Précédents travaux sur la proportionnalité

Après ce rapide aperçu de définitions relatives à la proportionnalité, examinons différents travaux qui se sont centrés sur cette notion.

Rouche a consacré une partie de son ouvrage Du quotidien aux mathématiques

à l’étude de la proportionnalité entre grandeurs mesurées, selon que les grandeurs mises en correspondance sont ou non de même nature. Il y émet la réflexion suivante : « Toute mesure met en correspondance terme à terme, moyennant le choix d’une unité, des grandeurs et des nombres. Cette correspondance ne serait-elle pas une proportionnalité ? » (2006, p. 224).

Cette réflexion met en évidence que la proportionnalité se trouve effectivement par-tout autour de nous. Néanmoins, les paragraphes suivants montrent que l’acquisition de ce concept pose problème dans l’enseignement. D’un côté, de nombreux auteurs soulignent la difficulté d’apprentissage de cette matière, de l’autre, des chercheurs attirent l’attention sur le fait que la proportionnalité est tellement naturelle que nombreuses sont les situations où elle est appliquée à mauvais escient. Ces deux points de vue, contradictoires en apparence, sont présentés ci-dessous.

Difficulté de l’apprentissage de la proportionnalité

De nombreux documents ayant trait à l’apprentissage de la proportionnalité ont été rédigés ces dernières années et ont nourri notre réflexion. Beaucoup d’entre eux évoquent la difficulté de cette notion. Développons ce premier point de vue à partir d’un constat de Dupuis & Pluvinage (1981, p. 167).

Dans l’enseignement des concepts liés aux acquisitions numériques, la proportionnalité occupe une position certainement particulière. D’un côté, il s’agit d’un concept dont l’utilité générale est indéniable : non seulement il joue un rôle fondamental en mathématique, mais ses appli-cations sont innombrables et présentes dans tous les secteurs d’activité humaine. À ce titre, il est donc le prolongement naturel des « quatre opérations » arithmétiques. D’un autre côté, il n’est pas certain que son apprentissage suive, dans la population scolaire, une courbe en J qui si-gnifierait son acquisition par la quasi-totalité des élèves, après un certain temps d’apprentissage.

Intéressons-nous dès lors aux raisons qui expliqueraient ces difficultés d’apprentis-sage du concept de proportionnalité en prenant appui sur les écrits de différents auteurs.

L’ouvrage de Boisnard, Houdebine, Julo, Kerbœuf & Merri (1994) La pro-portionnalité et ses problèmes atteste de l’existence de ces difficultés et les auteurs émettent l’idée « qu’il est normal que sa compréhension ne soit pas immédiate » (p. 5). Dans cette publication, après avoir réalisé un bilan de l’enseignement de la proportionnalité depuis quelques décennies, les auteurs s’intéressent à l’apprentis-sage de la proportionnalité qui « pose problème », selon leurs termes. Ils commencent par dresser une liste de procédures de résolution : manipulation des rapports, tableau de proportionnalité, propriété des écarts constants, propriété d’additivité, propriété de multiplicativité et coefficient de proportionnalité. Sans prétendre être exhaustifs, les auteurs montrent la diversité des démarches et relèvent la question du choix d’une procédure face à un problème. Les auteurs proposent alors de mettre en évidence des classes de problèmes. La citation suivante (Boisnard & al., 1994, p. 63) énonce les critères choisis pour cette catégorisation.

Nous avons choisi, tout d’abord, de distinguer deux grandes catégories de critères. Les premiers sont liés à la structure du problème, c’est-à-dire à l’analyse des dimensions qui les caractérisent, ainsi qu’au type de relation qui unit les grandeurs en jeu. Dans la seconde catégorie, nous placerons à la fois des critères liés aux relations numériques entre les grandeurs et à la nature des nombres en jeu, des critères liés à la nature de la question et du but, ainsi que des critères qui paraissent davantage liés au domaine de référence.

Ensuite, les auteurs classent les problèmes en deux catégories, l’une réunit les pro-blèmes où il n’y a que deux grandeurs en jeu, l’autre ceux où il y en a plus de deux. À l’intérieur de ces catégories, ils s’inspirent de la classification de Vergnaud pré-sentée ci-dessous.

