Nous illustrons maintenant quelques applications de la th ´eorie semi-quadratique en analyse d’images, puis en reconstruction r ´egularis ´ee.
7.4.1 R ´egression robuste pour la d ´etection et le suivi des marquages routiers
Nous nous int ´eressons ici `a la d ´etection et au suivi des marquages routiers `a partir d’images num ´eriques. Dans des applications telles que l’aide `a la conduite, la robus-tesse des traitements aux perturbations est d’une importance cruciale.
Le principe du syst `eme d ´evelopp ´e [Ien04] (cf. fig. 7.3) consiste `a effectuer dans un premier temps une d ´etection des centres suppos ´es des marquages, puis `a les ap-procher par ajustement de courbes. Le fonctionnement de quelques d ´etecteurs est d ´etaill ´e dans [TIC07b]. Ils se basent sur des techniques simples de seuillage et ex-ploitent des informations g ´eom ´etriques a priori sur la largeur des marquages, ce qui rend les algorithmes relativement moins sensible `a certaines variations d’intensit ´e que les d ´etecteurs de contours classiques. Cependant, les cartes de d ´etection demeurent relativement bruit ´ees et la r ´egression semi-quadratique trouve ici un champ d’applica-tion naturel.
Dans cette application, la relation sous-jacente entre les coordonn ´ees images(x, y) des points de marquage est choisie de type polynomial :
y=
D
X
j=0
Xj(x)fj, (7.4.1) o `u Xj(x) repr ´esente la valeur en x d’une fonction de base. Selon l’angle de prise de vues, on peut utiliser diff ´erentes formes de polyn ˆomes (cf. tableau 7.2). En collectant les ´equations correspondant aux N points de mesure, on obtient un syst `eme de la forme (7.2.2). Un mod `ele original de bruit, appel ´e famille exponentielle liss ´ee, a ´et ´e propos ´e dans [TIC02] et se base sur la fonction de potentiel suivante :
ϕα(u) = 1
α
¡
(1 +u2)α−1¢. (7.4.2) Cette famille param ´etr ´ee parαs’av `ere bien adapt ´ee `a la mod ´elisation des r ´esidus dans notre application. D’autre part, en faisant varier α, elle permet une transition continue entre les diff ´erents mod `eles de bruit classiques (de Gauss pour α = 1 `a Geman & McClure pourα=−1, en passant parϕHS pourα= 0.5). La robustesse de certains de ces estimateurs a ´et ´e ´etablie math ´ematiquement et peut atteindre le maximum possible de50%de donn ´ees aberrantes [ITC07].
Un algorithme semi-quadratique est obtenu `a partir de l’approche lagrangienne d ´ecrite au paragraphe 7.3.4. La figure 7.3 montre un exemple d’application de cet al-gorithme pour la d ´etection d’une ligne de marquage dans des conditions d’illumination
7.4 Applications 153
(a) (b)
(c) (d)
FIG. 7.3 – (a) Image de route dans des conditions d’ ´eclairement difficiles. (b) Centres de marquages extraits (
·
) : on note la pr ´esence de nombreuses fausses alarmes. Ajustement (c) gaussien, (d) robuste : en blanc, degr ´e 1 ; en gris, degr ´e 2 ; en noir, degr ´e 3.difficiles. Notons que cet algorithme est utilis ´e en routine dans le logiciel IREVE pour le calibrage des cam ´eras des MLPC IRCAN (Imagerie Routi `ere par CAm ´era Num ´erique). Il est possible d’int ´egrer `a la fonctionnelle un terme de r ´egularisation quadratique permettant de contr ˆoler le degr ´e de la courbe obtenue, voire de prendre en compte les corr ´elations existant entre les fonctions de base. Il est ´egalement possible de tenir compte dans l’a priori d’un r ´esultat d’ajustement pr ´ec ´edent. L’estimateur s’int `egre donc naturellement dans un algorithme de suivi par filtrage de Kalman [TIC02]. Cela pose le probl `eme de la d ´efinition de la matrice de covariance de l’estim ´ee, laquelle ne peut ˆetre
qu’approch ´ee dans le cas de l’estimation robuste. Plusieurs formes de matrice ont ´et ´e compar ´ees [TIC07b]. L’algorithme de suivi a ´et ´e test ´e avec succ `es `a bord de v ´ehicules
´equip ´es pour l’aide `a la conduite au LIVIC [Ien04].
