Opérateurs linéaires
2.1 TYPES D’OPÉRATEURS LINÉAIRES
2.1.1 Définitions
On appelle opérateur un être mathématique qui transforme un élément d’un en-semble en un autre élément de ce même enen-semble.
SoitE un espace vectoriel àn dimensions sur le corps des nombres complexes.
À tout vecteurcdeE, faisons correspondre un vecteurc deE que nous noterons :
c =Ac (2.1.1)
Le symboleAreprésente l’opérateur qui réalise ainsi une application deE sur lui-même ou sur une partie de lui-lui-même. Un opérateurAest appelé un opérateurlinéaire si, quels que soient les vecteurscetfdeE, et les nombres complexesl1etl2, on a : A(l1c+l2f)=l1Ac+l2Af (2.1.2) On notera par la suite les opérateurs linéaires par des lettres majusculesen italique.
a) Addition et multiplication des opérateurs
SoientAet Bdeux opérateurs linéaires qui, à un vecteurc, font correspondre res-pectivement les vecteursAcetBc. Par définition, la somme des opérateursAetB, notéeA+B, est un opérateur qui àcfait correspondre le vecteurAc+Bc, vecteur noté (A+B)c.
Le produit de deux opérateursAetB, notéAB, est un opérateur qui, à un vecteur c, fait correspondre le vecteur notéABctel que :
ABc=A(Bc) (2.1.3)
Cette dernière relation signifie que pour obtenirABc, on fait d’abord agirBsurc, ce qui donne le vecteurBc, puis on fait agirAsur le vecteurBc.
b) Inverse d’un opérateur
Si l’opérateurAappliqué au vecteurcdonne un vecteurc, l’opérateur qui fait passer du vecteurc au vecteurcs’appelle l’opérateurinversedeAet on le noteA−1. On a donc :
c=A−1c =A−1(Ac)=A−1Ac (2.1.4) Le produitA−1Aest donc égal à l’opérateur unité ouidentitéet qu’on notera par le symbole11, d’où :
A−1A=11 (2.1.5)
Puisqu’on a également :c =Ac=A(A−1c), l’opérateurA−1vérifie également la relation :
AA−1=11 (2.1.6)
Alors que tous les nombres, autres que zéro, possèdent un inverse, un opérateur non nul peut ne pas admettre d’inverse.
c) Commutateur de deux opérateurs
Une propriété importante distingue le produit des nombres de celui des opérateurs.
En général, deux opérateursAetBne commutent pas entre eux, c’est-à-dire qu’on a :
AB=BA (2.1.7)
Par définition, lecommutateurde deux opérateursAetBest l’opérateur, noté [A, B], tel que :
[A, B]=AB−BA (2.1.8)
Si le commutateur est nul, on a :AB = BAet on dit que les opérateurs commutent entre eux.
2.1.2 Produit scalaire
Les vecteurscd’un espace vectorielE peuvent être à valeurs complexes. La notion deproduit scalaire permet de définir la norme d’un vecteur complexe ainsi que la notion d’angle entre deux vecteurs.
a) Définitions
On appelle produit scalaire sur un espace vectorielE, une correspondance qui à tout couple (c, f) de deux vecteurs de E associe un nombre complexe, noté c, f, satisfaisant aux propriétés suivantes :
– si l’on note par le symbole * le complexe conjugué d’un nombre, on a :
c, f=f, c∗ (2.1.9)
– sic,f,hsont des vecteurs deE, le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition vectorielle :
c, f+h=c, f+c, h (2.1.10)
– silest un nombre complexe, on a :
c, lf=lc, f (2.1.11)
– le produit scalaire est ditdéfini positif si l’on a :
c, c>0 si c=0 (2.1.12)
Un espace vectoriel complexe muni d’un produit scalaire défini positif est appelé un espacepréhilbertienou encore un espacehermitien.
b) Propriétés du produit scalaire
Si pour touscetfdifférents du vecteur nul, on a :
c, f=0 (2.1.13)
on dit que les vecteurscetfsontorthogonaux.
D’autre part, les propriétés (2.1.9) et (2.1.11) donnent :
lc, f=f, lc∗ =(lf, c)∗ =l∗f, c∗=l∗c, f (2.1.14) Lorsque le produit d’un vecteur par un nombre complexe est situé à gauche dans l’expression du produit scalaire, il faut prendre le complexe conjugué de ce nombre pour le sortir du produit scalaire. Remarquons qu’en mathématique, le produit sca-laire est défini avec la propriété :lc, f =lc, f, alors que les physiciens ont choisi la propriété :lc, f=l∗c, f
La norme d’un vecteur est définie par : c=
c, c (2.1.15)
C’est un nombre réel. En effet, selon la propriété (2.1.9), on a :c, c =c, c∗, ce qui montre quec, cest un nombre réel ; comme de plusc, c>0, la racine carrée donne un nombre réel.