Ce type de classification est important car il permet aux enseignants de se rendre compte de la diversité des types de problèmes de proportionnalité et de donner alors l’occasion aux élèves de rencontrer plusieurs démarches de résolution, ce qui est essentiel pour l’apprentissage de cette notion.

Boisnard & al. répertorient également, dans leur ouvrage, les différents langages

utilisés pour exprimer les propriétés de la proportionnalité : le langage des propor-tions, les tableaux, le langage des opérateurs, la représentation graphique, le langage algébrique et celui des fonctions. Ils ajoutent que « les changements de langages sont un moyen privilégié de changer de cadre : par exemple, quand on traduit un tableau de proportionnalité en un graphique, on est amené à passer d’un cadre purement numérique à un cadre géométrique. Les écarts proportionnels vont se traduire par l’alignement. Une droite passant par l’origine va exprimer que, dans le tableau, 0 correspond à 0. La croissance de la fonction, qui peut être cachée dans le tableau parce que les données ne sont pas rangées, va devenir évidente sur le graphique » (Ibid., p. 149). De tels changements de cadre sont importants à prendre en considéra-tion, nous reviendrons donc sur ce sujet lorsque le contenu de la séquence didactique aura été présenté.

Intéressons-nous à la classification des problèmes de type multiplicatif de Ver-gnaud. Dans son ouvrage L’enfant, la mathématique et la réalité (1981a), ce der-nier consacre un chapitre à ces problèmes de type multiplicatif. Il y distingue deux grandes formes de relations multiplicatives : l’isomorphisme de mesures et le produit de mesures. La première est « une relation quaternaire entre quatre quantités : deux quantités sont des mesures d’une certaine sorte et les deux autres des mesures d’une autre sorte » (p. 161), la seconde est « une relation ternaire entre trois quantités dont l’une est le produit des deux autres » (p. 171). Voici quelques exemples issus de l’ouvrage en guise d’illustration.

Exemples d’isomorphisme de mesures :

Ia) J’ai 3 paquets de yaourts. Il y a 4 yaourts dans chaque paquet. Combien ai-je

de

yaourts ?

Ib) J’ai payé 12 francs pour 3 bouteilles de vin. Quel est le prix d’une bouteille ?

Ic) Pierre a 12 francs et veut acheter des paquets de bonbons à 4 francs le paquet.

Combien de paquets peut-il acheter ? Exemples de produit de mesures :

Pa) Une pièce rectangulaire fait 4 m de long et 3 m de large. Quelle est son aire ?

Pb) En changeant seulement de pull et de foulard, Anne peut avoir 15 tenues

diffé-rentes. Elle a trois pulls, combien a-t-elle de foulards ?

Pour les premiers exemples, il précise qu’ils « sont d’une inégale difficulté [. . .] mais ils peuvent tous être représentés par un schéma analogue » (Vergnaud, 1981a, p. 162), comme les tableaux ci-dessous le montrent.

Ia) paquets yaourts 1 4 3 x Ib) bouteilles francs 1 x 3 12 Ic) paquets francs 1 4 x 12

On reconnaît ici les tableaux de type proportionnalité qui correspondent à la pre-mière forme de relations multiplicatives.

Dans la suite de l’ouvrage, Vergnaud propose de distinguer trois principales classes de problèmes qui se subdivisent chacune en sous-classes. Nous ne détaillons pas cette classification ici car il l’a adaptée au fil du temps. Une catégorisation plus récente est développée dans les prochains paragraphes. Cependant, soulignons que, si

Ver-gnauds’attache à cette classification, c’est parce qu’il pense que « la distinction de

ces différentes classes et leur analyse doivent être soigneusement abordées afin d’ai-der l’enfant à reconnaître la structure des problèmes et à trouver la procédure qui conduira à leur solution. Il ne faut pas sous-estimer la difficulté de certaines notions comme celles de rapport, de proportion, de fraction et de fonction qui appellent des précautions didactiques importantes bien au-delà de l’enseignement élémentaire » (Ibid., p. 180). Remarquons que le discours de Boisnard & al. ne s’est pas beau-coup écarté de l’assertion de Vergnaud, une bonne dizaine d’années plus tard. Le discours n’est d’ailleurs pas différent aujourd’hui, comme nous allons le mettre en évidence dans les propos d’autres auteurs par la suite.

