Opérateurs de projection a) Projecteur sur un vecteur

Considérons un vecteur|fde norme unité, soitf|f=1. L’opérateurPfdéfini par :

Pf=|f f| (3.2.18)

appliqué à un vecteur d’état|cquelconque, nous donne :

Pf|c=|f f|c (3.2.19)

On obtient un vecteur proportionnel à |f dont le coefficient de proportionnalité f|cest le produit scalaire de|cpar|f. Or, pour deux vecteursaetbde norme unité de la géométrie classique, le produit scalairea·best égal au cosinus de leur angle. Par analogie avec de tels vecteurs classiques, on peut dire que le vecteurPf|c est la « projection orthogonale » de|csur le vecteur|f.

L’opérateurPf est l’opérateur de projection sur le vecteur|f ou encore le pro-jecteursur|f. Une nouvelle application dePfsur le vecteur projeté doit redonner le même vecteur ; on doit donc avoir :P²_f=Pf; en effet :

P²_f=|f f|f f|=|f f|=Pf (3.2.20) où l’on a utilisé le fait que|fest un vecteur de norme unité.

b) Projecteur sur un sous-espace

Soient|c₁,|c₂, ...,|cp,pvecteurs formant un sous-espaceEpde l’espaceE des vecteurs d’état. Montrons que l’opérateurPpdéfini par :

Pp= p

i=1

|ci ci| (3.2.21)

est un opérateur de projection qui projette sur le sous-espaceEp. En effet, pour tout ket|fdeE, on a :

Pp|f= p

i=1

|ci ci |f (3.2.22)

On obtient une combinaison linéaire des vecteurs|ciet le vecteurPp|fappartient donc à l’espaceEp; les ketsci | f |cisont les projections de|fsur les divers kets|ci. L’opérateurPpest donc bien un projecteur sur le sous-espaceEp.

c) Relation de fermeture

Soient{|ci}une base orthonormée deE et|fun vecteur quelconque deE ; on a :

|f=

j

cj|cj (3.2.23)

L’application de l’opérateur suivant : P=

∞ i=1

|ci ci| (3.2.24)

au vecteur|fnous donne, en remplaçant|fpar son développement et en utilisant le fait que les vecteurs sont orthonormés :

P|f= ∞

i=1

|ci ci|

j

cj|cj=

i

ci|ci=|f (3.2.25)

Le vecteur|fétant quelconque, l’opérateurPest égal à l’unité, d’où : ∞

i=1

|ci ci|=11 (3.2.26)

Cette dernière égalité est appeléerelation de fermeture. Réciproquement, cette rela-tion exprime que l’ensemble{|ci}forme une base deE.

3.2.5 Réalisations

Ainsi que nous l’avons vu pour les fonctions d’onde, une réalisation est un mode de description d’un état quantique obtenu en choisissant une base, discrète ou continue.

Des réalisations analogues existent pour les vecteurs d’état.

a) Réalisation-|wn

La réalisation-wn des fonctions d’onde de l’espace F est une réalisation obtenue en choisissant une base {wn} discrète. On peut faire correspondre à chacune des fonctionswn(r) un vecteur d’état|wn, ce qui permet de définir une base deEr. Les composantes d’un ket quelconque|csont alors données par :

wn|c= |wn, |c =wn(r), c(r)

L’ensemble des composanteswn |cforme une réalisation du ket|cet cette der-nière est appelée la réalisation-|wn. Ces composantes sont évidemment identiques à celles de la réalisation-wnde la fonction d’ondec(r).

b) Réalisation-|p

La réalisation-pdes fonctions d’onde de l’espaceF est obtenue en introduisant la base formée des fonctions :

fp(r)=(2p)^−3/2e^ip·r/ (3.2.27) Puisque toute fonction deF peut être développée sur cette base, nous pouvons faire correspondre à chacun des élémentsfp(r) un vecteur ket que nous noterons|p. On définit ainsi une base deEr, notée{|p}.

Le produit scalaire des vecteurs kets nous donne :

p|c= |p, |c =fp, c=F(p) (3.2.28) La transformée de FourierF(p) est donc donnée par :

F(p)=p|c (3.2.29)

Nous pouvons donc interpréter la « fonction d’onde dans l’espace des impulsions », F(p), comme la composante du ket|c sur le vecteur de base|p. Nous dirons que F(p) est la réalisation-|pdu vecteur d’état|c.

c) Réalisation-|r

La réalisation-rdes fonctions d’onde de l’espaceF s’obtient en introduisant une base formée des distributions de Diracdr. Faisons correspondre à chaque distributiondr, un vecteur ket noté|r. Nous définissons ainsi dans l’espaceErdes vecteurs formant une base de cet espace, notée{|r}.

