o `u α va donner le module de Young et o `u β peut correspondre `a un l ´eger d ´ecalage du `a l’appareil de mesure. Pour les iapr `es k on cherche une fonction non lin ´eaire de
εi. Si on choisit pour d ´ecrire ce comportement non lin ´eaire un polyn ˆome du second degr ´e, on obtient un r ´esultat peu satisfaisant : le point de rupture trouv ´e est repr ´esent ´e sur la figure 5.1 par O . Par contre si on choisit une fonction correspondant mieux au comportement plastique observ ´e, en choisissant par exemple une rep ´esentation de la forme σ(εi) = a√εi + bεi + c, plus conforme au comportement des donn ´ees exp ´erimentales, on obtient comme point de rupture le point X sur la figure 5.1. Les coefficientsα, β, a, b, c, sont obtenus simultan ´ement. Comme pour chaque valeur dek
il faut calculer les coefficients des mod `eles, pour des raisons de temps de calcul il faut approch ´e les mod `eles par une approximation qui soit lin ´eaire par rapport aux coeffi-cients afin de pouvoir utiliser pour chaque valeur dek les moindres carr ´es lin ´eaires.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 −200 0 200 400 600 800 1000 1200
courbe de traction : inconel
x deformations
y contraintes
X
O
FIG. 5.1 – Contraintes en fonctions des d ´eformations
5.4 L’influence des ´elections franc¸aises sur le taux d’ ´echange
Dans cette partie, nous pr ´esentons une application pratique de l’analyse aux donn ´ees concernant le taux d’ ´echangeFranc-Deutsche Mark(qui n’existe plus) durant l’ann ´ee 1993. La s ´erie utilis ´ee contient 256 observations (du 1 Janvier 1993 au 24 D ´ecembre 1993) d’une moyenne ´egale `a µˆ0 = 1,3472 et d’un ´ecart-type ´egale `a pσˆ2
0 = 1.4473. L’objet de cet ´etude est d’analyser l’influence des ´elections franc¸aises sur le taux d’ ´echangeFranc-Deutsche Mark.
La figure suivante rep ´esente les donn ´ees brutes par ordre chronologique.
0 50 100 150 200 250 300 −1 0 1 2 3 4 5 6
FIG. 5.2 – Pr ´esentation graphique des donn ´ees brutes
avons regrouper les donn ´ees en 13 et 20 classes. On constate qu’ind ´ependamment du nombre de classes les deux histogrammes gardent la m ˆeme allure et pr ´esentent un point de rupture que la m ´ethode ci-dessus va permettre d’identifier.
−1 0 1 2 3 4 5 6 0 10 20 30 40 50 60 70 80
FIG. 5.3 – R ´epartition des donn ´ees en13classes
−1 0 1 2 3 4 5 6 0 10 20 30 40 50 60 70
5.5 Conclusion 121 La figure 5.5 repr ´esente le rapport des vraisemblances maximales donn ´e par la rela-tion (5.2.11) 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 120 140 61 date R 1 *(k) FIG. 5.5 – Fonction de vraisemblance
On remarque que le maximum de la fonction de vraisemblance est atteint pour la61`eme
observation, ce qui correspond `a la date 26Mars 1993. La moyenne de la s ´erie avant cette ´etant ´egale `a 3,4254 et celle d’apr `es ´etant ´egale `a 0,6971. Il est int ´eressant de constater que la date 26Mars1993co¨ıncide avec les l ´egistatives de 1993.
5.5 Conclusion
Il y a une large lit ´erature sur la mod ´elisation du ph ´enom `ene de rupture en probabilit ´e ([Fer94] , (cf. [Gho95])) , nous avons limit ´e notre pr ´esentation `a l’hypoth `ese d’une loi de probabilit ´e normale car cela se pr ˆete bien `a l’estimation d’erreur de mesure mais il existe d’autres mod `eles bas ´es sur des hypoth `eses diff ´erentes. Il faut donc savoir que ces m ´ethodes existent et qu’elles donnent des r ´esultats satisfaisants avec une proc ´edure somme toute assez simple.