Une extension `a l’ajustement simultan ´e de plusieurs courbes a ´et ´e propos ´ee r ´e-cemment [TCI07] `a partir du cadre lagrangien. La figure 7.4 en donne un exemple d’application. Il s’agit de d ´etecter simultan ´ement toutes les lignes longitudinales d’une grille de marquage utilis ´ee pour l’ ´etalonnage de cam ´eras. On peut constater qu’en utilisant un mod `ele gaussien, l’algorithme produit un r ´esultat erron ´e malgr ´e une initia-lisation manuelle tr `es proche de la solution. Au contraire, l’algorithme produit de tr `es bon r ´esultats, `a partir d’une initialisation pourtant plus ´eloign ´ee, lorsqu’on utilise un mod `ele robuste de vraisemblance.
7.4.2 Mod `eles d’apparence pour la d ´etection et la reconnaissance de la signa-lisation verticale
La d ´etection d’objets dans des images est un sujet difficile qui a fait l’objet de nom-breux travaux par le pass ´e. Les approches parmod `eles d’apparence, notamment, ren-contrent un succ `es certain depuis le d ´ebut des ann ´ees 90 [TP91]. Elle permettent la repr ´esentation de classes d’objets et l’apprentissage de variations de forme, d’orien-tation ou d’illumination. Nous en pr ´esentons ici une application `a la d ´etection et `a la reconnaissance de la signalisation verticale dans les sc `enes routi `eres [Dah01].
Dans cette approche, toute image est repr ´esent ´ee par un vecteur dont chaque com-posante est la valeur de niveau de gris d’un pixel. Une telle repr ´esentation, globale, de l’apparence est ´evidemment peu parcimonieuse : c’est pourquoi on a en g ´en ´eral recours `a des techniques de r ´eduction de dimension. Nous utilisons pour notre part l’analyse en composantes principales (ACP). Elle permet de mod ´eliser une base B
d’images d’apprentissage `a l’aide d’une image moyenne µ et d’un nombre r ´eduit de vecteurs propresuj, repr ´esentant les axes principaux de variation du nuage de points. Dans notre mod `ele, toute image peut se d ´ecomposer comme une combinaison lin ´eaire de ces vecteurs de base, `a une erreur wpr `es :
p=µ+
J
X
j=1
fjuj+w. (7.4.3) Nous retrouvons un mod `ele g ´en ´eratif lin ´eaire similaire `a (7.2.2). L’int ´er ˆet de ce type de mod `ele est que J est relativement faible (typiquement, quelques dizaines de co-efficients, `a comparer aux centaines de milliers de pixels des images trait ´ees). Les comparaisons n ´ecessaires `a la d ´etection et `a la reconnaissance s’en trouvent donc fortement simplifi ´ees.
Polyn ˆome Prise de vue Expression Usuel Verticale y=PD j=0fjxj Hyperbolique Perspective y = f0x + f1 + PD j=2 fj (x−xh)j (xh=ligne d’horizon) Fractionnaire Perspective y=PDj=0fjx(Dj)
TAB. 7.2 – Types de polyn ˆome en fonction de l’angle de prise de vue. Les polyn ˆomes fractionnaires ne n ´ecessitent pas la connaissance de la position de la ligne d’horizon.
7.4 Applications 155
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
FIG. 7.4 – (a) Image originale de la grille d’ ´etalonnage. (b) Centres de marquages extraits (
·
). (c) Initia-lisation de 10 lignes pour l’ajustement des marquages verticaux. (d) Lignes ajust ´ees dans l’hypoth `ese de distribution gaussienne pour le bruit. (e) Initialisation de 12 lignes. (f) ajustement robuste simultan ´e des marquages, potentielϕα,α= 0.1.p
P(p|B)
...