En 1994, Vergnaud écrit avec Levain un article dans lequel ils caractérisent un peu différemment les structures et considèrent clairement le lien avec la proportionnalité. Pour commencer, ils conscientisent les lecteurs au fait que « le passage, au cours de l’apprentissage, des problèmes additifs aux problèmes multiplicatifs est relativement difficile. L’enfant doit faire face à la fois à une augmentation importante du nombre de catégories de problèmes, et à une complexité plus grande des procédures et des concepts qui permettent de les résoudre » (Levain & Vergnaud, 1994, p. 56). Ils identifient plusieurs facteurs qui rendent un problème plus ou moins complexe : sa structure mathématique, les valeurs numériques impliquées et la familiarité avec le domaine de référence de l’énoncé (Ibid., p. 56).

Attachons-nous plus particulièrement aux structures mathématiques du problème. En se basant sur la théorie des champs conceptuels de Vergnaud (1991), les auteurs proposent une classification qui fait intervenir quatre structures. Reprenons leurs descriptions et exemples (Levain & Vergnaud, 1994, pp. 58-60, 63) :

– la structure de proportion simple met en jeu quatre quantités appartenant à deux espaces de mesure différents (4 stylos coûtent 6 francs. Combien coûtent 10 sty-los ? ) ;

– la structure de proportion simple composée résulte de la composition de deux ou plusieurs proportions simples (Une institutrice commande 4 boîtes de feutres. Dans chaque boîte il y a 8 feutres. Un feutre coûte 3 francs. Combien l’institutrice paye-t-elle en tout ? ) ;

– la structure du produit de mesures renvoie à la composition cartésienne de deux espaces de mesure en un troisième (À l’anniversaire de Nicolas, il y a en tout 5 garçons et 4 filles. Combien peuvent-ils former de couples si chaque garçon danse avec une fille, et chaque fille avec chaque garçon ? ) ;

– la structure de proportion double est proche du produit de mesure à la seule différence que f(1, 1) n’est plus nécessairement égal à 1 (La consommation de sucre

de 10 enfants par semaine est de 3,5 kg. Quelle quantité de sucre consommeront 50 enfants pendant 28 jours ? ).

La première structure s’apparente au cas d’isomorphismes de mesures présenté en amont. La deuxième se distingue facilement. Les deux dernières structures méritent sans doute de plus amples explications. Les auteurs signalent que la troisième struc-ture peut être analysée en termes d’une double proportion. Les schémas ci-dessous aident à le comprendre. G F 1 2 3 4 1 2 3 4 5 • 1 couple = f (1, 1) • xcouples = f (G, F ) E J 7 28 10 50 • 3,5 • quantité de sucre

On peut dès lors lire plus facilement que, pour l’exemple de la troisième structure, le nombre de couples qui peuvent être formés est proportionnel au nombre de garçons ainsi qu’au nombre de filles.

En 1997, Vergnaud réécrit sa classification. Il consacre un chapitre aux problèmes multiplicatifs dans Le Moniteur de Mathématiques (Vergnaud, 1997). Il y indique que les problèmes multiplicatifs sont des « problèmes arithmétiques simples qui se résolvent par une multiplication ou une division (ou ces deux opérations) [, ils] re-lèvent de ce que nous appelons le “champ conceptuel” des structures multiplicatives » (p. 111). Il identifie clairement que « la difficulté de résolution de tels problèmes est moins due à la nature de l’opération utilisée qu’à la nature des données du pro-blème et des relations qui existent entre ces données », ce qu’il appelle « structure mathématique du problème » (Ibid., p. 111).

À ce moment, il identifie quatre grandes classes, qui ne sont pas exactement les mêmes que dans ses catégorisations précédentes (Ibid., pp. 113-120) :

– les problèmes de comparaison multiplicative de grandeurs, pour lesquels un seul domaine de grandeurs est en jeu (Dans un groupe de touristes, il y a 18 femmes et trois fois plus d’hommes. Combien y a-t-il d’hommes ? ) ;

– les problèmes de proportionnalité simple, pour lesquels deux domaines de gran-deurs sont en jeu (J’ai payé 48 F pour 3 kg de raisin. Combien coûtent 7,5 kg de raisin ? ) ;

– les problèmes de proportionnalité simple composée, pour lesquels trois domaines de grandeurs sont en jeu, deux relations de proportionnalité simple sont définies, la situation conduit à composer ces deux relations (exemple tout à fait similaire à celui donné en 1994 pour cette même classe : commande de feutres d’une insti-tutrice) ;

– les problèmes de proportionnalité double, pour lesquels deux domaines de gran-deurs indépendants sont en jeu, une relation leur associe une mesure d’une troi-sième grandeur, la « grandeur produit » (exemple du nombre de couples formés par des garçons et des filles).

