Pré-test

Commençons par la présentation de l’évolution des questions du pré-test. Trois ver-sions ont précédé le pré-test proposé dans les classes de l’école namuroise. Nous détaillons les différentes étapes qui ont mené à l’écriture des questionnaires utilisés lors des deux séries d’expérimentations, à Namur et à Sambreville.

Version préliminaire no

1 (juin 2009)

Le questionnaire présenté aux élèves de sixième primaire est à l’origine du pré-test. Cette toute première version (juin 2009) était ainsi constituée de questions issues de trois familles distinctes, présentées à la section 1.1.5 : résolution par application d’un modèle proportionnel pour la première famille de questions, par application d’un autre modèle que le proportionnel pour la deuxième et par application du « bon sens » (qui révèle une impossibilité de réponse) pour la troisième famille. La première famille était composée de quatre questions dans lesquelles le coefficient de proportionnalité était entier et de deux autres qui nécessitaient l’utilisation de fractions (annexe G). Mise à part la difficulté qu’ont eu certains élèves avec les fractions, les questions de cette famille ont été très bien réussies, comme évoqué à la section 1.1.5. Ces questions n’ont été que peu modifiées car elles permettent de contrôler si l’élève applique correctement le modèle proportionnel lorsqu’il est l’outil adéquat.

Dans la deuxième famille, certains taux de réussite pour des questions faisant appel a priori à un même modèle ont été très différents d’une question à l’autre. Il s’agit notamment des questions suivantes.

Si 8 ouvriers ont été nécessaires sur un chantier pour construire une maison en 10 mois, combien d’ouvriers auraient été nécessaires pour la construire en 5 mois ?

Un rectangle dont la longueur et la largeur font respectivement 6 cm

et 4 cm a une aire égale à 24 cm2. Si on veut un rectangle de même

aire dont la longueur fait 12 cm, quelle sera la largeur de ce rectangle ?

Près de 60% des élèves ont répondu à la première par application d’un modèle linéaire et ont donné la réponse « 4 ouvriers » alors que moins de 10% ont fait cette erreur à la seconde question. Les élèves se sont tout simplement appuyés sur l’utilisation

de la formule de l’aire et le résultat indiqué dans l’énoncé (24 cm2) pour calculer la largeur du rectangle, à partir de sa longueur.

Figure6.1 – Résolution d’un élève de 6eprimaire

Cette dernière question a été remplacée dans la version du pré-test qui a suivi. Les questions de la troisième famille ont été abandonnées. Nous avions essayé d’atté-nuer la teneur du contrat didactique en expliquant d’emblée aux élèves que certaines questions pouvaient ne pas avoir de réponse mathématique et que, si c’était le cas, il suffisait de l’écrire en lieu et place de réponse. Cependant, de très nombreux élèves (environ 80%) ont utilisé un modèle linéaire pour trouver un résultat aux questions que De Bock & al. classent dans les « unsolvable problems », de type « pseudo-proportionnalité ».

Figure 6.2 – Résolution d’un élève de 6e primaire, par application d’une règle de

trois

Pour éviter des effets de contrat didactique qui nous paraissent incontrôlables dans ce cas, nous avons choisi de privilégier, dans les versions suivantes du questionnaire, des questions qui se résolvent mathématiquement par un modèle différent du linéaire, comme celles de la deuxième famille.

Version préliminaire no

2 (octobre 2009, Bx1)

Une deuxième version préliminaire du questionnaire a alors été présentée aux élèves d’une classe de la région de Bruxelles dans laquelle la séquence a été mise à l’épreuve

(Bx1). Les « unsolvable problems » ont donc été écartés et la question que nous

avions qualifiée de « proportionnalité inverse », relative aux aires, remplacée par la suivante.

Quatre amis s’achètent ensemble un gros paquet de chocolats. Cha-cun paie 2 euros. S’ils avaient été huit amis, combien auraient-ils payé chacun pour ce paquet de chocolat ?

