Variables didactiques de la séquence

Après avoir mis en évidence les différentes composantes spécifiques du milieu, in-téressons-nous plus particulièrement aux variables didactiques de la séquence. Il

s’agit des choix qui ont déterminé l’orientation du travail des élèves. Il en existe de plusieurs sortes comme cela a été souligné à la section 2.1.3. Durand-Guerrier identifie ces deux types distincts de variables en les nommant « variables didactiques mathématiques » et « variables didactiques organisationnelles ».

La définition qu’elle donne du premier type de variable rejoint évidemment les défini-tions partagées dans le deuxième chapitre : « une variable didactique mathématique pour un problème donné est un élément intrinsèquement lié au problème sur lequel l’enseignant peut jouer pour favoriser ou inhiber certaines procédures » (Durand-Guerrier, 2015, slide 17). Sans en spécifier une définition, elle évoque l’importance des variables didactiques de type « organisation de l’activité » pilotées par des enjeux d’apprentissage (Ibid., slide 20). Notamment, l’organisation de la situation d’action est cruciale pour faire rencontrer aux élèves une résistance entre la méthode proposée et les résultats obtenus.

Ces deux types de variables sont traités dans les paragraphes ci-après.

4.4.1 Cylindres

Une première variable didactique mathématique est relative au choix du matériel que les élèves utilisent pour rencontrer les situations de proportionnalité et de non-proportionnalité. Notre choix s’est porté sur des objets de forme cylindrique pour plusieurs raisons. Il était nécessaire d’avoir un objet mathématique pour lequel la variation de deux paramètres distincts mène à deux modèles différents, l’un pro-portionnel, l’autre non proportionnel. C’est notamment le cas des cylindres et des parallélépipèdes à base carrée. Le risque de travailler avec une base carrée est que les élèves repèrent rapidement le modèle qui correspond à la situation et passent outre le réel objectif de la séquence qu’est la remise en question de l’utilisation du modèle proportionnel. Faire réfléchir les élèves aux raisons qui font que ce n’est pas un modèle proportionnel est essentiel. Nous avons alors opté pour un travail avec des cylindres. Suite aux résultats des expériences, il est difficile pour les élèves de se mettre d’accord rapidement sur le modèle correspondant à la variation du diamètre du cylindre. Les valeurs obtenues pour atteindre la hauteur triple peuvent osciller de huit à dix mesurettes et un débat doit être mené afin de déterminer le modèle qui correspond à la situation. C’est là tout l’intérêt de cette activité.

Un autre choix a dû être posé pour la situation d’introduction. Il y est proposé de faire des prévisions sur le remplissage d’une casserole, objet cylindrique qui fait partie du quotidien des élèves. Cette variable didactique peut être qualifiée d’organi-sationnelle car, même si une casserole a le défaut d’être opaque, elle est suffisamment large pour que les élèves puissent observer ce qu’il se passe lors de son remplissage, du moins pour les témoins proches du lieu de l’expérience. Les imprécisions liées au travail sur cet objet, dont il sera question dans l’analyse a posteriori, ont confirmé qu’il était intéressant d’aborder la situation avec un objet différent des cylindres utilisés par la suite. Nous y revenons dans la section 5.2.1.

que les élèves puissent observer avec plus de facilité la variation du volume dans les récipients.

4.4.2 Paramètres et constantes

Au cours de la séquence, plusieurs variables liées aux dimensions d’un cylindre in-terviennent, mais pas au même moment. Comme nous l’avons mentionné précédem-ment, il est important d’expliquer aux élèves ce principe expérimental qui consiste à modifier la valeur d’une seule variable à la fois pour étudier l’influence de chacune d’elles indépendamment l’une de l’autre. Notons que les variables qui sont évoquées ici – hauteur et diamètre – sont celles dites « du problème » selon la désignation de Brousseau, par opposition aux variables dites « de situation ». Par contre, les valeurs données à ces variables sont bien pour leur part des variables de situation, et plus précisément des variables didactiques mathématiques comme les paragraphes ci-dessous le spécifient. Des choix différents auraient affecté la complexité de la si-tuation.