B
FIG. 7.5 – Principe de l’algorithme de d ´etection.
Le principe de l’algorithme de d ´etection d’objets d’int ´er ˆet dans une sc `ene est illustr ´e figure 7.5. En chaque position de l’image, on extrait un vecteur d’observationpdont on ´evalue la vraisemblance P(p|B), par rapport au mod `ele appris sur la base B. Cette valeur est affect ´ee `a la position de l’extrait. Lorsque toute la sc `ene a ´et ´e parcourue, on dispose d’une carte de vraisemblance. La position des objets d’int ´er ˆet ´eventuellement pr ´esents dans la sc `ene est alors obtenue par seuillage. La vraisemblance de l’obser-vation, P(p|B), est donn ´ee par :
P(p|B)∝ P(p|f ,ˆ B)P( ˆf|B), (7.4.4) o `u fˆ=arg maxfP(p, f|B) est l’estim ´ee au sens du MAP des param `etres du mod `ele. Nous avons montr ´e [DCH04] que l’association d’un mod `ele robuste de distribution du bruit, P(p|f,B), et d’un mod `ele a priori, P(f|B), bien adapt ´e permet d’am ´eliorer de mani `ere significative les performances des syst `emes de d ´etection existants. La fi-gure 7.6 illustre cela sur un exemple synth ´etique. La base d’images d’apprentissage contient 43 signaux de danger, sous 36 angles de rotation chacun. On ne retient que 30 vecteurs propres. La m ´ethode faisant r ´ef ´erence jusqu’ `a pr ´esent, utilisant des hy-poth `eses gaussiennes [MP97], est mise en d ´efaut sur cette image. Une meilleure dis-crimination est obtenue en associant l’estimation robuste `a une mod ´elisation a priori
adapt ´ee aux donn ´ees. Dans cet exemple, on connaˆıt la forme analytique de cette derni `ere distribution, mais nous avons ´egalement propos ´e une m ´ethode, bas ´ee sur l’algorithme mean shift [Che95], permettant de g ´erer des formes arbitraires de distri-butions [VHC03].
La reconnaissance, quant `a elle, est effectu ´ee en comparant les coordonn ´ees dans l’espace propre estim ´ees,fˆ, `a celles des panneaux d’apprentissage. Ici encore, l’utili-sation d’un estimateur robuste am ´eliore les performances du syst `eme [Dah01], comme le montre la figure 7.6. Dans cette exp ´erience, le panneau est en partie cach ´e par une inscription jaune. Le panneau reconnu `a partir de l’estim ´ee au sens du MV gaussien est le panneau temporaire `a fond jaune, alors que le panneau reconnu dans le cas robuste est correct. On note que l’estimation fournit, de plus, une carte des donn ´ees erron ´ees.
7.4 Applications 157
(a)
(b) (c)
(d) (e) (f) (g)
FIG. 7.6 – (a) Image analys ´ee. Ligne centrale : exp ´erience de d ´etection. Cartes de vraisemblance pour des hypoth `eses de bruit et d’a priori (respectivement) : (b) gaussien-gaussien et (c) robuste-non gaus-sien. Les plus fortes vraisemblances apparaissent en clair. Ligne du bas : exp ´erience de reconnais-sance. (d) image analys ´ee. (e) images reconstruite. (f) carte des donn ´ees erron ´ees, b. (g) panneau reconnu.