La diminution du nombre de questions a ainsi rendu possible l’insertion de nouvelles dont les réponses sont basées sur la reconnaissance d’un modèle affin.

Yvan va chez un ami qui habite à 150 m de chez lui. Ensuite, il rentre à la maison où sa maman lui demande d’aller chercher des œufs à la ferme. Revenu de la ferme, Yvan tombe et casse les œufs. Il doit

donc retourner à la ferme une 2efois. Sur la journée, Yvan a marché

en tout 600 m. Si sa maman lui avait demandé d’aller une 3efois à la

ferme pour chercher du lait, combien de mètres aurait-il marché en tout ?

J’ai été à la foire en bus et le trajet aller-retour m’a coûté 3 euros. À la foire, chaque activité coûte le même prix. J’ai fait 6 activités et ma journée complète – trajet compris – m’a coûté 24 euros. Combien ma journée m’aurait-elle coûté si j’avais fait seulement 4 activités à la foire en y allant aussi en bus ?

La longueur des questions de ce type étant plutôt importante, nous avons imaginé dans un premier temps qu’elle soit la cause du taux d’abstention avoisinant les 20% pour chacune, résultat que nous n’avions pas anticipé. Nous avons alors prévu pour la version suivante du pré-test une question qui permettrait d’observer l’impact de la longueur de l’énoncé d’une question. Ce point est développé ci-dessous.

L’annexe H reprend l’ensemble des questions de la deuxième version préliminaire du pré-test.

Version préliminaire no

3 (novembre 2009, Bx2)

L’effet inattendu de l’insertion des questions reprises dans le cadre ci-dessus qui a engendré un taux élevé d’absence de réponse aurait donc pu s’expliquer par la longueur de la question. Une solution rapide pour observer l’influence de la longueur d’un énoncé a été d’allonger une question de la première famille (réponse utilisant le modèle proportionnel). La question « Une bouteille d’eau de deux litres coûte

1 euro. Combien coûtent 5 de ces bouteilles d’eau de deux litres ? » est devenue la suivante.

Mon frère est allé au grand magasin pour acheter des bouteilles d’eau. Une grande bouteille d’eau de deux litres coûte 1 euro. Il prend 5 bouteilles d’eau de deux litres dans son panier. Il ne fait aucun autre achat. Combien doit-il payer à la caissière pour ces 5 bouteilles d’eau ?

Une autre décision a été de diminuer le nombre de questions dont l’énoncé implique une réponse suivant un modèle proportionnel au vu du taux de réussite de chacune d’elles (suppression de la question relative à l’impression de pages).

Les questions dont la réponse suit un modèle linéaire ont toujours été aussi bien réussies. La longueur de l’énoncé d’une question ne semble pas avoir eu d’influence sur la résolution : la question du cadre ci-dessus avait été placée en dernière place du questionnaire et pourtant tous les élèves y ont donné une réponse – correcte qui plus est – contrairement aux questions suivant le modèle affin (environ 20% d’abstention de nouveau).

Version de la première série d’expérimentations (2010, Namur)

Le questionnaire a une nouvelle fois été adapté pour sa passation dans les classes de l’école de Namur. La modification principale est celle des questions sollicitant une réponse suivant le modèle affin. Ces questions étaient inutilement compliquées et les contextes pas nécessairement bien choisis. Elles ont été remplacées par les suivantes.

Je suis allé au magasin avec mes parents qui m’ont acheté une console de jeu pour mon anniversaire. La console coûtait 160 e. En plus, ils m’ont acheté 2 jeux. Tous les jeux de cette console coûtent le même prix. Ils ont payé pour le tout 200 e. Combien auraient-ils payé s’ils m’avaient acheté 4 jeux en plus de la console ?