Pour la variation de la hauteur d’un cylindre, le choix a été fait de fixer la première hauteur, non pas à une valeur donnée en centimètres au préalable, mais à la hauteur correspondant au niveau atteint par l’eau après avoir versé un nombre de mesurettes donné. Ce choix permet aux élèves de travailler avec des nombres de mesurettes entiers, ce qui ne serait probablement pas le cas avec une première hauteur fixée à l’avance.

Un autre choix a été posé pour l’expérience liée à la variation du diamètre, celui de faire correspondre la mesurette à verser dans les cylindres au contenu du cylindre de diamètre initial. Cela pose un léger problème aux élèves qui doivent concevoir ce double statut du cylindre initial mais cette difficulté est compensée par l’avantage de se baser sur des données simples pour la suite de leur réflexion. En optant pour un nombre de mesurettes à verser dans le cylindre de départ égal à un, on permet aux élèves d’identifier plus facilement le modèle utilisé.

4.4.3 Valeurs pour un coefficient de proportionnalité

Au vu des valeurs qui pourraient être récoltées lors des expériences sur la variation de la hauteur d’un cylindre, nous avons déjà soulevé l’intérêt de séparer la découverte des coefficients de proportionnalité du reste de l’activité. Le tableau présenté à la section 3.2.4 a alors été mis au point. Comme nous l’avons indiqué, les valeurs de ce tableau proposé aux élèves ont été choisies avec plusieurs objectifs.

La première intention est évidemment celle de per-mettre aux élèves de découvrir naturellement un co-efficient de proportionnalité, mais pas seulement. Des liens internes doivent également pouvoir être repérés malgré les données non-ordonnées. De plus, la repré-sentation graphique doit être facilement réalisable.

grandeur 1 grandeur 2

10 30

2 6

5 15

Notons que ce choix de valeur permet encore aux élèves d’observer une autre ca-ractéristique de grandeurs proportionnelles : les liens additifs qui existent entre des lignes du tableau. grandeur 1 grandeur 2 10 30 2 6 5 15 7 21 + +

4.4.4 Boîtes pour l’activité de réinvestissement

Le choix des boîtes à présenter aux élèves lors de l’activité de réinvestissement, dont il est question à la section 3.2.5, a également été soumis à réflexion.

Il est effectivement important de présenter aux élèves différents types de boîtes. Certaines d’entre elles doivent avoir un vo-lume proportionnel à leur hauteur, d’autres non. Parmi les pre-mières, il est intéressant de trouver des cylindres pour que les élèves puissent s’appuyer sur ce qu’ils viendront de travailler, des prismes divers mais également des boîtes plus insolites telles que celle de la photo ci-contre.

Un tel type de boîte pourrait susciter des discussions argumentées auprès des élèves.

4.4.5 Organisation du travail

Une variable didactique, de type organisationnel cette fois, est liée au fonctionnement des élèves pendant la séquence : en individuel, en groupe ou en collectif. Certaines phases des activités ont été prévues pour être réalisées seul, d’autres en groupe de quatre ou cinq élèves et il a été prévu de mener d’autres temps de travail avec l’ensemble de la classe. Une autre organisation pendant ces divers moments aurait engendré des effets didactiques différents de ceux que nous avons ciblés.

Prenons différents exemples. Il est important de mener le début de la séquence, relative à la casserole, avec l’ensemble de la classe. S’il en est autrement (en travail de groupes par exemple), tous les élèves n’auraient pas toutes les informations utiles à la suite de l’activité. Un autre exemple montre les avantages d’une situation inverse, où le travail en groupes est plus bénéfique qu’en collectif. Il s’agit des expériences menées sur les cylindres, particulièrement lorsqu’il s’agit d’en faire varier le diamètre. Si la manipulation se produit devant toute la classe, il n’en ressortira qu’un seul résultat, ce qui est un sérieux frein au potentiel de discussions à mener avec les élèves.