Un espace vectoriel muni d’une norme est appelé unespace vectoriel normé.
2.1.3 Opérateur adjoint
SoitE un espace vectoriel hermitien et soitAun opérateur linéaire surE. S’il existe un opérateur linéaireA†surE tel qu’on ait :
c, Af=A†c, f (2.1.16)
quels que soient les vecteurscetf deE, on dit queA†est l’opérateuradjointde A. La notion d’opérateur adjoint dépend donc essentiellement du produit scalaire particulier qu’on choisit surE.
a) Propriétés
SiA†est l’adjoint de l’opérateurA, alors réciproquement l’adjoint deA†est l’opéra-teurA. En effet, effectuons le produit scalaire :
c, A†f (2.1.17)
Utilisant la propriété (2.1.9) du produit scalaire, l’expression (2.1.17) devient : c, A†f=A†f, c∗=f, Ac∗=Ac, f (2.1.18) Cette dernière relation montre queAest l’opérateur adjoint deA†, d’où :
(A†)†=A (2.1.19)
SiAest un opérateur linéaire ayant pour adjointA†, démontrons quel∗A†est l’ad-joint de l’opérateurlA. Selon la définition d’un opérateur adjoint, on a :
c, lAf=(lA)†c, f (2.1.20)
D’autre part, les propriétés du produit scalaire (2.1.14) et de l’opérateur adjoint, nous donnent :
c, lAf=lc, Af=lA†c, f=l∗A†c, f (2.1.21) Comparant les relations (2.1.20) et (2.1.21), on obtient :
(lA)†=l∗A† (2.1.22)
b) Addition et multiplication des opérateurs adjoints
SiA†etB†sont respectivement les adjoints deAetB, alors l’opérateur (A†+B†) est l’adjoint de (A+B). Cette propriété résulte immédiatement de la linéarité (2.1.10) du produit scalaire.
Considérons également le produitAB; on a :
c, ABf=A†c, Bf=B†A†c, f (2.1.23) Cette dernière relation montre que l’adjoint de l’opérateur AB est l’opérateur B†A†; on a donc :
(AB)†=B†A† (2.1.24)
L’adjoint d’un produit d’opérateurs est égal au produit des adjoints pris dans l’ordre inverse.
2.1.4 Opérateurs hermitiens
Un opérateurAest dithermitiens’il coïncide avec son adjoint ; on dit également qu’il estautoadjoint. Les opérateurs hermitiens sont donc tels que :
A=A† (2.1.25)
a) Propriétés
La somme de deux opérateurs hermitiens est également un opérateur hermitien, de même que le produit d’un opérateur hermitien par un nombreréel. En général, le produit de deux opérateurs hermitiensAetBn’est pas un opérateur hermitien, car on a :
(AB)†=B†A†=BA=AB (2.1.26) Par contre, si deux opérateurs hermitiens commutent, la relation précédente montre que leur produit est hermitien.
SiA est un opérateur hermitien inversible, alors son inverse A−1 est également hermitien. En effet, posonsc =A−1c,f =A−1f; alors :
c, Af=A†c, f=Ac, f (2.1.27) Puisquec=Acetf=Af, les premier et dernier membres de (2.1.27) s’écrivent : A−1c, f=c, A−1f (2.1.28) Cette dernière relation montre qu’on a : (A−1)† = A−1 et que par suiteA−1 est un opérateur hermitien. On appelle opérateurantihermitienun opérateur tel que :
A†=−A (2.1.29)
Multipliant par le nombre imaginaire i un opérateur antihermitien, on obtient un opérateur hermitien. En effet, la propriété (2.1.22) nous donne :
(iA)†=−i A†=i A (2.1.30)
b) Produit scalaire
La définition (2.1.16) d’un opérateur adjoint nous permet d’écrire, pour un opérateur hermitienA:
c, Af=Ac, f=f, Ac∗ (2.1.31) SiAest un opérateur hermitien et B un opérateur quelconque, on obtient pour ex-pression du produit scalaire :
Ac, Bf=c, A†Bf=c, ABf (2.1.32)
2.1.5 Opérateurs unitaires
Un opérateurAestunitaires’il vérifie les relations suivantes :
AA†=A†A=11 (2.1.33)
Une importante propriété des opérateurs unitaires est qu’ils conservent le produit scalaire, c’est-à-dire qu’ils vérifient la propriété :
Ac, Af=c, f (2.1.34)
En effet la définition de l’opérateur unitaire permet d’écrire :
Ac, Af=c, A†Af=c, f (2.1.35)
➤ Autres propriétés
Le produit de deux opérateurs unitaires Aet B est un opérateur unitaire. En effet, posantC=AB, il vient :
C†C=B†A†A B=B†B=11 (2.1.36) et on vérifie de même queC C† = 11. Un opérateur unitaire peut toujours s’écrire comme la somme :
A=B+i C (2.1.37)
où BetCsont deux opérateurs hermitiens qui commutent et qui sont donnés par : B=(A+A†)/2 ; C=i(A†−A)/2.
