Dans la section pr ´ec ´edente, il est question de proc ´eder `a l’identification `a partir d’un “mouvement riche en informations”. Il s’agit maintenant de trouver un crit `ere quantitatif
1.2 Planification 29 permettant de repr ´esenter ce concept qualitatif. Ainsi, nous pourrons comparer plu-sieurs mouvements entres eux, avant leurs r ´ealisations, et d ´eterminer ceux qui sont les meilleurs vis `a vis de ce crit `ere. Deux repr ´esentations d’un “mouvement riche en informations” sont classiquement utilis ´ees :
– un crit `ere sur la pr ´ecision moyenne de l’estimation : il s’agit d’am ´eliorer globale-ment le vecteur des param `etres identifi ´es par rapport `a une perturbation.
– un crit `ere sur la pr ´ecision absolue de l’estimation : il s’agit d’am ´eliorer l’ ´ecart-type sur chacun des param `etres.
Nous modifions l ´eg `erement ces crit `eres pour prendre en compte la pr ´ecision relative de l’estimation. Nous montrons que ceci rejoint une interpr ´etation physique du concept d’un “mouvement riche en informations”. Dans la suite, nous pr ´esentons ces diff ´erents crit `eres. Une application au compacteur illustre le choix de mouvements excitants.
1.2.1 Pr ´ecision moyenne de l’estimation : conditionnement et perturbations
Consid ´erons le syst `eme (1.1.4) avecm =p(syst `eme carr ´e) par soucis de simplicit ´e, de solutionX tel que :
Y =W X (1.2.1)
SoitXδY la solution du syst `eme perturb ´e surY :
Y +δY =W XδY (1.2.2)
XδY v ´erifie la relation suivante ([GvL96]) :
kXδY −Xk
kXk ≤cond(W) kδYk
kYk (1.2.3)
cond(W) est le conditionnement de la matrice W, relativement `a une norme 2. Ce terme est analys ´e plus loin dans ce paragraphe.
SoitXδW la solution du syst `eme perturb ´e surW, dans le cas de petites perturbations
δW :
Y = (W +δW)XδW (1.2.4)
XδW v ´erifie la relation suivante :
kXδW −Xk X ≤cond(W) kδWk kWk = kδWk Σp(W) (1.2.5) Σp(W)est la plus petite valeur singuli `ere deW.
Par soucis de simplicit ´e, nous nous sommes limit ´es au cas d’une matrice carr ´ee. Il existe des relations similaires pour un syst `eme surd ´etermin ´e(r×p)et lorsqueY etW
sont perturb ´es simultan ´ement (voir ([GvL96]) pour une pr ´esentation d ´etaill ´ee).
Le conditionnement et la plus petite valeur singuli `ere sont calcul ´es num ´eriquement `a partir de la d ´ecomposition en valeurs singuli `eres (SVD) deW, sous la forme :
W =USVT (1.2.6)
o `u U (m×m) etV (p×p) sont deux matrices orthogonales en colonnes et en lignes telles que :
o `uIm est la matrice(m×m)identit ´e. S = · Σ(W) 0(m−p)×p ¸ = diag(Σi(W)) = Σ1(W) · · · 0 0 . .. 0 0 · · · Σp(W) (1.2.8) Σ1 ≥Σ2 ≥ · · · ≥Σp ≥0 (1.2.9)
La diagonale de Σ(W) contient les valeurs singuli `eres de W class ´ees par ordre d ´ecroissant. Le conditionnement en norme 2 de W est le rapport de la plus grande valeur singuli `ere sur la plus petite :
cond(W) = Σ1(W)
Σp(W) (1.2.10)
Les relations (1.2.3), (1.2.5), montrent que le conditionnement de W doit ˆetre proche de un avec des valeurs singuli `eres grandes. Cependant le conditionnement en norme 2 fournit un crit `ere d’incertitude en norme 2, c’est- `a-dire une mesure de l’incertitude moyenne sur l’ensemble des composantes de Xb, qui ne prend pas en compte un ´eventuel d ´es ´equilibre de ces composantes. D’o `u la n ´ecessit ´e d’estimer les incertitudes sur chaque composante de Xb ([PG93]).
