Le cadre H1 pour minimiser la fonctionnelle d’erreur permet une bien meilleure re-construction de la temp ´erature finale que le cadre L2. La m ´ethode propos ´ee s’ ´etend presque naturellement au cas multidimensionnel.
Par ailleurs, le recouvrement partiel des intervalles de temps de reconstruction suc-cessifs ainsi que la sauvegarde des directions de descente en vue d’une prise en compte ult ´erieure devraient acc ´el ´erer nettement la reconstuction au fil du temps.
6.5 Conclusions 139 Enfin, une projection sur base r ´eduite pourrait s’av ´erer tr `es utile pour traiter les structures tridimensionnelles.
La reconstruction des pr ´econtraintes d’origine thermique ne constitue qu’un post-traitement de type thermo- ´elastique. Il est alors essentiel de bien connaˆıtre les vraies conditions aux limites qui ´evoluent ´egalement avec la temp ´erature. La prise en compte de la temp ´erature r ´eelle et des sensibilit ´es des modes `a la temp ´erature fait l’objet d’une recherche active.
BIBLIOGRAPHIE 141
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143
Chapitre 7
Th ´eorie semi-quadratique,
r ´egularisation et estimation robuste
Pierre Charbonnier, Jean-Philippe Tarel, Sio-Song Ieng
7.1 Introduction
Les images num ´eriques ont de plus en plus de domaines d’application de nos jours. Il convient d’ailleurs de prendre ici le mot “image” au sens large de cartographie d’une propri ´et ´e physique, ´eventuellement complexe ou vectorielle, en tout cas non limit ´ee `a l’intensit ´e photom ´etrique. Ces images doivent souvent ˆetre obtenues par le calcul, `a partir de donn ´ees issues de capteurs, voire `a partir d’autres images. Les images optiques elle-m ˆemes sont issues de syst `emes imageurs qui peuvent introduire du flou ou des perturbations al ´eatoires – le bruit – dont il convient de les d ´ebarrasser pour les rendre exploitables. On peut parler, de mani `ere g ´en ´erique, dereconstructiond’image. Le terme vision par ordinateur, quant `a lui, regroupe les techniques visant `a ana-lyser automatiquement les images afin d’en ressortir des informations utilisables par des syst `emes de d ´etection, de commande ou de reconnaissance. L’approche clas-sique consiste `a extraire dans les images des primitives g ´eom ´etriques qui sont ensuite abstraites, gr ˆace `a l’utilisation de mod `eles math ´ematiques. Il s’agit alors d’estimer les param `etres permettant d’ajuster au mieux un mod `ele aux donn ´ees observ ´ees. Plus r ´ecemment, on a vu apparaˆıtre des m ´ethodes, rendues accessibles par la mont ´ee en puissance des ordinateurs, qui utilisent l’ensemble des valeurs de l’image. Elles capturent l’apparence globale des objets `a travers des mod `eles statistiques. L’analyse d’une image implique, l `a encore, un ajustement de param `etres.
Ces deux types d’applications, reconstruction et analyse d’images, peuvent sembler tr `es diff ´erents. Dans les deux cas, cependant, on peut consid ´erer que les donn ´ees p
auxquelles nous avons acc `es sont une r ´ealisation bruit ´ee d’une relation fonctionnelle
R(f)dont on souhaite estimer les param `etres f. Pour r ´esoudre ce probl `eme inverse, il est n ´ecessaire d’introduire des connaissances sur le bruit. De plus, il est souvent souhaitable – et parfois n ´ecessaire – d’introduire une connaissance a priori sur la nature de la solution recherch ´ee, on parle alors de r ´egularisation. Le cadre bayesien est le plus g ´en ´erique pour sp ´ecifier ces informations de nature statistique.
Le paragraphe 7.2 est consacr ´e `a la description du mod `ele et des principaux es-timateurs associ ´es. Nous verrons ´egalement que les hypoth `eses gaussiennes classi-quement utilis ´ees sont inadapt ´ees. Ainsi, dans le cas de l’estimation de param `etres, elles ne permettent pas de g ´erer correctement la pr ´esence de donn ´ees erron ´ees. En reconstruction d’image, elles entraˆınent un lissage excessif des contours. Nous propo-sons au paragraphe 7.3 une pr ´esentation unifi ´ee de mod `eles bas ´es sur des densit ´es de probabilit ´e non gaussiennes (ou d’ ´energies non quadratiques). Ces mod `eles per-mettent de rel ˆacher le comportement gaussien lorsque cela devient n ´ecessaire. La th ´eorie semi-quadratique pr ´ecise les conditions `a imposer aux fonctions employ ´ees pour autoriser un tel comportement. On montre que cela revient `a introduire une va-riable auxiliaire dont le r ˆole est `a la fois de “marquer” les donn ´ees et de partiellement lin ´eariser le probl `eme, simplifiant ainsi l’algorithmique associ ´ee. Nous illustrons au pa-ragraphe 7.4 deux applications d’estimation robuste de param `etres dans le cadre de la d ´etection automatique de la signalisation routi `ere. Nous montrons ´egalement le gain de qualit ´e obtenu en reconstruction d’image r ´egularis ´ee.