2.1.6 Fonction d’opérateur
Considérons une fonctionF(x) d’une variablexet supposons qu’on puisse exprimer F(x) sous forme d’une série :
F(x)= ∞ n=0
anxn (2.1.38)
Remplaçant dans cette série la variablexpar un opérateurA, on obtient une somme d’opérateurs qu’on noteF(A) :
F(A)= ∞ n=0
anAn (2.1.39)
On utilise le même symbole que celui qui note la fonctionF(x) lorsque les coeffi-cientsansont identiques, pourF(A), à ceux deF(x). Ainsi, par exemple, l’opérateur exp(A) est défini par la série :
eA= ∞
n=0
An
n! (2.1.40)
Pour que l’opérateurF(A) existe, il faut que la série (2.1.39) converge, ce qui dépend des valeurs propres deAet du rayon de convergence deF(x).
➤ Dérivée d’un opérateur
SoitA(a) un opérateur dépendant d’un paramètre continua. Par définition, la dérivée par rapport àa, deA(a), est notéedA/daet donnée par la limite :
dA
da = lim
Da→0
A(a+Da)−A(a)
Da (2.1.41)
sous la condition que cette limite existe.
2.1.7 Espace produit tensoriel
Soient deux espaces vectorielsEpetEqde dimensions respectivespetq. Notonsci
les vecteurs deEpetfjles vecteurs deEq; soient{uk}et{vl}les bases respectives de ces espaces. NotonsEpq=Ep⊗Eql’espace produit tensoriel des espacesEp
etEq.
a) Produit tensoriel d’opérateurs
Soient deux opérateurs linéairesAetBagissant respectivement dansEpetEq. Par définition, l’opérateurC=A⊗Best l’opérateur qui, agissant sur un vecteurc⊗f de l’espaceEpq, donne le vecteur :
C(c⊗f)=(A⊗B)(c⊗f)=(Ac)⊗(Bf) (2.1.42) L’opérateurA⊗Best le produit tensoriel des opérateursAetB. En particulier, siA est l’opérateur unité, noté11p, agissant dans l’espaceEp, on obtient :
(11p⊗B)(c⊗f)=(11pc)⊗(Bf)=c⊗(Bf) (2.1.43) L’opérateur (11p⊗B) est appelé leprolongementdeBdansEpq. De même, le prolon-gement deAdans l’espaceEpqest l’opérateur (A⊗11q), où11qest l’opérateur unité agissant dans l’espaceEq.
b) Propriétés
Considérons les opérateursA1A2etB1B2opérant respectivement dansEpetEq. La définition (2.1.42) nous donne :
(A1A2⊗B1B2)(c⊗f)=A1(A2c)⊗B1(B2f)=(A1⊗B1)(A2c⊗B2f)
=(A1⊗B1)(A2⊗B2)(c⊗f) (2.1.43) Le vecteur (c⊗f) étant quelconque, on obtient :
A1A2⊗B1B2=(A1⊗B1)(A2⊗B2) (2.1.44) Utilisant cette dernière relation, on obtient l’opérateur inverse d’un produit tensoriel d’opérateursA⊗Ben écrivant :
(A⊗B)(A−1⊗B−1)=(AA−1)⊗(BB−1)=11p⊗11q=11pq (2.1.45)
1. J. HLADIKet P. E. HLADIK.Le calcul tensoriel en physique. 3eéd. Dunod (1999).
En conséquence, (A−1⊗B−1) est l’opérateur inverse de (A⊗B), soit :
(A⊗B)−1=A−1⊗B−1 (2.1.46) c) Produit scalaire
Soient les produits scalaires ck, ci et wl, wj définis respectivement dans les espacesEpetEq. Soienthkl =ck⊗wlethij =ci⊗wjdes vecteurs deEp⊗Eq. Par définition, le produit scalaire dans l’espaceEp⊗Eqest le nombre :
hkl, hij=(ck⊗wl), (ci⊗wj)=ck, ciwl, wj (2.1.47)