contribution ´egale dans les couples et forces mesur ´ees. Ceci am `ene `a consid ´erer plusieurs mouvements, chacun des mouvements permettant d’exciter un groupe de param `etres diff ´erent. C’est alors l’ensemble de ces

mouvements s ´equentiels excitants qui fournira un syst `eme ´equilibr ´e pour

l’identifica-tion. Un int ´er ˆet majeur de cette strat ´egie sous optimale est de pouvoir analyser chacun des mouvements du point de vue physique et de contr ˆoler ainsi le processus d’iden-tification. Il faut bien noter ici que si les mouvements sont s ´equentiels, l’identification reste globale. Une identification s ´equentielle sur des mouvements s ´equentiels am `ene

`a des cumuls d’erreurs pr ´ejudiciable pour tous les param `etres identifi ´es.

1.2.4 Application au compacteur

Dans le cas du compacteur, nous avons d ´efini notamment les mouvements suivants apr `es avoir bloqu ´e le compacteur sur chandelle (FIG. 1.2) afin de supprimer toute interaction avec le sol.

– trajectoires `a vitesse constante afin d’exciter les param `etres de frottement – trajectoires `a acc ´el ´eration importante afin d’exciter les inerties

L’ensemble de ces mouvements permet d’aboutir `a un syst `eme d’identification global dont le crit `ere d’excitation cond(Φ) est satisfaisant (voir section 1.4)

FIG. 1.2 – Compacteur sur chandelles

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