BIBLIOGRAPHIE 123
Bibliographie
[Fer94] D. Ferger. Change-point estimators in case of small disorders. J. Statist.
Plann. Inference, 40 :33–49, 1994.
[Gho95] D. Ghorbanzadeh. Un test de d ´etection de rupture de la moyenne dans un mod `ele gaussien. Revue de Statistique Appliqu ´ee, XLIII :67–76, 1995. [GP92] D. Ghorbanzadeh and D. Picard. ´etude asymptotique et pratique du
com-portement de deux tests de d ´etection de rupture. Statistique et Analyse des
125
Chapitre 6
Assimilation thermique 1D par
m ´ethode adjointe lib ´er ´ee
Fr ´ed ´eric Bourquin
Alexandre Nassiopoulos
6.1 Introduction
La pr ´econtrainte affecte le comportement vibratoire des structures. Ainsi, la d ´etermi-nation fiable et rapide de l’ ´etat de pr ´econtrainte associ ´e `a un champ de temp ´erature devient une ´etape cruciale dans de nombreux processus comme le contr ˆole de sant ´e en g ´enie civil. La meilleure reconstruction possible du champ de temp ´erature constitue alors un ´el ´ement clef de cette d ´emarche.
Il existe de nombreuses strat ´egies pour d ´etecter les endommagements d’une struc-ture de g ´enie civil : entre autres, une classe tr `es attrayante de techniques repose sur l’analyse vibratoire sous sollicitations ambiantes. Ces m ´ethodes dites output-only
consistent soit `a identifier le spectre basse fr ´equence de la structure `a l’instant cou-rant pour en d ´eduire si celle-ci a subi un endommagement, soit `a v ´erifier qu’un cer-tain vecteur appartient toujours au noyau de la matrice de Hankel des matrices de corr ´elation des mesures [BMG04]. Dans les deux cas, la structure intacte, ou de r ´ef ´erence, est cens ´ee ˆetre connue, ce qui est le cas pour chaque nouveau pont pour lequel on dispose aujourd’hui d’un mod `ele m ´ecanique plut ˆot pr ´ecis `a l’issue de la construction. L’analyse modale op ´erationnelle et la d ´etection en ligne d’endommage-ments visent donc `a d ´etecter les ´evolutions du spectre de la structure. On dispose maintenant d’une exp ´erience pratique des algorithmes et de leur comportement sur des cas r ´eels comme par exemple le pont Z24 [Pee00]. L’analyse modale output-only fond ´ee sur des m ´ethodes de sous-espace tirent profit des matrices de corr ´elation et d ´ebouchent sur des algorithmes en ligne puissants [BMG04, MG04] de d ´etection d’endommagement, dont les domaines d’application incluent le g ´enie a ´eronautique, le g ´enie m ´ecanique, et le g ´enie civil. Il existe beaucoup d’autres m ´ethodes (voir par exemple [SCF00, SFHW01], [Cre04, FHS+03]).
Or le comportement dynamique de la structure sous surveillance peut varier sous l’influence de plusieurs facteurs, y compris les variations de temp ´erature [RBS+00]. En fait, selon les conditions aux limites de la structure et la distribution de temp ´erature,
des variations thermiques ´eventuellement uniformes peuvent causer des variations tr `es importantes du spectre de la structure [FHS+03], jusqu’ `a 10 %, en raison de la pr ´econtrainte additionnelle. La temp ´erature peut m ˆeme modifier les conditions de fronti `ere et le nombre de points de contact entre les piles et le tablier du pont. En fait, la temp ´erature peut engendrer une d ´eflexion aussi importante que le poids propre du pont [IRvA+01]. Ainsi les effets environnementaux peuvent ˆetre de plusieurs ordres de grandeur plus importants que l’effet des endommagements structuraux. Par ailleurs, les m ´ethodes de contr ˆole structural fond ´ees sur un mod `ele de la structure souffrent de toute modification non identifi ´ee du comportement vibratoire de la structure qui nuit alors `a la robustesse des lois de contr ˆole.