Charles est allé au bowling avec des amis. La location de ses chaus-sures lui a coûté 4 e pour la soirée. Chaque partie de bowling coûte le même prix et il a joué 2 parties. La soirée de bowling lui a coûté 16 e en tout. Combien sa soirée aurait-elle coûté s’il avait joué 3 parties ?

Cette dernière question a encore posé problème, le contexte de bowling n’étant peut-être pas adapté aux élèves de cet âge.

D’autres ajustements ont eu lieu concernant le choix des questions du pré-test pour Namur. L’hypothèse de la longueur de la question n’étant apparemment pas celle qui expliquait le taux d’abstention aux questions de type « affin », une autre a été testée : celle de la difficulté des élèves à sélectionner des informations dans un énoncé long. Nous avons ainsi ajouté une information inutile dans la question qui avait déjà été allongée, dans le but d’observer si cela pouvait avoir une influence sur la résolution.

Mon frère est allé au grand magasin pour acheter des bouteilles d’eau. Une bouteille d’eau de deux litres coûte 1 e. Il va dans ce magasin car, dans un autre commerce, une bouteille d’eau de deux litres coûte 1,20 e. Il prend 5 bouteilles d’eau de deux litres dans son panier. Il ne fait aucun autre achat dans ce grand magasin. Combien doit-il payer à la caissière pour ces 5 bouteilles d’eau ?

Cet ajout d’information superflue n’a aucunement perturbé les élèves. La question a toujours été aussi bien réussie. Nous avons alors décidé de ne pas la conserver pour la version suivante du pré-test.

Le peu de réponses correctes à la question « Si un carré a une aire de 4 cm2, quelle

sera l’aire du carré dont le côté est 3 fois plus long que celui du premier carré ? »,

utilisée dans les versions préliminaires no 2 et 3 du pré-test, n’avait pas encore été

questionné. Le choix de la valeur des variables ne nous a pas paru judicieux, suite à l’analyse des copies des élèves. Plusieurs copies sont semblables à la suivante.

Figure 6.3 – Résolution d’un élève de 1esecondaire

En se basant uniquement sur cette résolution, il est impossible de savoir si l’élève utilise une procédure correcte ou erronée pour calculer la longueur du côté du premier carré. Nous avons dès lors opéré une modification de la valeur de la variable afin qu’une telle division par 2 soit le reflet d’une procédure erronée si elle apparaissait à nouveau. L’énoncé est devenu le suivant.

Un carré ABCD a une aire de 9 cm2. Le côté d’un carré A’B’C’D’

est 2 fois plus long que le côté du carré ABCD. Quelle est l’aire du carré A’B’C’D’ ?

D’autres énoncés ont été modifiés afin d’ôter la teneur conditionnelle des phrases. Par exemple, la question « Si 8 ouvriers ont été nécessaires sur un chantier pour construire une maison en 10 mois, combien d’ouvriers auraient été nécessaires pour la construire en 5 mois ? » est devenue « Pour construire une maison en 10 mois, le chef de chantier prévoit 8 ouvriers. Combien d’ouvriers le chef de chantier doit-il prévoir pour construire une maison semblable en 5 mois ? ».

Les questions du pré-test présenté aux élèves de l’école de Namur se trouvent à l’annexe I.

Version de la seconde série d’expérimentations (2011, Sambreville) Sans entrer dans le détail de l’analyse des résultats, ce que nous laissons pour le chapitre suivant, nous attirons l’attention sur les quelques autres modifications qui se sont imposées pour adapter le pré-test pour sa passation dans l’école de Sambreville. Les élèves rencontrent une réelle difficulté pour la résolution d’un problème lorsque le passage à l’unité, par lequel ils s’obligent à passer, ne donne pas un nombre entier comme résultat. L’utilisation d’un facteur non entier est ici en cause et non l’utili-sation de la proportionnalité à bon escient. Ainsi, l’énoncé des versions antérieures « Au magasin, j’ai acheté 3 kg de pommes et ça m’a coûté 4 e. Combien aurais-je payé si j’en avais acheté 4,5 kg ? » ne nous donnant pas d’information pertinente par rapport à nos questions de recherche, il a été écarté du pré-test.

