L’analyse temps-fr ´equence a toujours ´et ´e un enjeu en traitement des signaux. Pour l’ ´etude des signaux transitoires, qui ´evoluent dans le temps d’une fac¸on impr ´evisible, la notion d’analyse fr ´equentielle ne peut ˆetre que locale en temps. Ces signaux ne peuvent pas ˆetre repr ´esent ´es par une superposition d’ondes (sinuso¨ıdes de dur ´ee infinie) mais comme une superposition d’ondelettes (ondes de courte dur ´ee).
Parmi les transformations temps-fr ´equence les plus couramment rencontr ´ees, on peut citer la transformation en ondelettes, la transformation en gaborettes (TG) et enfin celle de Wigner-Ville (TWV).
La TG utilise une fonction «fen ˆetre» pour localiser l’analyse de Fourier, puis la fait glisser sur une autre position, et ainsi de suite. Les «gaborettes» ou ondelettes de Gabor sont construites `a partir de la fen ˆetre par des translations et des modulations (c’est- `a-dire des translations en fr ´equence). Le compromis est qu’une fen ˆetre courte favorise la r ´esolution en temps au d ´etriment de la r ´esolution en fr ´equence et vice-versa. La TWV est le repr ´esentant le plus connu de la classe de Cohen des distribu-tions bilin ´eaires alors que les analyses en gaborettes et en ondelettes sont des repr ´esentations lin ´eaires. Bien qu’elle puisse prendre des valeurs n ´egatives, la TWV d’une fonction peut ˆetre consid ´er ´ee comme une densit ´e dans le plan temps-fr ´equence `a cause de ses propri ´et ´es d’int ´egrations. La structure bilin ´eaire de la repr ´esentation de Wigner Ville comporte de nombreux avantages (tel que la localisation temporelle et fr ´equentielle, conservation de l’ ´energie...). Cependant son principal inconv ´enient est
3.3 La transformation en ondelettes 65 de g ´en ´erer des interf ´erences issues des interactions entre composantes d’un signal ; ce qui rend la lisibilit ´e de cette «densit ´e» plus d ´elicate. Ainsi, pour l’analyse des si-gnaux certains et al ´eatoires, [Fla89] propose un estimateur de type pseudo-Wigner liss ´e afin d’am ´eliorer la lisibilit ´e.
Dans cette ´etude, nous nous sommes int ´eress ´es `a la TOC `a des fins d’identification modale. Dans cet article, nous ne comparons pas la TOC `a d’autres transformations temps-fr ´equence comme par exemple la TG ou la TWV, d ´ej `a cit ´ees.
L’analyse en ondelettes permet une repr ´esentation du signal dans le temps (ou l’es-pace) et dans les ´echelles. Grossmann et Morlet d ´emontrent notamment dans [GM84] que pour qu’un signal temporel puisse ˆetre d ´ecompos ´e sous forme d’une combinai-son lin ´eaire de fonctions ´el ´ementaires localis ´ees en diff ´erents instants et ayant des ´echelles diff ´erentes, il faut que la fonction m `ere pr ´esente quelques oscillations et donc ressemble `a une ondelette, une onde localis ´ee, par comparaison au terme «onde» seul, qui signifie une oscillation qui se propage ind ´efiniment.
3.3.1 D ´efinitions
La TOC d’un signalu(t), d’ ´energie finie et continu par morceaux, est d ´efinie comme suit : Tψ[u] (b, a) = 1 a Z +∞ −∞ u(t) ¯ψ µ t−b a ¶ dt (3.3.1)
o `u ψ(t) est une fonction de classe L1(R)∩ L2(R), continue par morceaux, appel ´ee ondelette m `ere, et¯· d ´esigne le complexe conjugu ´e. La variable b ∈ R introduit une translation de l’ondelette m `ere le long de l’axe temporel. La variable a > 0d ´etermine une dilatation de la variable temporelle tet peut ˆetre reli ´ee `a l’inverse d’une fr ´equence angulaire : nous prenons (cf. relation suivante (3.4.15)), a = ωmax
ω o `u ωmax d ´esigne la valeur de la pulsation telle que le module
¯ ¯ ¯ψˆ(ω)
¯ ¯
¯de la transform ´ee de Fourier deψ(t) est maximal. On rappelle que :ψˆ(ω) = R−∞+∞ψ(t)e−jωtdto `uj =√−1. L’ ´equation (3.3.1) montre que la TOC est d ´efinie par le produit de convolution entreu(t)etP{ψa}(t)o `uP
est l’op ´erateur de parit ´e d ´efini par P{ψa}(t) =ψa(−t). On obtient ainsi une expression duale de (3.3.1) en lui appliquant le th ´eor `eme de Parseval :
Tψ[u] (b, a) = 1 2π Z +∞ −∞ ˆ u(ω) ˆψ(aω)ejωbdω (3.3.2) o `uuˆ(ω)est la transform ´ee de Fourier (TF) de u(t).
L’ ´equation (3.3.2) d ´efinit la TOC, pour toute valeur de a >0, comme la TF inverse du produituˆ(ω) ˆψ(aω), et permet le calcul num ´erique de la TOC `a l’aide des algorithmes de transform ´ees de Fourier rapides.