Par cons ´equent, comme mentionn ´e dans [FHS+03] et dans une grande partie de la litt ´erature sur le contr ˆole de sant ´e, il est obligatoire d’ ´eliminer les effets ther-miques. Cette ´elimination reste un d ´efi dans ce domaine. La plupart des tentatives dans cette direction ont favoris ´e des approches en boˆıte noire comme l’apprentis-sage de r ´eseaux de neurones, en vue de corr ´eler la temp ´erature aux mesures exten-som ´etriques [FHS+03, SWF03]. Voir [Kul02, Kul03, Kul04] pour l’usage de l’analyse en composantes principales, fond ´ee sur la corr ´elation entre les signatures observ ´ees. Mais les donn ´ees d’apprentissage doivent inclure au moins un cycle complet de condi-tions en service avant que l’on puisse appliquer un algorithme de d ´etection d’endom-magement. Par ailleurs, la m ´ethode propos ´ee ne permet pas de prendre en compte de mani `ere appropri ´ee les ´ev ´enements climatiques exceptionnels.
Par ailleurs, il faut noter que le nombre de capteurs de temp ´erature sur de grands ouvrages peut atteindre plusieurs centaines [Won04], ce qui t ´emoigne de l’importance de cette grandeur physique et de ses variations spatiales.
En outre, la long ´evit ´e des structures en b ´eton est dict ´ee par l’ ´evolution de la temp ´e-rature au jeune ˆage, d’o `u l’int ´er ˆet d’ ´evaluer le champ de temp ´e´e-rature aussi t ˆot que possible. Dans le m ˆeme esprit, la v ´erification en temps r ´eel de la bonne prise du b ´eton ne peut que tirer parti d’une connaissance fine du champ de temp ´erature et de son
´evolution.
Ainsi la temp ´erature ne constitue pas qu’un simple param `etre de nuisance qui doit ˆetre rejet ´e d’un mod `ele qui tiendrait compte seulement de la dynamique de la structure. Au contraire, une surveillance multi-physique compl `ete combin ´ee `a une mod ´elisation thermom ´ecanique inverse pourrait jouer un r ˆole important dans la correction statique des mesures cin ´ematiques comme dans les m ´ethodes de contr ˆole de sant ´e fond ´ees sur l’analyse vibratoire ainsi que dans le contr ˆole de chantier en vue des questions de durabilit ´e et de productivit ´e, sans compter le contr ˆole actif ou semi-actif des structures. Sur la base de mesures thermiques en un certain nombre de points, il est donc es-sentiel de reconstruire le champ de temp ´erature r ´eel `a chaque instant afin d’en tenir compte explicitement dans les algorithmes de contr ˆole de sant ´e ou de contr ˆole actif des structures.
Le travail pr ´esent ´e ici vise la reconstruction du champ de temp ´erature dans une structure `a partir de mesures de l’ ´evolution de la temp ´erature dans un intervalle de temps donn ´e fournies par un certain nombre de capteurs ponctuels. Cette question est un cas particulier d’une classe de probl `emes tr `es importante cit ´ee dans la litt ´erature sous le nom de probl `emes inverses de transfert de chaleur [BBC85], [Ali94], [zO00], et qui fait l’objet d’un nombre tr `es important de publications. Elle se trouve aussi au cœur de l’assimilation de donn ´ees en m ´et ´eorologie.
Parmi les techniques de r ´esolution que l’on rencontre dans la litt ´erature, les m ´ethodes dites explicites tentent, apr `es discr ´etisation le plus souvent par diff ´erences finies,
6.2 Formulation g ´en ´erale du probl `eme 127