1.2.2 Pr ´ecision absolue de l’estimation
Dans cette partie, nous utilisons des r ´esultats classiques de statistique ´etablis en supposant que dans (1.1.17), W est d ´eterministe et ρest un bruit additif ind ´ependant de moyenne nulle et de matrice de variance-covariance :
Cρρ=E(ρρT) =σ2
ρIm (1.2.11)
o `u E est l’esp ´erance math ´ematique. La matrice de variance-covariance de l’erreur d’estimation et les ´ecarts-types sont alors estim ´es par les expressions suivantes :
CXbXb =E h (X−Xb)(X−Xb) i =σ2 ρ(WTW)−1 (1.2.12) En utilisant la d ´ecomposition en valeurs singuli `eres (SVD) ([GvL96]) de W (1.2.12), il vient :
CXbXb =σ2
ρVΣ−2VT (1.2.13) En notant σ2
b
Xi = CXbiXbi les coefficients sur la diagonale de CXbXb, on d ´efinit l’ ´ecart-type relatif par :
σXbri = σXbi
|Xbi| (1.2.14)
La variance σ2
ρ de l’erreur est estim ´eea posteriori par la relation : ˆ
σρ2 = kY −WXbk 2
m−p (1.2.15)
Dans le cas id ´eal o `u cond(W) = 1, on a Σ1(W) = Σ2(W) = · · · = Σp(W), soit dans (1.2.13) : CXbXb = µ σρ Σp(W) ¶2 Ip (1.2.16)
1.2 Planification 31 On obtient la m ˆeme incertitude absolue sur toutes les composantes deXb :
σXbi = σρ
Σp(W), i= 1· · ·p (1.2.17)
Cette relation sugg `ere un premier crit `ere d’excitation `a minimiser proche de (1.2.10), de la forme :
f1(W) = cond(W) + 1 Σp(W) =
1 + Σ1(W)
Σp(W) (1.2.18) Ce crit `ere tend `a uniformiser les ´ecarts types absolus σXbi. Il en r ´esulte que les petits param `etres sont mal estim ´es dans le cas o `u Xb est d ´es ´equilibr ´e, c’est `a dire lorsque certains param `etres ont des valeurs d’un ordre de grandeurs sup ´erieurs `a d’autres param `etres, ce qui est usuel. Dans ce cas, l’ ´ecart type relatif est tr `es important :
σXbri est grand si|Xbi|est petit, `aσXbi constant.
1.2.3 Pr ´ecision relative de l’estimation
Un deuxi `eme crit `ere a ´et ´e propos ´e dans [PG93], [Pre94] pour calculer des mou-vements qui ´equilibrent les ´ecarts types, relativement `a des valeurs a priori X de X. Les connaissances a priori X peuvent provenir des donn ´ees constructeur ou d’une premi `ere estimation obtenue sur des mouvements optimis ´es suivant le crit `ere f1(W) (issue de l’ ´equation 1.2.18). En pond ´erant l’observationW et le vecteur des param `etres
X dans (1.1.4), on obtient un nouveau syst `eme avec des param `etresXe ´equilibr ´es :
Y =Wdiag(X)diag−1(X)X+ρ= ΦXe+ρ (1.2.19) o `udiag(X)est une matrice diagonale(p×p)avec les valeurs deX sur sa diagonale.
Φ =Wdiag(X) = £Φ;,1 · · · Φ:,p¤=£W:,1X1 · · · W:,pXp¤ (1.2.20) o `u Φ;,i et W;,i d ´esignent les colonnes i de Φ et W respectivement. Φ repr ´esente la matrice d’observation W dont les colonnes sont pond ´er ´ees par les valeurs a priori X. Ce syst `eme ´equilibr ´e se r ´esout comme le pr ´ec ´edent (1.1.4). En particulier, dans le cas id ´eal o `u cond(Φ) = 1, l’incertitude absolue est la m ˆeme sur tous les coefficients deXbe, c’est- `a-dire la m ˆeme incertitude relativement aux connaissances a priori sur tous les coefficients deX :
σXbe = σρ Σp(Φ) =
σXbi
|Xi| =constante, i= 1,· · · , p (1.2.21)
Ce r ´esultat sugg `ere d’utiliser le crit `ere f2(Φ) :
f2(Φ) =cond(Φ) + 1 Σp(Φ) = 1 + Σ1(Φ) Σp(Φ) (1.2.22) La relation : cond(Φ) ≥ maxikΦ:,ik minikΦ:,ik (1.2.23)
autorise l’interpr ´etation suivante du crit `ere f2(Φ). Un mouvement qui minimise f2(Φ) tend `a ´equilibrer les contributions des param `etres a priori, Φ:,i = W:,iXi , dans le vec-teur des mesures a priori Y = W X. La norme kW:,ik doit ˆetre grande pour rendre
visible un petit param `etre Xi dans Y et ainsi permettre son identification. Ce crit `ere rejoint une interpr ´etation physique d’un “mouvement riche en informations”. Il faut que chacun des param `etres inertiels ait une contribution ´egale dans les couples et forces mesur ´ees. Ceci am `ene `a consid ´erer plusieurs mouvements, chacun des mouvements permettant d’exciter un groupe de param `etres diff ´erent. C’est alors l’ensemble de ces
mouvements s ´equentiels excitants qui fournira un syst `eme ´equilibr ´e pour
l’identifica-tion. Un int ´er ˆet majeur de cette strat ´egie sous optimale est de pouvoir analyser chacun des mouvements du point de vue physique et de contr ˆoler ainsi le processus d’iden-tification. Il faut bien noter ici que si les mouvements sont s ´equentiels, l’identification reste globale. Une identification s ´equentielle sur des mouvements s ´equentiels am `ene
`a des cumuls d’erreurs pr ´ejudiciable pour tous les param `etres identifi ´es.
1.2.4 Application au compacteur
Dans le cas du compacteur, nous avons d ´efini notamment les mouvements suivants apr `es avoir bloqu ´e le compacteur sur chandelle (FIG. 1.2) afin de supprimer toute interaction avec le sol.
– trajectoires `a vitesse constante afin d’exciter les param `etres de frottement – trajectoires `a acc ´el ´eration importante afin d’exciter les inerties
L’ensemble de ces mouvements permet d’aboutir `a un syst `eme d’identification global dont le crit `ere d’excitation cond(Φ) est satisfaisant (voir section 1.4)
FIG. 1.2 – Compacteur sur chandelles