7.4.3 Reconstruction r ´egularis ´ee
Nous nous int ´eressons ici aux probl `emes de reconstruction sous le mod `ele g ´en ´eratif lin ´eaire. Il s’agit d’un probl `eme inverse mal pos ´e. Existence et unicit ´e de la solution peuvent ˆetre obtenues respectivement en calculant la solution au sens des moindres carr ´es et en prenant la solution de norme minimale : on parle alors d’inversion g ´en ´era-lis ´ee. En d ´ecomposantR en valeurs singuli `eres,R=UDVT, on obtient :
ˆ
f+ =R+p o `u R+=V D+UT, (7.4.5)
D+ ´etant la matrice diagonale contenant l’inverse des valeurs singuli `eres non nulles de
R, et des 0 aux positions des valeurs singuli `eres nulles. On r ´esout ainsi le probl `eme de l’inversion de (7.2.1) mais pas celui de la stabilit ´e en pr ´esence de bruit (7.2.2). En effet la matriceRest toujours mal conditionn ´ee et l’inversion de ses valeurs singuli `eres
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
FIG. 7.7 – (a) Image originale “cameraman”. (b) Image floue (d ´efocalisation de rayon 2 pixels) et bruit ´ee. (c) Inverse g ´en ´eralis ´ee (7.4.5). (d) Algorithme de Landweber, 100 it ´erations (7.4.6),SN Rvar = 15,7dB. (e) R ´egularisation de Tikhonov (7.4.7),λ= 2,SN Rvar = 14,9dB. (f) R ´egularisation semi-quadratique ICM-DCT,λ= 2, δ= 15, 100 it ´erations,SN Rvar= 18,4dB.
7.4 Applications 159 faibles conduit `a une amplification des hautes fr ´equences du bruit, qui peuvent m ˆeme dominer la solution (cf. figure 7.7). Il est possible d’y rem ´edier en ´eliminant les va-leurs singuli `eres faibles ou bien en calculant l’inverse g ´en ´eralis ´ee par une descente de gradient sur le crit `ere des moindres carr ´es (algorithme de Landweber) :
ˆ
fLW(k+1) = ˆfLW(k) +γRT(p−RfˆLW(k)), (7.4.6) et en arr ˆetant la solution apr `es un nombre fini d’it ´erations. La r ´egularisation de Tikho-nov, ´evoqu ´ee au paragraphe 7.2.2, consiste `a ajouter une contrainte quadratique sur la solution ou ses d ´eriv ´ees. Dans le cas d’une r ´egularisation sur le gradient, la solution v ´erifie les ´equations normales :
(RTR−λ2∆) ˆfT =RTp, (7.4.7) o `u ∆ est l’op ´erateur Laplacien. On peut montrer que ces 3 solutions correspondent chacune `a une fac¸on de filtrer les valeurs singuli `eres faibles. On parle de r ´egularisation lin ´eaire. Son d ´efaut est d’agir globalement sur les images et de ne pas respecter les fortes variations locales, correspondant aux contours (cf. figure 7.7).
Afin de pr ´eserver les discontinuit ´es, on remplace le terme quadratique de r ´egula-risation par un terme de la forme (7.3.1). En variables continues, le crit `ere r ´egularis ´e s’ ´ecrit alors :
J(f) =kp−Rfk2+λ2 Z
Ω
ϕ(|∇f|) (7.4.8) o `u Ω repr ´esente le domaine image. Le lecteur pourra se r ´ef ´erer `a [BF00] pour une ´etude en variables continues en lien avec la th ´eorie des ´equations aux d ´eriv ´ees par-tielles (EDP). Nous utiliserons ici, comme dans [Cha94], une formulation discr `ete s ´e-parable : J(f) =kp−Rfk2+λ2X j ϕ((Dxf)j) +λ2X j ϕ((Dyf)j). (7.4.9) Par rapport `a la formulation continue, ce crit `ere a le d ´efaut de ne pas ˆetre isotrope. Par contre, l’aspect s ´eparable peut ˆetre int ´eressant pour l’implantation. Le crit `ereJ est ´etendu `a deux variables selon l’un ou l’autre des d ´eveloppements semi-quadratiques et une strat ´egie d ´eterministe de minimisations altern ´ees par rapport `a chaque variable est mise en œuvre. Chaque ´etape de l’algorithme comprend donc le calcul des variables auxiliaires b(xk+1) et b(yk+1) selon les expressions (7.3.7) et (7.3.8) et la r ´esolution des