Pour d’autres questions du pré-test, certaines réponses d’élèves nous ont encore surpris. Par exemple, à la question ci-dessous, nous nous attendions à avoir princi-palement de bonnes réponses (figure 6.4) et d’autres où l’élève applique un modèle proportionnel (figure 6.5).

Figure 6.5 – Résolution erronée d’un élève de 1e secondaire

Mais de nombreuses réponses ont été tout autres, peut-être à cause de la formulation de cette question. La figure 6.6 en montre trois exemples. Certains élèves ont même choisi de ne pas répondre.

Figure6.6 – Résolutions d’élèves de 1esecondaire

Face à l’incompréhension de certaines de ces réponses parfois récurrentes, nous avons préféré remplacer la question, pour cette nouvelle version du pré-test, par une autre afin qu’elle concorde mieux avec nos objectifs. La voici.

Avec un gros sac de bonbons, j’ai pu faire 6 sachets de 300 grammes. Combien de sachets de 100 grammes aurais-je pu faire ?

Ensuite, nous nous sommes interrogés sur la pertinence de la question « Un bébé reste environ 9 mois dans le ventre de sa maman avant de naître. Environ combien de temps restent des triplés dans le ventre de leur mère ? ». Contrairement à la question de la même famille (temps de séchage de vêtements sur une corde à linge), le fait de tripler le nombre de fœtus a une influence sur la durée de la grossesse. Bien que cette question ait été particulièrement bien réussie, le contexte ayant peut-être aidé les élèves, nous avons préféré la remplacer par une autre question.

Dans mon jardin, je plante 1 graine de tournesol. Il faut 1 mois pour que le tournesol fleurisse. Si j’avais planté 2 graines de tournesol, combien de temps aurait-il fallu pour qu’ils fleurissent ?

Le contexte des questions semble tenir un rôle important comme nous avons déjà pu le faire observer préalablement. La question relative au bowling a été remplacée

pour cause de probable incompréhension des élèves. Le principe de location unique de chaussures pour l’ensemble des parties n’évoquant apparemment rien aux élèves, nous avons pensé qu’un contexte de sortie au zoo serait plus adapté.

Charles est allé au zoo avec Hugo. L’entrée au zoo coûte 10 e à chacun. Charles a acheté 5 paquets de cacahuètes pour nourrir les animaux. Il a payé sa sortie au zoo 20 e en tout. Hugo a acheté 3 paquets de cacahuètes. Combien Hugo a-t-il payé pour sa sortie au zoo ?

Une autre adaptation du pré-test fait suite à la suppression évoquée plus haut de deux questions (dont la réponse s’obtient par application du modèle proportionnel).

Une question semblable à « Un carré ABCD a une aire de 9 cm2. Le côté d’un carré

A’B’C’D’ est 2 fois plus long que le côté du carré ABCD. Quelle est l’aire du carré A’B’C’D’ ? » a été ajoutée, en la dotant d’un contexte.

Arod, un cheval, est dans un pré en forme de carré de 15 mètres de côté. Il mange toute l’herbe de son pré en 3 jours. Diesel, un cheval qui a le même appétit, est dans un pré carré dont le côté est 2 fois plus long que celui d’Arod. Combien de jours faudra-t-il à Diesel pour manger toute l’herbe de son pré ?

Pour cette nouvelle question, il est nécessaire de remarquer le rapport qui existe entre les deux aires, il ne suffit pas d’appliquer uniquement une formule d’aire, comme c’est possible pour répondre à la question précédente.

L’ensemble des questions présentées au pré-test des classes de Sambreville se trouve à l’annexe J et quelques résultats sont développés dans le chapitre suivant.