Lorsque tous les mouvements planifi ´es ont ´et ´e r ´ealis ´es, nous obtenons un ensemble de syst `emes d’ ´equations. Chaque syst `eme correspond `a une exp ´erimentation. Tous ces syst `emes doivent ˆetre assembl ´es de fac¸on coh ´erente. C’est pourquoi, ils sont pond ´er ´es avant d’ ˆetre assembl ´es : il s’agit de pond ´erer chaque essai par la confiance que nous lui attribuons. Pour mettre en œuvre cette pond ´eration, nous utilisons une d ´ecomposition QR du syst `eme (1.1.4). L’assemblage harmonieux des ´equations is-sues de la phase exp ´erimentale est d ´ecrit dans la deuxi `eme partie de cette section. L’ ´etape suivante est la r ´esolution de ces ´equations. Le point important de ce proces-sus est l’estimation de l’incertitude sur les param `etres identifi ´es. Cette estimation est un crit `ere important de qualit ´e de l’identification. L’ ´etape finale est la validation des r ´esultats obtenus.
1.4.1 R ´eduction sous forme QR
Une transformation QR du syst `eme pr ´ec ´edent ( ´equation 1.3.5) donne :
Wd=Qd·Rd (1.4.1) avecQmatrice orthonormale etR matrice triangulaire sup ´erieure.
Il suffit dans la suite de ne garder que Rd, QdTYd, (ρd)2 et le nombre d’ ´equations du syst `eme d ´ecim ´e que nous noterons md. Ce dernier param `etre permettant de calcu-ler la variance du syst `eme. Pour continuer l’exemple pr ´ec ´edent, nous avions apr `es fil-trage parall `ele une matrice d’observation comprenant 60 lignes et 5 colonnes. Apr `es la r ´eduction sous forme QR, nous retenons une matrice triangulaire 5 ×5. Nous voyons ici l’int ´er ˆet du filtrage, des moindres carr ´es et de l’utilisation du QR pour synth ´etiser l’information : d’une matrice d’observation initiale 300000×5et un vecteur de mesure de couple de dimension 300000, nous aboutissons `a une matrice 5×5, un vecteur 5×1, un terme d’erreur au carr ´eρ2 et un nombre d’ ´equationsmdbeaucoup plus facile
`a stocker, manipuler, interpr ´eter.
1.4.2 Assemblage des matrices
Lorsque les essais ont ´et ´e r ´ealis ´es et que les traitements pr ´ec ´edents ont ´et ´e ef-fectu ´es sur chaque mouvement, nous obtenons n syst `emes{Rk, QT
kYk, ρ2
k, mk}, k al-lant de 1 `a n (nous avons retir ´e le suffixe d pour des raisons de pr ´esentation). Ces syst `emes sont de nature tr `es diff ´erentes, sur certains les bruits de mesure et de mod `ele sont faibles sur d’autres, ces bruits sont ´elev ´es. Il faut donc les normaliser. Nous avons choisi de normaliser chaque syst `eme par sa variance. Plus la variance est ´elev ´ee, moins le syst `eme sera pris en compte dans le processus d’identification. Ceci a une interpr ´etation probabiliste, chaque syst `eme a un bruit de variance diff ´erent,
1.4 R ´esolution 37 il s’agit de normaliser ces bruits afin d’obtenir un bruit uniforme sur tous les syst `emes.
Rponderek = R k σk (1.4.2) QTkYkpondere = Q T kYk σk (1.4.3) avec : σk2 = ρ 2 k mk−p (1.4.4)
Ces matrices sont alors concat ´en ´ees pour obtenir le syst `eme final.
Rf inal = Rpondere1 ... Rpondere n (1.4.5) Yf inal = QTY1pondere ... QTYpondere n (1.4.6) ρ2f inal = k=n X k=1 ρ2 k (1.4.7) mf inal = k=n X k=1 mk (1.4.8)
Ce syst `eme subit lui-m ˆeme une transformation QR :
Rf inal =Q·R (1.4.9)
1.4.3 Identification des param `etres
Les param `etres sont identifi ´es par moindres carr ´es sur ce nouveau syst `eme ( ´equation 1.4.9). Nous calculons un vecteur de param `etres en r ´esolvant le syst `eme carr ´e obtenu.
b
X =R−1·QTYf inal (1.4.10)
la variance est estim ´ee en calculant : b
σ2 = ρ2
f inal+Yf inalTYf inal−(QTYf inal)TQTYf inal
mf inal−p (1.4.11)
1.4.4 Param `etres essentiels
Si les valeurs des param `etres sont trop d ´es ´equilibr ´ees, il est tr `es difficile de dimi-nuer le crit `ere f2(Φ). Il est alors pr ´ef ´erable de simplifier le mod `ele en ´eliminant les param `etres Xk tels que :
σXˆ
rk = σXˆk
|Xˆk| >0,1 (1.4.12)
L’interpr ´etation de ce crit `ere est double. D’une part, seuls les param `etres dont la valeur identifi ´ee a au moins un chiffre significatif sont conserv ´es. D’autre part, la contribution
relative des param `etres ´elimin ´es dans le calcul des efforts articulaires est faible sur le mouvement optimis ´e. Les param `etres retenus sont appel ´es param `etres essentiels. Ils d ´efinissent un mod `ele dynamique simplifi ´e et pr ´ecis. Il reste un d ´etail technique `a prendre en compte : retirer des param `etres identifiable change leσrhode chaque essai, il faut alors refaire l’ ´etape de pond ´eration et d’assemblage des essais avant d’identifier le nouveau jeu de param `etres essentiel.