´equations normales. Dans le cas multiplicatif (algorithme ARTUR), elles s’ ´ecrivent : (RTR−λ2∆(Ak+1)) ˆfA(k+1) =RTp, (7.4.10) o `u : ∆(Ak+1) =−DT xB(k+1) x Dx−DT yB(k+1) y Dy,
avec B(xk+1) = diag(b(xk+1)) et By(k+1) = diag(b(yk+1)). Dans le cas additif (algorithme LEGEND), on r ´esout : (RTR−λ2∆) ˆfL(k+1) =RTp+λ2DT xb(k+1) x +λ2DT yb(k+1) y (7.4.11) La premi `ere forme converge en g ´en ´eral plus rapidement que la seconde, en nombre d’it ´erations. Par contre, cette derni `ere est int ´eressante car le premier terme ne varie pas au cours des it ´erations k. On peut, par exemple, le factoriser par l’algorithme de Cholesky pour faciliter ensuite les calculs [Cha94]. Dans le cas de la d ´econvolution,
avec conditions aux bords circulaires, la transform ´ee de Fourier permet de diagonali-ser ce terme. On peut cependant lui pr ´ef ´erer la transform ´ee en cosinus discret lorsque la PSF est sym ´etrique. Cela sous-entend des conditions aux bords sym ´etriques, cor-respondant aux conditions de Neumann associ ´ees aux ´equations normales. On obtient ainsi l’algorithme ICM-DCT [Jal01]. Les figures 7.7 et 7.8 pr ´esentent les r ´esultats obte-nus en d ´econvolution `a l’aide de l’algorithme ICM-DCT, en comparaison d’estimateurs classiques. Le gain en qualit ´e, ´evident visuellement, est confirm ´e en termes de rap-port signal-sur-bruit (SNR). Celui-ci est mesur ´e `a partir des variances de l’image de r ´ef ´erence, f et de l’image reconstruite fˆ: SNRV AR = 10 log10(σ2
f/σ2
f−fˆ). Les filtres uti-lis ´es fig. 7.7 et 7.8 mod ´euti-lisent respectivement une d ´efocauti-lisation et un boug ´e suppos ´es connus.
La r ´egularisation semi-quadratique a ´et ´e appliqu ´ee avec succ `es `a de nombreux probl `emes de reconstruction comme, entre autres, la st ´er ´eovision, l’estimation de mou-vement, la tomographie ou encore l’imagerie micro-ondes (diffraction inverse) [BF00].
7.5 Conclusion
L’hypoth `ese classique de distribution gaussienne (correspondant `a une ´energie qua-dratique) s’av `ere inadapt ´ee dans de nombreux probl `emes r ´eels o `u les donn ´ees se composent en r ´ealit ´e de deux cat ´egories (”inlier/outlier”), n ´ecessitant chacune un trai-tement adapt ´e. On fait alors appel `a l’estimation robuste combin ´ee `a la r ´egularisation lorsque le probl `eme est mal pos ´e. Nous avons pr ´esent ´e un cadre g ´en ´eral, la th ´eorie semi-quadratique, permettant de sortir du comportement purement quadratique, soit par l’introduction d’une fonction bien choisie qui att ´enue l’influence des fortes d ´eviations, soit par l’introduction directe de variables auxiliaires et d’un terme de p ´enalit ´e ´ener-g ´etique associ ´e. La th ´eorie semi-quadratique permet d’ ´etablir le lien entre ces deux approches et pr ´ecise les conditions de choix possibles, en termes simples. De plus, ceci conduit le plus souvent `a des algorithmes rapides et faciles `a implanter. Cette th ´eorie se situe `a la confluence des statistiques robustes [Hub81], des champs mar-koviens [GG84], des approches variationnelles [AK02], d’approches statistiques telles que l’EM [CI04] et de l’analyse convexe [LHY00]. C’est ce qui en fait le succ `es, m ˆeme si elle n’est pas toujours identifi ´ee en tant que telle. Elle permet en effet de poser et de r ´esoudre de multiples probl `emes pratiques, comme nous l’avons illustr ´e par des exemples : la d ´etection et le suivi des marquages routiers, la reconnaissance des pan-neaux de signalisation, et l’am ´elioration de la qualit ´e d’image.