Le produit scalaire des vecteurs kets nous donne :

r|c= |r, |c =dr, c=c(r) (3.2.30) La fonction d’onde, dans l’espace des coordonnées, s’écrit alors :

c(r)=r|c (3.2.31)

Nous pouvons interpréter les nombres c(r) comme étant les composantes du ket

|c sur le vecteur de base|r. Nous dirons que la fonction d’ondec(r) constitue la réalisation-|rdu vecteur d’état|c.

d) Réalisation-_|w_a

Aux fonctions d’ondewa(r) associées à un spectre continu de valeurs propresa, on fait correspondre les vecteurs d’état|wa. Les composantes d’un ket quelconque|c sont alors données par :

ca =wa|c=wa(r), c(r)

Les composantescaforment la réalisation-|wadu vecteur d’état|c.

Remarque :La réalisation particulière d’un vecteur est également appelée sa représentation. Ainsi on dira queF(p) est la représentation-|pdu vecteur|c. Cependant, le terme « représentation » est classiquement utilisé en mathéma-tiques pour la représentation des groupes ; il semble donc préférable d’utiliser le terme « réalisation » pour qualifier un mode de description des états quan-tiques.

3.2.6 Opérateurs R et P

Nous allons définir des opérateurs qui agissent dans l’espace des vecteurs d’état,Er. Ces opérateurs vont être obtenus en les faisant correspondre à ceux qui agissent sur les fonctions d’onde.

a) Opérateurs X, Y, Z

Soitc(r) une fonction d’onde telle que :c(r)=xc(r). Par définition,Xest l’opé-rateur qui, agissant sur le ket|c, donne le ket|c, soit :

|c=X|c (3.2.32)

L’action de l’opérateurXcoïncide donc, en réalisation-|r, avec la multiplication par xappliquée aux fonctions d’onde. Selon (3.2.31), on peut écrire :c(r)= r |cet

c(r)=r|c=xr|c. La définition (3.2.32) est donc équivalente à la relation :

r|X|c=xr|c (3.2.33)

On définit de façon analogue les opérateursYetZpar les formules :

r|Y |c=yr|c ; r|Z |c=zr|c (3.2.34) Le vecteurR, encore appelé opérateur vectoriel, est alors défini comme le vecteur ayant pour composantes les opérateursX,YetZ.

b) Opérateurs composantes de l’impulsion

À la fonctionc(r), l’opérateur impulsion−i∂/∂xfait correspondre la fonction : c(x)=−i ∂

∂xc(r) (3.2.35)

Par définition,Pxest l’opérateur qui, agissant sur le ket|c, donne le ket|c, soit :

|c=Px|c (3.2.36)

L’action de l’opérateurPx coïncide, en réalisation-|r, avec l’action de l’opérateur

−i∂/∂xappliqué aux fonctions d’onde. On a : r|c=r|Px|c=−i ∂

∂xr|c (3.2.37)

On définit de façon analogue les opérateursPyetPzpar : r|Py|c=−i ∂

∂yr|c ; r|Pz |c=−i ∂

∂zr|c (3.2.38) On démontre, au cours de l’exercice 3.1, que l’action de l’opérateurPx, en

réalisation-|px, sur un vecteur ket quelconque est égale à la multiplication par le nombrepx, soit :

Px|c=px|c (3.2.39)

oùpxest la composante selonOxde l’impulsionp. On a donc :

p|Px |c=pxp|c (3.2.40) On a des relations analogues pourPyetPz, soit :

p|Py|c=pyp|c ; p|Pz|c=pzp|c (3.2.41) Le vecteurPa pour composantes les opérateursPx,PyetPz.

c) Opérateurs hermitiens

Les opérateurs ainsi définis sur l’espace des vecteurs d’état possèdent des propriétés analogues à celles qui leur correspondent dans l’espace des fonctions d’onde.

En particulier, les opérateurs R et P sont hermitiens. Pour l’opérateur X, par exemple, on a, compte tenu dex^∗ =x:

c|X |f=c(r), xf(r)=f(r), xc(r)^∗ =f|X|c^∗

=X^†f|c^∗=c|X^†f (3.2.42)

On obtient :X=X^†. Une démonstration identique peut être faite pourPxen utilisant les fonctions d’ondeF(p).