Le fait de qualifier un param `etre comme non essentiel n’est pas anodin, il faut s’assu-rer qu’il n’existe pas de mouvement qui puisse exciter ce param `etre. C’est l’ ´etape de replanification qui utilise les concepts expliqu ´es dans la section 1.2 afin de v ´erifier que ce type de mouvement excitant est impossible compte tenu des limitations m ´ecaniques et des capacit ´es d’actionnement.
A. Application au compacteur
Les diff ´erents essais ont ´et ´e r ´ealis ´es, les donn ´ees ont ´et ´e filtr ´ees et assembl ´ees sous la forme d’une matrice d’observation W et d’un vecteur de mesure Y eux aussi filtr ´es et d ´ecim ´es. Il est alors possible d’appliquer les ´equations des moindres carr ´es pond ´er ´es. Cette application m `ene aux r ´esultats exprim ´es dans (TAB. 1.1). Les
pa-Param `etres Unit ´es Xˆ σXˆ σXˆ(%)
ZZj kg.m2 214 0,26 0,12 M Xj m.kg 0,82 0,54 65 M Yj m.kg 0,50 0,52 105 F Vj N.m.s 72,4 0,33 0,45 F Sj N.m 55,7 1,8 3,2 σρ= 41,6N.m cond(W) = 75 cond(φ) = 571
TAB. 1.1 – R ´esultats de l’identification des param `etres du mod `ele de la bille
ram `etresMXj etMYj sont mal identifi ´es (leurσXˆ(%)est largement sup ´erieur `a 10%), de plus les valeurs identifi ´es (Xˆ) sont faibles. Cette faible influence de ces param `etres se retrouve dans le conditionnement important (cond(φ) = 571) ce qui indique qu’au moins un des param `etres n’a pas d’influence dans la pr ´ediction du vecteur de mesure. Nous avons r ´ealis ´e des mouvements qui augmentent l’excitation de ces param `etres gr ˆace au syst `eme de vibration du compacteur. Malgr ´e ces nouveaux mouvements, ces param `etres restent mal identifi ´es. C’est pourquoi une nouvelle identification a ´et ´e effectu ´ee en enlevant les param `etres MXj et MYj du mod `ele, les r ´esultats obtenus sont donn ´es dans (TAB. 1.2). Dans ce cas, tous les param `etres sont bien identifi ´es et
Param `etres Unit ´es Xˆ σXˆ σXˆ(%)
ZZj kg.m2 214 0,28 0,13
F Vj N.m.s 71,8 0,34 0,47
F Sj N.m 56,5 1,8 3,2
σρ= 42,4N.m cond(W) = 49 cond(φ) = 52
TAB. 1.2 – R ´esultats de l’identification des param `etres du mod `ele de la bille
1.4 R ´esolution 39
1.4.5 Validation
A. Validation des capacit ´es pr ´edictives du mod `ele identifi ´e
Une fois les param `etres identifi ´es, nous v ´erifions les capacit ´es pr ´edictives de notre mod `ele en s’assurant que le couple pr ´edit correspond au couple mesur ´e dans les conditions suivantes.
– validation directe : comparaison de Y et de WXb, calcul ´es sur les m ˆemes mou-vements que ceux utilis ´es pour l’identification, visualisation du signal d’erreur ρ. Cette premi `ere ´etape n ´ecessaire afin de v ´erifier nos hypoth `eses statistiques sur le bruitρdoit ˆetre compl ´et ´ee par une validation crois ´ee,
– validation crois ´ee : la comparaison est effectu ´ee sur des mouvements non utilis ´es pour l’identification.
Application au compacteur Pour valider le mod `ele, il est possible de comparer le couple mesur ´e au niveau du moteur hydraulique et le couple calcul ´e `a partir du mod `ele. La figure (FIG. 1.4) donne un exemple de cette comparaison qui est une validation suppl ´ementaire de la qualit ´e de l’identification.
0 2 4 6 8 10 12 −6 −4 −2 0 2 4 6x 10 6 Temps (s) Pression (Pa) ∆ P m mesuré ∆ P m calculé
FIG. 1.4 – Comparaison du couple mesur ´e et du couple calcul ´e
B. Validation par comparaison avec des donn ´ees connues
Les donn ´ees identifi ´ees avec les valeurs a priori sont compar ´es aux donn ´ees tech-niques. Dans le cas du compacteur o `u il existe deux niveaux de vibrations, nous avons bien v ´erifi ´e que les param `etres li ´es au syst `eme de vibration, c’est `a dire les premiers
moments du balourd, variaient de mani `ere coh ´erente suivant les donn ´ees construc-teurs. Un autre type de validation consiste `a ajouter une masse connue, `a refaire une identification, et `a v ´erifier que les diff ´erences trouv ´ees dans les valeurs des param `etres correspondent aux caract ´eristiques de la masse ajout ´ee. C’est ainsi, que nous avons estim ´e la masse du conducteur du compacteur.