7.5 Conclusion 161
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
FIG. 7.8 – (a) Image originale “ecodyn”. (b) Image floue (boug ´e horizontal de 12 pixels) et bruit ´ee. (c) R ´egularisation de Tikhonov,λ= 1,SN Rvar = 14,5dB. (d) Reconstruction r ´egularis ´ee semi-quadratique par ICM-DCT, λ = 1, δ = 7, 100 it ´erations, SN Rvar = 18,1dB, o `u la plaque min ´eralogique est de nouveau lisible. (e-f) Discontinuit ´es entre lignes,bxet entre colonnesby(visualisation en log).
BIBLIOGRAPHIE 163
Bibliographie
[AK02] G. Aubert and P. Kornprobst. Mathematical Problems in Image
Proces-sing : Partial Differential Equations and the Calculus of Variations, volume
147 ofApplied Mathematical Sciences. Springer-Verlag, 2002.
[All02] M. Allain. Approche p ´enalis ´ee en tomographie h ´elico¨ıdale en vue de
l’ap-plication `a la conception d’une proth `ese personnalis ´ee du genou. PhD
thesis, Universit ´e Paris Sud - Paris XI, France, 2002.
[BF00] L. Blanc-F ´eraud.Sur quelques Probl `emes Inverses en Traitement d’Image. Habilitation `a diriger des recherches, Universit ´e de Nice-Sophia Antipolis, France, July 2000.
[BFCAB95] L. Blanc-F ´eraud, P. Charbonnier, G. Aubert, and M. Barlaud. Nonlinear image processing : Modeling and fast algorithm for regularization with edge detection. In Proc. IEEE International Conference on Image Processing
(ICIP), volume I, pages 474–477, Washington D.C., USA, September 1995.
[BT07] E. Bigorgne and J.-P. Tarel. Backward segmentation and region fitting for geometrical visibility range estimation. In Proceedings of Asian
Confe-rence on Computer Vision (ACCV’07), volume II, pages 817–826, Tokyo,
Japan, 2007. http ://perso.lcpc.fr/tarel.jean-philippe/accv07.html.
[BZ87] A. Blake and A. Zisserman.Visual Reconstruction. MIT Press, Cambridge, MA, 1987.
[CBFAB97] P. Charbonnier, L. Blanc-F ´eraud, G. Aubert, and M. Barlaud. Deterministic edge-preserving regularization in computed imaging. IEEE Transactions
on Image Processing, 6(2) :298–311, February 1997. Prix IEEE 1998 du
meilleur article de jeune auteur, section “Image and Multidimensional Si-gnal Processing”.
[Cha94] P. Charbonnier. Reconstruction d’image : r ´egularisation avec prise en
compte des discontinuit ´es. PhD thesis, Universit ´e de Nice-Sophia
Anti-polis, France, 1994.
[Che95] Y. Cheng. Mean shift, mode seeking, and clustering. IEEE Trans. Pattern
Anal. Machine Intell., 17(8) :790–799, August 1995.
[CI04] F. Champagant and J. Idier. A connection between half-quadratic criteria and em algorithms.IEEE Signal Processing Letters, 11(9) :709–712, 2004. [Dah01] R. Dahyot. Analyse d’images s ´equentielles de sc `enes routi `eres par
mod `eles d’apparence pour la gestion du r ´eseau routier. PhD thesis,
Uni-versit ´e Paris VI, France, 2001.
[DCH04] R. Dahyot, P. Charbonnier, and F. Heitz. Robust Bayesian detection using appearance-based models. Pattern Analysis and Applications, 7 :317– 332, 2004. On-line, http ://www.springerlink.com.
[DLR77] A. Dempster, N. Laird, and D. Rubin. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm. Journal of the Royal Statistical Society, Series
B (Methodological), 39(1) :1–38, 1977.
[GG84] S. Geman and D. Geman. Stochastic relaxation, gibbs distributions and the Bayesian restoration of images. IEEE Trans. Pattern Anal. Machine
Intell., 6(6) :721–741, November 1984.
[GR92] S. Geman and G. Reynolds. Constrained restoration and the recovery of discontinuities. IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell., 14(3) :367–383, March 1992.
[GY95] D. Geman and C. Yang. Nonlinear image recovery with half-quadratic regu-larization and FFT’s. IEEE Transactions on Image Processing, 4(7) :932– 946, July 1995.