3.3.2 Propri ´et ´es et choix de l’ondelette m `ere
Un choix «optimis ´e» de l’ondelette m `ere `a des fins d’identification par la TOC, rel `eve de trois crit `eres : l’admissibilit ´e, la progressivit ´e et les localisations temporelle et fr ´equentielle de l’ondelette m `ere.
Le premier crit `ere d’admissibilit ´e entraˆıne que la TF deψ est nulle `a l’origine :ψˆ(0) = 0 et donc que ψ est de moyenne nulle [CHT98]. Il est essentiel car on d ´emontre que si l’ondelette est admissible, la TOC inverse existe.
Le deuxi `eme crit `ere important pour l’obtention et l’extraction des ar ˆetes est la progres-sivit ´e, qui par d ´efinition signifie que la TF deψ est nulle pour des pulsations n ´egatives :
ˆ
ψ(ω) = 0pour ω ≤ 0. Cette propri ´et ´e permet de relier directement le signal r ´eel u(t) avec le signal analytique(2) Zu(t) qui lui est associ ´e. L’amplitude et la fr ´equence ins-tantan ´ees deviennent par cons ´equent plus faciles `a extraire. L’importance de ce crit `ere est d ´etaill ´e ci-apr `es (dans les remarques faites apr `es l’Eq. (3.4.14)).
Une autre propri ´et ´e importante est la localisation en temps et en fr ´equence des on-delettes m `eres et de la TOC. On cherche `a concevoir des fonctions analysantes qui se situent `a mi-chemin des distributions de Dirac δ(t − τ) et des fonctions ejω t qui sont parfaitement localis ´ees respectivement en temps et en fr ´equence. Ces nouvelles fonctions auront `a la fois une bonne localisation fr ´equentielle et une bonne localisation temporelle.
On utilise g ´en ´eralement pour d ´efinir les localisations temporelle et fr ´equentielle, les no-tions de moyennes et d’ ´ecart-types dans les domaines temporel et fr ´equentiel qui sont d ´efinis par rapport `a la densit ´e de probabilit ´e respectivement :ϕ1(t) = |ψkψ(tk)2|2
2 pour le do-maine temporel etϕ2(ω) = |ψb(ω)|
2
kψbk2 2
pour le domaine fr ´equentiel [Mal00]. Pour l’ondelette m `ere, les moyennes temporelle et fr ´equentielle sont not ´eestψ etωψ et les ´ecart-types temporel et fr ´equentiel ∆tψ et ∆ωψ respectivement. La fonction m `ere ψ(t) est dite lo-calis ´ee au point de phase (tψ ,ωψ) avec une incertitudeµψ = ∆tψ∆ωψ qui d’apr `es le principe d’incertitude d’Heisenberg v ´erifie :µψ ≥ 1
2; entraˆınant qu’une am ´elioration de la localisation temporelle (i.e. une diminution de ∆tψ) va ˆetre accompagn ´ee par une d ´et ´erioration de la localisation fr ´equentielle (i.e., une augmentation de ∆ωψ). Par ex-tension, on d ´efinit les localisations temporelle et fr ´equentielle de la TOC en appliquant les d ´efinitions pr ´ec ´edentes `a la version dilat ´ee et translat ´ee : ψb,a(t) = 1
aψ¡t−b a
¢ . On obtient alors les notions de moyennes : tψb,a et ωψb,a et d’ ´ecart-types : ∆tψb,a, ∆ωψb,a
respectivement dans les domaines temporel et fr ´equentiel [Le03].
Pour caract ´eriser la qualit ´e du filtre de l’ondelette m `ere et par suite la localisation de la TOC, [LA04] proposent le facteur de qualit ´eQd ´efini comme le rapport de la pulsation moyenneωψ `a la largeur de l’intervalle fr ´equentiel2∆ωψ. Ce facteur permet aux auteurs de comparer plusieurs ondelettes m `eres et ils montrent que pour une m ˆeme valeur de
Q, les r ´esultats obtenus par l’ondelette m `ere de Cauchy et par l’ondelette de Morlet sont similaires.
Nous avons utilis ´e l’ondelette m `ere de Cauchy d’ordre n : ψβ,n(t) modifi ´ee par le pa-ram `etre positifβ.ψβ,n(t)et sa transform ´ee de Fourier :ψˆβ,n(ω)sont d ´efinies respecti-vement par : ψβ,n(t) = µ j βt+j ¶n+1 ˆ ψβ,n(ω) = 2π µ ω β ¶n e−ωβ n! H(ω) (3.3.3) o `uH(ω)est la fonction de Heaviside. Lorsquetd ´esigne le temps,β a la dimension de l’inverse d’un temps.
On montre ais ´ement que l’ondelette de Cauchy modifi ´ee est admissible et progres-sive. On redonne son facteur de qualit ´e : Q = √2n2+1, ses moyennes temporelle et fr ´equentielle : tψ = 0 et ωψ = β2 (2n+ 1) = 2βQ2; les ´ecarts-types temporel et fr ´equentiel :∆tψ = 1 β 1 √ 2n−1 = 1 β 1 √ 4Q2−2 et∆ωψ et∆ωψ =β√2n+1 2 =βQet enfin la valeur
2Le signal analytique s’obtient `a partir du signal r ´eel en annulant les valeurs du spectre pour les fr ´equences n ´egatives ; ceci a pour effet de«complexifier»le signal initial.