La deuxième classe de problèmes (proportionnalité simple) correspond à la classe « isomorphisme de mesures » que Vergnaud avait identifiée en 1981. Ce qu’il avait appelé « produit de mesures » correspond pour sa part à la quatrième classe (pro-portionnalité double), ce qui permet d’observer qu’il a décidé de ne plus faire de distinction entre les troisième et quatrième structures définies en 1994. Pour cha-cune de ces quatre classes, Vergnaud indique les différentes catégories qui existent, ce qui montre l’étendue des types de problèmes qui sont rassemblés sous un même nom « problèmes de proportionnalité » sans que les enseignants ne se rendent tou-jours compte de la diversité de problèmes que cela recouvre.

Sur base d’une première classification de Vergnaud et avant la parution de l’article de 1994, Levain avait réalisé une étude au cours de laquelle il avait présenté une série de problèmes à un échantillon d’élèves. Il indique, dans l’article écrit avec Vergnaud, que les « résultats montrent que la structure du problème détermine dans une large mesure la réussite ou l’échec des élèves » (Levain & Vergnaud, 1994, p. 61).

À ce propos, les auteurs citent Tourniaire3 qui souligne que « dès huit ou neuf ans

50% des élèves réussissent des problèmes simples de type recherche d’une quatrième proportionnelle, lorsque le domaine est familier et que les nombres sont petits et entiers » (Ibid., p. 55).

Plus récemment, dans une publication sur l’enseignement de la proportionnalité destinée aux enseignants belges (Géron, Stegen & Daro, 2007), les auteurs ont rassemblé des données de diverses recherches en didactique des mathématiques qui font état du constat suivant : « beaucoup d’élèves débutent leur scolarité dans l’en-seignement secondaire en éprouvant encore bien des difficultés avec le concept de proportionnalité » (p. 7). La classification de Vergnaud donne à penser que ces difficultés peuvent être liées à la complexité pour les élèves d’identifier les types de problèmes de proportionnalité face auxquels ils se trouvent. S’y ajoute ce que

Géron& al. indiquent ensuite : « si, dans l’introduction du document de référence

[Ministère de la Communauté française, 1999a], il est clairement fait mention d’une construction de tableaux et de graphiques, au niveau de la définition des compé-tences, on ne parle plus que de représentations à l’aide de tableaux ; les graphiques semblent avoir disparu » (Géron & al., p. 15). Il paraît pourtant important de présenter aux élèves un maximum d’outils pour aborder cette notion.

De très nombreux ouvrages, articles ou autres travaux traitent de la proportionnalité et de cette problématique qui vient de la diversité des problèmes. Il est impossible de tous les référencer mais nous proposons encore ci-dessous un rapide commentaire sur quelques-uns d’entre eux.

Hersant a consacré sa thèse (2001) aux pratiques d’enseignement en lien avec les

problèmes de proportionnalité. Dans la première partie, elle dresse notamment un aperçu de différents travaux sur ce sujet. Nous y renvoyons pour de plus amples

ren-3. Tourniaire, F. (1986). Proportions in elementary school. Educational Studies in Mathema-tics, 17, 401-411.

seignements. Elle étudie ensuite l’utilisation d’un logiciel pour aider à l’apprentissage de la proportionnalité.

Nowak, Tran& Zucchetta présentent, dans leur publication de 2001, différentes

procédures de résolution observées chez les élèves de différents pays. Parmi elles, on trouve le retour à l’unité, l’utilisation d’une même référence, de pourcentages, de tableaux avec coefficient de proportionnalité, de tableaux avec produits en croix et la procédure de type quatrième proportionnelle.