[Hub81] P.J. Huber. Robust statistics. John Wiley and Sons, New York, 1981. [Ien04] S. S. Ieng.M ´ethodes robustes pour la d ´etection et le suivi des marquages.
PhD thesis, Universit ´e Paris VI, France, 2004.
[ITC07] S.-S. Ieng, J.-P. Tarel, and P. Charbonnier. Modeling non-Gaussian noise for robust image analysis. In Proceedings of International
Conference on Computer Vision Theory and Applications (VISAPP’07),
pages 175–182, Barcelona, Spain, 2007. http ://perso.lcpc.fr/tarel.jean-philippe/publis/visapp07a.html.
[Jal01] A. Jalobeanu. Mod `eles, estimation bayesienne et algorithmes pour la
d ´econvolution d’images a ´eriennes et satellitaires. PhD thesis, Universit ´e
de Nice-Sophia Antipolis, France, 2001.
[Kay93] S. M. Kay. Fundamentals of Statistical signal processing - Estimation
Theory. Prentice Hall International Editions, 1993.
[LHY00] K. Lange, D. R. Hunter, and I. Yang. Optimization transfer using surro-gate objective functions. Journal of Computational and Graphical Statis-tics, 9(1) :1–20, March 2000.
[MP97] B. Moghaddam and A. Pentland. Probabilistic visual learning for object representation. IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell., 19(7) :696–710, July 1997.
[TCI07] J.-P. Tarel, P. Charbonnier, and S.-S. Ieng. Simultaneous robust fitting of multiple curves. InProceedings of International Conference on Computer
Vision Theory and Applications (VISAPP’07), pages 175–182, Barcelona,
Spain, 2007. http ://perso.lcpc.fr/tarel.jean-philippe/publis/visapp07b.html. [TIC02] J.P. Tarel, S.S. Ieng, and P. Charbonnier. Using robust estimation
algo-rithms for tracking explicit curves. In Springer, editor,6th European
Confe-rence on Computer Vision (ECCV), Lecture Notes in Computer Science,
volume 2350, pages 492–407, Copenhague, Danemark, May 2002. [TIC07a] J.-P. Tarel, S.-S. Ieng, and P. Charbonnier. Accurate and robust image
alignment for road profil reconstruction. In Proceedings of IEEE
Inter-national Conference on Image Processing (ICIP’07), volume V, pages
365–368, San Antonio, Texas, USA, 2007. http ://perso.lcpc.fr/tarel.jean-philippe/icip07.html.
BIBLIOGRAPHIE 165 [TIC07b] J.-P. Tarel, S.-S. Ieng, and P. Charbonnier. Robust Lane Marking
Detec-tion by the Half Quadratic Approach. Collections Etudes et Recherches
des Laboratoires des Ponts et Chauss ´ees, CR 49, LCPC, Novembre 2007. http ://perso.lcpc.fr/tarel.jean-philippe/rr07.html.
[TP91] M. Turk and A. Pentland. Eigenfaces for recognition. Journal of Cognitive
Neuroscience, 3(1) :71–86, 1991.
[VHC03] T. Vik, F. Heitz, and P. Charbonnier. Mean shift-based Bayesian image re-construction into visual subspace. InProceedings of the 2003 IEEE
Inter-national Conference on Image Processing (ICIP 2003), Barcelona, Spain,
167
Chapitre 8
Des m ´ethodes de Monte Carlo par
chaˆınes de Markov pour
l’identification des syst `emes
´elastiques h ´et ´erog `enes
Maurizio Brocato
8.1 Introduction
Les m ´ethodes de Monte Carlo sont souvent utilis ´ees pour la solution de probl `emes inverses, en particulier lorsqu’on a recours `a des approches bayesiennes. Ils se basent sur l’id ´ee d’ ´echantillonner al ´eatoirement les entr ´ees du syst `eme (qui sont les incon-nues du probl `eme inverse) en v ´erifiant `a posteriori chaque ´echantillon sur la base d’informations statistiques disponibles sur les sorties du syst `eme.