Dans le cadre spécifique du Rallye Mathématique Transalpin, le groupe de travail s’intéressant aux problèmes de proportionnalité soulève une difficulté qui reflète l’étude de Vergnaud : « avant de placer correctement les quatre nombres (les trois données et l’inconnue) d’un problème classique de proportionnalité [. . .], il faut analyser la situation, la décontextualiser pour en extraire les données numériques pertinentes, distinguer les deux couples de nombres en relation, se poser des ques-tions sur la nature de cette relation » (Jaquet, 2006, p. 202). L’auteur ajoute le constat suivant (Ibid., p. 203).

Trop souvent, les élèves s’engagent dans un problème de proportionnalité sans se rendre compte qu’il y a deux grandeurs en relation. Ils se basent sur des indices leur permettant de se lancer immédiatement dans des calculs, sans analyser la situation et sans identifier de relation.

Dans un article de 2002, Comin pointe encore un autre problème : les enseignants n’utiliseraient pas de manière adéquate le vocabulaire attaché à la proportionna-lité. De cette hypothèse et suite à une première enquête, l’auteur affirme que les difficultés des élèves « étaient davantage liées à des questions d’enseignement et de culture qu’à des problèmes d’apprentissage » (Comin, 2002, p. 143). Dans la suite du texte, Comin caractérise notamment différents modèles de la proportionnalité : méthode des proportions, méthode de réduction à l’unité, fonction linéaire, suites proportionnelles, tableau de proportionnalité et produits en croix. De là, il étudie l’évolution des programmes et émet l’hypothèse suivante : « les professeurs ne peu-vent pas traiter correctement la proportionnalité car les réformes successives ont fait disparaître de leur culture toute une organisation de savoirs et de connaissances – fondée en partie sur la notion de grandeur – autour des notions de rapport et de proportionnalité » (Ibid., p. 164).

Pour terminer, notons encore que Simard reprend deux catégories de procédures (2012b, p. 36).

La première, basée sur la théorie des proportions, englobe les procé-dures suivantes ; utilisation du rapport commun, retour à l’unité, règle de trois et produit en croix. La seconde, basée sur la linéarité, englobe les procédures qui font appel à l’utilisation de la propriété additive et de la propriété multiplicative. À l’intersection de ces deux catégories se trouvent l’utilisation du coefficient de proportionnalité comme opéra-teur et l’utilisation de la fonction linéaire associée (dont on identifie le coefficient directeur). Enfin, de manière plus anecdotique on trouve la

procédure graphique qui, si elle est justifiée, revient à une utilisation fine de la fonction linéaire associée.

Simard et Géron & al. semblent d’accord sur ce caractère peu présent de la

pro-cédure graphique.

Prégnance du modèle linéaire

Nous venons de mettre en évidence la difficulté de l’enseignement de la proportionna-lité. Attachons-nous maintenant à l’autre point de vue qui est celui de la rémanence de la linéarité.

Notre angle de travail a été fortement inspiré par la lecture de travaux relatifs à cette prégnance du modèle linéaire. Dans leur ouvrage de 2007, De Bock, Van Dooren,

Janssens & Verschaffel étudient le phénomène qu’ils appellent « illusion de

linéarité » à l’aide de questions telles que celles retranscrites ci-dessous auxquelles de nombreux élèves répondent en utilisant le modèle proportionnel. Elles ont été posées à des élèves issus des grades 2 à 8, l’équivalent de la deuxième primaire à la deuxième secondaire en Belgique.

Pour catégoriser les questions, les auteurs donnent quelques exemples (De Bock & al., 2007, p. 9).

Additive problem : Ellen and Kim are running around a track. They run equally fast but Ellen started later. When Ellen has run 5 laps, Kim has

run 15 laps. When Ellen has run 30 laps, how many has Kim run ?4

Affine problem : The locomotive of a train is 12 m long. If there are 4 carriages connected to the locomotive, the train is 52 m long. How long

is the train if there are 8 carriages connected to the locomotive ?5

Constant problem : Mama put 3 towels on the clothesline. After 12 hours they were dry. Grandma put 6 towels on the clothesline. How long did

it take them to get dry ?6

Les problèmes que les auteurs appellent « additifs », « affins » et « constants » font partie des « solvable problems », problèmes qu’ils distinguent des « unsolvable pro-blems » qui sont pour leur part des problèmes pour lesquels il n’existe pas de liens